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A1 - Analysis

Aufgaben
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In Material 1 ist ein gerader Kreiskegel dargestellt. Sein Volumen ist abhängig von der Höhe $h$ und der Grundfläche $G.$
1.1
Begründe unter Verwendung der Formel
$V_{\text{Kegel}}= \frac{1}{3}\cdot G \cdot h,$
dass das Volumen auch durch folgende Gleichung bestimmt werden kann, falls die Länge der Mantellinie $s$ vorgegeben ist:
$V_s(r) = \frac{1}{3}\cdot \pi \cdot r^2 \cdot \sqrt{s^2 - r^2},$ $0 < r < s$
(3 BE)
#kegel
1.2
Bestimme $r$ in Abhängigkeit von $s$ so, dass das Volumen des geraden Kreiskegels maximal ist. Gib für diesen Fall sein Volumen und seine Höhe in Abhängigkeit von $s$ an.
(10 BE)
2.
Gegeben sei ein gerader Kreiskegel mit $r = 12\,\text{cm}$ und $h = 6\sqrt{2}\,\text{cm}.$ Er kann durch die Rotation des Graphen der linearen Funktion $p$ mit $p(x) = \sqrt{2} \cdot x$ um die $x$-Achse im Intervall $\left[ 0;6\sqrt{2}\right] $ erzeugt werden.
2.1
Der gerade Kreiskegel soll nun durch Verformungen eine geschwungene Form erhalten. Dazu soll im Intervall $\left[0; 6\sqrt{2}\right]$ der Graph einer trigonometrischen Funktion $k$ die geschwungene Form modellieren. Die trigonometrische Funktion $k$ besitzt die Funktionsgleichung
$k(x) = A\cdot \sin\left(\dfrac{2\cdot \pi}{L}\cdot (x+b) \right)+d,$ $x, k(x)\,\text{in cm},$
$ k(x)=… $
und soll folgende Bedingungen erfüllen:
Die Periodenlänge beträgt $12 \sqrt{2}.$
Die Funktionswerte an den Intervallgrenzen des Intervalls stimmen mit denen von $p$ an diesen Stellen überein.
Der Wertebereich von $k$ umfasst das Intervall $[0;12].$
Die Graphen von $p$ und $k$ sind in Material 2 dargestellt. Ermittle geeignete Werte für $A,$ $b,$ $L$ und $d$ so, dass der Graph von $k$ die drei genannten Bedingungen erfüllt.
(5 BE)
#sinusfunktion
2.2
Bestimme das Volumen des durch Rotation des Graphen von $k$ um die $x$-Achse im Intervall $\left[0;6\sqrt{2}\right]$ erzeugten geschwungenen Kegels. Solltest du in Aufgabe 2.1 die Funktion $k$ nicht bestimmt haben, verwende stattdessen hier und im Folgenden die Ersatzfunktion $k_e$ mit
$k_e(x)= 12\cdot \left(\sin\left(\dfrac{\sqrt{2}\cdot \pi}{24}\cdot x \right) \right)^2.$
$ k_e(x)=… $
(3 BE)
#rotationsvolumen
3.
In den Zeilen (1) bis (5) ist ein Verfahren zur Ermittlung des unbestimmten Integrals $\int \left(\sin(x) \right)^2\;\mathrm dx$ angeführt. Erkläre die einzelnen Umformungsschritte:
$\begin{array}[t]{rll} \text{(1)}& \displaystyle\int \left(\sin(x) \right)^2\;\mathrm dx &=& \displaystyle\int \left(\sin(x)\cdot \sin(x) \right)\;\mathrm dx \\[5pt] \text{(2)}& &=&-\cos(x)\cdot \sin(x)- \displaystyle\int \left(-\cos(x)\cdot \cos(x) \right)\;\mathrm dx \\[5pt] \text{(3)}& &=& -\cos(x)\cdot \sin(x)+ \displaystyle\int \left(1-\left(\sin(x)\right)^2 \right)\;\mathrm dx \\[5pt] \text{(4)}& \Rightarrow 2\cdot \displaystyle\int \left(\sin(x) \right)^2\;\mathrm dx&=&-\cos(x)\cdot \sin(x)+ x+C_1, C_1\in \mathbb{R} \\[5pt] \text{(5)}& \Rightarrow \displaystyle\int \left(\sin(x) \right)^2\;\mathrm dx&=& -\frac{1}{2}\cos(x)\cdot \sin(x)+ \frac{1}{2}x+C, C\in \mathbb{R} \\[5pt] \end{array}$
(9 BE)
#integral
4.
