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Aufgaben
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Im Kampf gegen Doping sollten bei den Olympischen Sommerspielen in London mit neuen Verfahren „saubere Spiele“ gewährleistet werden. Es sollten 5.000 Tests durchgeführt werden.
Ein Mediziner äußert Zweifel, da weltweit pro Jahr ca. 300.000 Dopingtests durchgeführt würden, davon nur 0,3$\,\%$ mit positivem Ergebnis. Dies stehe im Widerspruch zu Studien, bei denen ein wesentlich größerer Anteil der Nachwuchssportler Doping zugaben.
1.
1.1 Nehmen Sie an, dass es sich bei den geplanten Dopingtests bei den Olympischen Sommerspielen in London um Bernoulli-Experimente handelt. Geben Sie eine Definition der Zufallsvariablen $X$ und nennen Sie die Bedingungen, unter denen $X$ als binomialverteilt angenommen werden kann.
(3P)
1.2 Beschreiben Sie die Bedeutung der folgenden Rechnung im Sachzusammenhang:
$\displaystyle\sum\limits_{i=10}^{19}\begin{pmatrix}5.000\\i\end{pmatrix}\cdot0,003^{i}\cdot0,997^{5.000\sim i}$$\approx0,806$
(3P)
2. Mit neuem Verfahren verspricht ein renommiertes französisches Labor die Quote der Dopingtests mit positivem Ergebnis von 0,3$\,\%$ auf 1$\,\%$ zu erhöhen. In einem ersten Test unter 1.000 Teilnehmern der Leichtathletik Jugendweltmeisterschaften wurden 6 Sportlerinnen und Sportler des Dopings überführt. Ein Heidelberger Molekularbiologe hält die Euphorie für verfrüht. Beide Seiten versuchen ihre Sichtweise durch ein Testverfahren zu untermauern.
Französisches Labor
Nullhypothese:$p_{0}$$=0,01$
Gegenhypothese:$p_{1}$$<0,01$
Signifikanzniveau:$\alpha$$=0,04$
Heidelberger Molekularbiologie
Nullhypothese:$p_{0}$$=0,003$
Gegenhypothese:$p_{1}$$>0,003$
Signifikanzniveau:$\alpha$$=0,04$
2.1 Bestimmen Sie die jeweiligen Annahmebereiche der Nullhypothese und beurteilen Sie anhand des Testergebnisses das neue Testverfahren.
(8P)
2.2 Beschreiben Sie an einem der beiden Testverfahren, was in diesem Sachzusammenhang die Fehler 1. und 2. Art sind, und bestimmen Sie anschließend für beide Testverfahren den Fehler 2. Art. Verwenden Sie für die Berechnung des Fehlers 2. Art die Wahrscheinlichkeit der Nullhypothese des jeweils anderen Labors.
(6P)
3. Ein amerikanischer Dopingexperte machte 2012 eine drastische Aussage in Bezug auf die Olympischen Spiele: „Etwa 60$\,\%$ aller Athleten sind gedopt.“
Mit Hilfe einer anonymen Umfrage wollen Medizinstudenten herausfinden, wie hoch die Dunkelziffer der gedopten Athleten bei den Olympischen Spielen ist. Dabei soll ein Verfahren verwendet werden, das den Befragten weitgehenden Schutz verspricht.
Der Athlet soll die Frage beantworten:
„Stimmt es, dass Sie im Wettkampf oder im Training Dopingmittel benutzt haben?“
Die Antwort soll er nach folgender Regel geben:
Aus einer Urne mit 4 roten, 2 schwarzen und 3 weißen Kugeln zieht der Athlet zunächst unbeobachtet eine Kugel. Ist sie rot, beantwortet er die Frage mit NEIN, ist sie schwarz, mit JA. Zieht er eine weiße Kugel, so antwortet er wahrheitsgemäß (mit JA oder NEIN).
Von 3.010 getesteten Athleten antworteten 1.093 mit JA.
3.1 Stellen Sie das Testverfahren mit Hilfe eines Baumdiagramms dar und ermitteln Sie daraus den Anteil an gedopten Athleten.
(5P)
3.2 Einige Athleten befürchten, dass sie bei einer Antwort JA eher des Dopings verdächtigt werden könnten als bei NEIN.
Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Athlet, der mit JA geantwortet hat, wirklich Dopingmittel benutzt hat. Verwenden Sie dabei die in Aufgabe 3.1 ermittelte Wahrscheinlichkeit $p$.
Falls Sie Aufgabe 3.1 nicht bearbeitet haben, wählen Sie $p=0,4$.
