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Aufgaben
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Der Stammumfang einer Tanne kann annähernd beschrieben werden durch die Funktion $f$ mit
$f(t)=\dfrac {4} {1 + 20\mathrm{e}^{-0,05t}}$.

Dabei gibt $t$ die Zeit in Jahren seit Beginn des Beobachtungszeitraums an, $f(t)$ den Stammumfang in Metern. Der Graph von $f$ ist im Material abgebildet.
1.1
Ermittle den Stammumfang der Tanne zu Beginn des Beobachtungszeitraums und begründe ohne Bezugnahme auf den Graphen mithilfe des Funktionsterms, dass gemäß dieser Modellierung der Stammumfang der Tanne nicht mehr als vier Meter betragen kann.
(6P)
#funktionswert
1.2
Zeige, dass für die zweite Ableitung von $f$ gilt:

$f''(t)=\dfrac{{4\mathrm{e}}^{-0,05t}\left(\mathrm{e}^{-0,05t}-0,05\right)}{\left(1+{20\mathrm{e}}^{-0,05t}\right)^3}$
$\left[\text{zur Kontrolle:}\;f'(t)=\dfrac{{4\mathrm{e}}^{-0,05t}}{\left(1+{20\mathrm{e}}^{-0,05t}\right)^2}\right]$
(8P)
#ableitung
1.3
Berechne den Zeitpunkt des stärksten Wachstums des Stammumfangs. Die Überprüfung der notwendigen Bedingung ist ausreichend. Gib eine Skalierung der Achsen des Koordinatensystems im Material an.
(6P)
#maßstab#koordinaten
1.4
Bestimme den Wert des Integrals $\dfrac{1}{10}\displaystyle\int_{0}^{10} f(t)\;\mathrm dt$ und deute das Ergebnis im Sachzusammenhang.
(3P)
#integral
2.
Umgekehrt lässt sich aus dem Stammumfang der Tanne auf die seit Beginn des Beobachtungszeitraums vergangene Zeit schließen.
2.1
In einer hessischen Gemeinde ist für das Fällen eines Baumes die Genehmigung durch das Forstamt vorgeschrieben, wenn der Baumstamm einen Umfang von $60\,\text{cm}$ oder mehr besitzt. Berechne, ab welchem Zeitpunkt nach Beginn des Beobachtungszeitraums eine Genehmigung zum Fällen der Tanne eingeholt werden muss.
(6P)
2.2
Bestimme die Funktionsgleichung der Umkehrfunktion von $f$ und begründe, warum die Funktion umkehrbar ist
(6P)
#umkehrfunktion
3.
Die Funktion $f$ beschreibt ein sogenanntes logistisches Wachstum, die obere Schranke $S = 4$ wird als Sättigungsmenge bezeichnet. Bei einem logistischen Wachstum ist die Wachstumsgeschwindigkeit $f'(t)$ proportional zum Produkt aus dem Bestand $f(t)$ und der Differenz zur Sättigungsmenge $(S-f(t))$, d.h., es gilt die Bedingung $f'(t)=c\cdot\;f(t)\cdot(S-f(t))$ mit dem Proportionalitätsfaktor $c>0$.
Zeige mithilfe einer geeigneten Rechnung, dass der Proportionalitätsfaktor $c$ den Wert $c=\dfrac{1}{80}$ annimmt.
(5P)
#wachstum

Material


Bildnachweise [nach oben]
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1.1
$\blacktriangleright$  Stammumfang zu Beginn berechnen
Um den Stammumfang zu Beginn des Beobachtungszeitraums zu ermitteln, musst du $t=0$ in die Funktion einsetzen.
$\blacktriangleright$  Maximalen Stammumfang begründen
Der maximale Umfang des Stammes ergibt sich aus dem Verhalten der $\mathrm e$-Funktion.
1.2
$\blacktriangleright$  Zweite Ableitung bestimmen
Um die Funktion abzuleiten, kannst du den Nenner umschreiben.
