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Aufgaben
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Gegeben ist die Funktionenschar $g_a$ mit $g_a(x) = \sqrt{a\cdot x\cdot \mathrm e^{-x}+0,1\cdot a}\quad$ $(a,x\in \mathbb{R}; a> 0; x\geq -0,09).$ Die Graphen aller Funktionen dieser Schar haben an der Stelle $x=1$ einen Hochpunkt.
#funktionenschar
1.1
Bestätige durch eine Rechnung, dass für jede Funktion der Schar $x=1$ eine Extremstelle ist.
Hinweis: Die Untersuchung der notwendigen Bedingung ist ausreichend.
(6 BE)
#extrempunkt#notwendigeskriteriumfürextrema
1.2
Berechne, für welchen Wert des Parameters $a$ der Graph der zugehörigen Funktion der Schar durch den Punkt $H(1\mid a)$ verläuft.
(4 BE)
2.
Bestimme die Asymptote der Graphen von $g_a$ für $x\to \infty$.
(3 BE)
#asymptote
3.
Zeige durch partielle Integration, dass
$G_a(x) = a\cdot (-x-1)\cdot \mathrm e^{-x} + 0,1\cdot a\cdot x$
$G_a(x) =$ $a\cdot (-x-1)\cdot \mathrm e^{-x} + 0,1\cdot a\cdot x$
eine Stammfunktion von $(g_a(x))^2$ ist.
(8 BE)
#stammfunktion#partielleintegration
4.
Alle Funktionen der Schar haben genau eine Nullstelle. Zeige unter Verwendung einer Rechnung, dass alle Funktionen der Schar die gleiche Nullstelle haben.
Hinweis: Die Nullstelle muss nicht ermittelt werden.
(4 BE)
#nullstelle
5.
Eine Firma möchte ein neues Likörglas ähnlich wie das in Material 1 dargestellte produzieren. Es soll einen massiven Stiel erhalten. In Material 2 ist die obere Hälfte der Querschnittsfläche des um $90^{\circ}$ nach rechts gekippten Glases (ohne Stiel) abgebildet ($1\,\text{LE}$ entspricht $1\,\text{cm}$). Durch Rotation des Graphen von $g_{20}$ um die $x$-Achse im Intervall $I= \left[-0,09; 9\right]$ entsteht der Glaskörper des Likörglases. Die Dicke des Glases ist dabei nicht zu berücksichtigen.
5.1
Berechne das Volumen und den maximalen Umfang des Glaskörpers.
(7 BE)
5.2
Der Hersteller möchte auf dem Glas eine Markierung für die Mengenangabe „$2\,\text{cl}$“ ($20\,\text{cm}^3$) anbringen. Entwickle unter Angabe einer Stammfunktion einen rechnerischen Ansatz zur Ermittlung der Stelle, an der die Markierung angebracht werden muss. Das Ergebnis soll nicht ermittelt werden.
(3 BE)
#stammfunktion
6.
Betrachtet man die Fläche in Material 3, so ergibt sich für die grüne Fläche $A_1\approx 2,75\,\text{cm}^2$ und für die schraffierte Fläche $A_2\approx 2,84\,\text{cm}^2$. Bei Rotation des Graphen der zugehörigen Randfunktionen $g_{20}$ und $f$ in den entsprechenden Intervallen um die $x$-Achse erhält man für die Volumina der zugehörigen Rotationskörper
$V_1 \approx 23,18\,\text{cm}^3 > V_2 \approx 18,22\,\text{cm}^3$,
$V_1 \approx 23,18\,\text{cm}^3 $ $> V_2 \approx 18,22\,\text{cm}^3$,
obwohl $A_1 < A_2$ gilt.
Erkläre dieses Phänomen.
(5 BE)
#rotationsvolumen
Material 1
Material 2
Material 3
Bildnachweise [nach oben]
[1]
Public Domain.
