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B1 - Analytische Geometrie

Aufgaben
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1.   Das Dach eines quaderförmigen Gebäudes soll mit Solarkollektoren versehen werden (Material 1). Die in der $x$-$z$-Ebene gelegene Seitenfläche des Gebäudes weist dabei genau nach Süden.
Zur Vereinfachung der folgenden Berechnungen wird im Modell die Dachfläche des Gebäudes in die $x$-$y$-Ebene gelegt. Die Kollektorfläche der Solaranlage wird dann in dem in Material 1 vorgegebenen Koordinatensystem durch die Eckpunkte $A\,(0,5\mid1\mid0)$, $B\,(5,5\mid1\mid0)$, $C\,(5,5\mid2,8\mid2,1)$ und $D\,(0,5\mid2,8\mid2,1)$ beschrieben (alle Angaben in Metern).
1.1   Zeige rechnerisch, dass es sich bei dem Viereck $ABCD$ um ein Rechteck handelt, und prüfe, ob der für eine Kollektorfläche geforderte Mindestflächeninhalt von $F = 13,5\,\text{m}^2$ unterschritten wird.
(4P)
1.2   Die Solaranlage arbeitet mit der größtmöglichen Leistung, wenn die Sonnenstrahlen senkrecht auf die Kollektorfläche treffen.
Berechne die Richtung, in der die Sonnenstrahlen in diesem Fall auftreffen.
(4P)
1.3   Der Hersteller empfiehlt für die Kollektoren aus Gründen der Standfestigkeit, einen Neigungswinkel $\alpha$ von 50° gegenüber der Dachfläche nicht zu überschreiten. Untersuche, ob dieses Kriterium für die geplante Anlage erfüllt ist.
(3P)
2.   Treffen die Sonnenstrahlen nicht orthogonal auf die Kollektorfläche, so ist die Leistung der Anlage reduziert. Dies wird berücksichtigt, indem man von einer reduzierten Kollektorfläche ausgeht, die als effektive Kollektorfläche $F_{eff}$ bezeichnet wird. Die Leistung der Anlage ist proportional zum Flächeninhalt der effektiven Kollektorfläche.
Material 2 zeigt die Lage der effektiven Fläche im Vergleich zur tatsächlichen Position der Kollektoren (Blickrichtung parallel zur $x$-Achse). Es ist ersichtlich, dass die Eckpunkte $A$ und $B$ ebenfalls Eckpunkte der effektiven Kollektorfläche sind.
2.1   Um die Effektivität der Solaranlage abzuschätzen, soll die Fläche $F_{eff}$ für einen ungünstigen Sonnenstand berechnet werden, bei dem die Sonnenstrahlen durch den Vektor $\overrightarrow{v}= \begin{pmatrix}0\\25\\-7\end{pmatrix}$
angegeben werden können.
Berechne die Lage des im Material 2 eingezeichneten Punktes $D '$ .
[zur Kontrolle: $D'\,(0,5 \mid1,68 \mid 2,41) $]
(7P)
2.2   Bestimme den Flächeninhalt der effektiven Kollektorfläche für den in Aufgabe 2.1 beschriebenen Fall und ermittle, wie viel Prozent der maximalen Leistung bei diesem Sonnenstand erzielt werden können.
(2P)
3.   Um zu überprüfen, ob weitere Kollektoren auf dem Dach aufgestellt werden können, ohne dass diese durch die bereits bestehenden Kollektoren beschattet werden, soll für den in Aufgabe 2.1 beschriebenen Sonnenstand der Schatten der Kollektorfläche $ABCD$ auf der Dachfläche betrachtet werden.
3.1   Für beliebige Punkte $P\,(x\mid y\mid z)$ können die Schattenpunkte auf der Dachfläche für den in Aufgabe 2.1 beschriebenen Sonnenstand durch eine Projektion in Richtung $\overrightarrow{v}$ in die $x-y$-Ebene ermittelt werden.
Bestimme die Matrix, die diese Projektion beschreibt.
(7P)
3.2   Berechne mithilfe deines Ergebnisses aus Aufgabe 3.1 die Schattenpunkte der Eckpunkte der Kollektorfläche auf der Dachfläche, und entscheide, ob der Schatten ganz auf der Dachfläche liegt.
Falls du in Aufgabe 3.1 keine Lösung gefunden hast, verwende die Matrix
$M=\begin{pmatrix}1&0&0 \\ 0&1&3,6\\ 0&0&0\end{pmatrix}$.
