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A1 - Analysis

Aufgaben
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1. Gegeben ist die Funktionenschar $f_k$ mit $f_{k}(x)$$=\dfrac{x+k}{\mathrm e^{x}}$, $x\in\mathbb{R}$, $k\in\mathbb{R}$.
Material 1 enthält Graphen von Funktionen der Schar.
1.1 Berechnen Sie die Nullstellen der Scharfunktionen.
Geben Sie für die Graphen in Material 1 die zugehörigen ganzzahligen Parameterwerte von $k$ an.
(4P)
1.2 Berechnen Sie jeweils nur anhand der notwendigen Bedingung die Extrem- und Wendestellen der Schar und zeigen Sie, dass für alle Funktionen der Schar die Extremstelle stets genau in der Mitte von Null- und Wendestelle liegt.
(5P)
1.3 Skizzieren Sie in Material 1 die Kurve, die die Hochpunkte verbindet, und leiten Sie für die Ortskurve der Hochpunkte die zugehörige Funktionsgleichung her.
(4P)
1.4 Zeigen Sie, dass für jede Scharfunktion $f_k$ die 2. Ableitungsfunktion $f_{k}''$ ebenfalls eine Funktion der Schar ist. Ermitteln Sie, durch welche Abbildungen der Graph von $f_{k}''$ aus dem Graphen von $f_k$ hervorgeht.
(4P)
2.
2.1 Berechnen Sie mithilfe partieller Integration (Produktintegration) eine Stammfunktionenschar $F_k$ von $f_k$.
[zur Kontrolle: $F_{k}(x)$$=-(x+k+1)$$\cdot\mathrm e^{-x}$]
$\begin{array}{rl} \text{[zur Kontrolle: } \\ F_{k}(x)=&-(x+k+1)\cdot\mathrm e^{-x} \text{]} \end{array}$
(5P)
2.2 Untersuchen Sie rechnerisch, ob die Graphen der Schar mit der $x$-Achse eine Fläche einschließen, die einen endlichen Inhalt hat, und geben Sie diesen gegebenenfalls an.
(6P)
3. Man erhält aus der Funktionenschar $f_k$ durch geeignete Verschiebung jedes Graphen parallel zur $x$-Achse eine neue Funktionenschar $g_k$, deren Graphen alle durch den Ursprung gehen (Material 2).
Zeigen Sie, dass der Term für $g_k$ sich als $g_{k}(x)$$=x$$\cdot\mathrm e^{k-x}$ schreiben lässt.
(4P)
4. Gewisse Wachstumsprozesse lassen sich durch Graphen wie in Material 2 beschreiben. In Material 3 ist die Gewichtszunahme von jungen Hunden graphisch dargestellt. Die zugrunde liegenden Daten lassen sich durch abgeänderte Funktionen der Funktionenschar $g_k$ (vgl. Aufgabe 3) gut approximieren.
4.1 Beschreiben Sie die in den Graphen von Material 3 enthaltenen Aussagen im Sachzusammenhang. Auf Unterschiede zwischen den einzelnen Graphen soll nicht eingegangen werden.
(2P)
4.2 Leiten Sie eine abgeänderte Funktion aus der Schar $g_k$ her, die das Wachstum der Schäferhunde annähernd beschreibt und deren Graph den gleichen Hochpunkt wie der Graph $S$ in Material 3 hat.
Hinweis: Denken Sie an eine Streckung oder Stauchung eines Graphen der Schar.
(6P)
Material 1
A1 - Analysis
A1 - Analysis
Material 2
A1 - Analysis
A1 - Analysis
Material 3
A1 - Analysis Quelle: http://www1.royal-canin.de
A1 - Analysis Quelle: http://www1.royal-canin.de
Für den Schäferhund können dem Diagramm folgende Werte entnommen werden:
Alter (in Monaten)Gewichtszunahme (in g/Tag)
1100
2150
3165
5130
795
1045
1320
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Tipps
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1.
1.1 $\blacktriangleright$ Nullstellen berechnen
Um die Nullstellen der Scharfunktionen zu berechnen, setze den Funktionsterm gleich Null und löse nach $x$ auf. Dann erhältst du die Nullstellen der Scharfunktionen in Abhängigkeit von $k$.
$\blacktriangleright$ Zugehörige Parameterwerte angeben
Du weißt aus der Aufgabenstellung, dass die Graphen in Material 1 ganzzahlige Parameterwerte haben. Außerdem weißt du aus der vorigen Aufgabe, dass die Graphen der Scharfunktionen $f_k$ Nullstellen an der Stelle $x_N = -k$ besitzen. Du kannst also die Nullstellen der Graphen in Material 1 ablesen und daraus die Parameterwerte für $k$ folgern.
1.2 $\blacktriangleright$ Extremstellen berechnen
Du sollst die Extremstellen der Schar nur anhand der notwendigen Bedingung berechnen. Diese Bedingung lautet:
$f_k'(x_E) = 0$
Bilde also die erste Ableitung von $f_k$ mit Hilfe der Quotientenregel und setze anschließend den Funktionsterm der ersten Ableitung gleich Null um die Extremstellen zu berechnen.
$\blacktriangleright$ Wendestellen berechnen
Die Wendestellen sollst du ebenfalls nur mit der notwendigen Bedingung berechnen. Die notwendige Bedingung für Wendestellen lautet:
$f_k''(x_W) = 0$
Bilde also nun die zweite Ableitung von $f_k$ und setze den Funktionsterm gleich Null. Zum Bilden der Ableitung kannst du wieder die Quotientenregel verwenden.
