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B1 - Analytische Geometrie

Aufgaben
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Drei Punkte $A_t$, $B_t$ und $C_t$ bewegen sich jeweils entlang einer Geraden:
$\begin{array}{rll} A_t \text{ auf der Geraden } g_a:&\vec{a}_t=&\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\text{,} \\ B_t \text{ auf der Geraden } g_b:&\vec{b}_t=&\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} \text{ und} \\ C_t \text{ auf der Geraden } g_c:&\vec{c}_t=&\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\text{.} \end{array}$
$\begin{array}{rl} A_t \text{ auf der Geraden } g_a: \\ \vec{a}_t=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\text{,} \\ B_t \text{ auf der Geraden } g_b: \\ \vec{b}_t=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} \text{ und} \\ C_t \text{ auf der Geraden } g_c: \\ \vec{c}_t=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\text{.} \end{array}$
Die Punkte $A_t$, $B_t$ und $C_t$ bilden für alle $t\in\mathbb{R}$ ein Dreieck $\Delta_t$.
1.
1.1 Zeichnen Sie in das Koordinatensystem (Material 1) die drei Geraden sowie die Dreiecke $\Delta_0$, $\Delta_1$ und $\Delta_2$ ein.
(4P)
1.2 Untersuchen Sie, ob die Dreiecke $\Delta_t$ gleichseitig sind.
(3P)
1.3 Die Punkte $A_t$, $B_t$ und $C_t$ legen für jedes $t$ eine Ebene $E_t$ fest.
Bestimmen Sie eine Ebenengleichung der Ebene $E_t$ in Parameterform.
Zeigen Sie, dass $\vec{n}=\begin{pmatrix}t^{2}-t+1\\t^{2}-t+1\\t^{2}-t+1\end{pmatrix}$ ein Normalenvektor von $E_t$ ist, und begründen Sie damit die Parallelität der Ebenen.
Bestimmen Sie den Abstand zweier beliebiger dieser Ebenen $E_t$ und $E_{t+k}$ mit $k\in\mathbb{R}$.
(11P)
1.4 Erläutern Sie die in Material 2 durchgeführten Rechenschritte und das Ergebnis im Sachzusammenhang.
(4P)
2. Die Punkte $A_t$, $B_t$ und $C_t$ bilden zusammen mit dem Ursprung eine Schar von Pyramiden in Abhängigkeit von $t$. Das Volumen einer solchen Pyramide kann mit der Formel
$V(t)=\dfrac{1}{6}\cdot\left|\left(\vec{a}_{t}\times\vec{b}_{t}\right)\cdot\vec{c}_{t}\right|$ berechnet werden.
2.1 Zeigen Sie, dass $V(t)=\dfrac{1}{6}\cdot\left|\left(t^{3}+1\right)\right|$ gilt, und bestimmen Sie $t$ so, dass das Volumen $V(t)$ den Wert $\dfrac{3}{2}$ annimmt.
(4P)