(5P)
Material 1
Binomialsummenfunktion $F_{n;p}(k)=\displaystyle\sum\limits_{i=0}^{k}\begin{pmatrix}n\\i\end{pmatrix}p^{i}(1-p)^{n-i}$$\quad$ für $n=1.000$
$p=$0,010,003
$k=$
00,00000,04956
10,00050,19870
20,00270,42285
30,01010,64723
40,02870,81552
50,06610,91639
60,12890,96672
70,21890,98822
80,33170,99626
90,45730,99892
100,58300,99972
110,69740,99993
120,79250,99998
130,86561,00000
140,91761,00000
150,95211,00000
160,97361,00000
170,98621,00000
180,99311,00000
190,99671,00000
200,99851,00000
210,99931,00000
220,99971,00000
230,99991,00000
241,00001,00000
251,00001,00000
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Tipps
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1.
1.1 $\blacktriangleright$ Zufallsvariable $\boldsymbol{X}$ definieren
Du sollst die Zufallsvariable $X$ definieren. Dies bedeutet, dass du angeben sollst, welche Größe von $X$ beschrieben wird. Aus anderen Aufgaben, weißt du, dass $X$ meistens die Anzahl der Gewinne beschreibt.
$\blacktriangleright$ Bedingungen für eine Binomialverteilung angeben
Du kennst zwei Bedingungen, damit eine Zufallsvariable $X$ als binomialverteilt angenommen werden kann:
  1. Bei jedem Durchgang müssen die Wahrscheinlichkeiten für einen „Gewinn“ gleich bleiben
  2. Es darf nur zwei mögliche Ausgänge geben, beispielsweise „Gewinn“ und „Niete“
Nun musst du diese Bedingungen nur noch auf den konkreten Sachzusammenhang übertragen.
1.2 $\blacktriangleright$ Bedeutung der Rechnung im Sachzusammenhang beschreiben
Du sollst die Bedeutung der folgenden Rechnung im Sachzusammenhang beschreiben:
$\displaystyle\sum\limits_{i=10}^{19}\begin{pmatrix}5.000\\i\end{pmatrix}\cdot0,003^{i}\cdot0,997^{5.000- i}$$\approx0,806$
Du kennst bereits die Formel für die summierte Binomialverteilung mit den Parametern $n$ und $p$:
$P\left(l\leq X\leq m\right) $$= \displaystyle\sum\limits_{i=l}^{m}\binom{n}{i}\cdot p^i \cdot (1-p)^{n-i}$
Mit Hilfe dieser Formel lässt sich die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass die Zufallsvariable $X$ einen Wert aus dem Intervall $[l,…,m]$ annimmt, also die Wahrscheinlichkeit für mindestens $l$ und höchstens $m$ Gewinne.
Nun sollte dir die Ähnlichkeit auffallen.
2.
2.1 $\blacktriangleright$ Annahmebereich des französischen Labors berechnen
Das französische Labor führt folgenden Test durch:
  • Nullhypothese: $p_0 = 0,01$
  • Gegenhypothese: $p_1 < 0,01$
  • Signifikanzniveau: $\alpha = 0,04$
Dabei ist der Stichprobenumfang nun $n = 1.000$.
Der Annahmebereich gibt ein Intervall an, in welchem die Anzahl der positiven Tests liegen darf, wenn unter einem Signifikanzniveau von $0,04$ die Nullhypothese stimmen soll.
Liegt also die Anzahl der positiven Doping-Tests bei dem Test mit $n = 1.000$ innerhalb des Annahmebereichs, so nehmen die französischen Forscher die Nullhypothese an, ansonsten lehnen sie diese ab.
Überlege dir nun zunächst welche Art von Hypothesentest durchgeführt wird.
Hierfür gibt es drei Möglichkeiten, welche du jeweils anhand der Formulierung der Gegenhypothese unterscheiden kannst:
  • linksseitiger Test: wenn die Gegenhypothese lautet: $p_1 \boldsymbol{<} p_0$
  • rechtsseitiger Test: wenn die Gegenhypothese lautet: $p_1 \boldsymbol{>} p_0$
  • zweiseitiger Test: wenn die Gegenhypothese lautet: $p_1 \boldsymbol{\neq} p_0$
Anschließend kannst du den Annahmebereich berechnen.
$\blacktriangleright$ 1. Schritt: Art des Tests auswählen
Du kannst sehen, dass die Nullhypothese genau dann abgelehnt wird, wenn die Anzahl der positiven Dopingtests signifikant zu klein ist.
$\blacktriangleright$ 2. Schritt: Annahmebereich bestimmen
Du suchst also das kleinste $k$, sodass die Wahrscheinlichkeit, dass $X$ größer als k ist, mindestens $0,04$ beträgt.
