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B1 - Analytische Geometrie

Aufgaben
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Eine Radarstation bewacht die Bewegung eines Flugzeugs. Die Bewegung kann modellhaft in einem kartesischen Koordinatensystem dargestellt werden, dessen $x$-$y$-Ebene die Horizontale beschreibt; eine Längeneinheit entspricht einem Kilometer in der Realität. Der Standort der Radarstation wird durch den Punkt $R(18 \mid 0\mid -1)$ beschrieben.
Zu Beginn der Beobachtung um $14.00$ Uhr wird die Position des Flugzeugs durch den Punkt $A(0\mid 0\mid 0)$ beschrieben. Anschließend bewegt sich das Flugzeug im Modell entlang einer Geraden durch den Punkt $B(8\mid 4\mid 1)$, der die Position um $14.02$ Uhr darstellt. Ab $14.14$ Uhr fliegt das Flugzeug in gleicher Himmelsrichtung horizontal weiter; im Modell bleibt es dabei in der Ebene, die die Punkte $A$ und $B$ enthält und zur $x$-$y$-Ebene senkrecht steht. Im Folgenden soll davon ausgegangen werden, dass das Flugzeug von $14.00$ Uhr bis $14.14$ Uhr mit konstanter Geschwindigkeit fliegt.
1.1
Berechne für die Zeit bis $14.14$ Uhr den Steigungswinkel der Flugbahn gegenüber der Horizontalen. Gib die Koordinaten des Punkts an, der die Position des Flugzeugs um $14.10$ Uhr darstellt.
(4 BE)
1.2
Die Abbildung im Material zeigt schematisch die Flugbahn des Flugzeugs sowie die Horizontale. Skizziere die Positionen des Flugzeugs zu den Zeitpunkten $14.02$ Uhr und $14.10$ Uhr in das Material.
(2 BE)
1.3
Ermittle für die Zeit bis $14.14$ Uhr die Geschwindigkeit des Flugzeugs in Kilometer pro Stunde.
(2 BE)
1.4
Gib eine Gleichung der Strecke an, die die Flugbahn von $14.00$ Uhr bis $14.14$ Uhr beschreibt.
(2 BE)
2.
Zu einem bestimmten Zeitpunkt zwischen $14.00$ Uhr und $14.14$ Uhr ist die Entfernung des Flugzeugs von der Radarstation am geringsten. Die bis dahin seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit soll in Minuten bestimmt werden. Dafür werden zwei verschiedene Lösungsansätze $\text{I}$ und $\text{II}$ betrachtet:
$\begin{array}{} \text{II}\quad& \pmatrix{8\\4\\1}\circ \pmatrix{18-8t\\-4t\\-1-t} = 0 \\ \end{array}$
2.1
Erläutere die beiden Lösungsansätze im Sachzusammenhang.
(4 BE)
2.2
Berechne die geringste Entfernung des Flugzeugs von der Radarstation, indem du einen der beiden Ansätze bis zur Lösung fortsetzt.
(4 BE)
3.
Ist das Flugzeug mehr als $70\,\text{km}$ von der Radarstation entfernt, so kann es von dieser nicht mehr erfasst werden. Die Position, an der das Flugzeug nach $14.14$ Uhr den Erfassungsbereich der Radarstation verlässt, wird im Modell durch einen Punkt dargestellt.
Entwickle einen rechnerischen Ansatz zur Ermittlung der Koordinaten dieses Punkts.
(4 BE)
4.
Das Flugzeug überfliegt eine geneigte Hangfläche, die in der Ebene $E$ mit $E: \; -x+25z = 0 $ liegt. Durch das Sonnenlicht wirft das Flugzeug um $14.02$ Uhr einen Schatten auf die Hangfläche. Diese Parallelprojektion wird durch folgende Matrix beschrieben:
$P = \pmatrix{1&0&0\\ -\frac{1}{75} & 1&\frac{1}{3} \\ \frac{1}{25} & 0 & 0}$
4.1
Berechne mithilfe der Matrix $P$ den Schattenpunkt des Flugzeugs um $14.02$ Uhr.
(3 BE)
4.2
Zeige rechnerisch, dass die Ebene $E$ die Fixpunktmenge der durch die Matrix $P$ beschriebenen Abbildung ist.
