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A2 - Analysis

Aufgaben
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Im Material sind die Graphen einer Funktion der Funktionenschar $f_k$ mit $f_k(x) = sin(x) + k\cdot x, k \in \mathbb{R}$, und ihrer Ableitungsfunktion zu sehen.
1.1   Gib die erste Ableitung von $f_k$ an. Beschrifte die Graphen im Material jeweils mit der zugehörigen Funktion.
Bestimme $k$ für die im Material abgebildeten Funktionsgraphen.
(4P)
1.2   Untersuche unter Einbeziehung der Eigenschaften des Graphen der Ableitungsfunktion, für welche Werte von $k$ die Scharfunktionen $f_k$ Extremstellen haben.
(5P)
1.3   Skizziere im Material die Fläche zwischen dem Graphen von $f_k$ und der Geraden mit der Gleichung $y = k\cdot x$ über dem Intervall $[0;2\pi]$ für den in Aufgabe 1.1 bestimmten Wert von $k$.
(2P)
1.4   Betrachtet werden für jede Scharfunktion $f_k$ die Flächenstücke zwischen dem Graphen von $f_k$ und der Geraden mit der Gleichung $y = k\cdot x$, die jeweils von zwei aufeinanderfolgenden Schnittpunkten begrenzt werden.
Zeige mithilfe geeigneter Rechnungen, dass alle diese Flächenstücke unabhängig von $k$ gleich groß sind.
(5P)
2.   Der Temperaturverlauf eines Tages (gemessen in °C) in Abhängigkeit von der Zeit t (gemessen in Stunden) kann modellhaft durch eine Funktion $g$ dargestellt werden, die folgende Form hat:
$g(t)= a\cdot sin\left(\dfrac{1}{12}\pi \cdot (t-b)\right)+c, t\in \mathbb{R}, 0\leq t\leq 24\;\; \text{und} \;\;a, b,c \in \mathbb{R}$
An einem bestimmten Tag wird um 4 Uhr morgens die tiefste Tagestemperatur von 16 °C gemessen. Im Laufe des Tages steigt die Temperatur auf einen Maximalwert von 26 °C an.
Bestimme unter Nutzung deiner Kenntnisse über die Eigenschaften der Sinusfunktion zu den gegebenen Daten passende Werte für die Parameter $a$, $b$ und $c$.
Beschreibe die Bedeutung der Parameter im Sachzusammenhang.
(8P)
3.   An einem bestimmten Tag wird in der Stadt Frankfurt am Main der Temperaturverlauf annähernd durch die Funktion $h$ beschrieben mit
$h(t)=-6 \cdot sin\left(\dfrac{\pi}{12}t + \dfrac{\pi}{12}\right)+ 0,4t +10,5, t\in \mathbb{R}, 0\leq t\leq24$
(t in Stunden, h(t) in °C auf eine Nachkommastelle genau angegeben).
3.1   Untersuche, zu welcher Uhrzeit die minimale und zu welcher Uhrzeit die maximale Temperatur erreicht wird.
Hinweis: Eine Betrachtung der Randwerte ist nicht erforderlich.
(9P)
3.2   Liegen nur wenige Temperaturmessungen vor, wird die mittlere Tagestemperatur näherungsweise nach der Formel
$T_L =\dfrac{1}{4}\left(T_0 + T_6 + T_{12} + T_{18} \right)$
berechnet, wobei $T_0$, $T_6$, $T_{12}$ und $T_{18}$ die gemessenen Temperaturen zu den sogenannten „synoptischen Stunden“ um 0, 6, 12 und 18 Uhr des Tages bezeichnen.
Berechne mit Hilfe von $h$ und dieser Formel die mittlere Tagestemperatur an diesem Tag.
(3P)
3.3   Mit $\overline{T}=\dfrac{1}{24}\displaystyle\int_{0}^{24}\;\mathrm h(t) dt$ kann ebenfalls eine sinnvolle mittlere Tagestemperatur berechnet werden. Berechne damit die mittlere Tagestemperatur in Frankfurt an diesem Tag.
Berechne zudem die prozentuale Abweichung der Näherung durch die „synoptische Stunden“-Formel aus Aufgabe 3.2 vom hier berechneten Wert von $\overline{T}$.
(4P)

Material

Graphen einer Funktion der Funktionenschar $f_k$ mit $f_k(x) = sin(x) + k\cdot x, k \in \mathbb{R}$ und ihrer Ableitungsfunktion
A2 - Analysis
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Tipps
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1.
1.1 $\blacktriangleright$ Funktion ableiten
Leite die Funktionenschar $f_k$ ab, um die erste Ableitung zu erhalten.