2.2 Untersuchen Sie, ob die Pyramide mit der minimalen Grundfläche auch die Pyramide mit dem minimalen Volumen ist.
(4P)
Material 1
B1 - Analytische Geometrie
B1 - Analytische Geometrie
Material 2
$\begin{array}{rllll} (1)&\overline{AB}&=&\begin{pmatrix}t-1\\1\\-t\end{pmatrix}; \\ &\overline{AC}&=&\begin{pmatrix}-1\\t\\1-t\end{pmatrix} \\ \\ (2)&A(t)&=&\dfrac{1}{2}\left|\begin{pmatrix}t-1\\1\\-t\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-1\\t\\1-t\end{pmatrix}\right| \\ \\ (3)&A(t)&=&\dfrac{\sqrt{3}\cdot\left(t^{2}-t+1\right)}{2} \\ \\ (4)&A'(t)&=&\dfrac{\sqrt{3}\cdot(2\cdot t-1)}{2}; \\ &A''(t)&=&\sqrt{3} \\ \\ (5)&\dfrac{\sqrt{3}\cdot(2\cdot t-1)}{2}&=&0 \\ &\Rightarrow \qquad t&=&\dfrac{1}{2} \\ \\ (6)&A''\left(\dfrac{1}{2}\right)&=&\sqrt{3} \qquad >0 \\ &\Rightarrow \text{ Minimum} \end{array}$
$\begin{array}{rl} (1)&\overline{AB} \\ &= \\ &\begin{pmatrix}t-1\\1\\-t\end{pmatrix}; \\ \\ &\overline{AC} \\ &= \\ &\begin{pmatrix}-1\\t\\1-t\end{pmatrix} \\ \\ (2)&A(t) \\ &= \\ &\dfrac{1}{2}\left|\begin{pmatrix}t-1\\1\\-t\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-1\\t\\1-t\end{pmatrix}\right| \\ \\ (3)&A(t) \\ &= \\ &\dfrac{\sqrt{3}\cdot\left(t^{2}-t+1\right)}{2} \\ \\ (4)&A'(t) \\ &= \\ &\dfrac{\sqrt{3}\cdot(2\cdot t-1)}{2}; \\ \\ &A''(t) \\ &= \\ &\sqrt{3} \\ \\ (5)&\dfrac{\sqrt{3}\cdot(2\cdot t-1)}{2} \\ &= \\ &0 \\ &\Rightarrow \\ &t \\ &= \\ &\dfrac{1}{2} \\ \\ (6)&A''\left(\dfrac{1}{2}\right) \\ &= \\ &\sqrt{3} \qquad >0 \\ &\Rightarrow \\ &\text{Minimum} \end{array}$
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1.
1.1 $\blacktriangleright$ Geraden und Dreiecke in Koordinatensystem einzeichnen
Du hast drei Geraden $g_a$, $g_b$ und $g_c$ gegeben. Gleichzeitig stellen die einzelnen Geraden die Koordinaten von den Punkten $A_t$, $B_t$ und $C_t$ dar, die sich durch unterschiedliche Werte für den Parameter $t$ ändern.
  • $g_a$:$\quad$$\vec{a}_t=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\\[5pt]$
  • $g_b$:$\quad$$\vec{b}_t=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\\[5pt]$
  • $g_c$:$\quad$$\vec{c}_t=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\\[5pt]$
$A_t$, $B_t$ und $C_t$ bilden Dreiecke $\Delta_t$.
Für diese Aufgabe sollst du die Geraden in das Koordinatensystem aus Material 1 einzeichnen. Dabei stellt bei z.B. $g_a$ der Vektor $\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$ den Stützvektor der Geraden $g_a$ dar, seine Koordinaten bilden somit einen Punkt auf der Geraden, von der aus der Richtungsvektor $\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$ die Richtung der Geraden angibt.
Zeichne dir so die drei Geraden in das Koordinatensystem ein.
Weiterhin sollen die Dreiecke $\Delta_0$, $\Delta_1$ und $\Delta_2$ eingezeichnet werden.
Diese bilden sich aus den Punkten $A_t$, $B_t$ und $C_t$.
Die Indizes, also 0, 1, 2 geben den Parameter $t$ der Geraden an, der die Punkte bildet.
Um die Punkte zu erhalten, die die Dreiecke bilden, musst du die gegebenen Parameter in die Geradengleichungen einsetzen. $A_t$ bildet sich aus $g_a$, $B_t$ aus $g_b$ und $C_t$ aus $g_c$.
1.2 $\blacktriangleright$ Dreieck $\boldsymbol \Delta_t$ auf Gleichseitigkeit untersuchen
Da in einem gleichseitigen Dreieck alle Seiten gleich lang sind, musst du hier prüfen, ob die Seitenlängen $\left|\overrightarrow{A_tB_t}\right|$, $\left|\overrightarrow{B_tC_t}\right|$ und $\left|\overrightarrow{A_tC_t}\right|$ die gleiche Länge haben, also ihr Betrag identisch ist.
Der Betrag eines Vektors $\vec{v}=\begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{pmatrix}$ berechnet sich mit folgender Formel:
$|\vec{v}|=\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}$
Berechne im 1. Schritt die Verbindungsvektoren $\left|\overrightarrow{A_tB_t}\right|$, $\left|\overrightarrow{B_tC_t}\right|$ und $\left|\overrightarrow{A_tC_t}\right|$, um dann anschließend im 2. Schritt deren Beträge berechnen zu können.