$\blacktriangleright$ Zeigen, dass die Extremstelle die Mitte von Null- und Wendestelle ist
Du sollst nun zeigen, dass die Extremstelle jeder Scharfunkion immer genau in der Mitte von Null- und Wendestelle liegt. Dazu kannst du die Mitte der Null- und Wendestellen berechnen und zum Schluss vergleichen, ob dies mit der Extremstelle übereinstimmt.
Die Mitte $x_M$ zwischen zwei Funktionsstellen $x_1$ und $x_2$ ergibt sich wie folgt:
$x_M $$= \frac{1}{2}\cdot(x_1 +x_2)$
1.3 $\blacktriangleright$ Ortskurve der Hochpunkte skizzieren
Du sollst in Material 1 die Kurve skizzieren, die die Hochpunkte miteinander verbindet. Du kannst dazu wie folgt vorgehen:
  • 1. Schritt: Zeichne die Hochpunkte der eingetragenen Graphen ein.
  • 2. Schritt: Skizziere die Kurve, die diese verbindet mit Hilfe der eingetragenen Punkte.
$\blacktriangleright$ Funktionsgleichung der Ortskurve angeben
Du sollst nun eine Funkionsgleichung der Kurve angeben, die du eben skizziert hast. Dies ist die Ortskurve der Extrempunkte der Funktionenschar $f_k$. Sie verbindet alle Extrempunkte miteinander.
Dein Ziel ist es also, die $y$-Koordinate der Extrempunkte in Abhängigkeit von $x$ darzustellen, aber nicht mehr von $k$. Dazu kannst du wie folgt vorgehen:
  • 1. Schritt: $y$-Koordinate der Extrempunkte berechnen.
    Falls diese noch von $k$ abhängt:
  • 2. Schritt: $x$-Koordinate nach $k$ umstellen
  • 3. Schritt: Umgeformte $x$-Koordinate in die $y$-Koordinate einsetzen
1.4 $\blacktriangleright$ Zeigen, dass $\boldsymbol{f_k''}$ ebenfalls ein Graph der Schar ist
Um zu zeigen, dass für jede Scharfunktion die zweite Ableitung $f_k''$ ebenfalls eine Funktion der Schar ist, kannst du zeigen, dass es ein $k_0$ gibt, sodass:
$f_k''(x) $$= \dfrac{x+k_0}{\mathrm e^x} $$= f_{k_0}$
Die Ableitungsfunktion $f_k''$ hast du bereits im vorigen Aufgabenteil gebildet:
$f_k'' $$= \dfrac{-2+x+k}{\mathrm e^x}$
$\blacktriangleright$ Abbildungen ermitteln
Um zu ermitteln, durch welche Abbildungen der Graph von $f_k''$ aus dem Graphen von $f_k$ hervorgeht, kannst du dir zur Unterstützung einmal die folgende Skizze anschauen:
A1 - Analysis
A1 - Analysis
2.
2.1 $\blacktriangleright$ Stammfunktionenschar berechnen
Du sollst nun mit Hilfe partieller Integration eine Stammfunktionenschar $F_k$ von $f_k$ berechnen.
Die entsprechende Regel zur partiellen Integration bzw. Produktintegration lautet:
$\displaystyle\int_{}^{}u(x)\cdot v(x)\mathrm dx $$= \left[U(x)\cdot v(x)\right]-\displaystyle\int_{}^{}U(x)\cdot v'(x)\mathrm dx$
Bringe die Funktionsgleichung von $f_k$ zunächst von einem Quotienten in die Form eines Produkts um die Formel leichter anwenden zu können.
2.2 $\blacktriangleright$ Flächeninhalt berechnen
Um zu überprüfen, ob die Graphen von $f_k$ mit der $x$-Achse eine Fläche mit endlichem Inhalt einschließen, kannst du den Flächeninhalt unter den Graphen von $f_k$ berechnen.
Dazu benötigst du die Integrationsgrenzen. Die untere Grenze hast du durch die Nullstellen der Funktionen $\boldsymbol{a = -k}$ gegeben. Da jede Scharfunktion nur diese eine Nullstelle besitzt, ergibt sich die zweite Grenze mit $\boldsymbol{b = \infty}$.
Gesucht ist also das Integral:
$\lim\limits_{b\to\infty} \displaystyle\int_{-k}^{b}f_k(x)\mathrm dx$
Mit Hilfe der Stammfunktionenschar, die du im vorigen Aufgabenteil gebildet hast, kannst du nun zunächst das Integral $\displaystyle\int_{-k}^{b}f_k(x)\mathrm dx$ in Abhängigkeit von $b$ berechnen und anschließend den Grenzwert berechnen, indem du den Term in mehrere Teilterme zerlegst und diese zuerst einzeln betrachtest.
3. $\blacktriangleright$ Funktionsterm von $\boldsymbol{g_k}$ bestimmen
Um zu zeigen, dass sich der Term für $g_k$ schreiben lässt als:
$g_{k}(x)$$=x\cdot\mathrm e^{k-x}$
kannst du den Funktionsterm von $g_k$ anhand der Information aus der Aufgabenstellung aufstellen.
Im Aufgabenteil 1.4 hast du gesehen, dass ein Graph $f(x-r)$ durch Verschiebung um $r$ Einheiten nach rechts aus dem Graphen von $f(x)$ hervorgeht.
In diesem Fall, soll nun jeder Graph der Schar $f_k$ soweit verschoben werden, dass die Nullstelle im Ursprung liegt.
