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A1 - Analysis

Aufgaben
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1.   Die Bestimmung von Enzymaktivitäten in Serum, Plasma oder Harn hat in der medizinischen Diagnostik eine wichtige Bedeutung. Beispielsweise ist bei einem Herzinfarktpatienten die Serum-Enzymaktivität bestimmter Enzyme auch Tage nach dem Infarkt noch erhöht, sodass eine Spätdiagnose über die Messung der Enzymaktivität möglich ist.
Der Verlauf einer bestimmten Enzymaktivitätskurve lässt sich durch den Graphen einer Exponentialfunktion der Schar $f_{a, b, c}$ mit $f_{a, b, c}(t)=a+b\cdot t^2\cdot \mathrm{e}^{c\cdot t}$ ($a, b > 0$ und $c < 0$) approximieren. Dabei steht $t$ für die Zeit in Tagen seit Beginn einer Erkrankung und $f(t)$ für die Enzymaktivität in Units (Substraktumsatz pro Tag).
1.1   Bestimme die Parameter $a$, $b$ und $c$ unter Berücksichtigung der folgenden Angaben:
  • Die Enzymaktivität beträgt zu Beginn 80 Units.
  • Zum Zeitpunkt $t = 0,8$ ist die Enzymaktivität mit $773$ Units am größten.
(6P)
1.2   Beschreibe die Wirkung der drei Parameter $a$, $b$ und $c$ auf den Verlauf des Graphen von $f$ und zeige rechnerisch, dass der Parameter $b$ keinen Einfluss auf den Zeitpunkt der maximalen Enzymaktivität hat.
(7P)
2.  Um einen Herzinfarkt zu diagnostizieren, misst man beispielsweise die Aktivität des Enzyms Creatin-Kinase. Für einen bestimmten Patienten kann die Aktivitätskurve für dieses Enzym für $0 \leq t \leq 5$ durch den Graphen der Exponentialfunktion $f$ mit $f(t)=100+4.600\cdot t^2 \cdot \mathrm{e}^{-2\cdot t}$ angenähert werden, wobei $t$ für die Zeit in Tagen nach dem Infarkt steht und $f(t)$ für die Enzymaktivität in Units. Ca. 3 Tage nach einem Herzinfarkt befindet sich die Aktivität dieses Enzyms wieder im Normalbereich.
2.1   Zeige rechnerisch, dass gilt: $f''(t)=9.200\cdot \mathrm{e}^{-2\cdot t}\cdot (2t^2-4t+1)$
(6P)
2.2   Berechne die Zeitpunkte, zu denen die Aktivitätskurve für das Enzym Creatin-Kinase am stärksten ansteigt bzw. am stärksten fällt, sowie jeweils die zugehörigen Änderungsraten.
Hinweis: Die Überprüfung der notwendigen Bedingung ist ausreichend.
(6P)
2.3   Im Material wird die Ermittlung einer Stammfunktion von $f$ durch eine bestimmte Integrationsmethode angedeutet.
2.3.1  Gib die Integrationsmethode an und leite durch Vervollständigung der Rechnung eine Stammfunktion $F$ von $f$ her.
(5P)
2.3.2  Bestimme das Integral $\dfrac{1}{3}\cdot \displaystyle\int_{0}^{3} f(t) dt$ und deute das Ergebnis im Sachzusammenhang.
(4P)
2.4   Die Entscheidung für die Diagnose Herzinfarkt liege bei einer Enzymaktivität des Enzyms Creatin-Kinase von mindestens 192 Units.
Untersuche, in welcher Zeitspanne die Diagnose Herzinfarkt gestellt werden kann.
(6P)

Material

$\begin{array}[t]{rll} \int\; (100+4.600 \cdot t^2 \cdot \mathrm{e}^{-2\cdot t}) dt &=& 100 \cdot t + \int\; 4.600 \cdot t^2 \cdot \mathrm{e}^{-2\cdot t}dt \\ \int\; \underbrace{4.600\cdot t^2}_{u}\cdot \underbrace{\mathrm{e}^{-2\cdot t}}_{v'} dt &=& \underbrace{4.600\cdot t^2}_{u}\cdot \underbrace{\left(-\dfrac{1}{2}\right)\cdot \mathrm{e}^{-2\cdot t}}_{v} - \int\; \underbrace{9.200\cdot t}_{u'}\cdot \underbrace{\left(-\dfrac{1}{2}\right)\ \mathrm{e}^{-2\cdot t}}_{v} dt\\ &=& -2.300 \cdot t^2 \cdot \mathrm{e}^{-2 \cdot t} + \int\; 4.600 \cdot t \cdot \mathrm{e}^{-2\cdot t}dt \end{array}$
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1. $\blacktriangleright$ Funktionsgleichung bestimmen
Die gegebene Funktion $f_{a,b,c}$ mit Funktionsgleichung $f_{a,b,c}(t)=a+b \cdot t^2\cdot \mathrm{e}^{c\cdot t}$ beschreibt die Enzymaktivität in Units nach $t$ Tagen. Deine Aufgabe ist es, die Parameter $a$,$b$ und $c$ zu bestimmen.