1.3 $\blacktriangleright$ Ebenengleichung aufstellen und anschließend auf Eigenschaften untersuchen
Bei dieser Aufgabe sollst du eine Ebenengleichung aus den Punkten $A_t$, $B_t$ und $C_t$ in Parameterform aufstellen. Anschließend soll gezeigt werden, dass der gegebene Normalenvektor ein Normalenvektor der Ebene ist. Damit wird dann die Parallelität der Ebenen untersucht. Zum Schluss sollst du den Abstand zweier beliebiger Ebenen berechnen.
Um aus den Punkten eine Ebenengleichung aufzustellen, musst du im 1. Schritt einen der Punkte als Stützpunkt der Ebene auswählen, um mit diesem und den anderen Punkten dann die Richtungsvektoren berechnen zu können:
$E_t:\quad \vec{x}=\overrightarrow{OA_t}+r\cdot(\overrightarrow{b_t}-\overrightarrow{a_t})+s\cdot(\overrightarrow{c_t}-\overrightarrow{a_t})$
Im 2. Schritt, wird dann der Normalenvektor der Ebene berechnet und geprüft, ob dieser mit dem Normalenvektor aus der Aufgabe übereinstimmt, bzw. ein Vielfaches davon ist. Berechne dazu das Kreuzprodukt aus den Richtungsvektoren.
Anhand des Normalenvektors kann dann im 3. Schritt gezeigt werden, dass die Ebenen parallel sind. Zwei Ebenen sind dann parallel, wenn ihre Normalenvektoren Vielfache voneinander sind.
Im 4. Schritt wird dann mit der Hesse'schen Normalenform der Abstand zweier Ebenen berechnet.
1.4 $\blacktriangleright$ Rechenschritte im Sachzusammenhang erläutern
Bei dieser Aufgabe sollst du die Rechenschritte aus Material 2 im Sachzusammenhang erläutern, d.h. erläutern, was genau bei den Schritten berechnet wurde und was damit erreicht wird.
2.
2.1 $\blacktriangleright$ Volumengleichung beweisen und ein $\boldsymbol{t}$ bestimmen
$A_t$, $B_t$ und $C_t$ bilden mit dem Ursprung eine Pyramidenschar, abhängig von $t$. Das Volumen einer Pyramide mit dreieckiger Grundfläche lässt sich mit der Formel $V(t)=\dfrac{1}{6}\cdot\left|(\vec{a_t}\times\vec{b_t})\cdot\vec{c_t}\right|$ berechnen.
Um zu zeigen, dass sich das Volumen auch mit der Formel $V(t)=\left|(t^3+1)\right|$ berechnen lässt, stellst du die allgemeine Formel auf die neue Form um, indem du alles die Vektoren einsetzt und soweit vereinfachst bis du das gesuchte Ergebnis erhältst.
Anschließend setzt du für $V(t)$ den Wert $\frac{3}{2}$ ein und stellst nach $t$ um.
2.2 $\blacktriangleright$ Prüfen, wann Pyramide minimales Volumen besitzt
Material 2 kannst du entnehmen, dass die Grundfläche bei $t=0,5$ den minimalen Flächeninhalt besitzt.
Prüfe, wann das Volumen minimal ist, und vergleiche die beiden Parameterwerte.
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1.
1.1 $\blacktriangleright$ Geraden und Dreiecke in Koordinatensystem einzeichnen
Du hast drei Geraden $g_a$, $g_b$ und $g_c$ gegeben. Gleichzeitig stellen die einzelnen Geraden die Koordinaten von den Punkten $A_t$, $B_t$ und $C_t$ dar, die sich durch unterschiedliche Werte für den Parameter $t$ ändern.
  • $g_a$:$\quad$$\vec{a}_t=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\\[5pt]$
  • $g_b$:$\quad$$\vec{b}_t=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\\[5pt]$
  • $g_c$:$\quad$$\vec{c}_t=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\\[5pt]$
$A_t$, $B_t$ und $C_t$ bilden Dreiecke $\Delta_t$.
Für diese Aufgabe sollst du die Geraden in das Koordinatensystem aus Material 1 einzeichnen. Dabei stellt bei z.B. $g_a$ der Vektor $\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$ den Stützvektor der Geraden $g_a$ dar, seine Koordinaten bilden somit einen Punkt auf der Geraden, von der aus der Richtungsvektor $\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$ die Richtung der Geraden angibt.
Zeichne dir so die drei Geraden in das Koordinatensystem ein.
Weiterhin sollen die Dreiecke $\Delta_0$, $\Delta_1$ und $\Delta_2$ eingezeichnet werden.