Für die zweite Ableitung brauchst du die Quotientenregel. Beachte, dass du für die einzelnen Schritte auch die Kettenregel brauchst.
1.3
$\blacktriangleright$  Zeitpunkt des stärksten Wachstums
Die ursprüngliche Funktion gibt den Umfang des Stammes an, also wird das Wachstum durch die erste Ableitung beschrieben.
Du musst also eine Extremstelle der ersten Ableitung finden und dazu die zweite Ableitung gleich Null setzen.
1.4
$\blacktriangleright$  Bestimmen des Werts des Integrals
Den Wert des Integrals kannst du mit dem Taschenrechner bestimmen.
2.1
$\blacktriangleright$  Berechnen des Stammumfangs
Gefragt ist nach dem Zeitpunkt, ab dem der Stammumfang $60\text{cm}$ oder mehr beträgt. Also musst du die Funktion mit $0,6$ gleichsetzen und nach $t$ auflösen.
2.2
$\blacktriangleright$  Bestimmen der Umkehrfunktion
Um die Umkehrfunktion zu bestimmen, muss zunächst die Funktion nach $t$ aufgelöst werden. Dann kannst du die Variablen $t$ und $y$ vertauschen und erhältst so die Umkehrfunktion.
3
$\blacktriangleright$  Zeigen des Proportionalitätsfaktors
Die Funktion selbst, die Ableitung und die Schranke sind bekannt. Um zu zeigen, dass der Proportionalitätsfaktor $c=\dfrac{1}{80}$ ist, kannst du alles in die gegebene Bedingung einsetzen und diese nach $c$ auflösen.
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Lösungen
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1.1
$\blacktriangleright$  Stammumfang zu Beginn berechnen
Um den Stammumfang zu Beginn des Beobachtungszeitraums zu ermitteln, musst du $t=0$ in die Funktion einsetzen.
Somit ist
$f(0)=\dfrac{4}{1+20\mathrm e^{(-0,05\cdot0)}}-0,05\cdot0 = \dfrac{4}{1+20\cdot1} \approx 0,190$.
$ f(0)\approx0,190 $
Der Stammumfang beträgt zum Beobachtungsbeginn also ungefähr $0,19$ Meter.
$\blacktriangleright$  Maximalen Stammumfang begründen
Der maximale Umfang des Stammes ergibt sich aus dem Verhalten der $\mathrm e$-Funktion.
Diese nähert sich mit immer größerem negativem Exponent Null an, wird jedoch nie negativ. Also strebt der Nenner der Funktion für immer größere $t$ gegen Eins und somit die Funktion als ganzes gegen Vier.
#funktionswert#exponentialfunktion
1.2
$\blacktriangleright$  Zweite Ableitung bestimmen
Um die Funktion abzuleiten, kannst du den Nenner umschreiben.
Für die zweite Ableitung brauchst du die Quotientenregel. Beachte, dass du für die einzelnen Schritte auch die Kettenregel brauchst.