Du hast hier drei gesuchte Parameter, deswegen musst du drei Bedingungen an $f_{a,b,c}$ formulieren. Leite die Bedingungen aus den dir gegebenen Angaben ab und bestimme mit diesen die gesuchten Parameter.
  1. „Die Enzymaktivität beträgt zu Beginn $80$ Units“
    $\Rightarrow$ Zeitpunkt $t=0$ mit Enzymaktivität $f_{a,b,c}(0)=80$
    $(Ⅰ):\;80=f_{a,b,c}(0)$
  2. „Zum Zeitpunkt $t=0,8$ ist die Enzymaktivität mit $773$ Units am größten.“
    $\Rightarrow$ Zeitpunkt $t=0,8$ mit Enzymaktivität $f_{a,b,c}(0,8)=773$
    $(Ⅱ):\;773=f_{a,b,c}(0,8)$
  3. „Zum Zeitpunkt $t=0,8$ ist die Enzymaktivität mit $773$ Units am größten.“
    $\Rightarrow$ Funktion $f_{a,b,c}$ nimmt zum Zeitpunkt $t=0,8$ ihr Maximum an. Die notwendige Bedingung für Extremstellen besagt nun:
    $(Ⅲ):\;0=f'_{a,b,c}(0,8)$
Das aus den Bedingungen (Ⅰ), (Ⅱ) und (Ⅲ) ausgehende Gleichungssystem kannst du mit deinem CAS lösen.
2.
2.1 $\blacktriangleright$ Ableitungen bestimmen
Leite die Funktion $f$ zweimal ab, um die Behauptung zu zeigen. Der Funktionsterm von $f$ lautet dabei:
$f(t)=100+4.600\cdot t^2 \cdot \mathrm{e}^{-2t}$
Mit der Produkt- und Kettenregel kannst du die ersten beiden Ableitungen berechnen:
Produktregel für $f(x)=u(x) \cdot v(x)$:
$f'(x)= u'(x)\cdot v(x) + u(x)\cdot v'(x)$
Kettenregel für $f(x)=u(v(x))$:
$f'(x)= v'(x)\cdot u'\left(v(x)\right)$
2.2 $\blacktriangleright$ Zeitpunkt des stärksten Anstiegs (bzw. Abstiegs) berechnen
Hier ist nach den Zeitpunkten gefragt, zu denen die Aktivitätskurve für das Enzym am stärksten ansteigt bzw. am stärksten fällt. Dies entspricht gerade den Extremstellen der ersten Ableitung (bzw. den Wendestellen der Funktion). Die gesuchten Änderungsraten entsprechen dann den Steigungen an diesen Stellen. Diese kannst du mit deinem CAS oder per Hand bestimmen.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg A: Mit deinem CAS
Speichere den Funktionsterm in deinem CAS und bestimme die Extremstellen mit den dazugehörigen Befehlen.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg B: Per Hand
Nach Aufgabenstellung reicht es die notwendige Bedingung zu überprüfen. Die notwendige Bedingung für Extremstellen der ersten Ableitung besagt, dass die zweite Ableitung an einer Extremstelle $t_E$ gleich Null ist:
$f''(t_E)=0$
Setze also den Funktionsterm der zweiten Ableitung gleich Null, um die Extremstellen der ersten Ableitung zu berechnen. Diese Werte kannst du dann in die Funktionsgleichung einsetzen, um die Änderungsraten zu bestimmen. Die Ableitungen hast du oben schon bestimmt.
Des Weiteren musst du noch die Randwerte zu den Zeitpunkten $t=0$ und $t=5$ überprüfen.