$\blacktriangleright$ Annahmebereich des Heidelberger Molekularbiologen berechnen
Im Gegensatz zum französischen Labor, führt der Molekularbiologe folgenden Test durch:
  • Nullhypothese: $p_0 = 0,003$
  • Gegenhypothese: $p_1 > 0,003$
  • Signifikanzniveau: $\alpha = 0,04$
In diesem Fall suchst du demnach das größte $k$, sodass die Wahrscheinlichkeit, dass $X$ größer als $k$ ist gerade noch $0,04$ beträgt.
$\blacktriangleright$ Neues Testverfahren beurteilen
Das neue Testverfahren hat unter 1.000 Teilnehmern 6 Sportlerinnen des Dopings überführt.
Überlege dir, ob dieses Ergebnis aussagekräftig ist, indem du überprüfst, ob es innerhalb der berechneten Annahmebereiche liegt.
2.2 $\blacktriangleright$ Fehler 1. und 2. Art beschreiben
Hier hast du zwei Möglichkeiten, entweder du wählst den Test des französischen Labors oder den des heidelberger Molekularbiologen, um den Fehler 1. und 2. Art zu beschreiben. Allgemein ergeben sich die Fehler 1. und 2. Art wie folgt:
  • Fehler 1. Art: Die Nullhypothese wird fälschlicherweise abgelehnt.
  • Fehler 2. Art: Die Nullhypothese wird fälschlicherweise angenommen.
$\blacktriangleright$ Fehler 2. Art berechnen
Wie du eben gesehen hast, besteht der Fehler 2. Art darin die Nullhypothese fälschlicherweise anzunehmen, obwohl eigentlich eine andere Wahrscheinlichkeit gilt. Der Fehler 2. Art ist also die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Ergebnis innerhalb des berechneten Annahmebereichs liegt, wenn die reale Wahrscheinlichkeit $p_r$ gilt. Er ergibt sich also durch:
$P_{p_r}(X \in A)$
3.
3.1 $\blacktriangleright$ Baumdiagramm zeichnen
Du sollst nun das Testverfahren der Medizinstudenten mit Hilfe eines Baumdiagramms darstellen. Überlege dir dazu zunächst, wie viele Ebenen der Baum haben muss und welche Ebene welchen Teil des Experiments darstellen soll.
$\blacktriangleright$ Anteil der gedopten Athleten ermitteln
Du weißt, dass insgesamt $1.093$ von $3.010$ getesteten Athleten mit „Ja“ geantwortet haben.
Hier kannst du mit der Pfadadditionsregel arbeiten. Du weißt, dass sich die Wahrscheinlichkeit für die Antwort „Ja“ aus der Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Pfade ergibt, die zu der Antwort „Ja“ führen.
Die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Pfade kannst du mit Hilfe der Pfadmultiplikationsregel ermitteln.
So kannst du eine Gleichung in Abhängigkeit von $p$ aufstellen und diese nach $p$ lösen.
3.2 $\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit für die richtige Antwort „Ja“ ermitteln
Nun dreht sich das Experiment sozusagen um. Es geht nun darum, wie groß die Wahrscheinlichkeit dafür ist, dass ein Sportler, der mit „Ja“ geantwortet hat, auch tatsächlich gedopt hat. Du kennst inzwischen den Anteil derjenigen, die dopen: $p= 0,4227$.
Du kannst hier auf zwei verschiedene Arten vorgehen:
  • Lösungsweg A: Berechne die Wahrscheinlichkeit mit Hilfe des Baumdiagramms
  • Lösungsweg B: Nutze die Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit bzw.
    Die Formel von Bayes
$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Baumdiagramm
Zur Hilfe kannst du hier ein neues Baumdiagramm zeichnen, indem du eine Ebene oben einfügst, die beschreibt ob ein Spieler dopt oder nicht:
C1 - Stochastik
C1 - Stochastik
Diese Wahrscheinlichkeit ergibt sich dann, indem du alle Wahrscheinlichkeiten der Pfade des Baums addierst, bei denen ein Spieler tatsächlich dopt und auch mit „Ja“ antwortet. Diese teilst du durch die Summe aller Wahrscheinlichkeiten der Pfade bei denen ein Spieler mit „Ja“ antwortet:
$P_{„Ja“}(\text{„gedopt“}) = \dfrac{P({„\text{gedopt}“} \cap \text{„ Ja“})}{P(\text{„Ja“})}$
Berechne die beiden benötigten Werte zunächst einzeln.