[2],[3]
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Tipps
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1.1
$\blacktriangleright$  Extremstelle bestätigen
Du sollst durch eine Rechnung bestätigen, dass $x=1$ für jede Funktion $g_a$ eine Extremstelle ist. Dabei ist die Untersuchung der notwendigen Bedingung ausreichend.
Die notwendige Bedingung für Extremstellen $x_E$ lautet $f'(x_E) =0$. Überprüfe diese, indem du zunächst die erste Ableitung $g_a'$ von $g_a$ bildest und anschließend $g_a'(x)=0$ nach $x$ löst.
1.2
$\blacktriangleright$  Parameterwert bestimmen
Setze die Koordinaten von $H(1\mid a)$ in die Funktionsgleichung von $g_a$ ein und löse nach $a$ auf.
2.
$\blacktriangleright$  Asymptote bestimmen
Gesucht ist die Asymptote der Graphen von $g_a$ für $x \to \infty$, also die Funktion, deren Graph sich der Graph von $g_a$ für $x\to \infty$ immer mehr annähert.
Bestimme dazu den Grenzwert $\lim\limits_{x\to\infty}g_a(x)$.
3.
$\blacktriangleright$  Stammfunktion nachweisen
Mit Hilfe der partiellen Integration sollst du nachweisen, dass
$G_a(x)= a\cdot (-x-1)\cdot \mathrm e^{-x} +0,1\cdot a\cdot x$
$G_a(x)= $ $ a\cdot (-x-1)\cdot \mathrm e^{-x} +0,1\cdot a\cdot x$
eine Stammfunktion von $\left(g_a(x)\right)^2$ ist.
Verwende also die partielle Integration, um die Stammfunktionen von $\left(g_a(x)\right)^2$ zu bestimmen.
4.
$\blacktriangleright$  Nachweisen, dass alle Funktionen der Schar die gleiche Nullstelle haben
Setze dazu $g_a(x)=0$ und forme die Gleichung so weit wie möglich um. Hängt die Gleichung nicht mehr von $a$ ab, besitzen alle Funktionen der Schar die gleiche Nullstelle.
5.1
$\blacktriangleright$  Volumen des Glaskörpers berechnen
Der Glaskörper des Likörglases entsteht durch Rotation des Graphen von $g_{20}$ um die $x$-Achse im Intervall $I=[-0,09;9]$. Das Volumen $V$ eines solchen Rotationskörpers im Intervall $[a;b]$ kannst du mit folgender Formel berechnen:
$V= \pi \cdot \displaystyle\int_{a}^{b}\left(f(x)\right)^2\;\mathrm dx$
$V= \pi \cdot \displaystyle\int_{a}^{b}\left(f(x)\right)^2\;\mathrm dx$
Verwende für die Berechnung des Integrals Ergebnisse aus vorherigen Aufgabenteilen, wie beispielsweise die Stammfunktionen von $\left(g_a(x)\right)^2$.
$\blacktriangleright$  Maximalen Umfang des Glaskörpers berechnen
Der Radius des Glaskörpers wird durch die Funktion $g_{20}$ beschrieben. Den maximalen Umfang nimmt der Glaskörper also an der Stelle an, an der der Funktionswert von $g_{20}$ maximal ist. In Aufgabe 1.1 hast du bestimmt, dass alle Funktionen der Schar $g_a$ nur eine Extremstelle haben, und zwar $x_E=1$. Berechne also an dieser Stelle den Funktionswert von $g_{20}$ und damit den maximalen Radius. Anschließend kannst du den Umfang berechnen.
5.2
$\blacktriangleright$  Rechnerischen Ansatz entwickeln
Gesucht ist die Stelle, bei der ein Volumen von $2\,\text{cl}$, also $20\,\text{cm}^3$ erreicht ist. Ist das Glas bis zur Stelle $t$ gefüllt, kannst du das entsprechende Volumen mit Hilfe eines Rotationsvolumens wie in Aufgabe 5.1 berechnen.