$f(t)=4\cdot(1+20\cdot\mathrm e^{-0.05t})^{-1}$
Nun kann die Kettenregel zweimal angewendet werden, einmal auf den Term aus dem Nenner und einmal auf den Exponenten der $\mathrm e$-Funktion:
$f'(t)=4\cdot(-1)\cdot(1+20\cdot\mathrm e^{-0.05t})^{-2}\cdot20\mathrm e^{-0,05t}\cdot(-0,05)$
$ f'(t)= … $
Zusammengefasst:
$f'(t)=\dfrac{4\cdot\mathrm e^{-0,05t}}{(1+20\mathrm e^{-0,05t})^{2}}$
$f''(t) = \dfrac{4\mathrm e^{-0,05t}\cdot(-0,05)\cdot(1+20\mathrm e^{-0,05t})^{2}+4\mathrm e^{-0,05t}\cdot(-2)\cdot(1+20\mathrm e^{-0,05t})\cdot20\mathrm e^{-0,05t}\cdot(-0,05)}{(1+20\mathrm e^{-0,05t})^{4}}$
$ f''(t)= … $
Um die Ableitung auf die gewünschte Form zu bringen, musst du noch kürzen, ausklammern und zusammenfassen:
$f''(t) = \dfrac{4\mathrm e^{-0,05t}\cdot(-0,05)\cdot(1+20\mathrm e^{-0,05t})-4\mathrm e^{-0,05t}\cdot2\cdot20\mathrm e^{-0,05t}\cdot(-0,05)}{(1+20\mathrm e^{-0,05t})^{3}}$
$ f''(t)= … $
$f''(t)=\dfrac{4\mathrm e^{-0,05t}\cdot(\mathrm e^{-0,05t}-0,05)}{(1+20\mathrm e^{-0,05t})^{3}}$
Damit hast du gezeigt, dass die Behauptung aus der Aufgabe stimmt.
#kettenregel#quotientenregel#ableitung
1.3
$\blacktriangleright$  Zeitpunkt des stärksten Wachstums
Die ursprüngliche Funktion gibt den Umfang des Stammes an, also wird das Wachstum durch die erste Ableitung beschrieben.
Du musst also eine Extremstelle der ersten Ableitung finden und dazu die zweite Ableitung gleich Null setzen.
$f''(t)=\dfrac{4\mathrm e^{-0,05t}\cdot(\mathrm e^{-0,05t}-0,05)}{(1+20\mathrm e^{-0,05t})^{3}} = 0$
$ f''(t)=0 $
Mit dem Satz vom Nullprodukt kann die Gleichung in zwei Gleichungen aufgeteilt werden. Du erhältst:
$0=4\mathrm e^{-0,05t}$ und $0=\mathrm e^{-0,05t}-0,05$
Aus der ersten Gleichung folgt $\ln(0)$, also muss das gesuchte $t$ mit der zweiten Gleichung zu bestimmen sein. Der natürliche Logarithmus hat für den Wert Null keine Lösung.
$\begin{array}[t]{rll} 0&=&\mathrm e^{-0,05t}-0,05&\quad \scriptsize \mid\;+0,05 \\[5pt] 0,05&=&\mathrm e^{-0,05t}&\quad \scriptsize \mid\;\ln() \\[5pt] \ln(0,05)&=&-0,05t&\quad \scriptsize \mid\;\cdot (-20) \\[5pt] t&\approx& 59,915 \end{array}$
$ t\approx59,915 $
Da nur die notwendige Bedingung überprüft werden soll, genügt dieses t.
Das stärkste Wachstum tritt also nach etwa 59,915 Jahren ein.
Die Achsen müssen so skaliert werden, dass die Funktion gegen $4$ strebt und bei ca. $60$ die größte Steigung hat.
#satzvomnullprodukt#exponentielleswachstum#extrempunkt
1.4
$\blacktriangleright$  Bestimmen des Werts des Integrals
Den Wert des Integrals kannst du mit dem Taschenrechner bestimmen. Er beträgt etwa $0,243$m.
Das Integral selbst gibt ohne Vorfaktor die gesamte Zunahme des Umfangs in den ersten zehn Jahren an. Da der Wert jedoch durch 10 geteilt wird, ergibt sich die durchschnittliche Zunahme des Umfangs pro Jahr in den ersten 10 Jahren.
#integral
2.1
$\blacktriangleright$  Berechnen des Stammumfangs
Gefragt ist nach dem Zeitpunkt, ab dem der Stammumfang $60\text{cm}$ oder mehr beträgt. Also musst du die Funktion mit $0,6$ gleichsetzen und nach $t$ auflösen.