Diese bilden sich aus den Punkten $A_t$, $B_t$ und $C_t$.
Die Indizes, also 0, 1, 2 geben den Parameter $t$ der Geraden an, der die Punkte bildet.
B1 - Analytische Geometrie
B1 - Analytische Geometrie
Um die Punkte zu erhalten, die die Dreiecke bilden, musst du die gegebenen Parameter in die Geradengleichungen einsetzen. $A_t$ bildet sich aus $g_a$, $B_t$ aus $g_b$ und $C_t$ aus $g_c$.
Für $\Delta_0$ ergeben sich so die Punkte:
  • $\overrightarrow{OA_0}:\quad\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+0\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\\[5pt]$
  • $\overrightarrow{OB_0}:\quad\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}+0\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\\[5pt]$
  • $\overrightarrow{OC_0}:\quad\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}+0\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\\[5pt]$
Für $\Delta_1$ und $\Delta_2$ ergeben sich nach gleichem Vorgehen:
$\Delta_1$: $\qquad$ $\Delta_2$:
  • $\overrightarrow{OA_1}=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}\\[5pt]$
  • $\overrightarrow{OB_1}=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\\[5pt]$
  • $\overrightarrow{OC_1}=\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}$
  • $\overrightarrow{OA_2}=\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}\\[5pt]$
  • $\overrightarrow{OB_2}=\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}\\[5pt]$
  • $\overrightarrow{OC_2}=\begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix}$
$\Delta_1$:
  • $\overrightarrow{OA_1}=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}\\[5pt]$
  • $\overrightarrow{OB_1}=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\\[5pt]$
  • $\overrightarrow{OC_1}=\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}$
$\Delta_2$:
  • $\overrightarrow{OA_2}=\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}\\[5pt]$
  • $\overrightarrow{OB_2}=\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}\\[5pt]$
  • $\overrightarrow{OC_2}=\begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix}$
Trage diese Punkte nun in das Koordinatensystem ein, damit du die Dreiecke erhältst.
B1 - Analytische Geometrie
B1 - Analytische Geometrie
1.2 $\blacktriangleright$ Dreieck $\boldsymbol \Delta_t$ auf Gleichseitigkeit untersuchen
Da in einem gleichseitigen Dreieck alle Seiten gleich lang sind, musst du hier prüfen, ob die Seitenlängen $\left|\overrightarrow{A_tB_t}\right|$, $\left|\overrightarrow{B_tC_t}\right|$ und $\left|\overrightarrow{A_tC_t}\right|$ die gleiche Länge haben, also ihr Betrag identisch ist.
Der Betrag eines Vektors $\vec{v}=\begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{pmatrix}$ berechnet sich mit folgender Formel:
$|\vec{v}|=\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}$
Berechne im 1. Schritt die Verbindungsvektoren $\left|\overrightarrow{A_tB_t}\right|$, $\left|\overrightarrow{B_tC_t}\right|$ und $\left|\overrightarrow{A_tC_t}\right|$, um dann anschließend im 2. Schritt deren Beträge berechnen zu können.