Werden die durch Rotation der Graphen von $k$ und $p$ aus Aufgabe 2 um die $x$-Achse im Intervall $\left[0;6\sqrt{2} \right]$ erzeugten Körper auf die Spitze gestellt und sind damit nach oben geöffnet, können sie als Gefäße aufgefasst werden. Sie sollen jeweils mit Wasser gefüllt werden. Das Wasser strömt in die Gefäße mit einer gleichmäßigen Geschwindigkeit von $18\cdot \pi\, \text{cm}^3$ pro Sekunde ein. Die Funktion $h_k$ soll die Füllhöhe (in $\text{cm}$) in dem durch Rotation des Graphen von $k$ erzeugten Gefäßes in Abhängigkeit von der Zeit $t$ (in Sekunden) beschreiben. Die Funktion $h_p$ soll die Füllhöhe in dem durch die Rotation des Graphen von $p$ erzeugten Gefäßes in Abhängigkeit von der Zeit $t$ (in Sekunden) beschreiben.
4.1
Zeige unter Benutzung eines CAS, dass $ h_k(3) \approx 4,7$ gilt.
(5 BE)
4.2
Ermittle den Funktionsterm $h_p(t).$
(5 BE)
Material 1
Material 2
Bildnachweise [nach oben]
[1],[2]
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1.1
$\blacktriangleright$  Alternative Formel begründen
Der Radius, die Mantellinie und die Höhe des Kegels bilden gemeinsam ein rechtwinkliges Dreieck, wie in Material 1 zu erkennen ist. Mit dem Satz des Pythagoras kannst du also $h$ in Abhängigkeit von $r$ darstellen. Die Grundfläche ist ein Kreis, dessen Flächeninhalt mit der Formel $G=\pi\cdot r^2$ berechnet werden kann.
1.2
$\blacktriangleright$  Radius für maximales Volumen bestimmen
Gesucht ist eine Maximalstelle $r_M$ und das zugehörige Maximum der Funktion $V_s(r).$ Verwende also folgende Kriterien für eine solche Maximalstelle:
  • Notwendiges Kriterium: $V_s'(r_M)=0$
  • Hinreichendes Kriterium: $V_s''(r_M)< 0$
2.1
$\blacktriangleright$  Werte ermitteln
Die Funktionsgleichung soll folgende Form haben:
$k(x) = A\cdot \sin\left(\dfrac{2\cdot \pi}{L}\cdot (x+b) \right)+d,$ $x, k(x)\,\text{in cm},$
$ k(x)=…$
Vergleiche diese mit der allgemeinen Sinusfunktion:
$f(x)= $ $a\cdot \sin\left(b\cdot (x-c)\right) +d$
In der Aufgabenstellung sind folgende Bedingungen gegeben:
  1. Die Periodenlänge beträgt $p = 12\sqrt{2}.$ Bei der allgemeinen Sinusfunktion kann die Periode über den Faktor $b$ berechnet werden: $p = \dfrac{2\pi}{b}.$
    Es muss also $\dfrac{2\pi}{\dfrac{2\cdot \pi}{L}} = 12\sqrt{2}$ sein.
  2. An den Grenzen des Intervalls $[0;6\sqrt{2}]$ stimmen die Funktionswerte mit denen von $p$ überein:
    $k(0)=p(0)$ und $k\left(6\sqrt{2}\right)=p\left(6\sqrt{2}\right)$
  3. Der Wertebereich beträgt $[0;12],$ die Amplitude, die bei einer allgemeinen Sinusfunktion durch den Faktor $a$ beschrieben wird, beträgt also $A=6.$
Berechne mit dieser Hilfe die fehlenden Werte, indem du die Informationen nacheinander verarbeitest und einsetzt.