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{4}{(1+20\mathrm e^{-0,05t})}&=&0,6 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot(1+20\mathrm e^{-0,05t})\cdot \frac{1}{0,6} \\[5pt] 1+20\mathrm e^{-0,05t}&=&\dfrac{20}{3} &\quad \scriptsize \mid\;-1; \cdot\frac{1}{20}\\[5pt] \mathrm e^{-0,05t}&=&\dfrac{17}{60} &\quad \scriptsize \mid\;\ln() ; \cdot (-20) \\[5pt] t&\approx& 25,223 \end{array}$
$ t\approx25,223 $
Es muss nach 25,223 Jahren eine Genehmigung zum Fällen eingeholt werden, da der Baum dann $60\text{cm}$ Umfang erreicht hat.
#gleichung#exponentialfunktion
2.2
$\blacktriangleright$  Bestimmen der Umkehrfunktion
Um die Umkehrfunktion zu bestimmen, muss zunächst die Funktion nach $t$ aufgelöst werden. Dann kannst du die Variablen $t$ und $y$ vertauschen und erhältst so die Umkehrfunktion.
$\begin{array}[t]{rll} y&=&\dfrac{4}{1+20\mathrm e^{-0,05t}} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot(1+20\mathrm e^{-0,05t})\cdot\frac{1}{y} -1 \\[5pt] 20\mathrm e^{(-0,05t)}&=&\frac{4}{y}-1 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot \frac{1}{20}; \ln() \\[5pt] -0,05t&=&\ln\left(\dfrac{\frac{4}{y}-1}{20}\right) &\quad \scriptsize \mid\;\cdot\frac{1}{-0,05} \\[5pt] t&=&\frac{\ln\left(\dfrac{4-y}{20y}\right)}{-0,05} \end{array}$
$ t=\frac{\ln\left(\dfrac{4-y}{20y}\right)}{-0,05} $
Nun werden $t$ und $y$ vertauscht und du erhältst die Umkehrfunktion mit
$y=-20 \cdot \ln\left(\dfrac{4-t}{20t}\right)$.
Die Funktion ist umkehrbar, da sie streng monoton ist und somit jedem Wert von $t$ genau einen Funktionswert zuordnet.
#umkehrfunktion
3
$\blacktriangleright$  Zeigen des Proportionalitätsfaktors
Die Funktion selbst, die Ableitung und die Schranke sind bekannt. Um zu zeigen, dass der Proportionalitätsfaktor $c=\dfrac{1}{80}$ ist, kannst du alles in die gegebene Bedingung einsetzen und diese nach $c$ auflösen.
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{4\mathrm e^{-0,05t}}{(1+20\mathrm e^{-0,05t})^2}&=&c\cdot\dfrac{4}{1+20\mathrm e^{-0,05t}}\cdot\left(4-\dfrac{4}{1+20\mathrm e^{-0,05t}}\right) & \end{array}$
$ f'(t)=c\cdot f(t)\cdot (S-f(t)) $
Erweitere die $4$ in der Klammer mit $1+20\mathrm e^{-0,05t}$, um in der Klammer auf den gleichen Nenner zu kommen:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{4\mathrm e^{-0,05t}}{(1+20\mathrm e^{-0,05t})^2}&=& c\cdot\dfrac{4}{1+20\mathrm e^{-0,05t}}\cdot\dfrac{4+80\mathrm e^{-0,05t}-4}{1+20\mathrm e^{-0,05t}} &\quad \scriptsize \mid\; \text{Ausmultiplizieren} \\[5pt] \dfrac{4\mathrm e^{-0,05t}}{(1+20\mathrm e^{-0,05t})^2}&=& c\cdot\dfrac{4\cdot80\cdot\mathrm e^{-0,05t}}{(1+20\mathrm e^{-0,05t})^{2}}&\quad \scriptsize \mid\; \text{Linke und rechte Seite kürzen} \\[5pt] c &=& \dfrac{1}{80} \end{array}$
$ c=\frac{1}{80} $
Somit hast du gezeigt, dass $c=\dfrac{1}{80}$ ist.
#gleichung#wachstum
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