(5 BE)
#fixpunkt
Material
Bildnachweise [nach oben]
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1.1
$\blacktriangleright$  Steigungswinkel berechnen
Gesucht ist der Steigungswinkel der Flugbahn für die Zeit bis $14.14$ Uhr gegenüber der Horizontalen. Die Flugbahn kann als Gerade $g$ modelliert werden, die Horizontale wird durch die $x$-$y$-Ebene beschrieben. Bestimme also die Größe des Schnittwinkels $\alpha$ zwischen der $x$-$y$-Ebene und der Gerade $g$ mit folgender Formel:
$\sin \alpha = \dfrac{\left|\overrightarrow{n}\circ \overrightarrow{r}\right|}{\left|\overrightarrow{n}\right|\cdot \left|\overrightarrow{r}\right|}$
$\sin \alpha = \dfrac{\left|\overrightarrow{n}\circ \overrightarrow{r}\right|}{\left|\overrightarrow{n}\right|\cdot \left|\overrightarrow{r}\right|}$
Dabei ist $\overrightarrow{r}$ ein Richtungsvektor von $g$ und $\overrightarrow{n}$ ein Normalenvektor der Ebene.
$\blacktriangleright$  Koordinaten der Position berechnen
Das Flugzeug fliegt die gesamte Zeit mit konstanter Geschwindigkeit. Nach zwei Minuten befindet es sich um $14.02$ Uhr im Punkt $B$. Es hat in zwei Minuten also einmal den Weg von $A$ nach $B$ zurückgelegt. Es fliegt anschließend mit gleicher Geschwindigkeit in gleicher Richtung weiter.
Von $14.00$ Uhr bis $14.10$ hat das Flugzeug fünfmal so viel Zeit. Du kannst also fünfmal den Verbindungsvektor $\overrightarrow{AB}$ auf den Ortsvektor von $A$ addieren. So erhältst du den Ortsvektor des Punktes $P$ der Position um $14.10$ Uhr.
1.2
$\blacktriangleright$  Positionen einzeichnen
Du sollst die Positionen einzeichnen, an denen sich das Flugzeug um $14.02$ Uhr und $14.10$ Uhr befindet. Beachte dabei folgende Dinge:
  • Der Startpunkt $A$ zum Zeitpunkt $14.00$ Uhr liegt in der Horizontalen.
  • Bis um $14.14$ Uhr fliegt das Flugzeug in gleichbleibender Richtung. Dann ändert es seine Richtung und fliegt parallel zur Horizontalen weiter.
  • Das Flugzeug fliegt mit konstanter Geschwindigkeit. In zwei Minuten legt das Flugzeug also wieder eine Strecke der Länge der Strecke zwischen $A$ und $B$ zurück.
Trage zur Hilfe den Anfangs- und den Endpunkt ein. Zwischen den beiden Punkten liegen $14$ Minuten, in denen das Flugzeug insgesamt siebenmal die Strecke von $A$ nach $B$ zurücklegen kann. Teile diese Strecke also in sieben Einheiten ein. Am Ende der ersten befindet sich der Punkt $B$, also das Flugzeug zur Zeit $14.02$ Uhr. Weitere vier Einheiten hat das Flugzeug um $14.10$ Uhr zurückgelegt.
1.3
$\blacktriangleright$  Geschwindigkeit ermitteln
Um die Geschwindigkeit bis $14.14$ Uhr zu berechnen, berechne die Länge der Strecke $s$, die das Flugzeug in zwei Minuten zurücklegt. Dies entspricht der Strecke zwischen $A$ und $B$.
Berechne also die Länge der Strecke zwischen $A$ und $B$ über den Betrag des Verbindungsvektors $\overrightarrow{AB}$.
1.4
$\blacktriangleright$  Gleichung angeben
Gesucht ist eine Gleichung der Strecke, die die Flugbahn von $14.00$ Uhr bis $14.14$ Uhr beschreibt.
Zu dieser Zeit fliegt das Flugzeug entlang der Gerade, die durch die beiden Puntke $A$ und $B$ verläuft. Stelle also eine Gleichung dieser Gerade auf. Bestimme anschließend ein Intervall für den Parameter der Gerade, für welches der zugehörige Geradenabschnitt die gesuchte Strecke beschreibt.
Wähle als Stützpunkt $A$ und als Richtungsvektor den Verbindungsvektor $\overrightarrow{AB}$.
2.1
$\blacktriangleright$  Lösungsansatz $\boldsymbol{\text{I}}$ im Sachzusammenhang erläutern
Beide Lösungsansätze sind dazu gedacht, die Zeit zu berechnen, die das Flugzeug von Beobachtungsbeginn an benötigt, um zu dem Punkt zu gelangen, der der Radarstation am nächsten liegt.
Im ersten Lösungsansatz wird eine Funktion für den Abstand zwischen zwei Punkten aufgestellt. Überlege dir, um welche Punkte es sich handelt und was die zweite Gleichung zu bedeuten hat.