2.2
$\blacktriangleright$  Volumen berechnen
Verwende die Formel für das Volumen eines Rotationskörpers, der durch Rotation des Graphen einer Funktion um die $x$-Achse entsteht. Das benötigte Integral kannst du mit deinem CAS berechnen.
3.
$\blacktriangleright$  Umformungsschritte erklären
Gehe die Umformungsschritte nacheinander durch und vergleiche die Zeilen miteinander. Überlege dir, wie du vorgehen würdest, um das Integral zu bestimmen.
4.1
$\blacktriangleright$  Wert nachweisen
Der Wert $h_k(3)\approx 4,7$ sagt aus, dass das Gefäß nach drei Sekunden bereits bis zu einer Höhe von ca. $4,7\,\text{cm}$ gefüllt ist.
Berechne zunächst das Volumen des Wassers, das in drei Sekunden in das Gefäß geflossen ist. Stelle dann mithilfe der Formel für das Volumen eines Rotationskörpers eine Gleichung in Abhängigkeit von der Füllhöhe $h_k$ auf. Diese kannst du dann mit deinem CAS nach $h_k$ lösen.
4.2
$\blacktriangleright$  Funktionsterm ermitteln
Bei der Rotation des Graphen von $p$ um die $x$-Achse im Intervall $[0;h_p(t)]$ entsteht ein gerader Kreiskegel mit der Höhe $h_p(t)$ und dem Radius der Grundfläche $r_p=p(h_p(t)).$
Stelle einen Term für die Berechnung des Volumens des Kreiskegels in Abhängigkeit der Höhe $h_p(t)$ auf. Dazu kannst du die allgemeine Formel für das Volumen eines Kegels verwenden.
Stelle anschließend einen Term für die Berechnung des Volumens des zugeflossenen Wassers in Abhängigkeit von der Zeit $t$ auf. Durch Gleichsetzen der beiden Volumenterme erhältst du eine Gleichung in Abhängigkeit von $t$ und $h_p(t).$ Löse diese nach $h_p(t)$ auf.
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1.1
$\blacktriangleright$  Alternative Formel begründen
Der Radius, die Mantellinie und die Höhe des Kegels bilden gemeinsam ein rechtwinkliges Dreieck, wie in Material 1 zu erkennen ist. Mit dem Satz des Pythagoras gilt also:
$\begin{array}[t]{rll} s^2&=& h^2 + r^2 &\quad \scriptsize \mid\; -r^2 \\[5pt] s^2 - r^2&=&h^2 &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt \\[5pt] \sqrt{s^2-r^2}&=& h \end{array}$
$ \sqrt{s^2-r^2}= h $
Die Höhe kann also in Abhängigkeit vom Radius $r$ und der Länge der Mantellinie $s$ dargestellt werden. Die Grundfläche ist ein Kreis, dessen Flächeninhalt mit der Formel $G=\pi\cdot r^2$ berechnet werden kann.
Eingesetzt in die ursprüngliche Formel ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} V_s(r)&=& \frac{1}{3}\cdot G\cdot h \\[5pt] &=& \frac{1}{3}\cdot \pi \cdot r^2 \cdot \sqrt{s^2-r^2}\\[5pt] \end{array}$
$ V_s(r)=… $
1.2
$\blacktriangleright$  Radius für maximales Volumen bestimmen
Gesucht ist eine Maximalstelle $r_M$ und das zugehörige Maximum der Funktion $V_s(r).$ Verwende also folgende Kriterien für eine solche Maximalstelle:
  • Notwendiges Kriterium: $V_s'(r_M)=0$
  • Hinreichendes Kriterium: $V_s''(r_M)< 0$
Abb. 1: Definieren der Ableitungen
Abb. 1: Definieren der Ableitungen
Wende nun das notwendige Kriterium an, um mögliche Extremstellen zu bestimmen, indem du $V_s'(r)=0$ setzt und nach $r$ löst.