$\blacktriangleright$ 1. Schritt: Verbindungsvektoren berechnen
$\begin{array}{rlll} \overrightarrow{A_tB_t}=&\overrightarrow{b_t}-\overrightarrow{a_t}&=&\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}-\left(\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right) \\ &&=&\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix} \\ \\ \overrightarrow{A_tC_t}=&\overrightarrow{c_t}-\overrightarrow{a_t}&=&\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}-\left(\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right) \\ &&=&\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix} \\ \\ \overrightarrow{B_tC_t}=&\overrightarrow{c_t}-\overrightarrow{b_t}&=&\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}-\left(\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\right) \\ &&=&\begin{pmatrix}0\\-1\\1\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix} \end{array}$
$\begin{array}{rl} \overrightarrow{A_tB_t}=&\overrightarrow{b_t}-\overrightarrow{a_t} \\ =&\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}-\left(\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right) \\ =&\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix} \\ \overrightarrow{A_tC_t}=&\overrightarrow{c_t}-\overrightarrow{a_t} \\ =&\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}-\left(\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right) \\ =&\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix} \\ \overrightarrow{B_tC_t}=&\overrightarrow{c_t}-\overrightarrow{b_t} \\ =&\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}-\left(\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\right) \\ =&\begin{pmatrix}0\\-1\\1\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix} \end{array}$
$\blacktriangleright$ 2. Schritt: Beträge der Verbindungsvektoren berechnen
$\begin{array}{rlll} \left|\overrightarrow{A_tB_t}\right|=&\left|\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}\right|&=&\sqrt{(-1+t)^2+1^2+(-t)^2} \\ &&=&\sqrt{1-2t+t^2+1+t^2} \\ &&=&\sqrt{2t^2-2t+2} \\ \left|\overrightarrow{A_tC_t}\right|=&\left|\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}\right|&=&\sqrt{(-1)^2+t^2+(1-t)^2} \\ &&=&\sqrt{1+t^2+1-2t+t^2} \\ &&=&\sqrt{2t^2-2t+2} \\ \left|\overrightarrow{B_tC_t}\right|=&\left|\begin{pmatrix}0\\-1\\1\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}\right|&=&\sqrt{(-t)^2+(-1+t)^2+1^2} \\ &&=&\sqrt{t^2+1-2t+t^2+1} \\ &&=&\sqrt{2t^2-2t+2} \end{array}$
$\begin{array}{rl} \left|\overrightarrow{A_tB_t}\right|=&\left|\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}\right| \\ =&\sqrt{(-1+t)^2+1^2+(-t)^2} \\ =&\sqrt{1-2t+t^2+1+t^2} \\ =&\sqrt{2t^2-2t+2} \\ \left|\overrightarrow{A_tC_t}\right|=&\left|\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}\right| \\ =&\sqrt{(-1)^2+t^2+(1-t)^2} \\ =&\sqrt{1+t^2+1-2t+t^2} \\ =&\sqrt{2t^2-2t+2} \\ \left|\overrightarrow{B_tC_t}\right|=&\left|\begin{pmatrix}0\\-1\\1\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}\right| \\ =&\sqrt{(-t)^2+(-1+t)^2+1^2} \\ =&\sqrt{t^2+1-2t+t^2+1} \\ =&\sqrt{2t^2-2t+2} \end{array}$
Wie du erkennen kannst sind alle Seitenlängen gleichlang. Damit ist bewiesen, dass die Dreiecke $\Delta_t$ gleichseitig sind.
1.3 $\blacktriangleright$ Ebenengleichung aufstellen und anschließend auf Eigenschaften untersuchen
Bei dieser Aufgabe sollst du eine Ebenengleichung aus den Punkten $A_t$, $B_t$ und $C_t$ in Parameterform aufstellen. Anschließend soll gezeigt werden, dass der gegebene Normalenvektor ein Normalenvektor der Ebene ist. Damit wird dann die Parallelität der Ebenen untersucht. Zum Schluss sollst du den Abstand zweier beliebiger Ebenen berechnen.
Um aus den Punkten eine Ebenengleichung aufzustellen, musst du im 1. Schritt einen der Punkte als Stützpunkt der Ebene auswählen, um mit diesem und den anderen Punkten dann die Richtungsvektoren berechnen zu können:
$E_t:\quad \vec{x}=\overrightarrow{OA_t}+r\cdot(\overrightarrow{b_t}-\overrightarrow{a_t})+s\cdot(\overrightarrow{c_t}-\overrightarrow{a_t})$
Im 2. Schritt, wird dann der Normalenvektor der Ebene berechnet und geprüft, ob dieser mit dem Normalenvektor aus der Aufgabe übereinstimmt, bzw. ein Vielfaches davon ist. Berechne dazu das Kreuzprodukt aus den Richtungsvektoren.
Anhand des Normalenvektors kann dann im 3. Schritt gezeigt werden, dass die Ebenen parallel sind. Zwei Ebenen sind dann parallel, wenn ihre Normalenvektoren Vielfache voneinander sind.
Im 4. Schritt wird dann mit der Hesse'schen Normalenform der Abstand zweier Ebenen berechnet.
$\blacktriangleright$ 1. Schritt: Ebenengleichung aufstellen
$E_t:\quad\vec{x}=\overrightarrow{OA_t}+r\cdot(\overrightarrow{b_t}-\overrightarrow{a_t})+s\cdot(\overrightarrow{c_t}-\overrightarrow{a_t})=\begin{pmatrix}1\\0\\t\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}-1+t\\1\\-t\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}-1\\t\\1-t\end{pmatrix}$
$\blacktriangleright$ 2. Schritt: Normalenvektor berechnen
Berechne nun das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren, um einen Normalenvektor $\vec{m}$ zu erhalten.