$\blacktriangleright$  Lösungsansatz $\boldsymbol{\text{II}}$ im Sachzusammenhang erläutern
Im zweiten Lösungsansatz wird das Skalarprodukt zweier Vektoren mit Null gleichgesetzt. Überlege dir, um welche Vektoren es sich dabei handelt und welche Bedeutung es hat, wenn das Skalarprodukt Null ist.
2.2
$\blacktriangleright$  Geringste Entfernung bestimmen
Zur Bestimmung der geringsten Entfernung soll einer der beiden Lösungsansätze aus der Aufgabenstellung verwendet werden
$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Ansatz $\boldsymbol{\text{I}}$
Bestimme das Minimum der Abstandsfunktion $d$. Dafür müssen die beiden folgenden Kriterien erfüllt sein:
  • Notwendiges Kriterium: $\, d'(t)=0$
  • Hinreichendes Kriterium: $\, d''(t)> 0$
Du kannst also wie folgt vorgehen:
  1. Bestimme die ersten beiden Ableitungsfunktionen $d'$ und $d''$.
  2. Wende das notwendige Kriterium an, indem du $d'(t)=0$ setzt und nach $t$ löst.
  3. Überprüfe das hinreichende Kriterium, indem du die Lösung aus 2. in $d''(t)$ einsetzt.
  4. Berechne die Funktionswerte von $d$ an der Minimalstelle, um die Entfernung zu berechnen
$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Ansatz $\boldsymbol{\text{II}}$
Berechne die Lösung der Gleichung für $t$ und setze diesen Wert anschließend in die Gleichung der Strecke aus Teil 1.4 ein, um die Koordinaten des Lotfußpunktes auf der Gerade zu berechnen.
Berechne anschließend den Abstand zwischen dem Lotfußpunkt und dem Punkt $R$ der Radarstation.
3.
$\blacktriangleright$  Rechnerischen Ansatz ermitteln
Gesucht ist ein rechnerischer Ansatz, also eine Gleichung oder ähnliches, mit dem die Koordinaten des Punkts ermittelt werden können, an dem sich das Flugzeug befindet, wenn es nach $14.14$ Uhr einen Abstand von $70\,\text{km}$ zur Radarstation hat.
Beachte dabei, dass das Flugzeug um $14.14$ Uhr seine Richtung ändert. Du kannst wie folgt vorgehen.
  1. Bestimme die Koordinaten des Punkts $C$, in dem sich das Flugzeug um $14.14$ Uhr befindet.
  2. Stelle eine Gleichung der Halbgeraden auf, die die Flugbahn für die Zeit ab $14.14$ Uhr beschreibt.
  3. Stelle den Abstand der Punkte auf der Halbgeraden zum Punkt $R$ der Radarstation in Abhängigkeit des Geradenparameters dar.
  4. Setze den Term für den Abstand mit $70$ gleich.
4.1
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Schattenpunkts berechnen
Um $14.02$ Uhr befindet sich das Flugzeug im Punkt $B$. Dieser Punkt soll mit Hilfe der Matrix $P$ durch eine Parallelprojektion auf einen Punkt $P'$ in der Ebene der Hangfläche abgebildet werden. Dies geschieht, indem du die Matrix $P$, die diese Projektion beschreibt, mit dem Ortsvektor des Punkts $B$, der abgebildet werden soll, multiplizierst.
4.2
$\blacktriangleright$  Fixpunktmenge der Matrix nachweisen
Für einen Fixpunkt $\overrightarrow{x}$ einer von der Matrix $P$ beschriebenen Abbildung muss folgende Gleichung erfüllt sein:
$P\cdot \overrightarrow{x} = \overrightarrow{x}$
$P\cdot \overrightarrow{x} = \overrightarrow{x}$
Forme diese Gleichung für $P$ so um, dass du eine Darstellung für alle Punkte der Fixpunktmenge erhältst.
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1.1
$\blacktriangleright$  Steigungswinkel berechnen
Gesucht ist der Steigungswinkel der Flugbahn für die Zeit bis $14.14$ Uhr gegenüber der Horizontalen. Die Flugbahn kann als Gerade $g$ modelliert werden, die Horizontale wird durch die $x$-$y$-Ebene beschrieben. Bestimme also die Größe des Schnittwinkels $\alpha$ zwischen der $x$-$y$-Ebene und der Gerade $g$ mit folgender Formel:
$\sin \alpha = \dfrac{\left|\overrightarrow{n}\circ \overrightarrow{r}\right|}{\left|\overrightarrow{n}\right|\cdot \left|\overrightarrow{r}\right|}$
$\sin \alpha = \dfrac{\left|\overrightarrow{n}\circ \overrightarrow{r}\right|}{\left|\overrightarrow{n}\right|\cdot \left|\overrightarrow{r}\right|}$
Dabei ist $\overrightarrow{r}$ ein Richtungsvektor von $g$ und $\overrightarrow{n}$ ein Normalenvektor der Ebene.