(3P)

Material 1

B1 - Analytische Geometrie
B1 - Analytische Geometrie

Material 2

B1 - Analytische Geometrie
B1 - Analytische Geometrie
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Tipps
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1.
1.1 $\blacktriangleright$ Rechnerisch zeigen, dass $\boldsymbol{ABCD}$ ein Rechteck ist
Das Viereck $ABCD$ ist genau dann ein Rechteck, falls die jeweils gegenüberliegenden Seiten gleich lang sind, parallel sind und die anliegenden Seiten senkrecht aufeinander stehen. Das ist der Fall, wenn die Verbindungsvektoren der Eckpunkte folgende Bedingungen erfüllen:
  1. $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$ und $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$
  2. $\overrightarrow{AD} \circ \overrightarrow{AB}=0$
Berechne dazu die Verbindungsvektoren und überprüfe die Bedingungen.
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt $\boldsymbol{F_{ABCD}}$ berechnen
Der Flächeninhalt $F_{ABCD}$ des Rechtecks $ABCD$ lässt sich durch $F_{ABCD} = \left|\overrightarrow{AD}\right| \cdot \left|\overrightarrow{AB}\right|$ berechnen. Vergleiche dann das Ergebnis mit dem geforderten Mindestflächeninhalt.
1.2 $\blacktriangleright$ Richtung der senkrechten auftreffenden Sonnenstrahlen berechnen
Hier ist die Richtung gesucht, die senkrecht auf die Kollektorfläche trifft. Diese ist gerade durch die Normalenvektoren der Ebene, die durch die Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AD}$ aufgespannt wird, gegeben. Einen Vektor $\overrightarrow{n}$, der orthogonal auf den Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AD}$ steht, erhältst du mit Hilfe des Vektorprodukts. Das Vektorprodukt zweier beliebiger Vektoren $v$ und $w$ lautet:
$\begin{pmatrix}v_1\\ v_2\\ v_3\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}w_1\\ w_2\\ w_3\end{pmatrix} = \left(\begin{array}{c}v_2 \cdot w_3 - v_3 \cdot w_2\\ v_3 \cdot w_1 - v_1 \cdot w_3 \\ v_1 \cdot w_2 - v_2 \cdot w_1\end{array}\right) $
Beachte dabei, dass der Vektor das richtige Vorzeichen hat.
1.3 $\blacktriangleright$  Neigungswinkel der Kollektorfläche berechnen
Der Neigungswinkel der Kollektorfläche gegenüber dem Dach ist der Winkel zwischen dem Vektor $\overrightarrow{AD}$ und der $y$-Achse. Der Richtungsvektor der $y$-Achse ist durch $\left(\begin{array}{c}0\\1\\0\end{array}\right)$ gegeben. Den Schnittwinkel berechnest du mit der Formel für den Schnittwinkel. Diese lautet für zwei beliebige Vektoren $\overrightarrow{v}$ und $\overrightarrow{w}$ und deren Schnittwinkel $\alpha$:
$\cos(\alpha) = \dfrac{\left|\, \overrightarrow{v} \circ \overrightarrow{w} \,\right|}{ \left|\, \overrightarrow{v} \,\right| \cdot \left|\,\overrightarrow{w} \, \right|}$
2.
2.1 $\blacktriangleright$ Berechnung der Lage des Punktes $\boldsymbol{D'}$
Um die Lage des Punktes $D' (d_1 \mid d_2 \mid d_3)$ zu berechnen, musst du aus Material 2 Bedingungen für den Punkt $D'$ ablesen. Aus diesen Bedingungen erhältst du Gleichungen mit deren Hilfe du die Lage des Punktes bestimmen kannst.
B1 - Analytische Geometrie
B1 - Analytische Geometrie
Im Material erkennst du, dass der Verbindungsvektor der Punkte $D$ und $D'$ parallel zu den einfallenden Sonnenstrahlen ist. Weiter stehen die Sonnenstrahlen orthogonal auf dem Verbindungsvektor $\overrightarrow{AD'}$.
Formuliere mit diesen beiden Eigenschaften zwei Bedingungen an $D'$. Mit diesen beiden Bedingungen kannst du ein Gleichungssystem formulieren, welches du nach den Koordinaten von $D'$ auflösen kannst.