$\blacktriangleright$ Parameter $\boldsymbol{k}$ bestimmen
A2 - Analysis
A2 - Analysis
Du kannst den Paramter $k$ für die im Material abgebildeten Funktionen mit Hilfe einer Punktprobe bestimmen. Lese dafür den $y$-Wert an der Stelle $x=0$ ab und löse die erhaltene Funktionsgleichung nach $k$ auf.
1.2 $\blacktriangleright$ Funktion auf Extremstellen untersuchen
Die Extremstellen der Funktionenschar müssen die notwendige und hinreichende Bedingung erfüllen.
Die notwendige Bedingung besagt, dass für eine Extremstelle $x_k$ der Funktionsterm der Ableitung gleich Null ist. Hierbei handelt es sich grafisch um eine Nullstelle der ersten Ableitung.
Die hinreichende Bedingung besagt, dass die zweite Ableitung an der potenziellen Extremstelle ungleich Null ist. Damit ist die Steigung der Ableitung an den Nullstellen ungleich Null und es findet ein Vorzeichenwechsel statt. Betrachte dazu den Graphen der ersten Ableitung $f'_k$, um herauszufinden für welche $k$ ein Vorzeichenwechsel stattfindet.
1.3 $\blacktriangleright$ Skizze anfertigen
In Aufgabenteil 1.1 hast du $k=0,5$ erhalten. Somit lautet die Gleichung der Geraden: $y=0,5 \cdot x$. Zeichne diese Gerade in das Material und markiere die Fläche zwischen der Geraden und dem Graphen der Funktion $f_{0,5}$ (über dem Intervall $\left[0, 2\pi\right]$).
1.4 $\blacktriangleright$ Berechnung der Flächenstücke
Die Größe eines Flächenstücks ist der Flächeninhalt zwischen dem Graphen der Funktionenschar $f_k$ und der Geraden $y=k \cdot x$. Berechne dazu die Schnittpunkte der Funktionenschar $f_k$ und der Geraden $y=k \cdot x$. Hast du diese berechnet, kannst du die Größe eines Flächenstücks mit dem Integral über die Differenz der Funktionen berechnen.
2. $\blacktriangleright$ Funktionsgleichung bestimmen
Deine Aufgabe ist es die Parameter $a$,$b$ und $c$ der Funktion $g$ zu bestimmen. $g$ besitzt 3 Parameter, daher müssen 3 Bedingungen an $g$ gestellt werden. Du hast 2 Aussagen gegeben aus welchen du die drei Bedingungen an $g$ formulieren kannst.
Die erste Aussage lautet, dass um 4 Uhr morgens die tiefste Temperatur gemessen wird.
$\quad$ $\Rightarrow$ $T (4 \mid 16)$ ist Tiefpunkt der Funktion und es gilt $g(4)=16$.
Die Funktion nimmt genau dann ihr Minimum (bzw. Maximum) an, wenn der Sinus minimal (bzw. maximal) ist (da $a$ und $c$ konstant sind). Das Minimum des Sinus ist $-1$, setze für Bedingung (Ⅰ) den Sinus gleich -1.
(Alternativ kannst du hier auch gleich 1 annehmen)
Außerdem erhalten wir für $g(4)$ eine zweite Bedingung (Ⅱ). Setze dafür -1 für den Sinus ein.
Die zweite Aussage lautet, dass zu einem unbekannten Zeitpunkt $t_u$ die Temperatur ihren Maximalwert annimmt. Dazu muss der Sinus auch sein Maximum annehmen, also gleich 1 sein. Wir erhalten die dritte Bedingung (Ⅲ), indem wir für den Sinus 1 einsetzen. Du hast nun ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen gegeben. Die Gleichung (Ⅰ) beinhaltet nur den Parameter $b$, die Gleichungen (Ⅱ) und (Ⅲ) die Paramter $a$ und $c$. Daher können sie getrennt voneinander gelöst werden. Berechne zuerst den Parameter $b$, indem du Gleichung (Ⅰ) nach $b$ auflöst.
Die Gleichungen (Ⅱ) und (Ⅲ) sind ein lineares Gleichungssystem, welches du mit dem Einsetzungsverfahren lösen kannst.
$\blacktriangleright$ Deutung der Parameter im Sachzusammenhang
Hier sollst du die Bedeutung der Parameter im Sachzusammenhang beschreiben. Die Funktion $g$ ist periodisch. Sie schwankt um einen Mittelwert, dabei ist die Amplitude die maximale Abweichung der Temperatur vom Mittelwert.