2.3
2.3.1 $\blacktriangleright$ Integrationsmethode
Hier ist es deine Aufgabe die Integrationsmethode anzugeben, die hier verwendet wurde. Im Material erkennst du, dass auf der linken Seite der Gleichung ein Integral steht, welches nicht ohne Weiteres integriert werden kann. Es handelt sich hierbei um ein Produkt eines Polynoms und einer $\mathrm{e}$- Funktion. Auf der rechten Seite siehst du zwei Terme, wobei einer der beiden ein Integral ist. Diese Terme hängen folgendermaßen zusammen:
Definierst du $u(t)=4.600 \cdot t^2$ und $v(t)=\left( -\dfrac{1}{2}\right) \cdot \mathrm{e}^{-2t}$ wie im Material, dann sind die ersten Ableitungen $u'$ und $v'$ durch folgende Gleichungen gegeben: $u'(t)=9.200 \cdot t$ und $v'(t)=\mathrm{e}^{-2t}$.
Somit ist die Integralgleichung in Material 2 von der Form:
$\displaystyle\int_{}^{} u(t) \cdot v'(t) \mathrm dt =u(t) \cdot v(t) - \displaystyle\int_{}^{} u'(t) \cdot v(t) \mathrm dt$
$\blacktriangleright$ Vervollständigung der Rechnung
Deine Aufgabe ist es nun die Rechnung zu vervollständigen. In Material wurde bereits die partielle Integration einmal angewandt. Dabei ist dir nun folgende Gleichung gegeben:
$\begin{array}{rll} \displaystyle\int_{}^{}f(t)\;\mathrm dt=&100 \cdot t +\displaystyle\int_{}^{}4.600 \cdot t^2 \cdot \mathrm{e}^{-2t} \;\mathrm dx \\[5pt] =&100 \cdot t -2.300 \cdot t^2 \cdot \mathrm{e}^{-2t} + \displaystyle\int_{}^{}4.600 \cdot t \cdot \mathrm{e}^{-2 \cdot t} \mathrm dt \end{array}$
1. Schritt: Integral $\boldsymbol{\displaystyle\int_{}^{}4.600 \cdot t \cdot \mathrm{e}^{-2 \cdot t} \mathrm dt}$ bestimmen
Bestimme nun das Integral $\displaystyle\int_{}^{}4.600 \cdot t \cdot \mathrm{e}^{-2 \cdot t} \mathrm dt$ in einer Nebenrechnung. Hier ist ein Produkt unter dem Integral gegeben, somit benötigst du auch hier die partielle Integration.
2. Schritt: Ergebnis einsetzen
Dieses Ergebnis kannst du nun in die obere Funktionsgleichung einsetzen.
2.3.2 $\blacktriangleright$ Berechnung des Integrals
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg A
Speichere den Funktionsterm von $f$ ein und berechne dann mit dem CAS das Integral mit den dazugehörigen Grenzen.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg B: Per Hand
Berechne das Integral nach dem Hauptsatz der Integralrechnung. In 2.3.1 hast du eine dazugehörige Stammfunktion bestimmt:
$\displaystyle\int_{a}^{b} f(t) \mathrm dt=\left[ F(b)-F(a)\right]$
$\blacktriangleright$ Deuten des Ergebnisses im Sachzusammenhang
Nach Aufgabenstellung beschreibt die Funktion $f$ die Enzymaktivität in Units. $t$ steht hierbei für die Tage, die seit dem Infarkt vergangen sind. Der durchschnittliche Funktionswert einer Funktion $f$ im Intervall $[a,b]$ ist durch folgende Formel gegeben:
$\dfrac{1}{b-a} \cdot \displaystyle\int_{a}^{b} f(t) \mathrm dt$
2.4 $\blacktriangleright$ Zeitintervall für Diagnose Herzinfarkt bestimmen
Deine Aufgabe ist zu zeigen, in welcher Zeitspanne die Diagnose Herzinfarkt gestellt werden kann. Dies ist nach Aufgabenstellung der Fall, wenn die Enzymaktivität mindestens $\boldsymbol{192}$ beträgt. Also wird zu jedem $t$ mit $0\leq t \leq 5$, das die Ungleichung $f(t)=100+4.600 \cdot t^2 \cdot \mathrm{e}^{-2t}\geq 192$ erfüllt, die Diagnose Herzinfarkt gestellt.
Bestimme dazu zuerst die Grenzen des Intervalls, welches die Zeitspanne beschreibt. Für die untere und obere Grenze des Intervalls ist gilt $f(t)=192$, wobei $0\leq t \leq 5$. Anschließend überprüfst du, ob die Funktion $f$ vor, nach oder zwischen den Grenzen die Ungleichung erfüllt.