2.2 $\blacktriangleright$  Flächeninhalt $\boldsymbol{F_{eff}}$ der effizienten Kollektorfläche
Berechne den Flächeninhalt $F_{eff}$ mit den Seiten $\overrightarrow{AD'}$ und $\overrightarrow{AB}$ der effizienten Kollektorfläche:
$F_{eff}=\left|\overrightarrow{AD'}\right| \cdot \left|\overrightarrow{AB}\right|$
$\blacktriangleright$  Prozentsatz der maximalen Leistung berechnen
Die maximale Leistung wird genau dann erreicht, wenn die Sonnenstrahlen senkrecht auf der Kollektorfläche stehen. Da die Leistung proportional zum Flächeninhalt ist, ist das Verhältnis zwischen den Leistungen und den Flächeninhalten der Kollektorflächen gleich. Somit können wir mit den Flächeninhalten $F_{eff}$ und $F_{ABCD}$ den gesuchten Prozentsatz $p$ ermitteln:
$p=\dfrac{F_{eff}}{F_{ABCD}}$
3.
3.1 $\blacktriangleright$ Projektionsmatrix bestimmen
Hier ist nach einer Projektionsmatrix $M$ gesucht, welche beliebige Punkte $P(x \mid y \mid z)$ in die $x$-$y$-Ebene projiziert. Für $M$ und einen beliebigen Punkt $P(x \mid y \mid z)$ mit Schattenpunkt $P'(a \mid b \mid 0)$ gilt also:
$M\cdot \begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a\\ b\\ 0\end{pmatrix};\quad a,b \in \mathbb{R}$.
Der Schattenpunkt eines beliebigen Punktes $P(x \mid y \mid z)$ ist der Schnittpunkt der $x$-$y$-Ebene (Dach) und der Geraden $g: \overrightarrow{x}=\overrightarrow{OP} + \lambda \cdot \overrightarrow{v}; \; \lambda \in \mathbb{R}$ (Sonnenstrahl durch den Punkt $P$). Berechne also zuerst den Schattenpunkt eines beliebigen Punktes $P$, bestimme danach mit dem berechneten Schattenpunkt und der obigen Bedingung die Projektionsmatrix $M$.
3.2 $\blacktriangleright$ Schattenpunkte berechnen
Die Schattenpunkte der Eckpunkte kannst du mit dem Matrix-Vektor-Produkt der Projektionsmatrix $M$ und den Ortsvektoren der Eckpunkte bestimmen. Es reicht hier die Punkte $D$ und $C$ zu betrachten, da $A$ und $B$ keine Schatten werfen, weil sie bereits auf dem Dach liegen (bzw. in der $x$-$y$-Ebene). Berechne die Ortsvektoren der gesuchten Punkte.
$\blacktriangleright$  Lage der Schattenpunkte untersuchen
Nun musst du überprüfen, ob der Schatten ganz auf der Dachfläche liegt. Vergleiche die Länge des Daches mit der Lage der Schattenpunkte.
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1.
1.1 $\blacktriangleright$ Rechnerisch zeigen, dass $\boldsymbol{ABCD}$ ein Rechteck ist
Das Viereck $ABCD$ ist genau dann ein Rechteck, falls die jeweils gegenüberliegenden Seiten gleich lang sind, parallel sind und die anliegenden Seiten senkrecht aufeinander stehen. Das ist der Fall, wenn die Verbindungsvektoren der Eckpunkte folgende Bedingungen erfüllen:
  1. $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$ und $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$
  2. $\overrightarrow{AD} \circ \overrightarrow{AB}=0$
1. Schritt: $\boldsymbol{\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}}$ und $\boldsymbol{\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}}$ zeigen
Berechne dazu die Verbindungsvektoren:
$\begin{array}{rll} \overrightarrow{AD}&=&\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OA} =\left(\begin{array}{c}0,5\\2,8\\2,1\end{array}\right) - \left(\begin{array}{c}0,5\\1\\0\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}0\\1,8\\2,1\end{array}\right)\\[5pt] \overrightarrow{BC}&=&\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OB} =\left(\begin{array}{c}5,5\\2,8\\2,1\end{array}\right) - \left(\begin{array}{c}5,5\\1\\0\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}0\\1,8\\2,1\end{array}\right)=\overrightarrow{AD}\\[5pt] \overrightarrow{AB}&=& \left(\begin{array}{c}5\\0\\0\end{array}\right)=\overrightarrow{DC} \end{array}$
2. Schritt: Orthogonalität zeigen
Es reicht zu zeigen, dass $\overrightarrow{AD}$ und $\overrightarrow{AB}$ senkrecht aufeinander stehen, da wir bereits $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$ und $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ gezeigt haben. Berechne also das Skalarprodukt der beiden Vektoren:
$\overrightarrow{AD} \circ \overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}0\\ 1,8\\ 2,1\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}5\\ 0\\ 0\end{pmatrix}=0 \cdot 5 + 1,8 \cdot 0 + 2,1 \cdot 0=0$
Damit haben wir gezeigt, dass das Viereck $ABCD$ ein Rechteck ist.