Gesucht ist nun die Stelle $t$, bis zu der das Rotationsvolumen sich zu $V= 20\,\text{cm}^3$ ergibt. Mit der Formel für das Rotationsvolumen ergibt sich ein geeigneter Ansatz.
6.
$\blacktriangleright$  Phänomen erklären
Du sollst das Phänomen erklären, dass das Rotationsvolumen von $f$ im betrachteten Intervall kleiner ist als das Rotationsvolumen von $g_{20}$, obwohl die rotierende Fläche für $f$ größer ist, als für $g_{20}$.
Betrachte dazu die Formel für das Rotationsvolumen und beziehe dies auf die beiden gegebenen Randfunktionen. Überlege dir so, wie das Phänomen zustandekommt.
Bei der Berechnung des Rotationsvolumens wird über den quadrierten Funktionsterm integriert. Die Funktionswerte werden hier also, anders als bei der Berechnung des Flächeninhalts, quadriert.
Veranschaulichen kannst du dir das, wenn du beispielsweise das Rotationsvolumen der Gerade $y = 1$ in einem beliebigen Intervall betrachtest und mit dem Volumen vergleichst, das entsteht, wenn die Fläche zwischen den Geraden zu $y = 4$ und $y =3$ um die $x$-Achse rotiert. Der Flächeninhalt der rotierenden Fläche ist in beiden Fällen gleich. Beim Rotationsvolumen muss aber das Rotationsvolumen von beiden Geraden getrennt und am Schluss subtrahiert werden:
$V = \displaystyle\int_{a}^{b}4^2\;\mathrm dx - \displaystyle\int_{a}^{b}3^2\;\mathrm dx =\displaystyle\int_{a}^{b}\left(4^2-3^2\right)\;\mathrm dx = \displaystyle\int_{a}^{b}7\;\mathrm dx$
$ V = … $
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Lösungen
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1.1
$\blacktriangleright$  Extremstelle bestätigen
Du sollst durch eine Rechnung bestätigen, dass $x=1$ für jede Funktion $g_a$ eine Extremstelle ist. Dabei ist die Untersuchung der notwendigen Bedingung ausreichend.
Die notwendige Bedingung für Extremstellen $x_E$ lautet $f'(x_E) =0$. Überprüfe diese, indem du zunächst die erste Ableitung $g_a'$ von $g_a$ bildest und anschließend $g_a'(x)=0$ nach $x$ löst.
1. Schritt: Ableitung bilden
Verwende die Ketten- und die Produktregel.
$\begin{array}[t]{rll} g_a(x)&=&\sqrt{a\cdot x\cdot \mathrm e^{-x} +0,1\cdot a} \\[5pt] &=&\left(a\cdot x\cdot \mathrm e^{-x} +0,1\cdot a\right)^{\frac{1}{2}} \\[10pt] g_a'(x)&=&\frac{1}{2}\cdot \left(a\cdot x\cdot \mathrm e^{-x} +0,1a\right)^{-\frac{1}{2}}\cdot \left(a\cdot x\cdot (-1) \cdot \mathrm e^{-x} +a\cdot \mathrm e^{-x}\right) \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{\sqrt{a\cdot x\cdot \mathrm e^{-x} + 0,1a}} \cdot (-x+1)\cdot a\cdot \mathrm e^{-x} \\[5pt] &=& \dfrac{(-x+1)\cdot a\cdot \mathrm e^{-x}}{2\sqrt{a\cdot x\cdot \mathrm e^{-x} +0,1a}} \\[5pt] \end{array}$
$ g_a'(x) = … $
2. Schritt: Notwendige Bedingung anwenden
Setze nun $g_a'(x)=0$:
$\begin{array}[t]{rll} g_a'(x)&=& 0\\[5pt] \dfrac{(-x+1)\cdot a\cdot \mathrm e^{-x}}{2\sqrt{a\cdot x\cdot \mathrm e^{-x} +0,1a}}&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 2\sqrt{a\cdot x\cdot \mathrm e^{-x} +0,1a}\\[5pt] (-x+1)\cdot a\cdot \mathrm e^{-x}&=&0 &\quad \scriptsize \mid\; :\left(a\cdot \mathrm e^{-x}\right) \neq 0 \\[5pt] -x+1&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;+x \\[5pt] 1&=&x \end{array}$
$ x = 1 $
$x=1$ erfüllt die notwendige Bedingung für Extremstellen und ist unabhängig von $a$. Da laut Aufgabenstellung auf den Nachweis der hinreichenden Bedingung verzichtet werden kann, ist $x=1$ für jedes $a\in\mathbb{R}$ mit $a>0$ eine Extremstelle von $g_a$.