In der Zeit zwischen $14.00$ Uhr und $14.14$ Uhr fliegt das Flugzeug entlang der Geraden, die durch die Punkte $A$ und $B$ verläuft. Als Richtungsvektor für $g$ kannst du also einen Verbindungsvektor von $A$ und $B$ verwenden:
$\overrightarrow{r} = \pmatrix{8\\4\\1}$
Ein Normalenvektor der $x$-$y$-Ebene ist $\overrightarrow{n} = \pmatrix{0\\0\\1}$.
Setze also ein:
$\begin{array}[t]{rll} \sin \alpha &=&\dfrac{\left|\pmatrix{0\\0\\1}\circ \pmatrix{8\\4\\1}\right|}{\left|\pmatrix{0\\0\\1}\right|\cdot \left|\pmatrix{8\\4\\1}\right|} \\[5pt] \sin \alpha&=&\dfrac{1}{\sqrt{0^2+0^2+1^2}\cdot \sqrt{8^2+4^2+1^2}} \\[5pt] \sin \alpha&=& \dfrac{1}{1\cdot 9}\\[5pt] \sin \alpha&=& \dfrac{1}{9}&\quad \scriptsize \mid\; \sin^{-1} \\[5pt] \alpha&\approx& 6,38^{\circ} \\[5pt] \end{array}$
$ \alpha \approx 6,38^{\circ} $
In der Zeit von $14.00$ Uhr bis $14.14$ Uhr besitzt die Flugbahn gegenüber der Horizontalen einen Steigungswinkel von ca. $6,38^{\circ}$.
$\blacktriangleright$  Koordinaten der Position berechnen
Das Flugzeug fliegt die gesamte Zeit mit konstanter Geschwindigkeit. Nach zwei Minuten befindet es sich um $14.02$ Uhr im Punkt $B$. Es hat in zwei Minuten also einmal den Weg von $A$ nach $B$ zurückgelegt. Es fliegt anschließend mit gleicher Geschwindigkeit in gleicher Richtung weiter.
Von $14.00$ Uhr bis $14.10$ hat das Flugzeug fünfmal so viel Zeit. Du kannst also fünfmal den Verbindungsvektor $\overrightarrow{AB}$ auf den Ortsvektor von $A$ addieren. So erhältst du den Ortsvektor des Punktes $P$ der Position um $14.10$ Uhr.
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OP}&=& \overrightarrow{OA}+ 5\cdot \overrightarrow{AB}\\[5pt] &=& \pmatrix{0\\0\\0}+5\cdot \pmatrix{8\\4\\1} \\[5pt] &=& \pmatrix{40\\20\\5} \end{array}$
$ \overrightarrow{OP} = \pmatrix{40\\20\\5} $
Der Punkt $P(40\mid 20 \mid 5)$ stellt die Position des Flugzeugs um $14.10$ Uhr dar.
#schnittwinkel
1.2
$\blacktriangleright$  Positionen einzeichnen
Du sollst die Positionen einzeichnen, an denen sich das Flugzeug um $14.02$ Uhr und $14.10$ Uhr befindet. Beachte dabei folgende Dinge:
  • Der Startpunkt $A$ zum Zeitpunkt $14.00$ Uhr liegt in der Horizontalen.
  • Bis um $14.14$ Uhr fliegt das Flugzeug in gleichbleibender Richtung. Dann ändert es seine Richtung und fliegt parallel zur Horizontalen weiter.
  • Das Flugzeug fliegt mit konstanter Geschwindigkeit. In zwei Minuten legt das Flugzeug also wieder eine Strecke der Länge der Strecke zwischen $A$ und $B$ zurück.
Trage zur Hilfe den Anfangs- und den Endpunkt ein. Zwischen den beiden Punkten liegen $14$ Minuten, in denen das Flugzeug insgesamt siebenmal die Strecke von $A$ nach $B$ zurücklegen kann. Teile diese Strecke also in sieben Einheiten ein. Am Ende der ersten befindet sich der Punkt $B$, also das Flugzeug zur Zeit $14.02$ Uhr. Weitere vier Einheiten hat das Flugzeug um $14.10$ Uhr zurückgelegt.