$g$ hat die Periodenlänge 24 Stunden und würde ohne zeitliche Verschiebung das Maximum nach 6 Stunden und das Minimum nach 18 Stunden annehmen.
3.
3.1 $\blacktriangleright$ Extremstellen bestimmen
Die Zeitpunkte der maximalen (bzw. minimalen) Temperatur sind Extremstellen der Funktion $h$. Um die Extremstellen der Funktion zu bestimmen, musst du die notwendige und hinreichende Bedingung für Extremstellen überprüfen. Berechne dazu zuerst die erste und zweite Ableitung der Funktion $h$.
Die notwendige Bedingung besagt, dass für eine Extremstelle $x_0$ der Funktionsterm der Ableitung gleich Null ist. Also gilt für eine Extremstelle $x_0$, dass $h'(x_0)=0$.
Hinreichendes Kriterium für einen potenziellen Extrempunkt an der Stelle $x_0$:
$h''(x_0)<0:$ Du hast eine Maximum vorliegen.
$h''(x_0)>0:$ Du hast ein Minimum vorliegen.
1. Schritt: Erste und zweite Ableitung berechnen
Du erhältst die erste und zweite Ableitung indem du jeweils die Kettenregel anwendest.
2. Schritt: Notwendige Bedingung anwenden
Setze den Funktionsterm der ersten Ableitung $h'$ gleich Null und ermittle die Extremstellen.
3. Schritt: Hinreichende Bedingung überprüfen
Setze die potenziellen Extremstellen $t_1$ und $t_2$ in den Funktionsterm von $h''$ ein.
3.2 $\blacktriangleright$ Mittlere Tagestemperatur $\boldsymbol{T_L}$ berechnen
Berechne die Temperaturen $T_0$, $T_6$, $T_{12}$, $T_{18}$ mithilfe der Funktion $h$. Es gilt: $T_t=h(t)$. Verwende danach die angegebene Formel zur Berechnung der mittleren Tagestemperatur $T_L$:
$T_L=\dfrac{1}{4} \cdot \left(T_0 + T_6 + T_{12} + T_{18}\right)$
3.3 $\blacktriangleright$ Mittlere Tagestemperatur $\boldsymbol{\overline{T}}$ berechnen
Die mittlere Tagestemperatur $\overline{T}$ ist mit der Gleichung $\overline{T}=\dfrac{1}{24} \cdot \displaystyle\int_{0}^{24} h(t) \mathrm dt$ gegeben. Um das Integral zu berechnen musst du zuerst eine Stammfunktion $H$ von $h$ bestimmen. Hast du eine Stammfunktion bestimmt, so kannst du nun das Integral mit dem Hauptsatz der Integralrechnung bestimmen.
$\displaystyle\int_{a}^{b} h(t) \mathrm dt=\left[ H(b)-H(a)\right]$
$\blacktriangleright$ Prozentuale Abweichung berechnen
Gesucht ist die prozentuale Abweichung $\Delta T$ der Näherung aus 3.2 und dem hier berechneten Wert $\overline{T}$. Diese kannst du folgendermaßen ausrechnen:
$\Delta T = \dfrac{\overline{T}-T_L}{\overline{T}}$
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Lösungen
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1.
1.1 $\blacktriangleright$ Funktion ableiten
Leite die Funktionenschar $f_k$ ab:
$f_k(x)=\sin(x) + k \cdot x$;   $k\in \mathbb{R}$
$f'_k(x)=\cos(x) + k$;   $k\in \mathbb{R}$
$\blacktriangleright$ Parameter $\boldsymbol{k}$ bestimmen
A2 - Analysis
A2 - Analysis
Du kannst den Paramter $k$ für die im Material abgebildeten Funktionen mit Hilfe einer Punktprobe bestimmen. Du kannst vom Material ablesen, dass die Ableitung $f'_k$ an der Stelle $x=0$ den Wert 1,5 annimmt. Die erhaltene Funktionsgleichung kannst du nun nach $k$ auflösen:
$\begin{array}{ll} 1,5=f'_k(0)=\cos(0)+k=1+k &\quad\mid\; -1\\[5pt] \quad \Rightarrow 0,5=k \end{array}$
Somit hat $k$ den Wert 0,5 für die abgebildeten Funktionen.
1.2 $\blacktriangleright$ Funktion auf Extremstellen untersuchen
Die Extremstellen der Funktionenschar müssen die notwendige und hinreichende Bedingung erfüllen.
Die notwendige Bedingung besagt, dass für eine Extremstelle $x_k$ der Funktionsterm der Ableitung gleich Null ist. Hierbei handelt es sich grafisch um eine Nullstelle der ersten Ableitung.