1.2
$\blacktriangleright$  Parameterwert bestimmen
Setze die Koordinaten von $H(1\mid a)$ in die Funktionsgleichung von $g_a$ ein und löse nach $a$ auf:
$\begin{array}[t]{rll} g_a(x)&=& \sqrt{a\cdot x\cdot \mathrm e^{-x} +0,1\cdot a} \\[5pt] a&=& \sqrt{a\cdot 1\cdot \mathrm e^{-1} +0,1\cdot a}\\[5pt] a&=&\sqrt{a\cdot \left(\mathrm e^{-1} + 0,1\right)} &\quad \scriptsize \mid\;^2 \\[5pt] a^2&=& a\cdot\left(\mathrm e^{-1} + 0,1\right) &\quad \scriptsize \mid\;- a^2 \\[5pt] 0&=&-a^2 +a\cdot\left(\mathrm e^{-1} + 0,1\right) \\[5pt] 0&=&a\cdot \left(-a + \mathrm e^{-1} + 0,1\right) &\quad \scriptsize \mid\;a_1 =0 \\[5pt] 0&=& -a_2 + \mathrm e^{-1} + 0,1&\quad \scriptsize \mid\; +a \\[5pt] a_2&=& \mathrm e^{-1} + 0,1 \\[5pt] &\approx& 0,47 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} a_1&=& 0 \\[5pt] a_2&\approx& 0,47 \\[5pt] \end{array}$
Die Gleichung $g_a(1)=a$ hat zwei Lösungen $a_1 = 0$ und $a_2 \approx 0,47$. Da $a> 0$ gefordert ist, ist der gesuchte Wert $a \approx 0,47$, für den der Graph von $g_a$ durch den Punkt $H(1\mid a)$ verläuft.
2.
$\blacktriangleright$  Asymptote bestimmen
Gesucht ist die Asymptote der Graphen von $g_a$ für $x \to \infty$, also die Funktion, deren Graph sich der Graph von $g_a$ für $x\to \infty$ immer mehr annähert.
Bestimme dazu den Grenzwert $\lim\limits_{x\to\infty}g_a(x)$.
$\begin{array}[t]{rll} \lim\limits_{x\to\infty}g_a(x)&=& \lim\limits_{x\to\infty}\sqrt{a\cdot x\cdot \mathrm e^{-x}+0,1\cdot a}&\quad \scriptsize \mid\; \lim\limits_{x\to\infty} \left(x\cdot \mathrm e^{-x}\right) = 0 \\[5pt] &=& \sqrt{0+0,1a} \\[5pt] &=& \sqrt{0,1a}\\[5pt] \end{array}$
$ \lim\limits_{x\to\infty}g_a(x) = \sqrt{0,1a}$
Die Graphen von $g_a$ nähern sich für $x\to \infty$ der Asymptote $y = \sqrt{0,1a}$ an.
3.
$\blacktriangleright$  Stammfunktion nachweisen
Mit Hilfe der partiellen Integration sollst du nachweisen, dass
$G_a(x)= a\cdot (-x-1)\cdot \mathrm e^{-x} +0,1\cdot a\cdot x$
$G_a(x)= $ $ a\cdot (-x-1)\cdot \mathrm e^{-x} +0,1\cdot a\cdot x$
eine Stammfunktion von $\left(g_a(x)\right)^2$ ist.