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt $\boldsymbol{F_{ABCD}}$ berechnen
Der Flächeninhalt $F_{ABCD}$ des Rechtecks $ABCD$ lässt sich durch $F_{ABCD} = \left|\overrightarrow{AD}\right| \cdot \left|\overrightarrow{AB}\right|$ berechnen:
$F_{ABCD}=\left|\overrightarrow{AD}\right| \cdot \left|\overrightarrow{AB}\right|= \sqrt{0+1,8^2+2,1^2} \cdot \sqrt{5^2+0+0}=\sqrt{7,65} \cdot 5\approx 13,83 > 13,5 = F$
Also wird der geforderte Mindestflächeninhalt von $13,5\, m^2$ nicht unterschritten.
1.2 $\blacktriangleright$ Richtung der senkrechten auftreffenden Sonnenstrahlen berechnen
Hier ist die Richtung gesucht, die senkrecht auf die Kollektorfläche trifft. Diese ist gerade durch die Normalenvektoren der Ebene, die durch die Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AD}$ aufgespannt wird, gegeben. Einen Vektor $\overrightarrow{n}$, der orthogonal auf den Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AD}$ steht, erhältst du mit Hilfe des Vektorprodukts:
$\overrightarrow{n}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}= \left(\begin{array}{c}5\\0\\0\end{array}\right) \times \left(\begin{array}{c}0\\1,8\\2,1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-0\\0 -2,1 \cdot 5\\5 \cdot 1,8 - 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\-10,5\\9\end{array}\right)$
Die Sonnenstrahlen treffen wie in Material 1 zu erkennen von oben auf die Kollektorfläche, der Vektor zeigt also nach unten. Der Vektor zeigt nach unten, wenn die $z$-Komponente negativ ist. Der Vektor $\overrightarrow{n}$ zeigt jedoch nach oben, du musst also noch das Vorzeichen drehen. Du erhältst:
$(-1) \cdot \overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}0\\10,5\\-9\end{array}\right)$
Somit stehen Sonnenstrahlen der Richtung $\left(\begin{array}{c}0\\10,5\\-9\end{array}\right)$ senkrecht auf der Kollektorfläche.
1.3 $\blacktriangleright$  Neigungswinkel der Kollektorfläche berechnen
Der Neigungswinkel der Kollektorfläche gegenüber dem Dach ist der Winkel zwischen dem Vektor $\overrightarrow{AD}$ und der $y$-Achse. Der Richtungsvektor der $y$-Achse ist durch $\left(\begin{array}{c}0\\1\\0\end{array}\right)$ gegeben. Den Schnittwinkel $\alpha$ berechnest du mit der Formel für den Schnittwinkel:
$\begin{array}{} \cos(\alpha) = \dfrac{\left| \overrightarrow{AD} \circ \left(\begin{array}{c}0\\1\\0\end{array}\right) \right|}{ \left| \overrightarrow{AD} \right| \cdot \left|\left(\begin{array}{c}0\\1\\0\end{array}\right) \right|} = \dfrac{\left| \left(\begin{array}{c}0\\1,8\\2,1\end{array}\right) \circ \left(\begin{array}{c}0\\1\\0\end{array}\right) \right|}{ \left|\left(\begin{array}{c}0\\1,8\\2,1\end{array}\right) \right| \cdot \left|\left(\begin{array}{c}0\\1\\0\end{array}\right) \right|} = \dfrac{1,8}{\sqrt{7,65} \cdot 1} \approx 0,65 \\[5pt] \Rightarrow \; \alpha=\cos^{-1}\left(0,65\right) \approx 49,46 \end{array}$
Der Neigungswinkel beträgt ca. 49,46° und überschreitet somit die vorgeschlagene Grenze von 50° nicht.
2.