Die hinreichende Bedingung besagt, dass die zweite Ableitung an der potenziellen Extremstelle ungleich Null ist. Damit ist die Steigung der Ableitung an den Nullstellen ungleich Null und es findet ein Vorzeichenwechsel statt. Betrachte dazu den Graphen der ersten Ableitung $f'_k$, um herauszufinden für welche $k$ ein Vorzeichenwechsel stattfindet.
Setze den Funktionsterm der ersten Ableitung gleich Null:
$\begin{array}[t]{rll} f'_k(x)&=0\\[5pt] \cos(x) + k&=0& \quad \scriptsize \mid\; -k \\[5pt] \cos(x)&=-k \end{array}$
Da der Cosinus nur Werte von -1 bis 1 annimmmt, besitzt die Ableitung somit für $k > 1$ und $k < -1$ keine Nullstellen. Im Umkehrschluss muss $k$ im Intervall $\left[-1,1\right]$ liegen, damit die notwendige Bedingung erfüllt sein kann.
A2 - Analysis
A2 - Analysis
Nun muss noch die hinreichende Bedingung überprüft werden. Überprüfe die Nullstellen der ersten Ableitung auf Vorzeichenwechsel für die jeweils möglichen $k$. Wie du auf der nebenstehenden Skizze erkennen kannst, findet ein Vorzeichenwechsel nur im Fall $k=1$ und $k=-1$ nicht statt, da dort der Cosinus die $x$-Achse nur berührt und nicht schneidet.
Zusammenfassend besitzt die Funktionenschar $f_k$ für $k \in \left(-1,1\right)$ Extremstellen.
1.3 $\blacktriangleright$ Skizze anfertigen
In Aufgabenteil 1.1 hast du $k=0,5$ erhalten. Somit lautet die Gleichung der Geraden: $y=0,5 \cdot x$. Zeichne diese Gerade in das Material und markiere die Fläche zwischen der Geraden und dem Graphen der Funktion $f_{0,5}$ (über dem Intervall $\left[0, 2\pi\right]$):
A2 - Analysis
A2 - Analysis
1.4 $\blacktriangleright$ Berechnung der Flächenstücke
Die Größe eines Flächenstücks ist der Flächeninhalt zwischen dem Graphen der Funktionenschar $f_k$ und der Geraden $y=k \cdot x$. Berechne dazu die Schnittpunkte der Funktionenschar $f_k$ und der Geraden $y=k \cdot x$. Hast du diese berechnet, kannst du die Größe eines Flächenstücks mit dem Integral über die Differenz der Funktionen berechnen.
1. Schritt: Schnittpunkte berechnen
Setze dazu die Funktionsgleichungen der Funktionenschar und der Gerade gleich:
$\begin{array}[t]{rll} \sin(x) + k \cdot x&=&k\cdot x& \quad \scriptsize \mid\; - k \cdot x\\[5pt] \sin(x)&=&0& \\[5pt] x_z&=&z \cdot \pi;& z \in \mathbb{Z} \end{array}$
Die Schnittpunkte sind dementsprechend alle ganzzahlige Vielfache von $\pi$.
2. Schritt: Größe der Flächenstücke berechnen
Die Flächenstücke sind durch zwei aufeinander folgende Schnittpunkte begrenzt. Ist $z \cdot \pi$ ein Schnittpunkt, so ist der nächste Schnittpunkt $\left(z+1\right) \cdot \pi$. Berechne also das Integral von $f_k(x)-k\cdot x$ über den Grenzen $z \cdot \pi$ und $\left(z+1\right) \cdot \pi$, um den Flächeninhalt $A$ eines Flächenstücks zu bestimmen.
$\begin{array}{rll} A =& \left|\,\displaystyle\int_{z \cdot \pi}^{\left( z+1 \right) \cdot \pi}\left( f_k(x)-k\cdot x \right) \mathrm dx \,\right|\\[5pt] =& \left|\,\displaystyle\int_{z \cdot \pi}^{ \left( z+1 \right ) \cdot \pi} \left( \left( \sin(x) + k \cdot x \right)-k\cdot x \right) \mathrm dx \,\right|\\[5pt] =& \left|\,\displaystyle\int_{z \cdot \pi}^{\left(z+1\right) \cdot \pi} \sin(x) \mathrm dx \,\right| \\[5pt] =& \left|\, \left[-\cos(x)\right]^{ \left( z+1 \right ) \cdot \pi}_{z \cdot \pi} \,\right|\\[5pt] =&2 \end{array}$
Der Betrag der Fläche des Cosinus ist auf jedem Intervall $\left[z \cdot \pi; \left( z+1 \right ) \cdot \pi\right]$ gleich 2.