Verwende also die partielle Integration, um die Stammfunktionen von $\left(g_a(x)\right)^2$ zu bestimmen.
$\displaystyle\int_{a}^{b}\left(f(x) \cdot g'(x)\right)\;\mathrm dx = \left[f(x)\cdot g(x)\right]_a^b- \displaystyle\int_{a}^{b}f'(x)\cdot g(x)\;\mathrm dx$
$ \displaystyle\int_{a}^{b}\left(f(x) \cdot g'(x)\right)\;\mathrm dx =… $
$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int\left(g_a(x)\right)^2\;\mathrm dx&=& \displaystyle\int \left(\sqrt{a\cdot x\cdot \mathrm e^{-x} +0,1\cdot a}\right)^2\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \displaystyle\int \left(a\cdot x\cdot \mathrm e^{-x} +0,1\cdot a\right)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \displaystyle\int \left(a\cdot x\cdot \mathrm e^{-x}\right)\;\mathrm dx + \displaystyle\int \left(0,1\cdot a\right)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \displaystyle\int \left(a\cdot x\cdot \mathrm e^{-x}\right)\;\mathrm dx + 0,1\cdot a\cdot x \\[5pt] &=& a\cdot x\cdot (-1)\cdot\mathrm e^{-x}- \displaystyle\int \left(a\cdot(-1)\cdot \mathrm e^{-x}\right)\;\mathrm dx +0,1\cdot a\cdot x \\[5pt] &=& -a\cdot x\cdot\mathrm e^{-x}+ \displaystyle\int \left(a\cdot \mathrm e^{-x}\right)\;\mathrm dx +0,1\cdot a\cdot x \\[5pt] &=& -a\cdot x\cdot\mathrm e^{-x}+ a\cdot (-1)\cdot \mathrm e^{-x} +0,1\cdot a\cdot x +C \\[5pt] &=&a\cdot (-x-1)\cdot \mathrm e^{-x} +0,1\cdot a\cdot x +C\\[5pt] \end{array}$
$ \displaystyle\int\left(g_a(x)\right)^2\;\mathrm dx = … $
Für $C=0$ ist also
$G_a(x)= a\cdot (-x-1)\cdot \mathrm e^{-x} +0,1\cdot a\cdot x$
$G_a(x)= $ $a\cdot (-x-1)\cdot \mathrm e^{-x} +0,1\cdot a\cdot x$
eine Stammfunktion von $\left(g_a(x)\right)^2$.
4.
$\blacktriangleright$  Nachweisen, dass alle Funktionen der Schar die gleiche Nullstelle haben
Setze dazu $g_a(x)=0$ und forme die Gleichung so weit wie möglich um. Hängt die Gleichung nicht mehr von $a$ ab, besitzen alle Funktionen der Schar die gleiche Nullstelle.
$\begin{array}[t]{rll} 0&=&\sqrt{a\cdot x\cdot \mathrm e^{-x} +0,1\cdot a} &\quad \scriptsize \mid\;^2 \\[5pt] 0&=& a\cdot x\cdot \mathrm e^{-x} +0,1\cdot a&\quad \scriptsize \mid\; :a > 0 \\[5pt] 0&=& x\cdot \mathrm e^{-x} +0,1\\[5pt] \end{array}$
$ 0 = x\cdot \mathrm e^{-x} +0,1 $
Diese Gleichung hängt nicht mehr von $a$ ab und hat laut Aufgabenstellung genau eine Lösung. Alle Funktionen $g_a$ haben also die gleiche Nullstelle.
5.1
$\blacktriangleright$  Volumen des Glaskörpers berechnen
Der Glaskörper des Likörglases entsteht durch Rotation des Graphen von $g_{20}$ um die $x$-Achse im Intervall $I=[-0,09;9]$. Das Volumen $V$ eines solchen Rotationskörpers im Intervall $[a;b]$ kannst du mit folgender Formel berechnen:
$V= \pi \cdot \displaystyle\int_{a}^{b}\left(f(x)\right)^2\;\mathrm dx$
$V= \pi \cdot \displaystyle\int_{a}^{b}\left(f(x)\right)^2\;\mathrm dx$
Verwende für die Berechnung des Integrals Ergebnisse aus vorherigen Aufgabenteilen, wie beispielsweise die Stammfunktionen von $\left(g_a(x)\right)^2$.