2.1 $\blacktriangleright$ Berechnung der Lage des Punktes $\boldsymbol{D'}$
Um die Lage des Punktes $D' (d_1 \mid d_2 \mid d_3)$ zu berechnen, musst du aus Material 2 Bedingungen für den Punkt $D'$ ablesen. Aus diesen Bedingungen erhältst du ein Gleichungssystem, mit dem du die Lage des Punktes bestimmen kannst.
B1 - Analytische Geometrie
B1 - Analytische Geometrie
Im Material erkennst du, dass der Verbindungsvektor der Punkte $D$ und $D'$ parallel zu den einfallenden Sonnenstrahlen ist. Weiter stehen die Sonnenstrahlen orthogonal auf dem Verbindungsvektor $\overrightarrow{AD'}$.
1. Schritt: Bedingungen formulieren
Du erhältst somit folgende Bedingungen:
$\begin{array}{lrclcl} \left(1\right)& \overrightarrow{DD'}& \parallel& \overrightarrow{v} &\quad \Leftrightarrow &\quad \overrightarrow{DD'}= c \cdot \overrightarrow{v}; \; c \in \mathbb{R}\\[5pt] \left(2\right)& \overrightarrow{AD'}& \bot& \overrightarrow{v}& \quad \Leftrightarrow& \quad \overrightarrow{AD'}\circ \overrightarrow{v}=0 \end{array}$
Definiere den Punkt $D'$ durch den dazugehörigen Ortsvektor $\overrightarrow{OD}=\left(\begin{array}{c}d_1\\ d_2\\ d_3 \end{array} \right)$.
2. Schritt: Gleichungssystem zu $\boldsymbol{\left(1\right)}$ aufstellen und auflösen
Berechne zuerst den Verbindungsvektor $\overrightarrow{DD'}$:
$\overrightarrow{DD'}=\overrightarrow{OD'} - \overrightarrow{OD} = \left(\begin{array}{c}d_1-0,5\\ d_2-2,8\\ d_3-2,1 \end{array}\right)$
Formuliere die erste Bedingung als Gleichungssystem ($c \in \mathbb{R}$):
$\begin{array}{} \text{I}\quad&d_1-0,5&=0&\quad\scriptsize \mid\;+0,5\\[5pt] \text{II}\quad&d_2-2,8&=c \cdot 25&\quad\\[5pt] \text{III}\quad&d_3-2,1&=c \cdot \left(-7\right)&\quad\scriptsize \mid\; \cdot \left(-\dfrac{1}{7}\right)\\[5pt] \hline \text{Ia}\quad&d_1&=0,5&\quad \\[5pt] \text{II}\quad&d_2-2,8&=c \cdot 25&\quad\\[5pt] \text{IIIa}\quad&0,3 - \dfrac{1}{7} \cdot d_3&=c&\quad \\ \end{array}$
Aus $\text{Ia}$ kannst du direkt $d_1=0,5$ ablesen. Damit kennst du bereits die erste Koordinate des Punktes $D'$. Setze nun $\text{IIIa}$ in $\text{II}$ ein:
$\begin{array}[t]{rll} d_2-2,8&=c \cdot 25 &\quad\scriptsize \mid\; c=0,3 - \dfrac{1}{7} \cdot d_3 \\[5pt] d_2-2,8&=\left(0,3 - \dfrac{1}{7} \cdot d_3\right)\cdot 25&\\[5pt] d_2-2,8&=7,5 - \dfrac{25}{7} \cdot d_3&\quad\scriptsize \mid\; + 2,8 \\[5pt] d_2&=10,3- \dfrac{25}{7} \cdot d_3&\\[5pt] \end{array}$
Damit gilt für den Ortsvektor des Punktes $D'$: $\quad \overrightarrow{OD'}=\begin{pmatrix}0,5\\ 10,3- \frac{25}{7}\cdot d_3 \\ d_3\end{pmatrix}$
3. Schritt: Gleichung zu $\boldsymbol{\left(2\right)}$ aufstellen und auflösen
Berechne zunächst den Verbindungsvektor $\overrightarrow{AD'}$:
$\overrightarrow{AD'}=\overrightarrow{OD'}-\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}0,5 - 0,5\\ \left(10,3- \frac{25}{7}\cdot d_3 \right) -1\\ d_3 - 0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0\\ 9,3- \frac{25}{7}\cdot d_3 \\ d_3 \end{pmatrix}$
Formuliere nun die zweite Bedingung als Gleichung:
$\begin{array}{rll} \overrightarrow{AD'} \circ \overrightarrow{v} &=0 \\[5pt] \begin{pmatrix}0\\ 9,3- \frac{25}{7}\cdot d_3 \\ d_3 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}0\\ 25\\ -7\end{pmatrix} &=0 \\[5pt] 0+ 25 \cdot \left(9,3- \dfrac{25}{7}\cdot d_3\right) - 7 \cdot d_3&=0\\[5pt] 232,5 -\dfrac{625}{7}\cdot d_3- 7 \cdot d_3&=0& \quad\scriptsize\mid\; -232,5\\[5pt] \left(-\dfrac{625}{7}-7\right) \cdot d_3&=-232,5\\[5pt] -\dfrac{674}{7} \cdot d_3&=-232,5&\quad\scriptsize\mid\; \cdot \left(-\dfrac{7}{674}\right) \\[5pt] d_3&=\dfrac{3.255}{1.348}\approx 2,41 \end{array}$
Berechne damit $d_2$:
$d_2=10,3- \dfrac{25}{7} \cdot d_3=10,3- \dfrac{25}{7} \cdot \dfrac{3.255}{1.348}\approx 1,68$
Der gesuchte Punkt ist also $D' (0,5 \mid 1,68 \mid 2,41)$.