Der Flächeninhalt $A$ eines Flächenstücks ist somit immer gleich groß und unabhängig vom Parameter $k$.
2. $\blacktriangleright$ Funktionsgleichung bestimmen
Deine Aufgabe ist es die Parameter $a$,$b$ und $c$ der Funktion $g$ zu bestimmen. $g$ besitzt 3 Parameter, daher müssen 3 Bedingungen an $g$ gestellt werden. Du hast 2 Aussagen gegeben aus welchen du die drei Bedingungen an $g$ formulieren kannst.
Die erste Aussage lautet, dass um 4 Uhr morgens die tiefste Temperatur gemessen wird.
$\quad$ $\Rightarrow$ $T (4 \mid 16)$ ist Tiefpunkt der Funktion und es gilt $g(4)=16$.
Die Funktion nimmt genau dann ihr Minimum (bzw. Maximum) an, wenn der Sinus minimal (bzw. maximal) ist (da $a$ und $c$ konstant sind). Das Minimum des Sinus ist $-1$, somit erhalten wir Bedingung (Ⅰ):
$\sin\left(\dfrac{1}{12}\pi \cdot \left( 4-b\right)\right)=-1$
(Alternativ kannst du hier auch gleich 1 annehmen, siehe für diesen Lösungsweg ans Ende dieser Lösung)
Außerdem erhalten wir für $g(4)$ eine zweite Bedingung (Ⅱ):
$g(4)=a \cdot \left(\sin\left(\dfrac{1}{12}\pi \cdot \left( 4-b\right)\right) \right)+c=a \cdot \left( -1 \right) +c= (-a) + c = 16$
Die zweite Aussage lautet, dass zu einem unbekannten Zeitpunkt $t_u$ die Temperatur ihren Maximalwert annimmt. Dazu muss der Sinus auch sein Maximum annehmen, also gleich 1 sein. Wir erhalten die dritte Bedingung (Ⅲ):
$g(t_u)=a \cdot 1 +c = a+c = 26$
Du hast nun folgendes Gleichungssystem gegeben:
$\begin{array}{lrcl} \text{I}\quad&\sin\left(\frac{1}{12}\cdot \pi \cdot \left( 4-b\right)\right)&=&-1&\\[5pt] \text{II}\quad&(-a) + c &=& 16\\[5pt] \text{III}\quad&a+c&=&26 \end{array}$
Die Gleichung (Ⅰ) beinhaltet nur den Parameter $b$, die Gleichungen (Ⅱ) und (Ⅲ) die Paramter $a$ und $c$. Daher können sie getrennt voneinander gelöst werden. Berechne zuerst den Parameter $b$, indem du Gleichung (Ⅰ) nach $b$ auflöst.
Die Gleichungen (Ⅱ) und (Ⅲ) sind ein lineares Gleichungssystem, welches du mit dem Einsetzungsverfahren lösen kannst.
1. Schritt: Bedingung (Ⅰ) auflösen
Die Gleichung $\sin(z)=-1$ ist für $z=-\dfrac{1}{2}\pi$ erfüllt (du kannst auch bspw. $z=\dfrac{3}{2}\pi$ wählen, da der Sinus $2\pi$-periodisch ist). Folglich erhältst du mit Substitution:
$\begin{array}{rll} \sin\left(\dfrac{1}{12}\pi \cdot \left( 4-b\right)\right)=&-1 &\quad\mid\; z=\dfrac{1}{12}\pi \cdot \left( 4-b\right)\\[5pt] \sin(z)=&-1 \\[5pt] z=&-\dfrac{1}{2}\pi &\quad\mid\; z=\dfrac{1}{12}\pi \cdot \left( 4-b\right) \\[5pt] \dfrac{1}{12}\pi \cdot \left( 4-b\right)=&-\dfrac{1}{2}\pi &\quad\mid\; \cdot \dfrac{12}{\pi} \\[5pt] 4-b=&-6 &\quad\mid\; -4\\[5pt] -b=&-10&\quad\mid\; \cdot \left(-1\right)\\[5pt] b=&10 \end{array}$
Es gilt also $b=10$. Hast du $z=\dfrac{3}{2}\pi$ gewählt, so erhältst du $b=-14$. Dies verändert nichts an den folgenden Rechnungen.