4.
4.1 $\blacktriangleright$ Aussagen im Sachzusammenhang beschreiben
Um die Aussagen, die die Graphen darstellen im Sachzusammenhang zu beschreiben, sieh dir dazu zunächst einmal die Graphen genau an und interpretiere die Auffälligkeiten anschließend im Sachzusammenhang. Dabei sollst du nicht auf die Unterschiede zwischen den einzelnen Graphen eingehen, deine Antwort also allgemein für alle dargestellten Hunderassen halten.
4.2 $\blacktriangleright$ Funktion für das Wachstum der Schäferhunde bestimmen
Du hast in der Aufgabenstellung explizit die Information gegeben, dass der Graph der Funktion $w(t)$, die das Wachstum der Schäferhunde annähernd beschreiben soll, den gleichen Hochpunkt besitzen soll wie der Graph $S$ aus Material 3. Dieser Hochpunkt liegt bei $\boldsymbol{H(3\mid 165)}$.
Forme also die Funktion $g_k$ durch ein passend gewähltes $k$ und entsprechende Streckungs- bzw. Stauchungsfaktoren um, sodass sie den Hochpunkt $H(3\mid165)$ besitzt.
Berechne dazu zunächst die Hochpunkte $G(x_G\mid y_G)$ der Graphen von $g_k$ und bestimme anhand denen das passende $k$, sodass $y_G = 165$ gilt. Bestimme anschließend, wenn nötig, noch einen Stauchungsfaktor um $x_G = 3$ zu erhalten
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1.
1.1 $\blacktriangleright$ Nullstellen berechnen
Um die Nullstellen der Scharfunktionen zu berechnen, setze den Funktionsterm gleich Null und löse nach $x$ auf. Dann erhältst du die Nullstellen der Scharfunktionen in Abhängigkeit von $k$.
$\begin{array}{rll} 0=&f_k(x) \\ 0=&\frac{x+k}{\mathrm e^x}&\scriptsize \mid\; \cdot e^x \\ 0=&x+k&\scriptsize \mid\; -k \\ -k=&x \end{array}$
$\begin{array}{rl} 0=&f_k(x) \\ 0=&\frac{x+k}{\mathrm e^x} \\ 0=&x+k \\ -k=&x \end{array}$
Die Nullstellen der Scharfunktionen $f_k$ liegen bei $x_N $$= -k$.
$\blacktriangleright$ Zugehörige Parameterwerte angeben
Du weißt aus der Aufgabenstellung, dass die Graphen in Material 1 ganzzahlige Parameterwerte haben. Außerdem weißt du aus der vorigen Aufgabe, dass die Graphen der Scharfunktionen $f_k$ Nullstellen an der Stelle $x_N = -k$ besitzen. Du kannst also die Nullstellen der Graphen in Material 1 ablesen und daraus die Parameterwerte für $k$ folgern.
Du kannst dem Material entnehmen, dass die Graphen nacheinander die Nullstellen $x_N = -3$, $-2$, $-1$, $0$ und $1$ besitzen.
Demnach gehören jeweils die Parameterwerte $k = 3$, $2$, $1$, $0$ und $-1$ nacheinander zu den Graphen.
1.2 $\blacktriangleright$ Extremstellen berechnen
Du sollst die Extremstellen der Schar nur anhand der notwendigen Bedingung berechnen. Diese Bedingung lautet:
$f_k'(x_E) = 0$
Bilde also die erste Ableitung von $f_k$ mit Hilfe der Quotientenregel und setze anschließend den Funktionsterm der ersten Ableitung gleich Null um die Extremstellen zu berechnen.
$\blacktriangleright$ 1. Schritt: Ableitung bilden
Da der Funktionsterm von $f_k$ durch einen Bruch dargestellt ist, kannst du hier die Quotientenregel anwenden. Diese lautet:
$f(x) = \dfrac{u(x)}{v(x)}$, $\,\,f'(x) = \dfrac{u'(x) \cdot v(x) - u(x)\cdot v'(x)}{(v(x))^2}$
In unserem Fall ist demnach:
  • $u_k(x) $$= x+k$
  • $v_k(x) $$= \mathrm e^x$
  • $u_k'(x) $$= 1$
  • $v_k'(x) $$= \mathrm e^x$
Damit ergibt sich dann:
$\begin{array}{rll} f_k'(x)=&\dfrac{u'_k(x) \cdot v_k(x) - u_k(x)\cdot v'_k(x)}{(v_k(x))^2} \\ =&\dfrac{1\cdot\mathrm e^x - (x+k)\cdot\mathrm e^x}{(\mathrm e^x)^2} \\ =&\dfrac{(1-x-k)\cdot\mathrm e^x}{\mathrm e^{2x}}&\scriptsize \text{kürzen} \\ =&\dfrac{1-x-k}{\mathrm e^x} \end{array}$
$\begin{array}{rl} f_k'(x)=&\dfrac{u'_k(x) \cdot v_k(x) - u_k(x)\cdot v'_k(x)}{(v_k(x))^2} \\ =&\dfrac{1\cdot\mathrm e^x - (x+k)\cdot\mathrm e^x}{(\mathrm e^x)^2} \\ =&\dfrac{(1-x-k)\cdot\mathrm e^x}{\mathrm e^{2x}} \\ =&\dfrac{1-x-k}{\mathrm e^x} \end{array}$
$\blacktriangleright$ 2. Schritt: Gleichsetzen
Setze nun den Funktionsterm der ersten Ableitung von $f_k$ gleich Null und löse nach $x$ auf:
$\begin{array}{rll} 0=&\dfrac{1-x-k}{\mathrm e^x}&\scriptsize \mid\; \cdot \mathrm e^x \\ 0=&1-x-k&\scriptsize \mid\;+x \\ x=&1-k \end{array}$
$\begin{array}{rl} 0=&\dfrac{1-x-k}{\mathrm e^x} \\ 0=&1-x-k \\ x=&1-k \end{array}$
Die Extremstellen der Scharfunktionen $f_k$ liegen an den Stellen $x_E $$= 1-k$.