$\begin{array}[t]{rll} V&=& \pi \cdot \displaystyle\int_{-0,09}^{9}\left(g_{20}(x)\right)^2\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \pi \cdot \left[ 20\cdot \left(-x-1\right)\cdot \mathrm e^{-x} + 0,1\cdot 20\cdot x\right]_{-0,09}^9 \\[5pt] &=& \pi \cdot \left[ \left(-20x-20\right)\cdot \mathrm e^{-x} + 2\cdot x\right]_{-0,09}^9 \\[5pt] &=& \pi \cdot\left( \left(-20\cdot 9-20\right)\cdot \mathrm e^{-9} + 2\cdot 9 -\left(\left(-20\cdot (-0,09)-20\right)\cdot \mathrm e^{-(-0,09)} + 2\cdot (-0,09)\right) \right)\\[5pt] &=& \pi \cdot\left( -200\cdot \mathrm e^{-9} + 18 -\left(-18,2\cdot \mathrm e^{0,09} -0,18\right) \right) \\[5pt] &=& \pi \cdot\left( -200\cdot \mathrm e^{-9} + 18 +18,2\cdot \mathrm e^{0,09} +0,18\right)\\[5pt] &=& \pi \cdot\left( -200\cdot \mathrm e^{-9} + 18,2\cdot \mathrm e^{0,09}+ 18,18 \right) \\[5pt] &\approx& 119,6 \,\left[\text{cm}^3\right] \\[5pt] \end{array}$
$ V\approx 119,6 \,\left[\text{cm}^3\right] $
Der Glaskörper hat ein Volumen von ca. $119,6\,\text{cm}^3$.
$\blacktriangleright$  Maximalen Umfang des Glaskörpers berechnen
Der Radius des Glaskörpers wird durch die Funktion $g_{20}$ beschrieben. Den maximalen Umfang nimmt der Glaskörper also an der Stelle an, an der der Funktionswert von $g_{20}$ maximal ist. In Aufgabe 1.1 hast du bestimmt, dass alle Funktionen der Schar $g_a$ nur eine Extremstelle haben, und zwar $x_E=1$. Berechne also an dieser Stelle den Funktionswert von $g_{20}$ und damit den maximalen Radius. Anschließend kannst du den Umfang berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} r&=& g_{20}(1) \\[5pt] &=& \sqrt{20\cdot 1\cdot \mathrm e^{-1}+0,1\cdot 20} \\[5pt] &=& \sqrt{20\cdot \mathrm e^{-1}+2} \\[5pt] \end{array}$
$ r = \sqrt{20\cdot \mathrm e^{-1}+2} $
Der maximale Umfang ergibt sich daher wie folgt:
$\begin{array}[t]{rll} U&=& 2\cdot \pi \cdot r \\[5pt] &=& 2\cdot \pi \cdot \sqrt{20\cdot \mathrm e^{-1}+2} \\[5pt] &\approx& 19,22 \,[\text{cm}]\\[5pt] \end{array}$
$ U \approx 19,22 \,[\text{cm}] $
Der maximale Umfang des Glaskörpers beträgt ca. $19,22\,\text{cm}$.
#rotationsvolumen
5.2
$\blacktriangleright$  Rechnerischen Ansatz entwickeln
Gesucht ist die Stelle, bei der ein Volumen von $2\,\text{cl}$, also $20\,\text{cm}^3$ erreicht ist. Ist das Glas bis zur Stelle $t$ gefüllt, kannst du das entsprechende Volumen mit Hilfe eines Rotationsvolumens wie in Aufgabe 5.1 berechnen.