$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Formel von Bayes
Die Formel von Bayes lautet wie folgt:
$P_B(A) = \dfrac{P_A(B)\cdot P(A)}{P(B)}$
Da du nun die Wahrscheinlichkeit $P_{„Ja“}(\text{„gedopt“})$ suchst, lautet die Formel übertragen auf den Sachverhalt wie folgt:
$P_{„Ja“}(\text{„gedopt“}) $$= \dfrac{P_{„gedopt“}(\text{„Ja“})\cdot P(\text{„gedopt“})}{P(\text{„Ja“})}$
Du kannst nun beide Werte, die dir noch fehlen, getrennt und zum Schluss das Gesamtergebnis berechnen.
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Lösungen
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1.
1.1 $\blacktriangleright$ Zufallsvariable $\boldsymbol{X}$ definieren
Du sollst die Zufallsvariable $X$ definieren. Dies bedeutet, dass du angeben sollst, welche Größe von $X$ beschrieben wird. Aus anderen Aufgaben, weißt du, dass $X$ meistens die Anzahl der Gewinne beschreibt.
In unserem Fall beschreibt $X$ die Anzahl der positiven Dopingtests.
$\blacktriangleright$ Bedingungen für eine Binomialverteilung angeben
Du kennst zwei Bedingungen, damit eine Zufallsvariable $X$ als binomialverteilt angenommen werden kann:
  1. Bei jedem Durchgang müssen die Wahrscheinlichkeiten für einen „Gewinn“ gleich bleiben
  2. Es darf nur zwei mögliche Ausgänge geben, beispielsweise „Gewinn“ und „Niete“
Nun musst du diese Bedingungen nur noch auf den konkreten Sachzusammenhang übertragen.
Im Falle der Dopingtests bedeutet das konkret, $X$ kann als binomialverteilt angenommen werden, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
  1. Bei jedem Spieler ist die Wahrscheinlichkeit eines positiven Dopingtests gleich
  2. Es gibt nur zwei Möglichkeiten: „Der Test ist positiv“ und „Der Test ist negativ“
1.2 $\blacktriangleright$ Bedeutung der Rechnung im Sachzusammenhang beschreiben
Du sollst die Bedeutung der folgenden Rechnung im Sachzusammenhang beschreiben:
$\displaystyle\sum\limits_{i=10}^{19}\begin{pmatrix}5.000\\i\end{pmatrix}\cdot0,003^{i}\cdot0,997^{5.000- i}$$\approx0,806$
Du kennst bereits die Formel für die summierte Binomialverteilung mit den Parametern $n$ und $p$:
$P\left(l\leq X\leq m\right) $$= \displaystyle\sum\limits_{i=l}^{m}\binom{n}{i}\cdot p^i \cdot (1-p)^{n-i}$
Mit Hilfe dieser Formel lässt sich die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass die Zufallsvariable $X$ einen Wert aus dem Intervall $[l,…,m]$ annimmt, also die Wahrscheinlichkeit für mindestens $l$ und höchstens $m$ Gewinne.
Nun sollte dir die Ähnlichkeit auffallen.
In unserem Fall kann $X$ als binomialverteilt mit den Parametern $n = 5.000$ und $p= 0,003$ angenommen werden.
Die obige Rechnung gibt also an, dass die Wahrscheinlichkeit für mindestens $10$ und höchstens $19$ positive Dopingtests unter insgesamt $5.000$ Tests ca. $0,806$ beträgt unter der Annahme, dass die Wahrscheinlichkeit, dass ein Test positiv ist $0,3\,\%$ beträgt.
2.
2.1 $\blacktriangleright$ Annahmebereich des französischen Labors berechnen
Das französische Labor führt folgenden Test durch:
  • Nullhypothese: $p_0 = 0,01$
  • Gegenhypothese: $p_1 < 0,01$
  • Signifikanzniveau: $\alpha = 0,04$
Dabei ist der Stichprobenumfang nun $n = 1.000$.
Der Annahmebereich gibt ein Intervall an, in welchem die Anzahl der positiven Tests liegen darf, wenn unter einem Signifikanzniveau von $0,04$ die Nullhypothese stimmen soll.
Liegt also die Anzahl der positiven Doping-Tests bei dem Test mit $n = 1.000$ innerhalb des Annahmebereichs, so nehmen die französischen Forscher die Nullhypothese an, ansonsten lehnen sie diese ab.
Überlege dir nun zunächst welche Art von Hypothesentest durchgeführt wird.
Hierfür gibt es drei Möglichkeiten, welche du jeweils anhand der Formulierung der Gegenhypothese unterscheiden kannst:
  • linksseitiger Test: wenn die Gegenhypothese lautet: $p_1 \boldsymbol{<} p_0$
  • rechtsseitiger Test: wenn die Gegenhypothese lautet: $p_1 \boldsymbol{>} p_0$
  • zweiseitiger Test: wenn die Gegenhypothese lautet: $p_1 \boldsymbol{\neq} p_0$
Anschließend kannst du den Annahmebereich berechnen.