Abb. 2: Gleichung lösen mit dem CAS
Abb. 2: Gleichung lösen mit dem CAS
Überprüfe nun das hinreichende Kriterium, indem du die möglichen Extremstellen in die zweite Ableitung einsetzt:
Abb. 3: Überprüfen mit dem CAS
Abb. 3: Überprüfen mit dem CAS
Das maximale Volumen nimmt der Kreiskegel also für $r= \dfrac{\sqrt{6}\cdot s}{3}$ an. Das zugehörige Volumen und die entsprechende Höhe ergeben sich daher mithilfe des CAS zu:
$\begin{array}[t]{rll} V_s\left(\dfrac{\sqrt{6}\cdot s}{3}\right)&=&\dfrac{2\sqrt{3}\cdot s^2\cdot \left|s\right|\cdot \pi}{27} &\quad\scriptsize \mid\; s>0 \\[5pt] &=& \dfrac{2\sqrt{3}\cdot s^3\cdot \pi}{27} \\[15pt] h_s&=& \sqrt{s^2-r^2} \\[5pt] &=& \sqrt{s^2- \left(\dfrac{\sqrt{6}\cdot s}{3}\right)^2} \\[5pt] &=& \sqrt{s^2- \dfrac{6\cdot s^2}{9}} \\[5pt] &=& \sqrt{s^2- \dfrac{6}{9}s^2} \\[5pt] &=& \sqrt{\dfrac{3}{9}s^2} \\[5pt] &=&\dfrac{\sqrt{3}}{3}s\\[5pt] &=&\dfrac{s}{\sqrt{3}}\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} V_s\left(\frac{\sqrt{6}\cdot s}{3}\right)&=&\frac{2\sqrt{3}\cdot s^3\cdot \pi}{27} \\[15pt] h_s&=& \frac{s}{\sqrt{3}}\\[5pt] \end{array}$
Das maximale Volumen des Kegels beträgt also $\dfrac{2\sqrt{3}\cdot s^3\cdot \pi}{27}$ und wird für $r_s=\dfrac{\sqrt{6}\cdot s}{3} $ und $h_s= \dfrac{s}{\sqrt{3}}$ angenommen.
#extrempunkt
2.1
$\blacktriangleright$  Werte ermitteln
Die Funktionsgleichung soll folgende Form haben:
$k(x) = A\cdot \sin\left(\dfrac{2\cdot \pi}{L}\cdot (x+b) \right)+d,$ $x, k(x)\,\text{in cm},$
$ k(x)=…$
Vergleiche diese mit der allgemeinen Sinusfunktion:
$f(x)= $ $a\cdot \sin\left(b\cdot (x-c)\right) +d$
In der Aufgabenstellung sind folgende Bedingungen gegeben:
  1. Die Periodenlänge beträgt $p = 12\sqrt{2}.$ Bei der allgemeinen Sinusfunktion kann die Periode über den Faktor $b$ berechnet werden: $p = \dfrac{2\pi}{b}.$
    Es muss also $\dfrac{2\pi}{\dfrac{2\cdot \pi}{L}} = 12\sqrt{2}$ sein.
  2. An den Grenzen des Intervalls $[0;6\sqrt{2}]$ stimmen die Funktionswerte mit denen von $p$ überein:
    $k(0)=p(0)$ und $k\left(6\sqrt{2}\right)=p\left(6\sqrt{2}\right)$
  3. Der Wertebereich beträgt $[0;12],$ die Amplitude, die bei einer allgemeinen Sinusfunktion durch den Faktor $a$ beschrieben wird, beträgt also $A=6.$
Berechne mit dieser Hilfe die fehlenden Werte, indem du die Informationen nacheinander verarbeitest und einsetzt.