Damit ergibt sich folgende Beschriftung:
1.3
$\blacktriangleright$  Geschwindigkeit ermitteln
Um die Geschwindigkeit bis $14.14$ Uhr zu berechnen, berechne die Länge der Strecke $s$, die das Flugzeug in zwei Minuten zurücklegt. Dies entspricht der Strecke zwischen $A$ und $B$.
Berechne also die Länge der Strecke zwischen $A$ und $B$ über den Betrag des Verbindungsvektors $\overrightarrow{AB}$.
$\begin{array}[t]{rll} s&=& \overline{AB} \\[5pt] &=& \left|\overrightarrow{AB}\right| \\[5pt] &=& \sqrt{8^2+4^2+1^2} \\[5pt] &=& 9 \\[5pt] \end{array}$
Eine Längeneinheit entspricht einem Kilometer. In den ersten $2$ Minuten legt das Flugzeug also eine Strecke von $9\,\text{km}$ zurück.
$\begin{array}[t]{rll} v&=&\dfrac{s}{t} \\[5pt] &=& \dfrac{9\,\text{km}}{2\,\text{min}} \\[5pt] &=&\dfrac{270\,\text{km}}{60\,\text{min}} \\[5pt] &=& \dfrac{270\,\text{km}}{1\,\text{h}} \\[5pt] &=& 270 \,\dfrac{\text{km}}{\text{h}} \end{array}$
Bis $14.14$ Uhr fliegt das Flugzeug mit einer Geschwindigkeit von $270\,\frac{\text{km}}{\text{h}}$.
#vektorbetrag
1.4
$\blacktriangleright$  Gleichung angeben
Gesucht ist eine Gleichung der Strecke, die die Flugbahn von $14.00$ Uhr bis $14.14$ Uhr beschreibt.
Zu dieser Zeit fliegt das Flugzeug entlang der Gerade, die durch die beiden Puntke $A$ und $B$ verläuft. Stelle also eine Gleichung dieser Gerade auf. Bestimme anschließend ein Intervall für den Parameter der Gerade, für welches der zugehörige Geradenabschnitt die gesuchte Strecke beschreibt.
Wähle als Stützpunkt $A$ und als Richtungsvektor den Verbindungsvektor $\overrightarrow{AB}$:
$\begin{array}[t]{rll} g: \; \overrightarrow{x}&=& \overrightarrow{OA}+t\cdot \overrightarrow{AB}\\[5pt] \overrightarrow{x} &=& t\cdot \pmatrix{8\\4\\1} \end{array}$
Für $t=0$ wird der Startpunkt $A$ beschrieben. Für $t=7$ wird der Endpunkt zur Zeit $14.14$ Uhr beschrieben. Eine Gleichung, die die Strecke der Flugbahn zwischen $14.00$ Uhr und $14.14$ Uhr beschreibt lautet also:
$g_{AB}: \; \overrightarrow{x} = t\cdot \pmatrix{8\\4\\1},$ $0\leq t\leq 7.$
2.1
$\blacktriangleright$  Lösungsansatz $\boldsymbol{\text{I}}$ im Sachzusammenhang erläutern
Beide Lösungsansätze sind dazu gedacht, die Zeit zu berechnen, die das Flugzeug von Beobachtungsbeginn an benötigt, um zu dem Punkt zu gelangen, der der Radarstation am nächsten liegt.
Im ersten Lösungsansatz wird eine Funktion für den Abstand zwischen zwei Punkten aufgestellt. Überlege dir, um welche Punkte es sich handelt und was die zweite Gleichung zu bedeuten hat.
Im ersten Lösungsansatz wird dazu der Betrag eines Verbindungsvektors betrachtet. Es handelt sich um den Verbindungsvektor zwischen dem Punkt, in dem die Radarstation liegt, und dem allgemeinen Punkt der Gerade $g,$ in welcher die Flugbahn liegt. Dieser Vektorbetrag liefert eine Funktion $d$, die den Abstand des Flugzeugs zur Radarstation in Abhängigkeit von der Zeit $t$ beschreibt.
Dieser Abstand soll minimal werden, wofür das notwendige Kriterium für Extremstellen $d'(t)=0$ erfüllt sein muss.
$\blacktriangleright$  Lösungsansatz $\boldsymbol{\text{II}}$ im Sachzusammenhang erläutern
Im zweiten Lösungsansatz wird das Skalarprodukt zweier Vektoren mit Null gleichgesetzt. Überlege dir, um welche Vektoren es sich dabei handelt und welche Bedeutung es hat, wenn das Skalarprodukt Null ist.