$\blacktriangleright$ Wendestellen berechnen
Die Wendestellen sollst du ebenfalls nur mit der notwendigen Bedingung berechnen. Die notwendige Bedingung für Wendestellen lautet:
$f_k''(x_W) = 0$
Bilde also nun die zweite Ableitung von $f_k$ und setze den Funktionsterm gleich Null. Zum Bilden der Ableitung kannst du wieder die Quotientenregel verwenden.
$\blacktriangleright$ 1. Schritt: Funktionsterm der zweiten Ableitung bilden
In diesem Fall gilt nun:
  • $u_k(x) $$= 1-x-k$
  • $v_k(x) $$= \mathrm e^x$
  • $u_k'(x) $$= -1$
  • $v_k'(x) $$= \mathrm e^x$
Dies kannst du nun wieder in die Formel einsetzen und erhältst:
$\begin{array}{rll} f_k''(x)=&\dfrac{-1\cdot\mathrm e^x-\mathrm e^x\cdot(1-x-k)}{(\mathrm e^x)^2} \\ =&\dfrac{(-1-1+x+k)\cdot\mathrm e^x}{\mathrm e^{2x}}&\scriptsize \text{kürzen} \\ =&\dfrac{-2+x+k}{\mathrm e^x} \end{array}$
$\begin{array}{rl} f_k''(x)=&\dfrac{-1\cdot\mathrm e^x-\mathrm e^x\cdot(1-x-k)}{(\mathrm e^x)^2} \\ =&\dfrac{(-1-1+x+k)\cdot\mathrm e^x}{\mathrm e^{2x}} \\ =&\dfrac{-2+x+k}{\mathrm e^x} \end{array}$
$\blacktriangleright$ 2. Schritt: Wendestellen bestimmen
Die Wendestellen erhältst du nun durch gleichsetzen des Funktionsterms der zweiten Ableitung von $f_k$ mit Null:
$\begin{array}{rll} 0=&\dfrac{-2+x+k}{\mathrm e^x}&\scriptsize \mid\;\cdot \mathrm e^x \\ 0=&-2+x+k&\scriptsize \mid\; +2, -k \\ 2-k=&x \end{array}$
$\begin{array}{rl} 0=&\dfrac{-2+x+k}{\mathrm e^x} \\ 0=&-2+x+k \\ 2-k=&x \end{array}$
Die Wendestellen der Scharfunktionen $f_k$ liegen an den Stellen $x_W $$= 2-k$.
$\blacktriangleright$ Zeigen, dass die Extremstelle die Mitte von Null- und Wendestelle ist
Du sollst nun zeigen, dass die Extremstelle jeder Scharfunkion immer genau in der Mitte von Null- und Wendestelle liegt. Dazu kannst du die Mitte der Null- und Wendestellen berechnen und zum Schluss vergleichen, ob dies mit der Extremstelle übereinstimmt.
Die Mitte $x_M$ zwischen zwei Funktionsstellen $x_1$ und $x_2$ ergibt sich wie folgt:
$x_M $$= \frac{1}{2}\cdot(x_1 +x_2)$
Damit ist die Mitte zwischen der Nullstelle und der Wendestelle jeder Scharfunktion gegeben durch:
$\begin{array}{rll} x_M=&\frac{1}{2}\cdot (x_N +x_W)&\scriptsize \mid\; x_N = -k, x_W = 2-k \\ =&\frac{1}{2}\cdot(-k+2-k) \\ =&1-k \\ =&x_E \end{array}$
$\begin{array}{rl} x_M=&\frac{1}{2}\cdot (x_N +x_W) \\ =&\frac{1}{2}\cdot(-k+2-k) \\ =&1-k \\ =&x_E \end{array}$
Da sich die Mitte der Nullstelle und Wendestelle jeder Scharfunktion mit $x_M $$=1-k$ ergibt, liegt die Extremstelle jeder Scharfunktion genau in der Mitte zwischen Null- und Wendestelle.
1.3 $\blacktriangleright$ Ortskurve der Hochpunkte skizzieren
Du sollst in Material 1 die Kurve skizzieren, die die Hochpunkte miteinander verbindet. Du kannst dazu wie folgt vorgehen:
  • 1. Schritt: Zeichne die Hochpunkte der eingetragenen Graphen ein.
  • 2. Schritt: Skizziere die Kurve, die diese verbindet mit Hilfe der eingetragenen Punkte.
$\blacktriangleright$ 1. Schritt: Hochpunkte einzeichnen
Du kennst die Parameterwerte $k$ der einzelnen Graphen aus der ersten Aufgabe und weißt, dass der Extrempunkt einer jeden Scharfunktion an der Stelle $x_E $$= 1-k$ liegt.
Damit weißt du, dass nacheinander an den Stellen $x_E = -2$, $-1$, $0$, $1$ und $2$ jeweils ein Extrempunkt liegen muss.