2. Schritt: Bedingung (Ⅱ) und (Ⅲ) auflösen
Löse das lineare Gleichungssystem mit dem Einsetzungsverfahren:
$\begin{array}{lrll} \text{II}\quad& (-a)& + &c& =& 16 \\[5pt] \text{III}\quad& a& + &c& =& 26 &\quad\scriptsize\mid\; \text{IIIa}=\text{II} + \text{III}\\[5pt] \hline \text{II}\quad & (-a)& + &c& =& 16 \\[5pt] \text{IIIa}\quad & & &2c& =& 42 &\quad\scriptsize \mid\; :2\\[5pt] \hline \text{II}\quad & (-a)& + &c& =& 16 &\quad\scriptsize \mid\; \text{IIIb in II einsetzen}\\[5pt] \text{IIIb}\quad & & &c& =& 21 &\\[5pt] \hline \text{IIa}\quad & (-a)& + &21& =& 16 &\quad\scriptsize \mid\; -21\\[5pt] & (-a)& && =& -5 &\quad\scriptsize \mid\; \cdot (-1)\\[5pt] & a& && =& 5 &\\[5pt] \text{IIIb}\quad & & &c& =& 21 &\\[5pt] \end{array}$
Damit sind die Parameter $a=5$, $b=10$ (oder $b=-14$) und $c=21$. Du erhältst folgende Funktionsgleichung:
$g(t)= 5 \cdot \sin\left(\dfrac{1}{12}\pi \cdot \left( t -10 \right)\right) + 21$
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Alternativer Lösungsweg
Wählst du anfangs den Sinus gleich 1, so erhältst du $b=-2$. Des Weiteren ändert sich das Vorzeichen von $a$ in den Gleichungen (Ⅱ) und (Ⅲ). Du erhältst damit $a=-5$. Der Parameter $c$ ändert sich nicht.
$\blacktriangleright$ Deuten der Parameter im Sachzusammenhang
Hier sollst du die Bedeutung der Parameter im Sachzusammenhang beschreiben. Die Funktion $g$ ist periodisch. Sie schwankt um einen Mittelwert, dabei ist die Amplitude die maximale Abweichung der Temperatur vom Mittelwert.
Die Temperatur schwankt hier um den Mittelwert 21°C, d.h. der Parameter $c=21$ ist hier der Mittelwert. Die Schwankung zwischen der tiefsten Temperatur 16°C und der höchsten Temperatur 26°C beträgt 10°C. Die Amplitude beträgt also 5°C, d.h. $a=5$ ist die Amplitude. $g$ hat die Periodenlänge 24 Stunden und würde ohne zeitliche Verschiebung das Maximum nach 6 Stunden und das Minimum nach 18 Stunden annehmen. Der Parameter $b=10$ (bzw. $b=-14$) ist hier die zeitliche Verschiebung, so dass $g$ das Minimum zum Zeitpunkt $t=4$ annimmt.
$g$ beschreibt also den periodischen Verlauf der Tagestemperatur um den Mittelwert $c$ mit einer maximalen Abweichung nach unten bzw. oben von $a$ und einer zeitlichen Verschiebung um $b$.
3.
3.1 $\blacktriangleright$ Extremstellen bestimmen
Die Zeitpunkte der maximalen (bzw. minimalen) Temperatur sind Extremstellen der Funktion $h$. Um die Extremstellen der Funktion zu bestimmen, musst du die notwendige und hinreichende Bedingung für Extremstellen überprüfen. Berechne dazu zuerst die erste und zweite Ableitung der Funktion $h$.
1.Schritt: Erste und zweite Ableitung berechnen
Du erhältst die erste Ableitung indem du die Kettenregel anwendest:
$\begin{array}{rll} h(t)=&\left(-6\right) \cdot \sin\left( \dfrac{\pi}{12} \cdot t + \dfrac{\pi}{12}\right) + 0,4 \cdot t + 10,5 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}{rll} h'(t)=&\left(-6\right) \cdot \left(\cos\left( \dfrac{\pi}{12} \cdot t + \dfrac{\pi}{12}\right) \cdot \dfrac{\pi}{12} \right)+ 0,4 \\[5pt] =&\left(-\dfrac{\pi}{2}\right) \cdot \cos\left( \dfrac{\pi}{12} \cdot t + \dfrac{\pi}{12}\right) + 0,4 \end{array}$
Auch für die zweite Ableitung musst du wieder die Kettenregel anwenden:
$\begin{array}{rll} h''(t)=&\left( -\dfrac{\pi}{2}\right) \cdot \left( - \sin\left( \dfrac{\pi}{12} \cdot t + \dfrac{\pi}{12}\right) \cdot \dfrac{\pi}{12}\right)\\[5pt] =&\dfrac{\pi^2}{24} \cdot \sin\left( \dfrac{\pi}{12} \cdot t + \dfrac{\pi}{12}\right) \end{array}$
2.Schritt: Notwendige Bedingung anwenden
Setze den Funktionsterm der ersten Ableitung $h'$ gleich Null und ermittle die Extremstellen:
$\begin{array}{rll} h'(t)\stackrel{!}{=}&0\\[5pt] \left(-\dfrac{\pi}{2}\right) \cdot \cos\left( \dfrac{\pi}{12} \cdot t + \dfrac{\pi}{12}\right) + 0,4=&0&\quad\mid\; -0,4\\[5pt] \left(-\dfrac{\pi}{2}\right) \cdot \cos\left( \dfrac{\pi}{12} \cdot t + \dfrac{\pi}{12}\right) =& -0,4 &\quad\mid\; \cdot \left( - \dfrac{2}{\pi}\right)\\[5pt] \cos\left( \dfrac{\pi}{12} \cdot t + \dfrac{\pi}{12}\right) =& \dfrac{4}{5\pi} \end{array}$
Mit der Substitution $z=\dfrac{\pi}{12} \cdot t + \dfrac{\pi}{12}$ erhältst du nun folgende Gleichung: $\cos\left(z\right)= \dfrac{4}{5\pi}$.