Gesucht ist nun die Stelle $t$, bis zu der das Rotationsvolumen sich zu $V= 20\,\text{cm}^3$ ergibt. Mit der Formel für das Rotationsvolumen ergibt sich ein geeigneter Ansatz.
Die Stelle $t$, an der die Markierung gesetzt werden sollte, kann mit folgendem Ansatz berechnet werden:
$\begin{array}[t]{rll} 20&=& V\\[5pt] 20&=& \pi \cdot \displaystyle\int_{-0,09}^{t}\left(g_{20}(x)\right)^2\;\mathrm dx \\[5pt] 20&=& \pi \cdot \left[20\cdot (-x-1)\cdot \mathrm e^{-x} + 0,1\cdot 20 \cdot x\right]_{-0,09}^t\\[5pt] 20&=& \pi \cdot \left[20\cdot (-x-1)\cdot \mathrm e^{-x} + 2\cdot x\right]_{-0,09}^t \\[5pt] \end{array}$
$ 20 = … $
6.
$\blacktriangleright$  Phänomen erklären
Du sollst das Phänomen erklären, dass das Rotationsvolumen von $f$ im betrachteten Intervall kleiner ist als das Rotationsvolumen von $g_{20}$, obwohl die rotierende Fläche für $f$ größer ist, als für $g_{20}$.
Betrachte dazu die Formel für das Rotationsvolumen und beziehe dies auf die beiden gegebenen Randfunktionen. Überlege dir so, wie das Phänomen zustandekommt.
Bei der Berechnung des Rotationsvolumens wird über den quadrierten Funktionsterm integriert. Die Funktionswerte werden hier also, anders als bei der Berechnung des Flächeninhalts, quadriert.
Veranschaulichen kannst du dir das, wenn du beispielsweise das Rotationsvolumen der Gerade $y = 1$ in einem beliebigen Intervall betrachtest und mit dem Volumen vergleichst, das entsteht, wenn die Fläche zwischen den Geraden zu $y = 4$ und $y =3$ um die $x$-Achse rotiert. Der Flächeninhalt der rotierenden Fläche ist in beiden Fällen gleich. Beim Rotationsvolumen muss aber das Rotationsvolumen von beiden Geraden getrennt und am Schluss subtrahiert werden:
$V = \displaystyle\int_{a}^{b}4^2\;\mathrm dx - \displaystyle\int_{a}^{b}3^2\;\mathrm dx =\displaystyle\int_{a}^{b}\left(4^2-3^2\right)\;\mathrm dx = \displaystyle\int_{a}^{b}7\;\mathrm dx$
$ V = … $
Die Erklärung lautet demnach:
Bei der Berechnung des Rotationsvolumens werden die Funktionswerte vor der Integration quadriert, dies geschieht bei der Berechnung des Flächeninhalts nicht.
Große Abweichungen der Funktionswerte nach oben haben daher einen größeren Einfluss auf das Volumen als auf den Flächeninhalt.
Bei Graphen, die mit einem größeren Radius um die $x$-Achse rotieren, ergibt sich ein größeres Volumen als bei Graphen die näher an der $x$-Achse liegen.
Der Graph von $g_{20}$ liegt beispielsweise im Bereich zwischen $x=0$ und $x=1$ deutlich über dem Graphen von $f$. Im Ausgleich dafür schließt der Graph von $f$ im Bereich zwischen ungefähr $x = -0,9$ und $-0,09$ eine Fläche mit der $x$-Achse im positiven Bereich ein, sodass der Flächeninhalt der rotierenden Fläche von $f$ insgesamt größer ist, als der von $g_{20}$. Diese Fläche liegt aber im Vergleich zu der zusätzlichen Fläche von $g_{20}$ deutlich näher an der $x$-Achse und hat damit auf das Volumen einen geringeren Einfluss. Somit ergibt sich für den Graphen $g_{20}$ insgesamt ein größeres Volumen für die Rotation um die $x$-Achse als für den Graphen von $f$.
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