Trägst du die Hochpunkte nun nacheinander mit Hilfe der Extremstellen in Material 1 ein, so erhältst du das folgende Schaubild:
A1 - Analysis
A1 - Analysis
$\blacktriangleright$ 2. Schritt: Ortskurve skizzieren
Anhand der Punkte kannst du nun die Ortskurve der Hochpunkte leichter skizzieren. Dein Schaubild sollte dann ähnlich aussehen wie das folgende:
A1 - Analysis
A1 - Analysis
$\blacktriangleright$ Funktionsgleichung der Ortskurve angeben
Du sollst nun eine Funkionsgleichung der Kurve angeben, die du eben skizziert hast. Dies ist die Ortskurve der Extrempunkte der Funktionenschar $f_k$. Sie verbindet alle Extrempunkte miteinander.
Dein Ziel ist es also, die $y$-Koordinate der Extrempunkte in Abhängigkeit von $x$ darzustellen, aber nicht mehr von $k$. Dazu kannst du wie folgt vorgehen:
  • 1. Schritt: $y$-Koordinate der Extrempunkte berechnen.
    Falls diese noch von $k$ abhängt:
  • 2. Schritt: $x$-Koordinate nach $k$ umstellen
  • 3. Schritt: Umgeformte $x$-Koordinate in die $y$-Koordinate einsetzen
$\blacktriangleright$ 1. Schritt: $\boldsymbol{y}$-Koordinaten berechnen
Die $y$-Koordinaten der Extrempunkte, erhältst du durch einsetzen der Extremstellen in die Funktionsgleichung von $f_k$:
$\begin{array}{rll} y_E=&f_k(x_E)&\scriptsize x_E= 1-k \\ =&f_k(1-k) \\ =&\dfrac{1-k+k}{\mathrm e^{1-k}} \\ =&\dfrac{1}{\mathrm e^{1-k}} \end{array}$
$\begin{array}{rl} y_E=&f_k(x_E) \\ =&f_k(1-k) \\ =&\dfrac{1-k+k}{\mathrm e^{1-k}} \\ =&\dfrac{1}{\mathrm e^{1-k}} \end{array}$
$\blacktriangleright$ 2. Schritt: $\boldsymbol{x}$-Koordinate nach $\boldsymbol{k}$ umstellen
$\begin{array}{rll} x_E=&1-k&\scriptsize \mid\; +k, -x_E \\ k=&1-x_E \end{array}$
$\begin{array}{rl} x_E=&1-k \\ k=&1-x_E \end{array}$
$\blacktriangleright$ 3. Schritt: Einsetzen
$\begin{array}{rll} y_E=&\dfrac{1}{\mathrm e^{1-k}}&\scriptsize k = 1-x_E \\ =&\dfrac{1}{\mathrm e^{1-(1-x_E)}} \\ =&\dfrac{1}{\mathrm e^{x_E}} \end{array}$
$\begin{array}{rl} y_E=&\dfrac{1}{\mathrm e^{1-k}} \\ =&\dfrac{1}{\mathrm e^{1-(1-x_E)}} \\ =&\dfrac{1}{\mathrm e^{x_E}} \end{array}$
Damit lautet die Funktionsgleichung der Ortskurve der Hochpunkte von $f_k$: $y $$= \dfrac{1}{\mathrm e^x}$.
1.4 $\blacktriangleright$ Zeigen, dass $\boldsymbol{f_k''}$ ebenfalls ein Graph der Schar ist
Um zu zeigen, dass für jede Scharfunktion die zweite Ableitung $f_k''$ ebenfalls eine Funktion der Schar ist, kannst du zeigen, dass es ein $k_0$ gibt, sodass:
$f_k''(x) $$= \dfrac{x+k_0}{\mathrm e^x} $$= f_{k_0}$
Die Ableitungsfunktion $f_k''$ hast du bereits im vorigen Aufgabenteil gebildet:
$f_k'' $$= \dfrac{-2+x+k}{\mathrm e^x}$
Du kannst hier sehen, dass mit $k_0 = -2+k$ die obige Gleichung gilt.
Damit ist also $f_k''(x) $$= f_{k_0}(x) $$= \dfrac{x+k_0}{\mathrm e^x}$ mit $k_0 = -2+k$ und damit ist $ f_k'' $$= f_{k-2}$ für jedes $k$ ebenfalls eine Funktion der Schar $f_k$.
$\blacktriangleright$ Abbildungen ermitteln
Um zu ermitteln, durch welche Abbildungen der Graph von $f_k''$ aus dem Graphen von $f_k$ hervorgeht, kannst du dir zur Unterstützung einmal die folgende Skizze anschauen:
A1 - Analysis
A1 - Analysis
Daran kannst du erkennen, dass der Graph von $f_{-1}$ aus dem Graphen von $f_1$ durch Verschiebung um zwei Einheiten nach rechts und einer leichten Streckung hervorgeht. Um den Streckungsfaktor genau zu bestimmen, kannst du nun den Funktionsterm von $f_k''$ in eine Darstellungsweise in Abhängigkeit von $f_k$ bringen:
$\begin{array}{rll} f_k''(x)=&\dfrac{x+k-2}{\mathrm e^x}&\scriptsize \mid\, \text{Erweitern mit }\, 1=\frac{\mathrm e^{-2}}{\mathrm e^{-2}} \\ =&\dfrac{(x-2)+k}{\mathrm e^{x-2}}\cdot\mathrm e^{-2} \\ =&f_k(x-2)\cdot\mathrm e^{-2} \end{array}$
$\begin{array}{rl} f_k''(x)=&\dfrac{x+k-2}{\mathrm e^x} \\ =&\dfrac{(x-2)+k}{\mathrm e^{x-2}}\cdot\mathrm e^{-2} \\ =&f_k(x-2)\cdot\mathrm e^{-2} \end{array}$
Daran kannst du nun die Verschiebung nach rechts, genauso wie den Streckungsfaktor von $\mathrm e^{-2}$ erkennen.