Aus 1. kannst du bereits $L$ berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{2\pi}{\dfrac{2\cdot \pi}{L}} &=& 12\sqrt{2} \\[5pt] 2\pi \cdot \dfrac{L}{2\pi}&=& 12\sqrt{2} \\[5pt] L&=& 12\sqrt{2} \end{array}$
Dies kannst du bereits gemeinsam mit $a=6$ in die Gleichung einsetzen:
$k(x)= 6\cdot \sin\left(\dfrac{2\cdot \pi}{12\sqrt{2}}\cdot (x+b) \right)+d$
$ k(x)=6\cdot …$
$d$ ist die Verschiebung des Graphen entlang der $y$-Achse. Für $d=0$ wäre der Wertebereich von $k$ nun $[-6;6].$ Da er aber $[0;12]$ sein soll, muss der Graph um $6$ Einheiten in positive $y$-Richtung verschoben werden, also ist $d=6:$
$k(x)= 6\cdot \sin\left(\dfrac{\pi}{6\sqrt{2}}\cdot (x+b) \right)+6$
$ k(x)= … $
Mit $k(0)=p(0) = 0$ ergibt sich dann folgende Gleichung, um $b$ zu bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} 0&=& 6\cdot \sin\left(\dfrac{\pi}{6\sqrt{2}}\cdot (0+b) \right) + 6 &\quad \scriptsize \mid\;-6\\[5pt] -6&=& 6\cdot \sin\left(\dfrac{\pi}{6\sqrt{2}}\cdot b \right) &\quad \scriptsize \mid\; :6 \\[5pt] -1&=& \sin\left(\dfrac{\pi}{6\sqrt{2}}\cdot b \right) &\quad \scriptsize \mid\;\sin^{-1} \\[5pt] -\dfrac{\pi}{2}&=& \dfrac{\pi}{6\sqrt{2}}\cdot b&\quad \scriptsize \mid\; : \dfrac{\pi}{6\sqrt{2}}\\[5pt] -\dfrac{6}{\sqrt{2}}&=& b \\[5pt] \end{array}$
$ -\dfrac{6}{\sqrt{2}}= b $
Der Graph von $k$ erfüllt die drei Bedingungen für folgende Werte:
$A=6;$ $b= -\dfrac{6}{\sqrt{2}};$ $L= 12\sqrt{2}$ und $d=6.$
2.2
$\blacktriangleright$  Volumen berechnen
Verwende die Formel für das Volumen eines Rotationskörpers, der durch Rotation des Graphen einer Funktion um die $x$-Achse entsteht. Das benötigte Integral kannst du mit deinem CAS berechnen. Den Befehl dazu findest du unter:
Abb. 4: Berechnung mit dem CAS
Abb. 4: Berechnung mit dem CAS
Das Volumen des durch Rotation des Graphen von $k$ um die $x$-Achse erzeugten geschwungenen Kegels beträgt ca. $1.439,49\,\text{cm}^2.$
#integral
3.
$\blacktriangleright$  Umformungsschritte erklären
Gehe die Umformungsschritte nacheinander durch und vergleiche die Zeilen miteinander. Überlege dir, wie du vorgehen würdest, um das Integral zu bestimmen.
(1)
$\boldsymbol{\displaystyle\int \left(\sin(x) \right)^2\;\mathrm dx = \displaystyle\int \left(\sin(x)\cdot \sin(x) \right)\;\mathrm dx }$
Hier wird aus $\left(\sin(x)\right)^2 = \sin(x)\cdot \sin(x),$ das Quadrat wird also aufgelöst und als Multiplikation geschrieben.
(2)
$\boldsymbol{= -\cos(x)\cdot \sin(x)- \displaystyle\int \left(-\cos(x)\cdot \cos(x) \right)\;\mathrm dx }$
Hier wurde die Integrationsmethode der partiellen Integration auf das Produkt angewendet.