Der Abstand des Flugzeugs zur Radarstation ist dann am geringsten, wenn der Verbindungsvektor zwischen der aktuellen Position des Flugzeugs und dem Punkt $R$ der Radarstation senkrecht zur Gerade liegt, entlang derer sich das Flugzeug bewegt. Das ist der Fall, wenn das Skalarprodukt des Verbindungsvektors und des Richtungsvektors Null ergibt.
#vektorbetrag#extrempunkt#skalarprodukt
2.2
$\blacktriangleright$  Geringste Entfernung bestimmen
Zur Bestimmung der geringsten Entfernung soll einer der beiden Lösungsansätze aus der Aufgabenstellung verwendet werden
$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Ansatz $\boldsymbol{\text{I}}$
Bestimme das Minimum der Abstandsfunktion $d$. Dafür müssen die beiden folgenden Kriterien erfüllt sein:
  • Notwendiges Kriterium: $\, d'(t)=0$
  • Hinreichendes Kriterium: $\, d''(t)> 0$
Du kannst also wie folgt vorgehen:
  1. Bestimme die ersten beiden Ableitungsfunktionen $d'$ und $d''$.
  2. Wende das notwendige Kriterium an, indem du $d'(t)=0$ setzt und nach $t$ löst.
  3. Überprüfe das hinreichende Kriterium, indem du die Lösung aus 2. in $d''(t)$ einsetzt.
  4. Berechne die Funktionswerte von $d$ an der Minimalstelle, um die Entfernung zu berechnen
1. Schritt: Ableitungsfunktionen bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} d(t)&=&\sqrt{81t^2-286t+325} \\[10pt] d'(t)&=& \frac{1}{2}\cdot \left(81t^2-286t+325\right)^{-\frac{1}{2}}\cdot \left(2\cdot 81t-286\right) \\[5pt] &=&\left(81t-143\right)\cdot \left(81t^2-286t+325\right)^{-\frac{1}{2}}\\[10pt] d''(t)&=& 81\cdot \left( 81t^2-286t+325\right)^{-\frac{1}{2}}+ \left(81t -143 \right)\cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot\left(81t^2-286t +325\right)^{-\frac{3}{2}} \cdot \left(2\cdot 81t -286\right) \\[5pt] &=& 81\cdot \left(81t^2-286t+325\right)^{-\frac{1}{2}} - \left(81t -143\right)^2 \cdot \left(81t^2-286t+325 \right)^{-\frac{3}{2}} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} d(t)&=& …\\[10pt] d'(t)&=& … \\[10pt] d''(t)&=& … \end{array}$
2. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden
Durch Gleichsetzen von $d'(t)$ mit Null, erhältst du mögliche Extremstellen:
$\begin{array}[t]{rll} d'(t)&=&0 \\[5pt] \left(81t-143\right)\cdot \left(81t^2-286t+325\right)^{-\frac{1}{2}}&=&0 \\[5pt] \dfrac{81t-143}{\left(81t^2-286t+325\right)^{\frac{1}{2}}}&=&0 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \left(81t^2-286t+325\right)^{\frac{1}{2}} \\[5pt] 81t -143&=& 0&\quad \scriptsize \mid\;+143 \\[5pt] 81t&=& 143&\quad \scriptsize \mid\;: 81 \\[5pt] t&=& \frac{143}{81} \end{array}$
$ t = \frac{143}{81} $
3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen
Setze nun in $d''(t)$ ein:
$\begin{array}[t]{rll} d''\left(\frac{143}{81}\right)&=& 81\cdot \left(81\left(\frac{143}{81}\right)^2-286\left(\frac{143}{81}\right)+325\right)^{-\frac{1}{2}} \\[5pt] &&- \left(81\left(\frac{143}{81}\right) -143\right)^2 \cdot \left(81\left(\frac{143}{81}\right)^2-286\left(\frac{143}{81}\right)+325 \right)^{-\frac{3}{2}} \\[5pt] &\approx& 9,5 > 0 \\[5pt] \end{array}$
$ d''\left(\frac{143}{81}\right)\approx 9,5 >0 $
Das hinreichende Kriterium ist also erfüllt. Der Abstand des Flugzeugs zur Radarstation ist also bei $t= \frac{143}{81}$ am geringsten.