$\vec{m}=\begin{pmatrix}-1+t\\1\\-t\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-1\\t\\1-t\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}t^2-t+1\\t^2-t+1\\t^2-t+1\end{pmatrix}$
$\vec{m}=\vec{n}\qquad$
Der berechnete Normalenvektor ist identisch mit $\vec{n}$ aus der Aufgabe, sodass $\vec{n}$ ein Normalenvektor von $E_t$ ist.
$\blacktriangleright$ 3. Schritt: Parallelität beweisen
Die $x$-,$y$- und $z$-Koordinaten des Normalenvektors sind für alle eingesetzten Parameter identisch. Die Normalenvektoren $\vec{n}_t$ sind somit Vielfache voneinander.
Daraus folgt:
Die Ebenen sind parallel.
$\blacktriangleright$ 4. Schritt: Abstand zweier Ebenen berechnen
Stelle zunächst die Koordinatenform der Ebene $E_t$ auf.
$\begin{array}{rlll} E_t:&(t^2-t+1)x_1+(t^2-t+1)x_2+(t^2-t+1)x_3&=&d \\ &\Longleftrightarrow \\ &(t^2-t+1)\cdot(x_1+x_2+x_3)&=&d \end{array}$
$\begin{array}{rl} E_t:&(t^2-t+1)x_1+(t^2-t+1)x_2+(t^2-t+1)x_3 \\ =&d \\ &\Longleftrightarrow \\ &(t^2-t+1)\cdot(x_1+x_2+x_3) \\ =&d \end{array}$
Um $d$ zu erhalten, setzt du nun die Koordinaten eines Punktes, der in der Ebene liegt, in die Koordinatengleichung ein.
Einsetzen von $\begin{pmatrix}1\\0\\t\end{pmatrix}$ liefert:
$E_t:\quad (t^2-t+1)\cdot(x_1+x_2+x_3)=t^3+1$
$\begin{array}{rl} E_t:& (t^2-t+1)\cdot(x_1+x_2+x_3) \\ &=t^3+1 \end{array}$
Berechne nun den Betrag des Normalenvektors $\vec{n}$:
$|\vec{n}|=\sqrt{3\cdot(t^2-t+1)^2}=\sqrt{3}\cdot(t^2-t+1)$
Daraus ergibt sich nun die Hesse'sche Normalenform:
$\begin{array}{rl} d(E_t,P)=&\left|\dfrac{n_1x_1+n_2x_2+n_3x_3-d}{|\vec{n}|}\right| \\ =&\left|\dfrac{(t^2-t+1)\cdot(x_1+x_2+x_3)-(t^3+1)}{\sqrt{3}\cdot(t^2-t+1)}\right| \end{array}$
Um den Abstand zweier Ebenen $E_t$ und $E_{t+k}$ zu berechnen, musst du jetzt einen Punkt, der auf $E_{t+k}$ liegt, in die HNF von $E_t$ einsetzen. Ein solcher Punkt bildet sich aus den Koordinaten des Stützvektors von $E_{t+k}$.
Einsetzen von $P(1\mid0\mid t+k)$ ergibt:
$\begin{array}{rl} d(E_t,P)=&\left|\dfrac{(t^2-t+1)\cdot(1+t+k)-(t^3+1)}{\sqrt{3}\cdot(t^2-t+1)}\right| \\ =&\left|\dfrac{t^2+t^3+kt^2-t-t^2-tk+1+t+k-t^3-1}{\sqrt{3}\cdot(t^2-t+1)}\right| \\ =&\left|\dfrac{kt^2-tk+k}{\sqrt{3}\cdot(t^2-t+1)}\right| \\ =&\left|\dfrac{k\cdot(t^2-t+1)}{\sqrt{3}\cdot(t^2-t+1)}\right| \\ d(E_t,P)=&\left|\dfrac{k}{\sqrt{3}}\right| \end{array}$
Der Abstand zwischen zwei Ebenen $E_t$ und $E_{t+k}$ beträgt $\left| \frac{k}{\sqrt{3}}\right|$ Längeneinheiten.