(3)
$\boldsymbol{= -\cos(x)\cdot \sin(x)+ \displaystyle\int \left(1-\left(\sin(x) \right)^2\right)\;\mathrm dx }$
Hier wurde zunächst der Faktor $-1$ vor das Integral gezogen:
$\begin{array}[t]{rll} &-\cos(x)\cdot \sin(x)- \displaystyle\int \left(-\cos(x)\cdot \cos(x) \right)\;\mathrm dx \\[5pt] =& -\cos(x)\cdot \sin(x)+ \displaystyle\int \left(\cos(x)\cdot \cos(x) \right)\;\mathrm dx \end{array}$
Anschließend wurde folgender trigonometrische Zusammenhang verwendet:
$\begin{array}[t]{rll} \left(\sin(x)\right)^2 + \left(\cos(x)\right)^2 &=& 1&\quad \scriptsize \mid\; -\left(\sin(x) \right)^2\\[5pt] \left(\cos(x)\right)^2&=& 1-\left(\sin(x) \right)^2 \end{array}$
Einsetzen liefert dann:
$\begin{array}[t]{rll} &-\cos(x)\cdot \sin(x)- \displaystyle\int \left(-\cos(x)\cdot \cos(x) \right)\;\mathrm dx\\[5pt] =& -\cos(x)\cdot \sin(x)+ \displaystyle\int \left(\cos(x)\cdot \cos(x) \right)\;\mathrm dx \\[5pt] =& -\cos(x)\cdot \sin(x)+ \displaystyle\int \left(\cos(x)\right)^2\;\mathrm dx\\[5pt] =& -\cos(x)\cdot \sin(x)+ \displaystyle\int \left(1-\left(\sin(x) \right)^2\right)\;\mathrm dx\\[5pt] \end{array}$
(4)
$\boldsymbol{\Rightarrow 2\cdot \displaystyle\int \left(\sin(x) \right)^2\;\mathrm dx=-\cos(x)\cdot \sin(x)+ x+C_1, C_1\in \mathbb{R}}$
In diesem Schritt wurde zunächst das Integral in zwei Integrale aufgeteilt und eines der beiden Integrale umgeformt:
$\begin{array}[t]{rll} &\displaystyle\int \left(1-\left(\sin(x) \right)^2\right)\;\mathrm dx \\[5pt] =&\underbrace{\displaystyle\int 1\;\mathrm dx}_{= x+c_1} -\displaystyle\int \left(\sin(x) \right)^2\;\mathrm dx \\[5pt] =& x+C_1 - \displaystyle\int \left(\sin(x) \right)^2\;\mathrm dx \end{array}$
Anschließend wurde die gesamte Gleichung betrachtet und beide Integrale auf eine Seite gebracht:
$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int \left(\sin(x) \right)^2\;\mathrm dx&=& -\cos(x)\cdot \sin(x)+ x+C_1- \displaystyle\int \left(\sin(x) \right)^2\;\mathrm dx &\quad \scriptsize \mid\; +\int \left(\sin(x)\right)^2\;\mathrm dx\\[5pt] 2\cdot \displaystyle\int \left(\sin(x) \right)^2\;\mathrm dx&=& -\cos(x)\cdot \sin(x)+ x+C_1 \end{array}$
(5)
$\boldsymbol{ \Rightarrow \displaystyle\int \left(\sin(x) \right)^2\;\mathrm dx= -\frac{1}{2}\cos(x)\cdot \sin(x)+ \frac{1}{2}x+C, C\in \mathbb{R}}$
Hier wurde die Gleichung durch zwei dividiert und die Integrationskonstante $\frac{1}{2}C_1$ zu $C$ umbenannt.
(1)
Hier wird aus $\left(\sin(x)\right)^2 = \sin(x)\cdot \sin(x),$ das Quadrat wird also aufgelöst und als Multiplikation geschrieben.
(2)
Hier wurde die Integrationsmethode der partiellen Integration auf das Produkt angewendet.
(3)
Hier wurde zunächst der Faktor $-1$ vor das Integral gezogen:
Anschließend wurde folgender trigonometrische Zusammenhang verwendet:
Einsetzen liefert dann:
(4)
In diesem Schritt wurde zunächst das Integral in zwei Integrale aufgeteilt und eines der beiden Integrale umgeformt:
Anschließend wurde die gesamte Gleichung betrachtet und beide Integrale auf eine Seite gebracht:
(5)
Hier wurde die Gleichung durch zwei dividiert und die Integrationskonstante $\frac{1}{2}C_1$ zu $C$ umbenannt.