4. Schritt: Funktionswerte berechnen
Berechne nun den geringsten Abstand, indem du den berechneten Wert für $t$ in die Abstandsfunktion einsetzt:
$\begin{array}[t]{rll} d\left(\frac{143}{81}\right)&=& \sqrt{81\left(\frac{143}{81}\right)^2-286\left(\frac{143}{81}\right)+325} \\[5pt] &\approx& 8,52 \end{array}$
$ d\left(\frac{143}{81}\right) \approx 8,52$
Die geringste Entfernung zwischen Flugzeug und Radarstation beträgt ca. $8,5\,\text{km}$.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Ansatz $\boldsymbol{\text{II}}$
Berechne die Lösung der Gleichung für $t$ und setze diesen Wert anschließend in die Gleichung der Strecke aus Teil 1.4 ein, um die Koordinaten des Lotfußpunktes auf der Gerade zu berechnen.
Berechne anschließend den Abstand zwischen dem Lotfußpunkt und dem Punkt $R$ der Radarstation.
1. Schritt: Gleichung lösen
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{8\\4\\1}\cdot \pmatrix{18-8t\\-4t\\-1-t}&=& 0 \\[5pt] 8\cdot (18-8t) +4\cdot (-4t) + 1\cdot (-1-t)&=&0 \\[5pt] 144-64t-16t-1-t&=&0\\[5pt] 143 -81t&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;+81t \\[5pt] 143&=& 81t&\quad \scriptsize \mid\; :81 \\[5pt] \frac{143}{81}&=& t \end{array}$
$ t = \frac{143}{81}$
2. Schritt: Lotfußpunkt bestimmen
Berechne nun den Ortsvektor des Lotfußpunkts $P$, indem du $t$ in die Gleichung aus 1.4 einsetzt:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OP}&=& t\cdot \pmatrix{8\\4\\1} \\[5pt] &=& \frac{143}{81}\cdot \pmatrix{8\\4\\1} \\[5pt] &=& \pmatrix{\frac{1.144}{81}\\ \frac{572}{81}\\ \frac{143}{81}} \\[5pt] \end{array}$
3. Schritt: Abstand berechnen
$\begin{array}[t]{rll} d&=& \left|\overrightarrow{PR}\right| \\[5pt] &=& \left|\pmatrix{\frac{1.144}{81}-18\\ \frac{572}{81}-0\\ \frac{143}{81}+1}\right| \\[5pt] &=& \sqrt{\left(-\frac{314}{81}\right)^2 + \left(\frac{572}{81}\right)^2 + \left(\frac{224}{81}\right)^2}\\[5pt] &\approx& 8,5 \end{array}$
$ d \approx 8,5 $
Die geringste Entfernung zwischen Flugzeug und Radarstation beträgt ca. $8,5\,\text{km}$.
#vektorbetrag#extrempunkt
3.
$\blacktriangleright$  Rechnerischen Ansatz ermitteln
Gesucht ist ein rechnerischer Ansatz, also eine Gleichung oder ähnliches, mit dem die Koordinaten des Punkts ermittelt werden können, an dem sich das Flugzeug befindet, wenn es nach $14.14$ Uhr einen Abstand von $70\,\text{km}$ zur Radarstation hat.
Beachte dabei, dass das Flugzeug um $14.14$ Uhr seine Richtung ändert. Du kannst wie folgt vorgehen.
  1. Bestimme die Koordinaten des Punkts $C$, in dem sich das Flugzeug um $14.14$ Uhr befindet.
  2. Stelle eine Gleichung der Halbgeraden auf, die die Flugbahn für die Zeit ab $14.14$ Uhr beschreibt.
  3. Stelle den Abstand der Punkte auf der Halbgeraden zum Punkt $R$ der Radarstation in Abhängigkeit des Geradenparameters dar.
  4. Setze den Term für den Abstand mit $70$ gleich.
Die Koordinaten der Position um $14.14$ Uhr kannst du wie in Aufgabenteil 1.2 bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OC}&=&\overrightarrow{OA}+7\cdot \overrightarrow{AB} \\[5pt] &=& 7\cdot \pmatrix{8\\4\\1}\\[5pt] &=& \pmatrix{56\\ 28 \\ 7} \\[5pt] \end{array}$
Um $14.14$ Uhr befindet sich das Flugzeug also an der Position mit den Koordinaten $C(56\mid 28\mid 7)$.
Von dort aus fliegt es in gleicher Himmelsrichtung horizontal weiter. Das heißt, du kannst den Richtungsvektor der Geraden des Flugzeugs bis zum Zeitpunkt $14.14$ Uhr abändern, indem $x$- und $y$-Koordinaten gleich bleiben und die $z$-Koordinate Null wird, da das Flugzeug seine Höhe ab $14.14$ Uhr nicht mehr ändert.