Der Graph von $f_k''$ geht durch eine Verschiebung um $2$ Einheiten nach rechts und eine Streckung um den Faktor $\mathrm e^{-2}$ aus dem Graphen von $f_k$ hervor.
2.
2.1 $\blacktriangleright$ Stammfunktionenschar berechnen
Du sollst nun mit Hilfe partieller Integration eine Stammfunktionenschar $F_k$ von $f_k$ berechnen.
Die entsprechende Regel zur partiellen Integration bzw. Produktintegration lautet:
$\displaystyle\int_{}^{}u(x)\cdot v(x)\mathrm dx $$= \left[U(x)\cdot v(x)\right]-\displaystyle\int_{}^{}U(x)\cdot v'(x)\mathrm dx$
Bringst du die Funktionsgleichung von $f_k$ zunächst von einem Quotienten in die Form eines Produkts, so erhältst du:
$f_k(x) $$= \dfrac{x+k}{\mathrm e^x} $$= (x+k)\cdot \mathrm e^{-x}$
Wähle nun die beiden Faktoren $u$ und $v$ am besten so geschickt, dass im zweiten Faktor $v$ die Integrationsvariable $x$ beim Ableiten wegfällt.
Dabei erscheint die folgende Wahl sinnvoll:
$u(x) $$= \mathrm e^x$ und $v(x) $$= x+k$
Damit kannst du nun eine Stammfunktionenschar bilden:
$\begin{array}{rll} \displaystyle\int_{}^{}(x+k)\cdot \mathrm e^{-x}\mathrm dx=&\left[(x+k)\cdot(-1)\cdot\mathrm e^{-x}\right]-\displaystyle\int_{}^{}1\cdot(-1)\cdot\mathrm e^{-x}\mathrm dx&\scriptsize \text{vereinfachen} \\ =&\left[-\left(x+k\right)\cdot\mathrm e^{-x}\right]+\displaystyle\int_{}^{}\mathrm e^{-x}\mathrm dx \\ =&\left[-\left(x+k\right)\cdot\mathrm e^{-x}\right]+\left[\left(-1\right)\cdot\mathrm e^{-x}\right]&\scriptsize \text{zusammenfassen} \\ =&\left[\left(-\left(x+k\right)-1\right)\cdot\mathrm e^{-x}\right] \\ =&\left[-\left(x+k+1\right)\cdot\mathrm e^{-x}\right] \end{array}$
$\begin{array}{rl} \displaystyle\int_{}^{}(x+k)\cdot \mathrm e^{-x}\mathrm dx=&\left[(x+k)\cdot(-1)\cdot\mathrm e^{-x}\right] \\ &-\displaystyle\int_{}^{}1\cdot(-1)\cdot\mathrm e^{-x}\mathrm dx \\ =&\left[-\left(x+k\right)\cdot\mathrm e^{-x}\right] \\ &+\displaystyle\int_{}^{}\mathrm e^{-x}\mathrm dx \\ =&\left[-\left(x+k\right)\cdot\mathrm e^{-x}\right] \\ &+\left[\left(-1\right)\cdot\mathrm e^{-x}\right] \\ =&\left[\left(-\left(x+k\right)-1\right)\cdot\mathrm e^{-x}\right] \\ =&\left[-\left(x+k+1\right)\cdot\mathrm e^{-x}\right] \end{array}$
Eine Stammfunktionenschar der Funktionenschar $f_k$ lautet $F_k(x) $$= -(x+k+1)\cdot\mathrm e^{-x}$.
Eine Stammfunktionenschar der Funktionenschar $f_k$ lautet
$F_k(x) $$= -(x+k+1)\cdot\mathrm e^{-x}$.
2.2 $\blacktriangleright$ Flächeninhalt berechnen
Um zu überprüfen, ob die Graphen von $f_k$ mit der $x$-Achse eine Fläche mit endlichem Inhalt einschließen, kannst du den Flächeninhalt unter den Graphen von $f_k$ berechnen.
Dazu benötigst du die Integrationsgrenzen. Die untere Grenze hast du durch die Nullstellen der Funktionen $\boldsymbol{a = -k}$ gegeben. Da jede Scharfunktion nur diese eine Nullstelle besitzt, ergibt sich die zweite Grenze mit $\boldsymbol{b = \infty}$.
Gesucht ist also das Integral:
$\lim\limits_{b\to\infty} \displaystyle\int_{-k}^{b}f_k(x)\mathrm dx$
Mit Hilfe der Stammfunktionenschar, die du im vorigen Aufgabenteil gebildet hast, kannst du nun zunächst das Integral $\displaystyle\int_{-k}^{b}f_k(x)\mathrm dx$ in Abhängigkeit von $b$ berechnen und anschließend den Grenzwert berechnen.