4.1
$\blacktriangleright$  Wert nachweisen
Der Wert $h_k(3)\approx 4,7$ sagt aus, dass das Gefäß nach drei Sekunden bereits bis zu einer Höhe von ca. $4,7\,\text{cm}$ gefüllt ist.
Berechne zunächst das Volumen des Wassers, das in drei Sekunden in das Gefäß geflossen ist. Stelle dann mithilfe der Formel für das Volumen eines Rotationskörpers eine Gleichung in Abhängigkeit von der Füllhöhe $h_k$ auf. Diese kannst du dann mit deinem CAS nach $h_k$ lösen.
Pro Sekunde fließen $18\pi\,\text{cm}^3$ Wasser in das Gefäß. Nach drei Sekunden befinden sich also $54\cdot \pi \,\text{cm}^3$ Wasser im Gefäß. Gesucht ist also die Höhe $h_k,$ sodass das Rotationsvolumen über $k$ im Intervall $[0;h_K]$ den gewünschten Wert $V= 54\cdot \pi \,\text{cm}^3$ ergibt.
Abb. 5: Lösen mit dem CAS
Abb. 5: Lösen mit dem CAS
4.2
$\blacktriangleright$  Funktionsterm ermitteln
Bei der Rotation des Graphen von $p$ um die $x$-Achse im Intervall $[0;h_p(t)]$ entsteht ein gerader Kreiskegel mit der Höhe $h_p(t)$ und dem Radius der Grundfläche $r_p=p(h_p(t)).$
Stelle einen Term für die Berechnung des Volumens des Kreiskegels in Abhängigkeit der Höhe $h_p(t)$ auf. Dazu kannst du die allgemeine Formel für das Volumen eines Kegels verwenden.
Stelle anschließend einen Term für die Berechnung des Volumens des zugeflossenen Wassers in Abhängigkeit von der Zeit $t$ auf. Durch Gleichsetzen der beiden Volumenterme erhältst du eine Gleichung in Abhängigkeit von $t$ und $h_p(t).$ Löse diese nach $h_p(t)$ auf.
1. Schritt: Term für das Volumen des Gefäßes bestimmen
Mit der Volumenformel für einen Kreiskegel folgt:
$\begin{array}[t]{rll} V_p(h_p(t))&=& \frac{1}{3}\cdot \pi\cdot r_p^2\cdot h_p(t) \\[5pt] &=& \frac{1}{3}\cdot \pi\cdot p(h_p(t))^2\cdot h_p(t) \\[5pt] &=& \frac{1}{3}\cdot \pi\cdot \left(\sqrt{2}\cdot h_p(t) \right)^2\cdot h_p(t) \\[5pt] &=& \frac{1}{3}\cdot \pi\cdot 2\cdot h_p(t)^3 \\[5pt] &=& \frac{2}{3}\cdot \pi\cdot h_p(t)^3 \\[5pt] \end{array}$
$ V_p(h_p(t)) =… $
2. Schritt: Term für das eingeflossene Wasservolumen bestimmen
In Abhängigkeit von $t$ in Sekunden ergibt sich:
$V_W(t) = 18\pi\cdot t$
3. Schritt: Gleichung aufstellen
Die beiden oben genannten Volumina sollen identisch sein. Gleichsetzen liefert also:
$\begin{array}[t]{rll} V_p(h_p(t))&=&V_W(t) \\[5pt] \frac{2}{3}\cdot \pi\cdot h_p(t)^3&=&18\pi\cdot t &\quad \scriptsize \mid\;:\frac{2}{3}\pi \\[5pt] h_p(t)^3&=& 27\cdot t&\quad \scriptsize \mid\;\sqrt[3]{\quad} \\[5pt] h_p(t)&=& 3\cdot \sqrt[3]{t} \end{array}$
$ h_p(t)= 3\cdot \sqrt[3]{t} $
In Abhängigkeit von der Zeit $t$ in Sekunden, kann die Füllhöhe des Gefäßes durch folgende Funktion beschrieben werden:
$h_p(t)=3\cdot \sqrt[3]{t} $
Bildnachweise [nach oben]
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