$\blacktriangleright$ 1. Schritt: Art des Tests auswählen
Du kannst sehen, dass die Nullhypothese genau dann abgelehnt wird, wenn die Anzahl der positiven Dopingtests signifikant zu klein ist.
Daher führt das französische Labor einen linksseitigen Hypothesentest durch.
$\blacktriangleright$ 2. Schritt: Annahmebereich bestimmen
Da das französische Labor einen linksseitigen Hypothesentest durchführt, hat der Annahmebereich die folgende Form:
$A = \{k,…,1.000\}$
Du suchst also das kleinste $k$, für das die Nullhypothese gerade noch angenommen wird. Dies ist das kleinste $k$, sodass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass $X$ kleiner als $k$ ist gerade noch das Signifikanzniveau $0,04$ ist, also das $k$, welches die folgende Ungleichung erfüllt, wobei hier die Wahrscheinlichkeit $p = 0,01$ gelten soll.
$P(X \leq k) \geq 0,04 $
Dieses $k$ kannst du mit Hilfe der Tabelle im Anhang ermitteln und erhältst so:
$P(X\leq4) = 0,0287 < 0,04$ und $P(X\leq5) = 0,0661 > 0,04$
Damit ergibt sich der folgende Annahmebereich:
$ A = \{5,…,1.000\} $
$\blacktriangleright$ Annahmebereich des Heidelberger Molekularbiologen berechnen
Im Gegensatz zum französischen Labor, führt der Molekularbiologe folgenden Test durch:
  • Nullhypothese: $p_0 = 0,003$
  • Gegenhypothese: $p_1 > 0,003$
  • Signifikanzniveau: $\alpha = 0,04$
Er führt demnach einen rechtsseitigen Hypothesentest durch. Bei einem solchen, hat der Annahmebereich folgende Form:
$A = \{0,…,k\}$
In diesem Fall suchst du demnach das größte $k$, sodass die Wahrscheinlichkeit, dass $X$ größer als $k$ ist gerade noch das Signifikanzniveau $0,04$ beträgt, also das $k$, für das die folgende Ungleichung erfüllt ist:
$P(X\geq k) \geq 0,04 \Leftrightarrow 1- P(X\leq k-1) \geq 0,04 \Leftrightarrow P(X\leq k-1) \leq 0,96$
Diese kannst du wieder aus der Tabelle ablesen. Achte darauf, dass in diesem Fall die Wahrscheinlichkeit $p= 0,003$ angenommen wird. Du musst hier also in der anderen Spalte der Tabelle nachschauen. Dann erhältst du:
$ P(X\geq7) = 1- 0,96672 = 0,03328 < 0,04 $ und $ P(X\geq6) = 1- 0,91639 = 0,08361 > 0,04$
Damit ergibt sich der Annahmebereich mit:
$ A = \{0,…,6\}$
$\blacktriangleright$ Neues Testverfahren beurteilen
Das neue Testverfahren hat unter 1.000 Teilnehmern $6$ Sportlerinnen des Dopings überführt. Betrachtet man den Test des französischen Labors, so würden diese ihre Nullhypothese bei diesem Ergebnis annehmen. Sie würden also weiterhin von einer Wahrscheinlichkeit von $1\,\%$ ausgehen.
Nach dem Test des Molekularbiologen in Heidelberg, würde dessen Nullhypothese angenommen werden, da $6$ im Annahmebereich liegt. Er würde sich also in seiner Vermutung ebenfalls bestätigt sehen, dass die Wahrscheinlichkeit immernoch bei $0,3\,\%$ liegt.
Insgesamt, gibt der Test bei dieser Stichprobe also beiden Recht und ist somit nicht aussagekräftig.
2.2 $\blacktriangleright$ Fehler 1. und 2. Art beschreiben
Hier hast du zwei Möglichkeiten, entweder du wählst den Test des französischen Labors oder den des heidelberger Molekularbiologen, um den Fehler 1. und 2. Art zu beschreiben. Allgemein ergeben sich die Fehler 1. und 2. Art wie folgt:
  • Fehler 1. Art: Die Nullhypothese wird fälschlicherweise abgelehnt.
  • Fehler 2. Art: Die Nullhypothese wird fälschlicherweise angenommen.
$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Test des französischen Labors
Im Falle des Französischen Labors bedeutet der Fehler 1. Art also, wenn weniger als 5 positive Dopingtests vorliegen, lehnen sie ihre Nullhypothese ab, obwohl diese womöglich tatsächlich zutrifft. Sie gingen also davon aus, dass ihre neue Testmethode gar nicht besser ist, als die alte, obwohl sie es in Wahrheit womöglich doch ist.