$\blacktriangleright$ 1. Schritt: Integral berechnen
$\begin{array}{rll} \displaystyle\int_{-k}^{b}f_k(x)\mathrm dx=& \left[-(x+k+1)\cdot\mathrm e^{-x}\right]_{-k}^{b}&\scriptsize \text{Einsetzen der Grenzen} \\ =&-(b+k+1)\cdot\mathrm e^{-b}+(-k+k+1)\cdot\mathrm e^k \\ =&-(b+k+1)\cdot\mathrm e^{-b}+\mathrm e^k \end{array}$
$\begin{array}{rl} \displaystyle\int_{-k}^{b}f_k(x)\mathrm dx=& \left[-(x+k+1)\cdot\mathrm e^{-x}\right]_{-k}^{b} \\ =&-(b+k+1)\cdot\mathrm e^{-b} \\ =&+(-k+k+1)\cdot\mathrm e^k \\ =&-(b+k+1)\cdot\mathrm e^{-b} \\ =&+\mathrm e^k \end{array}$
$\blacktriangleright$ 2. Schritt: Grenzwert berechnen
Berechne nun den Grenzwert, indem du den Term in mehrere Teilterme zerlegst und diese einzeln betrachtest:
$\lim\limits_{b\to\infty} \displaystyle\int_{-k}^{b}f_k(x)\mathrm dx$$=\lim\limits_{b\to\infty}\left(-(b+k+1)\cdot\mathrm e^{-b}+\mathrm e^k\right)$
$\begin{array}{l} \lim\limits_{b\to\infty} \displaystyle\int_{-k}^{b}f_k(x)\mathrm dx \\ =\lim\limits_{b\to\infty}\left(-(b+k+1)\cdot\mathrm e^{-b}+\mathrm e^k\right) \end{array}$
Der Teil $\boldsymbol{\mathrm e^k}$ ist dabei unabhängig von $b$. Betrachte also zunächst den übrigen Teil des Terms.
Der Faktor $\boldsymbol{-(b+k+1)}$ geht dabei für $b\rightarrow\infty$ gegen $-\infty$, während der Faktor $\boldsymbol{\mathrm e^{-b}}$ gegen $0$ geht.
Insgesamt geht daher der Summand $\boldsymbol{-(b+k+1)\cdot\mathrm e^{-b}}$ für $b\rightarrow\infty$ gegen $0$, da der lineare Teil $-(b+k+1)$ weniger stark wächst als der exponentielle $\mathrm e^{-b}$.
Der gesamte Term geht daher für $b\rightarrow\infty$ gegen $\boldsymbol{\mathrm e^k}$.
Damit gilt:
$\lim\limits_{b\to\infty} \displaystyle\int_{-k}^{b}f_k(x)\mathrm dx $$= \lim\limits_{b\to\infty}\left(-(b+k+1)\cdot\mathrm e^{-b}+\mathrm e^k\right) $$= \mathrm e^k$
$\begin{array}{l} \lim\limits_{b\to\infty} \displaystyle\int_{-k}^{b}f_k(x)\mathrm dx \\ = \lim\limits_{b\to\infty}\left(-(b+k+1)\cdot\mathrm e^{-b}+\mathrm e^k\right) \\ = \mathrm e^k \end{array}$
Die Graphen der Schar $f_k$ schließen mit der $x$-Achse eine Fläche mit endlichem Inhalt ein. Dieser beträgt $\mathrm e^k$ Flächeneinheiten.
3. $\blacktriangleright$ Funktionsterm von $\boldsymbol{g_k}$ bestimmen
Um zu zeigen, dass sich der Term für $g_k$ schreiben lässt als:
$g_{k}(x)$$=x\cdot\mathrm e^{k-x}$
kannst du den Funktionsterm von $g_k$ anhand der Information aus der Aufgabenstellung aufstellen.
Im Aufgabenteil 1.4 hast du gesehen, dass ein Graph $f(x-r)$ durch Verschiebung um $r$ Einheiten nach rechts aus dem Graphen von $f(x)$ hervorgeht.
In diesem Fall, soll nun jeder Graph der Schar $f_k$ soweit verschoben werden, dass die Nullstelle im Ursprung liegt. Da die Nullstellen der Schar bei $x_N=-k$ liegen, muss jeder Graph um $k$ Einheiten nach rechts verschoben werden.
Demnach ergibt sich:
$g_k(x) $$= f_k(x-k) $$= \dfrac{x-k+k}{\mathrm e^{x-k}} $$= \dfrac{x}{\mathrm e^{x-k}} $$= x\cdot\mathrm e^{k-x}$
$\begin{array}{l} g_k(x) \\ = f_k(x-k) \\ = \dfrac{x-k+k}{\mathrm e^{x-k}} \\ = \dfrac{x}{\mathrm e^{x-k}} \\ = x\cdot\mathrm e^{k-x} \end{array}$
Durch Verschiebung der Graphen von $f_k$ um $k$ Einheiten nach rechts ergibt sich der Graph von $g_k$ und die zugehörige Funktionsgleichung ergibt sich durch $g_k(x) $$= f_k(x-k) $$= x\cdot\mathrm e^{k-x} $.
Durch Verschiebung der Graphen von $f_k$ um $k$ Einheiten nach rechts ergibt sich der Graph von $g_k$ und die zugehörige Funktionsgleichung ergibt sich durch
$g_k(x) $$= f_k(x-k) $$= x\cdot\mathrm e^{k-x} $.
4.
4.1 $\blacktriangleright$ Aussagen im Sachzusammenhang beschreiben
Um die Aussagen, die die Graphen darstellen im Sachzusammenhang zu beschreiben, sieh dir dazu zunächst einmal die Graphen genau an und interpretiere die Auffälligkeiten anschließend im Sachzusammenhang. Dabei sollst du nicht auf die Unterschiede zwischen den einzelnen Graphen eingehen, deine Antwort also allgemein für alle dargestellten Hunderassen halten.