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1.
1.1 $\blacktriangleright$  Funktionsgleichung bestimmen
Die gegebene Funktion $f_{a,b,c}$ mit Funktionsgleichung $f_{a,b,c}(t)=a+b \cdot t^2\cdot \mathrm{e}^{c\cdot t}$ beschreibt die Enzymaktivität in Units nach $t$ Tagen. Deine Aufgabe ist es, die Parameter $a$,$b$ und $c$ zu bestimmen.
Du hast hier drei gesuchte Parameter, deswegen musst du drei Bedingungen an $f_{a,b,c}$ formulieren. Leite die Bedingungen aus den dir gegebenen Angaben ab und bestimme mit diesen die gesuchten Parameter.
  1. „Die Enzymaktivität beträgt zu Beginn $80$ Units“
    $\Rightarrow$ Zeitpunkt $t=0$ mit Enzymaktivität $f_{a,b,c}(0)=80$
    $(Ⅰ):\;80=f_{a,b,c}(0)$
  2. „Zum Zeitpunkt $t=0,8$ ist die Enzymaktivität mit $773$ Units am größten.“
    $\Rightarrow$ Zeitpunkt $t=0,8$ mit Enzymaktivität $f_{a,b,c}(0,8)=773$
    $(Ⅱ):\;773=f_{a,b,c}(0,8)$
  3. „Zum Zeitpunkt $t=0,8$ ist die Enzymaktivität mit $773$ Units am größten.“
    $\Rightarrow$ Funktion $f_{a,b,c}$ nimmt zum Zeitpunkt $t=0,8$ ihr Maximum an. Die notwendige Bedingung für Extremstellen besagt nun:
    $(Ⅲ):\;0=f'_{a,b,c}(0,8)$
Das aus den Bedingungen (Ⅰ), (Ⅱ) und (Ⅲ) ausgehende Gleichungssystem kannst du mit deinem CAS lösen.
Speichere dir die Funktion $f$ sowie die Ableitung $f'$ ein und stelle dazu ein Gleichungssystem mit 3 Gleichungen auf. Den entsprechenden Befehl findest du unter:
menu $\to$ 3: Algebra $\to$ 7 $\to$ 1: Gleichungssystem lösen…
Gib hier die drei Bedingungen ein und bestätige mit Enter.
A1 - Analysis
A1 - Analysis
Somit sind die gesuchten Parameter $a=80$, $b\approx 8.000,96$ und $c=-2,5$.
Die Funktionsgleichung lautet:
$\begin{array}[t]{rll} f_{80;\,8.000,96;\,-2,5}(t)&=&80+ 8.000,96 \cdot t^2\cdot e^{-2,5 \cdot t} \end{array}$
1.2 $\blacktriangleright$  Einfluss des Parameters $\boldsymbol{b}$
Zeige hier rechnerisch, dass der Parameter $b$ keinen Einfluss auf den Zeitpunkt der maximalen Enzymaktivität hat. Betrachte hierfür die notwendige Bedingung für eine Maximalstelle und zeige damit, dass $b$ keinen Einfluss auf die Maximalstelle hat.
Leite dazu zuerst die Funktion $f$ ab. Achte dabei darauf, die Produkt- und Kettenregel zu verwenden:
$\begin{array}{rll} f(t)&=&a+b \cdot t^2\cdot \mathrm{e}^{c\cdot t}\\[5pt] f'(t)&=&b \cdot \left(2 \cdot t\right) \cdot \mathrm{e}^{c \cdot t} + b \cdot t^2 \cdot \left(c \cdot \mathrm{e}^{c \cdot t}\right) \\[5pt] &=&b \cdot \mathrm{e}^{c \cdot t} \left(2 \cdot t + c\cdot t^2\right)\\[5pt] \end{array}$
Die notwendige Bedingung für eine Extremstelle $t_0$ lautet:
$0=f'_{a,b,c}(t_0)$
Setzt du nun die erste Ableitung ein, so erhältst du:
$0=b \cdot \mathrm{e}^{c \cdot t_0} \left(2 \cdot t_0 + c\cdot t_0^2\right)$
Nach dem Satz über das Nullprodukt ist ein Produkt genau dann Null, wenn (mind.) einer der Faktoren Null ist. Nach Aufgabenstellung gilt hier $b>0$, also hat $b$ keinen Einfluss darauf, ob die Gleichung Null ist und du kannst durch $b$ teilen. Du erhältst als Bedingung für eine Extremstelle $t_0$:
$0=\mathrm{e}^{c \cdot t_0} \left(2 \cdot t_0 + c\cdot t_0^2\right)$
Du erkennst nun, dass kein $b$ mehr in der Gleichung ist. Somit hat der Parameter $b$ keinen Einfluss auf die Extremstellen, also insbesondere nicht auf den Zeitpunkt der maximalen Enzymaktivität.