2.2 $\blacktriangleright$  Flächeninhalt $\boldsymbol{F_{eff}}$ der effizienten Kollektorfläche
Berechne den Flächeninhalt $F_{eff}$ mit den Seiten $\overrightarrow{AD'}$ und $\overrightarrow{AB}$ der effizienten Kollektorfläche:
$F_{eff}=\left|\overrightarrow{AD'}\right| \cdot \left|\overrightarrow{AB}\right|=\left|\begin{pmatrix}0\\ 0,68\\ 2,41 \end{pmatrix} \right| \cdot \left| \begin{pmatrix}5\\ 0\\ 0\\ \end{pmatrix}\right|=\sqrt{0,68^2+2,41^2} \cdot 5\approx 12,52$
In dem in Aufgabe 2.1 beschriebenen Fall ist der Flächeninhalt der effizienten Kollektorfläche $12,52\,m^2$.
$\blacktriangleright$  Prozentsatz der maximalen Leistung berechnen
Die maximale Leistung wird genau dann erreicht, wenn die Sonnenstrahlen senkrecht auf der Kollektorfläche stehen. Da die Leistung proportional zum Flächeninhalt ist, ist das Verhältnis zwischen den Leistungen und den Flächeninhalten der Kollektorflächen gleich. Somit können wir mit den Flächeninhalten $F_{eff}$ und $F_{ABCD}$ den gesuchten Prozentsatz $p$ ermitteln:
$p=\dfrac{F_{eff}}{F_{ABCD}}=\dfrac{12,52}{13,83}=0,9053$
In dem in Aufgabe 2.1 beschriebenen Fall kann $90,53$% der maximalen Leistung erzielt werden.
3.
3.1 $\blacktriangleright$ Projektionsmatrix bestimmen
Hier ist nach einer Projektionsmatrix $M$ gesucht, welche beliebige Punkte $P(x \mid y \mid z)$ in die $x$-$y$-Ebene projiziert. Für $M$ und einen beliebigen Punkt $P(x \mid y \mid z)$ mit Schattenpunkt $P'(a \mid b \mid 0)$ gilt also:
$M\cdot \begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a\\ b\\ 0\end{pmatrix};\quad a,b \in \mathbb{R}$.
Der Schattenpunkt eines beliebigen Punktes $P(x \mid y \mid z)$ ist der Schnittpunkt der $x$-$y$-Ebene (Dach) und der Geraden $g: \overrightarrow{x}=\overrightarrow{OP} + \lambda \cdot \overrightarrow{v}; \; \lambda \in \mathbb{R}$ (Sonnenstrahl durch den Punkt $P$). Berechne also zuerst den Schattenpunkt eines beliebigen Punktes $P$, bestimme danach mit dem berechneten Schattenpunkt und der obigen Bedingung die Projektionsmatrix $M$.
1. Schritt: Schattenpunkt berechnen
Die $x$-$y$-Ebene ist gegeben durch die Ebenengleichung $E: \overrightarrow{x}=a \cdot \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\end{pmatrix} + b \cdot \begin{pmatrix}0\\ 1\\ 0\end{pmatrix} ; \; a,b \in \mathbb{R}$.