1.4 $\blacktriangleright$ Rechenschritte im Sachzusammenhang erläutern
Bei dieser Aufgabe sollst du die Rechenschritte aus Material 2 im Sachzusammenhang erläutern, d.h. erläutern, was genau bei den Schritten berechnet wurde und was damit erreicht wird.
$\blacktriangleright$ 1. Schritt:
Im 1. Schritt werden die Verbindungsvektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AC}$ berechnet (siehe auch Aufgabe 1.3).
$\blacktriangleright$ 2. Schritt:
Anschließend wird ein Ansatz gestartet, um den Flächeninhalt eines Dreiecks $\Delta_t$ abhängig von $t$ zu bestimmen. Das kannst du daran sehen, dass sich der Flächeninhalt eines Dreiecks mit folgender Formel berechnen lässt:
$A=\dfrac{1}{2}\cdot|\vec{n}|$
Der Normalenvektor ist dabei das Vektorprodukt der Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AC}$.
Die Formel stammt aus der Definition des Vektorprodukts. Der Betrag des Kreuzprodukts zweier Vektoren bildet den Flächeninhalt des von den Vektoren aufgespannten Parallelogramms.
$\blacktriangleright$ 3. Schritt:
Der 3. Schritt zeigt die ausformulierte Form des 2. Schritts. Der Betrag von $\vec{n}$ wird halbiert, um die Fläche des Dreiecks zu berechnen. Da es sich um eine Schar von Dreiecken handelt, stellt dieser Schritt nun die Funktion des Flächeninhalts abhängig von $t$ dar.
$\blacktriangleright$ 4. Schritt:
Im 4. Schritt werden die erste und die zweite Ableitung dieser Funktion $A(t)$ gebildet, um die Funktion auf Extremstellen zu untersuchen.
$\blacktriangleright$ 5. Schritt:
Hier wird eine Nullstelle der ersten Ableitungsfunktion berechnet.
Das notwendige Kriterium für Extremstellen kommt zum Einsatz:
$A'(t)=0$
Die Ableitung der Funktion wird dabei mit 0 gleichgesetzt. Die Stelle $t=\dfrac{1}{2}$ stellt nun die Stelle eines möglichen Extrempunktes dar.
$\blacktriangleright$ 6. Schritt:
Da es sich auch um einen Sattelpunkt handeln könnte, wird nun die hinreichende Bedingung für Extremstellen überprüft:
$A''(t)\neq 0$
Die zweite Ableitung, mit $t=\dfrac{1}{2}$ eingesetzt, ist größer 0, daher handelt es sich bei dem Extremum um ein Minimum, d.h. beim Parameterwert $t=\dfrac{1}{2}$ nimmt das Dreieck $\Delta_t$ den minimalen Flächeninhalt an.
2.
2.1 $\blacktriangleright$ Volumengleichung beweisen und ein $\boldsymbol{t}$ bestimmen
$A_t$, $B_t$ und $C_t$ bilden mit dem Ursprung eine Pyramidenschar, abhängig von $t$. Das Volumen einer Pyramide mit dreieckiger Grundfläche lässt sich mit der Formel $V(t)=\dfrac{1}{6}\cdot\left|(\vec{a_t}\times\vec{b_t})\cdot\vec{c_t}\right|$ berechnen.
Um zu zeigen, dass sich das Volumen auch mit der Formel $V(t)=\left|(t^3+1)\right|$ berechnen lässt, stellst du die allgemeine Formel auf die neue Form um, indem du alles die Vektoren einsetzt und soweit vereinfachst bis du das gesuchte Ergebnis erhältst.
Anschließend setzt du für $V(t)$ den Wert $\frac{3}{2}$ ein und stellst nach $t$ um.