Der Fehler 2. Art kann passieren, wenn mehr als 4 Dopingtests positiv ausfallen. Dann würden die französischen Forscher ihre Hypothese, dass ihr neues Testverfahren besser ist, annehmen, obwohl vielleicht immer noch die alte Trefferquote gilt.
$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Test des heidelberger Molekularbiologen
Im Falle des heidelberger Molekularbiologen kann der Fehler 1. Art auftreten, wenn mehr als $6$ positive Dopingtests vorkommen. In diesem Fall würde der Molekularbiologe seine Nullhypothese, dass die französischen Forscher nicht Recht haben, ablehnen, obwohl diese vielleicht tatsächlich nicht richtig liegen.
Der Fehler 2. Art könnte auftreten, wenn weniger als 7 Dopingtests positiv sind. Dann bestünde der Fehler darin, dass der Molekularbiologe fälschlicherweise davon ausginge, dass die Trefferquote des neuen Testverfahrens nicht besser ist, obwohl sie vielleicht tatsächlich besser wäre.
$\blacktriangleright$ Fehler 2. Art berechnen
Wie du eben gesehen hast, besteht der Fehler 2. Art darin die Nullhypothese fälschlicherweise anzunehmen, obwohl eigentlich eine andere Wahrscheinlichkeit gilt. Der Fehler 2. Art ist also die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Ergebnis innerhalb des berechneten Annahmebereichs liegt, wenn die reale Wahrscheinlichkeit $p_r$ gilt. Er ergibt sich also durch:
$P_{p_r}(X \in A)$
$\blacktriangleright$ Fehler 2. Art des französischen Labors berechnen
Du sollst hier annehmen, dass in der Realität eigentlich die Nullhypothese des Molekularbiologen gilt, also: $p_r = 0,003$.
Berechne nun $P_{0,003}(X\geq5) = 1- P_{0,003}(X\leq4)$. Dies kannst du wieder aus der Tabelle im Anhang ablesen. Achte dabei wieder darauf, in der Spalte für $p = 0,003$ nachzuschauen.
Dann erhältst du das Ergebnis:
$P_{0,003}(X\geq5) $$= 1-0,81552 $$= 0,18448 $$= 18,448\,\%$
Der Fehler 2. Art, also die Wahrscheinlichkeit fälschlicherweise davon auszugehen, dass die neue Methode bessere Ergebnisse liefert wenn eigentlich die Behauptung des Molekularbiologen aus Heidelberg stimmt, beträgt für das französische Labor ca. $18,448\,\%$.
$\blacktriangleright$ Fehler 2. Art des Molekularbiologen berechnen
Hierfür sollst du nun annehmen, dass tatsächlich die Nullhypothese des französischen Labors gilt, also $p_r = 0,01$.
Du suchst also:
$P_{0,01}(X\leq6)$
Dies kannst du wieder aus der Tabelle im Anhang ablesen und erhältst so:
$P_{0,01}(X\leq6) = 0,1289 = 12,89 \,\%$
Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art, also davon auszugehen, dass das neue Testverfahren nicht besser ist, obwohl eigentlich die neue und bessere Trefferquote des französischen Labors gilt, liegt für den heidelberger Molekularbiologen bei ca. $12,89\,\%$.
3.
3.1 $\blacktriangleright$ Baumdiagramm zeichnen
Du sollst nun das Testverfahren der Medizinstudenten mit Hilfe eines Baumdiagramms darstellen. Überlege dir dazu zunächst, wie viele Ebenen der Baum haben muss und welche Ebene welchen Teil des Experiments darstellen soll.
Insgesamt liegt hier ein zweistufiges Experiment vor. Die erste Stufe besteht darin, zunächst aus der Urne eine Kugel zu ziehen. In der nächsten Stufe wird dann die Antwort gegeben.
Daraus ergibt sich also ein Baumdiagramm mit zwei Ebenen, $p$ entspricht dabei der Wahrscheinlichkeit eines Sportlers, Dopingmittel zu nutzen.
C1 - Stochastik
C1 - Stochastik
$\blacktriangleright$ Anteil der gedopten Athleten ermitteln
Du weißt, dass insgesamt $1.093$ von $3.010$ getesteten Athleten mit „Ja“ geantwortet haben.
Hier kannst du mit der Pfadadditionsregel arbeiten. Du weißt, dass sich die Wahrscheinlichkeit für die Antwort „Ja“ aus der Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Pfade ergibt, die zu der Antwort „Ja“ führen.
Die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Pfade kannst du mit Hilfe der Pfadmultiplikationsregel ermitteln.