Dir sollte auffallen, dass alle Graphen zunächst sehr stark wachsen, bis sie ihren Hochpunkt erreicht haben, und dann nach und nach wieder abfallen, allerdings langsamer als sie zuvor gestiegen sind. Zum Schluss nähern sich alle Graphen asymptotisch der $x$-Achse an.
Übertragen auf den Sachzusammenhang bedeutet das:
  • In den ersten Monaten legen die Welpen immer schneller an Gewicht zu.
  • Bis sie spätestens im 5. Lebensmonat die höchste Gewichtszunahme erreichen.
  • Danach nimmt die Gewichtszunahme immer weiter ab.
  • Nach ca. 12 bis 18 Monaten hat sich die Gewichtszunahme weitestgehend dem Wert Null angenähert, sodass die Welpen ihr Endgewicht in etwa erreicht haben.
4.2 $\blacktriangleright$ Funktion für das Wachstum der Schäferhunde bestimmen
Du hast in der Aufgabenstellung explizit die Information gegeben, dass der Graph der Funktion $w(t)$, die das Wachstum der Schäferhunde annähernd beschreiben soll, den gleichen Hochpunkt besitzen soll wie der Graph $S$ aus Material 3. Dieser Hochpunkt liegt bei $\boldsymbol{H(3\mid 165)}$.
Forme also die Funktion $g_k$ durch ein passend gewähltes $k$ und entsprechende Streckungs- bzw. Stauchungsfaktoren um, sodass sie den Hochpunkt $H(3\mid165)$ besitzt.
Berechne dazu zunächst die Hochpunkte $G(x_G\mid y_G)$ der Graphen von $g_k$ und bestimme anhand denen das passende $k$, sodass $y_G = 165$ gilt. Bestimme anschließend, wenn nötig, noch einen Stauchungsfaktor um $x_G = 3$ zu erhalten
$\blacktriangleright$ 1. Schritt: Koordinaten der Hochpunkte des Graphen von $\boldsymbol{g_k}$ berechnen
Hierzu reicht es aus, die Extremstellen mit Hilfe der notwendigen Bedingung zu bestimmen. Bilde dazu die erste Ableitungsfunktion von $g_k$ mit Hilfe der Produktregel und setze anschließend gleich Null.
Die Produktregel lautet:
$\begin{array}{rl} f=& u(x) \cdot v(x) \\ f'(x) =& u'(x)\cdot v(x) + u(x)\cdot v'(x) \end{array}$
Damit ergibt sich:
$\begin{array}{rl} g_k'(x)=&1\cdot\mathrm e^{k-x}+x\cdot(-1)\cdot\mathrm e^{k-x} \\ =&(1-x)\cdot\mathrm e^{k-x} \end{array}$
Gleichsetzen ergibt dann die Extremstelle:
$\begin{array}{rll} 0=&(1-x_G)\cdot\mathrm e^{k-x_G}&\scriptsize \mid\; \cdot \mathrm e^{k-x_G} \\ 0=&1-x_G&\scriptsize \mid\;+x_G \\ x_G=&1 \end{array}$
$\begin{array}{rl} 0=&(1-x_G)\cdot\mathrm e^{k-x_G} \\ 0=&1-x_G \\ x_G=&1 \end{array}$
Setze nun die Extremstelle $x_G$ in den Funktionsterm von $g_k$ ein, um $y_G$ zu berechnen:
$\begin{array}{rl} g_k(x_G)=&g_k(1) =&1\cdot\mathrm e^{k-1} =&\mathrm e^{k-1} \end{array}$
Damit lauten die Koordinaten der Hochpunkte der Graphen von $g_k$ $G(1\mid \mathrm e^{k-1})$
$\blacktriangleright$ 2. Schritt: Passendes $\boldsymbol{k}$ berechnen
Du weißt nun, dass der Hochpunkt des Graphen von $w$ die $y$-Koordinate $165$ besitzen soll. Berechne also das passende $k$ durch Gleichsetzen von $y_G = 165$:
$\begin{array}{rll} 165=&\mathrm e^{k-1}&\scriptsize \mid\; \ln \\ \ln(165)=& k-1&\scriptsize \mid\; +1 \\ \ln(165)+1=&k \\ 6,11 \approx&k \end{array}$
$\begin{array}{rl} 165=&\mathrm e^{k-1} \\ \ln(165)=& k-1 \\ \ln(165)+1=&k \\ 6,11 \approx&k \end{array}$
Damit der Hochpunkt des Graphen von $g_k$ die $y$-Koordinate $165$ besitzt, muss also $k \approx 6,11$ gelten.
$\blacktriangleright$ 3. Schritt: Streckung/Stauchung
Nun liegt der Hochpunkt noch an der Stelle $x_G = 1$ und nicht bei $x = 3$. Um dies zu erreichen, muss der Graph von $g_{6,11}$ in $x$-Richtung gestreckt werden. Und zwar so, dass der Extrempunkt statt bei $x =1$ an der Stelle $x = 3$ liegt. Es muss also gelten:
$w(3) $$= g_{6,11}(1)$
Dies bewirkt der Streckungsfaktor $\frac{1}{3}$ vor dem $x$.
Damit ist nun insgesamt
$w(x) $$= g_{6,11}\left(\frac{1}{3}\cdot x\right)$$= \frac{1}{3}\cdot x\cdot\mathrm e^{6,11-\frac{1}{3}\cdot x}$.
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