Damit ergibt sich folgende Halbgerade für die neue Flugbahn:
$g_c: \; \overrightarrow{x}= \pmatrix{56\\28\\7} +s\cdot \pmatrix{8\\4\\0} $ mit $s\geq 0$.
Setze nun den Abstand zwischen dem allgemeinen Geradenpunkt und $R$ mit $70$ gleich:
$\left| \pmatrix{56\\28\\7} +s\cdot \pmatrix{8\\4\\0} -\pmatrix{18\\0\\-1} \right| = 70$
$ … = 70 $
Dies ist eine Möglichkeit für den gesuchten rechnerischen Ansatz.
4.1
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Schattenpunkts berechnen
Um $14.02$ Uhr befindet sich das Flugzeug im Punkt $B$. Dieser Punkt soll mit Hilfe der Matrix $P$ durch eine Parallelprojektion auf einen Punkt $P'$ in der Ebene der Hangfläche abgebildet werden. Dies geschieht, indem du die Matrix $P$, die diese Projektion beschreibt, mit dem Ortsvektor des Punkts $B$, der abgebildet werden soll, multiplizierst.
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OP'}&=& P\cdot \overrightarrow{OB} \\[5pt] &=& \pmatrix{1 & 0 & 0\\ -\frac{1}{75} & 1 & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{25} & 0 & 0}\cdot\pmatrix{8\\4\\1}\\[5pt] &=& \pmatrix{8\\ -\frac{1}{75}\cdot 8 +4+\frac{1}{3} \\ \frac{1}{25}\cdot 8} \\[5pt] &=& \pmatrix{8\\ \frac{317}{75} \\ \frac{8}{25}}\\[5pt] &\approx& \pmatrix{8\\4,23\\0,32} \end{array}$
$ \overrightarrow{OP'} = \pmatrix{8\\ \frac{317}{75} \\ \frac{8}{25}} $
Der Schattenpunkt des Flugzeugs um $14.02$ Uhr hat die Koordinaten $P'\left(8\mid \frac{317}{75} \mid \frac{8}{25} \right) $ $\approx P'(8\mid 4,23 \mid 0,32).$
4.2
$\blacktriangleright$  Fixpunktmenge der Matrix nachweisen
Für einen Fixpunkt $\overrightarrow{x}$ einer von der Matrix $P$ beschriebenen Abbildung muss folgende Gleichung erfüllt sein:
$P\cdot \overrightarrow{x} = \overrightarrow{x}$
$P\cdot \overrightarrow{x} = \overrightarrow{x}$
Forme diese Gleichung für $P$ so um, dass du eine Darstellung für alle Punkte der Fixpunktmenge erhältst.
$\begin{array}[t]{rll} P\cdot \overrightarrow{x} &=& \overrightarrow{x}\\[5pt] \pmatrix{1&0&0\\ -\frac{1}{75} & 1&\frac{1}{3} \\ \frac{1}{25} & 0 & 0}\cdot \pmatrix{x\\y\\z}&=& \pmatrix{x\\y\\z}\\[5pt] \pmatrix{x\\ -\frac{1}{75}x +y+\frac{1}{3} z \\ \frac{1}{25}x}&=&\pmatrix{x\\y\\z} \\[5pt] \end{array}$
$ \pmatrix{x\\ -\frac{1}{75}x +y+\frac{1}{3} z \\ \frac{1}{25}x}=\pmatrix{x\\y\\z} $
Daraus ergibt sich folgendes lineares Gleichungssystem:
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&x&=& x \\ \text{II}\quad&y&=& -\frac{1}{75}x +y+\frac{1}{3} z &\quad \scriptsize\mid\; -y \\ &0&=& -\frac{1}{75}x+\frac{1}{3} z &\quad \scriptsize\mid\; \cdot 75 \\ &0&=& -x+25z\\ \text{III}\quad&z&=& \frac{1}{25}x &\quad \scriptsize\mid\; -z\\ &0&=& \frac{1}{25}x -z &\quad \scriptsize\mid\;\cdot (-25) \\ &0&=& -x+25z \end{array}$
$ \begin{array}{lrll} \text{I}\quad&x&=& x \\ \text{II}\quad&y&=& … \\ \text{III}\quad&z&=& … \end{array} $
Die erste Gleichung ist immer erfüllt. Aus der zweiten und dritten ergibt sich jeweils $0 = -x+25z$. Alle Fixpunkte der Matrix $P$ müssen also die Bedingung $0 = -x+25z$ erfüllen. Die Ebene $E$ mit $E:\; 0 = -x+25z$ beschreibt also die Fixpunktmenge der von $P$ beschriebenen Abbildung.
Bildnachweise [nach oben]
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