$\blacktriangleright$ 1. Schritt: Volumengleichung beweisen
$\begin{array}{rll} V(t)=&\dfrac{1}{6}\cdot\left|(\vec{a_t}\times\vec{b_t})\cdot\vec{c_t}\right|&\scriptsize \text{Einsetzen von}\;\vec{a_t},\; \vec{b_t}\;\text{und}\;\vec{c_t} \\ =&\dfrac{1}{6}\cdot\left|\left(\begin{pmatrix}1\\0\\t\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}t\\1\\0\end{pmatrix}\right)\cdot\begin{pmatrix}0\\t\\1\end{pmatrix}\right| \\ =&\dfrac{1}{6}\cdot\left|\begin{pmatrix}t\\t^2\\1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0\\t\\1\end{pmatrix}\right| \\ =&\dfrac{1}{6}\cdot\left|(t^3+1)\right| \end{array}$
$\begin{array}{rl} V(t)=&\dfrac{1}{6}\cdot\left|(\vec{a_t}\times\vec{b_t})\cdot\vec{c_t}\right| \\ =&\dfrac{1}{6}\cdot\left|\left(\begin{pmatrix}1\\0\\t\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}t\\1\\0\end{pmatrix}\right)\cdot\begin{pmatrix}0\\t\\1\end{pmatrix}\right| \\ =&\dfrac{1}{6}\cdot\left|\begin{pmatrix}t\\t^2\\1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0\\t\\1\end{pmatrix}\right| \\ =&\dfrac{1}{6}\cdot\left|(t^3+1)\right| \end{array}$
Die allgemeine Formel zur Berechnung einer Pyramide mit dreieckiger Grundfläche lässt sich somit auf die Form $V(t)=\left|(t^3+1)\right|$ bringen. Dadurch ist bewiesen, dass die Formel gültig ist.
$\blacktriangleright$ 2. Schritt: $\boldsymbol{t}$ ermitteln
Um die Betragsstriche aufzulösen wird eine Fallunterscheidung durchgeführt:
Für $(t^3+1)>0$:
$\begin{array}{rll} V(t)=&\dfrac{1}{6}\cdot\left|(t^3+1)\right| \\ \dfrac{3}{2}=&\dfrac{1}{6}\cdot\left|(t^3+1)\right|&\scriptsize\mid\;:\dfrac{1}{6} \\ 9=&t^3+1&\scriptsize \mid\;-1 \\ 8=&t^3&\scriptsize \mid\;\sqrt[3]{\hspace{.2cm}} \\ t_1=&2 \end{array}$
$\begin{array}{rl} V(t)=&\dfrac{1}{6}\cdot\left|(t^3+1)\right| \\ \dfrac{3}{2}=&\dfrac{1}{6}\cdot\left|(t^3+1)\right| \\ 9=&t^3+1 \\ 8=&t^3 \\ t_1=&2 \end{array}$
Für $(t^3+1)<0$:
$\begin{array}{rll} V(t)=&\dfrac{1}{6}\cdot\left|(t^3+1)\right| \\ \dfrac{3}{2}=&\dfrac{1}{6}\cdot\left|(t^3+1)\right|&\scriptsize\mid\;:\dfrac{1}{6} \\ 9=&-(t^3+1)&\scriptsize \mid\;+1 \\ 10=&-t^3&\scriptsize \mid\;\sqrt[3]{\hspace{.2cm}} \\ t_2=&-\sqrt[3]{10} \end{array}$
$\begin{array}{rl} V(t)=&\dfrac{1}{6}\cdot\left|(t^3+1)\right| \\ \dfrac{3}{2}=&\dfrac{1}{6}\cdot\left|(t^3+1)\right| \\ 9=&-(t^3+1) \\ 10=&-t^3 \\ t_2=&-\sqrt[3]{10} \end{array}$
Bei den Werten $t_1=2$ und $t_2=-\sqrt[3]{10}$ nimmt das Volumen den Wert $\dfrac{3}{2}$ an.
2.2 $\blacktriangleright$ Prüfen, wann Pyramide minimales Volumen besitzt
Material 2 kannst du entnehmen, dass die Grundfläche bei $t=0,5$ den minimalen Flächeninhalt besitzt.
Prüfe, wann das Volumen minimal ist, und vergleiche die beiden Parameterwerte.
Minimales Volumen finden
Die Pyramide hat ein minimales Volumen, wenn die vier Punkte, d.h. die Spitze und die Punkte, die die Grundfläche bilden, in einer Ebene liegen. Dort nimmt es das Volumen von $V=0$ an.
Die Funktionsgleichung für das Volumen lautet $V(t)=\dfrac{1}{6}\cdot\left|(t^3+1)\right|$.
$V(t)$ geht gegen 0, wenn $(t^3+1)$ gegen 0 geht, d.h. für $t=-1$.
Parameter vergleichen
Da laut Material 2 der Flächeninhalt bei $t=0,5$ minimal ist, ist die Pyramide mit minimaler Grundfläche nicht gleichzeitig die Pyramide mit minimalem Volumen.
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