Diese Gleichung besitzt auf dem Intervall $\left[0,2\pi\right]$ zwei Lösungen $z_1$ und $z_2$. $z_1$ erhältst du indem du $\cos^{-1}\left(\dfrac{4}{5\pi}\right)$ (mit deinem Taschenrechner) berechnest: $z_1=\cos^{-1}\left(\dfrac{4}{5\pi}\right)=1,3133$.
Den zweiten Wert $z_2$ kannst du mit einer Eigenschaft des Cosinus berechnen. Diese Eigenschaft lautet: $\cos(z)=\cos(2\pi - z)$. Du erhältst:
$\dfrac{4}{5\pi}=cos(z_1)=cos(2\pi - z_1)=cos(z_2)$
$\Rightarrow\quad z_2=2\pi - z_1=4,9699$
Mit der Resubstitution $t=\dfrac{12}{\pi} \cdot \left( z - \dfrac{\pi}{12}\right)$ kannst du nun die Extremstellen $t_1$ und $t_2$ berechnen:
$\begin{array}{rll} t_1=&\dfrac{12}{\pi} \cdot \left( z_1 - \dfrac{\pi}{12}\right)=&\dfrac{12}{\pi} \cdot \left( 1,3133 - \dfrac{\pi}{12}\right)=4,02\\[5pt] t_2=&\dfrac{12}{\pi} \cdot \left( z_2 - \dfrac{\pi}{12}\right)=&\dfrac{12}{\pi} \cdot \left( 4,9699 - \dfrac{\pi}{12}\right)=17,98\\[5pt] \end{array}$
3.Schritt: Hinreichende Bedingung überprüfen
Setze nun die Extremstellen $t_1$ und $t_2$ in die Funktionsgleichung von $h''$ ein.
$\begin{array}{rll} h''(t_1)=&\dfrac{\pi^2}{24} \cdot \sin\left( \dfrac{\pi}{12} \cdot 4,02 + \dfrac{\pi}{12}\right)=0,4 > 0\\[5pt] h''(t_2)=&\dfrac{\pi^2}{24} \cdot \sin\left( \dfrac{\pi}{12} \cdot 17,98 + \dfrac{\pi}{12}\right)=-0,4 < 0\\[5pt] \end{array}$
Also ist $t_1$ die Minimalstelle und $t_2$ die Maximalstelle der Funktion $h$. Um ca. 4 Uhr morgens ist die Temperatur minimal und um ca. 18 Uhr ist die Temperatur maximal.
3.2 $\blacktriangleright$ Mittlere Tagestemperatur $\boldsymbol{T_L}$ berechnen
Berechne zuerst die Temperaturen $T_0$, $T_6$, $T_{12}$ und $T_{18}$, dann den Mittelwert.
1. Schritt: Temperaturen $T_0$, $T_6$, $T_{12}$, $T_{18}$ berechnen
Mithilfe der Funktion $h$ lassen sich die Temperaturen $T_t$ zu den „synoptischen Stunden“ bestimmen. Es gilt: $T_t=h(t)$.