So kannst du eine Gleichung in Abhängigkeit von $p$ aufstellen und diese nach $p$ lösen.
Es ergibt sich die Gleichung:
$P(„Ja“) = \frac{2}{9}\cdot1 + \frac{3}{9} \cdot p + \frac{4}{9}\cdot 0$
Da $P(„Ja“)$ mit dem Anteil der „Ja“-Antworten der Stichprobe angenähert werden kann, ergibt sich:
$\begin{array}{rll} P(„Ja“)=&\dfrac{2}{9}\cdot1 + \dfrac{3}{9} \cdot p \\ \dfrac{1.093}{3.010}=&\dfrac{2}{9} + \dfrac{1}{3}\cdot p&\scriptsize \mid\; -\frac{2}{9} \\ \dfrac{3.817}{27.090}=&\dfrac{1}{3}\cdot p&\scriptsize \mid\; \cdot 3 \\ 0,4227\approx&p \end{array}$
$\begin{array}{rl} P(„Ja“)=&\dfrac{2}{9}\cdot1 + \dfrac{3}{9} \cdot p \\ \dfrac{1.093}{3.010}=&\dfrac{2}{9} + \dfrac{1}{3}\cdot p \\ \dfrac{3.817}{27.090}=&\dfrac{1}{3}\cdot p \\ 0,4227\approx&p \end{array}$
Der Anteil der Dopingsünder beträgt ca. $42,27\,\%$.
3.2 $\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit für die richtige Antwort „Ja“ ermitteln
Nun dreht sich das Experiment sozusagen um. Es geht nun darum, wie groß die Wahrscheinlichkeit dafür ist, dass ein Sportler, der mit „Ja“ geantwortet hat, auch tatsächlich gedopt hat. Du kennst inzwischen den Anteil derjenigen, die dopen: $p= 0,4227$.
Du kannst hier auf zwei verschiedene Arten vorgehen:
  • Lösungsweg A: Berechne die Wahrscheinlichkeit mit Hilfe des Baumdiagramms
  • Lösungsweg B: Nutze die Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit bzw.
    Die Formel von Bayes
$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Baumdiagramm
Zur Hilfe kannst du hier ein neues Baumdiagramm zeichnen, indem du eine Ebene oben einfügst, die beschreibt ob ein Spieler dopt oder nicht:
C1 - Stochastik
C1 - Stochastik
Diese Wahrscheinlichkeit ergibt sich dann, indem du alle Wahrscheinlichkeiten der Pfade des Baums addierst, bei denen ein Spieler tatsächlich dopt und auch mit „Ja“ antwortet. Diese teilst du durch die Summe aller Wahrscheinlichkeiten der Pfade bei denen ein Spieler mit „Ja“ antwortet:
$P_{„Ja“}(\text{„gedopt“}) = \dfrac{P({„\text{gedopt}“} \cap \text{„ Ja“})}{P(\text{„Ja“})}$
Berechne die beiden benötigten Werte zunächst einzeln.
$\blacktriangleright$ 1. Schritt: $\boldsymbol{P({„\text{gedopt}“} \cap \text{„ Ja“})}$ berechnen
$P({„\text{gedopt}“} \cap \text{„ Ja“})$ ergibt sich dabei durch die grünen Pfade im unten stehenden Baumdiagramm mit Hilfe der beiden Pfadregeln:
C1 - Stochastik
C1 - Stochastik
Dadurch erhältst du dann das Ergebnis:
$\begin{array}{rll} P({„\text{gedopt}“} \cap \text{„ Ja“})=&P(\text{„dopt“-„rot“-„Ja“}) + P(\text{„dopt“-„schwarz“-„Ja“} )+ P(\text{„dopt“-„weiß“-„Ja“}) \\ =&0,4227\cdot\frac{4}{9}\cdot0+ 0,4227\cdot\frac{2}{9}\cdot1+0,4227\cdot\frac{3}{9}\cdot 1 \\ \approx&0,235 \end{array}$
$\begin{array}{rl} P({„\text{gedopt}“} \cap \text{„ Ja“})=&P(\text{„dopt“-„rot“-„Ja“}) + P(\text{„dopt“-„schwarz“-„Ja“} )+ P(\text{„dopt“-„weiß“-„Ja“}) \\ =&0,4227\cdot\frac{4}{9}\cdot0+ 0,4227\cdot\frac{2}{9}\cdot1+0,4227\cdot\frac{3}{9}\cdot 1 \\ \approx&0,235 \end{array}$
$\blacktriangleright$ 2. Schritt: $\boldsymbol{P(„Ja“)}$ berechnen