Setze nun die Geraden- und die Ebenengleichung gleich:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OP} + \lambda \cdot \overline{v}&= a \cdot \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\end{pmatrix} + b \cdot \begin{pmatrix}0\\ 1\\ 0\end{pmatrix} & \quad \\[5pt] \begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix}0\\ 25\\ -7\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}a\\ b\\0\end{pmatrix}& \end{array}$
Du kannst direkt $x=a$ ablesen, somit weißt du bereits, dass die $x$-Koordinate durch die Projektion unverändert bleibt. Aus der dritten Zeile erhältst du folgende Gleichung:
$\begin{array}[t]{rll} z+\lambda \cdot \left(-7\right)&=&0 &\quad\scriptsize \mid\; -z \\[5pt] \lambda \cdot \left(-7\right)&=&-z&\quad\scriptsize \mid\; \cdot \left(-\dfrac{1}{7}\right) \\[5pt] \lambda&=&z \cdot \dfrac{1}{7} \end{array}$
Nun kannst du $\lambda=z \cdot \dfrac{1}{7}$ in die Gleichung für die $y$-Koordinate einsetzen:
$\begin{array}{rll} y+\lambda \cdot 25 &=& b &\quad\scriptsize \mid\; \lambda=z \cdot \dfrac{1}{7}\\[5pt] y + \left(z \cdot \dfrac{1}{7}\right) \cdot 25&=&b \\[5pt] y + z \cdot \dfrac{25}{7} &=&b \\[5pt] \end{array}$
Damit gilt für einen Schattenpunkt $P'(a \mid b \mid 0)$ eines beliebigen Punktes $P(x \mid y \mid z)$:
$\overrightarrow{OP'}=\begin{pmatrix}a\\ b\\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\ y + z \cdot \frac{25}{7}\\ 0 \end{pmatrix}$
2. Schritt: Projektionsmatrix $\boldsymbol{M}$ bestimmen
Setze den oben berechneten Schnittpunkt in die Bedingung für die Projektionsmatrix $M$ ein und bestimme damit die Projektionsmatrix $M$:
$\begin{pmatrix}a\\ b\\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\ y + z \cdot \frac{25}{7}\\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\cdot x+0\cdot y+0\cdot z\\ 0\cdot x+1\cdot y+\frac{25}{7}\cdot z\\ 0\cdot x+0\cdot y+0\cdot z\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&1&\frac{25}{7}\\ 0&0&0\\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix}=M\cdot \begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix}$
Somit hat die gesuchte Projektionsmatrix $M$ die Form:
$M=\begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&1&\frac{25}{7}\\ 0&0&0\\ \end{pmatrix}$
3.2 $\blacktriangleright$ Schattenpunkte berechnen
Die Schattenpunkte der Eckpunkte kannst du mit dem Matrix-Vektor-Produkt der Projektionsmatrix $M$ und den Ortsvektoren der Eckpunkte bestimmen. Es reicht hier die Punkte $D$ und $C$ zu betrachten, da $A$ und $B$ keine Schatten werfen, weil sie bereits auf dem Dach liegen (bzw. in der $x$-$y$-Ebene). Bezeichne die Schattenpunkte als $C_S$ bzw. $D_S$:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OC_S}&=&M \cdot \overrightarrow{OC}&=& \begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&1&\frac{25}{7}\\ 0&0&0\\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}5,5\\ 2,8\\ 2,1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5,5\\ 2,8 + 2,1 \cdot \frac{25}{7}\\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5,5\\ 10,3\\ 0\end{pmatrix} \\[5pt] \overrightarrow{OD_S}&=&M \cdot \overrightarrow{OD}&=&\begin{pmatrix}0,5\\ 10,3\\0 \end{pmatrix} \end{array}$
Damit sind $C_S\,(5,5 \mid 10,3 \mid 0)$ und $D_S\,(0,5 \mid 10,3 \mid 0)$ die Schattenpunkte von $C$ und $D$.
$\blacktriangleright$  Lage der Schattenpunkte untersuchen
Nun musst du überprüfen, ob der Schatten ganz auf der Dachfläche liegt. Die Dachfläche ist in $y$-Richtung 9 Meter lang. Die Schattenpunkte haben jedoch einen $y$-Wert von 10,3, liegen also 1,30 m hinter dem Ende des Daches. Der Schatten liegt somit nicht ganz auf der Dachfläche.
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