$\begin{array}{rll} T_0=&h(0)\\[5pt] =&\left(-6\right) \cdot \sin\left( \dfrac{\pi}{12} \cdot 0 + \dfrac{\pi}{12}\right) + 0,4 \cdot 0 + 10,5\\[5pt] =&\left(-6\right) \cdot \sin\left( \dfrac{\pi}{12}\right) + 10,5 \approx 8,95 \end{array}$
$\begin{array}{rll} T_6 \approx& 7,1\\[5pt] T_{12} \approx& 16,85\\[5pt] T_{18} \approx& 23,5\\[5pt] \end{array}$
2. Schritt: Mittlere Tagestemperatur berechnen
Benutze nun die Formel aus der Aufgabe:
$\begin{array}{rll} T_L=&\dfrac{1}{4} \cdot \left(T_0 + T_6 + T_{12} + T_{18}\right)\\[5pt] =&\dfrac{1}{4} \cdot \left(8,95 + 7,1 + 16,85 + 23,5\right)\\[5pt] =&\dfrac{1}{4} \cdot 56,4 \approx 14,1 \end{array}$
Die mittlere Tagestemperatur $T_L$ beträgt 14,1°C.
3.3 $\blacktriangleright$ Mittlere Tagestemperatur $\boldsymbol{\overline{T}}$ berechnen
Die mittlere Tagestemperatur $\overline{T}$ ist mit der Gleichung $\overline{T}=\dfrac{1}{24} \cdot \displaystyle \int_{0}^{24} h(t) \mathrm dt$ gegeben. Bestimme zuerst eine Stammfunktion $H$ von $h$ und berechne dann das Integral mit dem Hauptsatz der Integralrechnung.
1.Schritt: Stammfunktion $\boldsymbol{H}$ bestimmen
$\begin{array}{rll} H(t)=&\displaystyle\int_{}^{} \left( \left(-6\right) \cdot \sin\left( \dfrac{\pi}{12} \cdot t + \dfrac{\pi}{12}\right) + 0,4 \cdot t + 10,5 \right) \mathrm dt\\[5pt] =& \left(-6\right) \cdot \displaystyle\int_{}^{} \sin\left( \dfrac{\pi}{12} \cdot t + \dfrac{\pi}{12}\right) \mathrm dt + \displaystyle\int_{}^{} 0,4 \cdot t \mathrm dt + \displaystyle\int_{}^{} 10,5 \mathrm dt \\[5pt] =& \left(-6\right) \cdot \dfrac{12}{\pi} \cdot \left( -\cos\left( \dfrac{\pi}{12} \cdot t + \dfrac{\pi}{12} \right)\right) + 0,2 \cdot t^2 + 10,5 \cdot t \\[5pt] =&\dfrac{72}{\pi} \cdot \cos\left( \dfrac{\pi}{12} \cdot t + \dfrac{\pi}{12} \right) + 0,2 \cdot t^2 + 10,5 \cdot t \end{array}$
2.Schritt: $\boldsymbol{\overline{T}}$ bestimmen
Jetzt kannst du $\overline{T}$ mit dem Hauptsatz der Integralrechnung berechnen:
$\begin{array}{rll} \overline{T}=&\dfrac{1}{24} \cdot \displaystyle\int_{0}^{24} h(t) \mathrm dt \\[5pt] =&\dfrac{1}{24} \cdot \left[\, \dfrac{72}{\pi} \cdot \cos\left( \dfrac{\pi}{12} \cdot t + \dfrac{\pi}{12} \right) + 0,2 \cdot t^2 + 10,5 \cdot t \,\right]^{24}_0\\[5pt] =&\dfrac{1}{24} \cdot \left[\left( \dfrac{72}{\pi} \cdot \cos\left( \dfrac{25\pi}{12} \right) + 0,2 \cdot 24^2 + 10,5 \cdot 24 \right) - \left( \dfrac{72}{\pi} \cdot \cos\left( \dfrac{\pi}{12} \right) + 0 \right)\right]\\[5pt] =&\dfrac{1}{24} \cdot \left[ \dfrac{72}{\pi} \cdot \left( \cos\left( \dfrac{25\pi}{12} \right) - \cos\left( \dfrac{\pi}{12} \right) \right) + 115,2 + 252\right]\\[5pt] =&\dfrac{1}{24} \cdot \left[ \dfrac{72}{\pi} \cdot 0 + 367,2\right]\\[5pt] =&\dfrac{1}{24} \cdot 367,2=15,3 \end{array}$
Die mittlere Tagestemperatur $\overline{T}$ beträgt 15,3°C.
$\blacktriangleright$ Prozentuale Abweichung berechnen
Gesucht ist die prozentuale Abweichung $\Delta T$ der Näherung aus 3.2 und dem hier berechneten Wert $\overline{T}$. Diese kannst du folgendermaßen ausrechnen:
$\Delta T = \dfrac{\overline{T}-T_L}{\overline{T}} = \dfrac{15,3-14,1}{15,3} = \dfrac{1,2}{15,3} = 7,84 \%$
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