Berechne nun noch die gesamt Wahrscheinlichkeit für eine Antwort „Ja“, diese ergibt sich durch die blauen Pfade in der unten stehenden Abbildung:
C1 - Stochastik
C1 - Stochastik
Dadurch ergibt sich:
$\begin{array}{rll} P(\text{„Ja“})=& P_{„gedopt“}(\text{„Ja“})+ P_{„nicht gedopt“}(\text{„Ja“}) \\ =&0,235+ 0,5773\cdot\frac{4}{9}\cdot0+0,5773\cdot\frac{2}{9}\cdot1+0,5773\cdot\frac{3}{9}\cdot0 \\ \approx&0,363 \end{array}$
$\begin{array}{rl} P(\text{„Ja“})=& P_{„gedopt“}(\text{„Ja“})+ P_{„nicht gedopt“}(\text{„Ja“}) \\ =&0,235+ 0,5773\cdot\frac{4}{9}\cdot0+0,5773\cdot\frac{2}{9}\cdot1+0,5773\cdot\frac{3}{9}\cdot0 \\ \approx&0,363 \end{array}$
$\blacktriangleright$ 3. Schritt: Gesamtergebnis ausrechnen
Nun musst du nur noch die berechneten Ergebnisse in die Formel einsetzen und erhältst so:
$\begin{array}{rl} P_{„Ja“}(\text{„gedopt“}) =&\dfrac{P({„\text{gedopt}“} \cap \text{„ Ja“})}{P(\text{„Ja“})} \\ =&\dfrac{0,235}{0,363} \\ \approx&0,647 \\ =&64,7\,\% \end{array}$
$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Formel von Bayes
Die Formel von Bayes lautet wie folgt:
$P_B(A) = \dfrac{P_A(B)\cdot P(A)}{P(B)}$
Da du nun die Wahrscheinlichkeit $P_{„Ja“}(\text{„gedopt“})$ suchst, lautet die Formel übertragen auf den Sachverhalt wie folgt:
$P_{„Ja“}(\text{„gedopt“}) $$= \dfrac{P_{„gedopt“}(\text{„Ja“})\cdot P(\text{„gedopt“})}{P(\text{„Ja“})}$
Du kannst nun beide Werte, die dir noch fehlen, getrennt und zum Schluss das Gesamtergebnis berechnen.
$\blacktriangleright$ 1. Schritt: $\boldsymbol{P_{„gedopt“}(\text{„Ja“})}$
Überlege dir, wie groß die Wahrscheinlichkeit dafür ist, dass ein Spieler, der dopt, mit „Ja“ antwortet. Dafür gibt es nur zwei Möglichkeiten:
  1. Der gedopte Spieler zieht eine schwarze Kugel aus der Urne
  2. Der gedopte Spieler zieht eine weiße Kugel aus der Urne
In beiden Fällen antwortet er zu $100\,\%$ mit „Ja“. Zieht er eine rote Kugel, so antwortet er auf jeden Fall mit „Nein“.
Dabei ist
$P(A) = \dfrac{2}{9}$ und $P(B) = \dfrac{3}{9}$.
Wegen der Pfadadditionsregel ergibt sich damit:
$P_{„gedopt“}(\text{„Ja“}) = P(A)+P(B) = \frac{2}{9}+\frac{3}{9} = \frac{5}{9}$
$\blacktriangleright$ 2. Schritt: $\boldsymbol{P(\text{„Ja“})}$
Die Wahrscheinlichkeit, dafür, dass ein beliebiger Spieler mit „Ja“ antwortet, kannst du mit Hilfe des Baumdiagramms aus dem vorherigen Aufgabenteil und den Pfadregeln berechnen, indem du die Wahrscheinlichkeiten aller Pfade addierst, die zu „Ja“ führen.
Für $p$ kannst du nun die berechnete Wahrscheinlichkeit $p = 0,4227$ einsetzen. Dann erhältst du das Ergebnis:
$\begin{array}{rl} P(\text{„Ja “})=& \frac{2}{9}\cdot 1 + \frac{3}{9}\cdot 0,4227 \\ \approx&0,363 \end{array}$
$\blacktriangleright$ 3. Schritt: Gesamtergebnis berechnen
Setze nun die berechneten Ergebnisse in die Formel von Bayes ein:
$\begin{array}{rl} P_{„Ja“}(\text{„gedopt“})=&\dfrac{P_{„gedopt“}(\text{„Ja“})\cdot P(\text{„gedopt“})}{P(\text{„Ja“})} \\ =&\dfrac{\frac{5}{9}\cdot0,4227}{0,363} \\ \approx&0,647 \\ =&64,7\,\% \end{array}$
Etwa $64,7\,\%$ der Sportler, die mit „Ja“ antworten, nutzen tatsächlich Dopingmittel.
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