$\blacktriangleright$  Wirkung der Parameter beschreiben
Beschreibe nun die Wirkung der Parameter $a$, $b$ und $c$ auf den Verlauf des Graphen von $f_{a,b,c}$. Betrachte dabei die obigen Bedingungen und versuche daraus die Wirkung der Parameter abzuleiten.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright}$  Parameter $\boldsymbol{a}$
Wie du bereits in der vorherigen Aufgabe an der ersten Bedingung gesehen hast, gilt: $f_{a,b,c}(0)=a$.
Der Parameter $a$ bestimmt also den Schnittpunkt $\left(0 \mid a\right)$ des Graphen der Funktion $f_{a,b,c}$ mit der $y$-Achse, den sog. $y$-Achsenabschnitt. Der Parameter $a$ hat keinen Einfluss auf den Verlauf des Graphen, er verschiebt ihn lediglich „nach oben“ und „nach unten“.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright}$  Parameter $\boldsymbol{b}$
Der Parameter $b$ hat Auswirkungen auf die Höhe des Graphen der Funktion $f_{a,b,c}$. Je größer der Wert $b$ ist, desto größer werden die Funktionswerte von $f_{a,b,c}$.
Je größer die Funktionswerte des Maximums werden, desto höher verläuft der Graph der Funktion. $b$ hat also insbesondere Auswirkungen auf den Maximalwert der Funktion.
Da die Funktion für den Wert $0$ fest die Höhe $a$ hat und du mit $b$ die Höhe des Maximums verändern kannst, „zieht“ $b$ den Graphen „auseinander“. Der Parameter $b$ hat, wie du oben gezeigt hast, außerdem keinen Einfluss auf den Zeitpunkt des Maximums, somit verschiebt er den Graphen nicht in $x$-Richtung.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright}$  Parameter $\boldsymbol{c}$
Kommen wir nun noch zum Parameter $c$: Wie du im vorherigen Aufgabenteil gesehen hast, ist der Zeitpunkt der maximalen Enzymaktivität abhängig von $c$.
Für eine Extremstelle $t_0$ gilt die folgende Gleichung:
$\begin{array}[t]{rll} 0&=& \mathrm{e}^{c \cdot t_0} \left(2 \cdot t_0 + c\cdot t_0^2\right) \\[5pt] \end{array}$
Diese Bedingung ist nach dem Satz über das Nullprodukt für $t_m=0$ (Minimalstelle der Funktion) und für $t_0=-\dfrac{2}{c}$ (Maximalstelle) erfüllt. Somit hängt die Maximalstelle der Funktion $f_{a,b,c}$ vom Parameter $c$ ab.
Für den Verlauf des Graphen heißt das, du kannst mit Vergrößern bzw. Verkleinern von $c$ den Graphen nach links bzw. rechts verschieben. Dabei hat $c$ jedoch auch Auswirkungen auf die Höhe des Graphen, also zieht $c$ den Graphen ähnlich wie $b$ auseinander.
2.
2.1 $\blacktriangleright$  Ableitungen bestimmen
Leite die Funktion $f$ zweimal ab, um die Behauptung zu zeigen. Der Funktionsterm von $f$ lautet dabei:
$f(t)=100+4.600\cdot t^2 \cdot \mathrm{e}^{-2t}$
Mit der Produkt- und Kettenregel kannst du die ersten beiden Ableitungen berechnen:
$\begin{array}{rll} f'(t)=&4.600\cdot (2t\cdot \mathrm{e}^{-2t} + t^2 \cdot (-2\cdot \mathrm{e}^{-2t})) \\[5pt] =&4.600\cdot (2t\cdot \mathrm{e}^{-2t} -2t^2 \cdot \mathrm{e}^{-2t})\\[5pt] =&9.200 \cdot \mathrm{e}^{-2t} \cdot (t-t^2) \end{array}$
Die Funktionsgleichung der ersten Ableitung $f'$ lautet somit: $f'(t)=9.200 \cdot \mathrm{e}^{-2t} \cdot (t-t^2)$.
$\begin{array}{rll} f''(t)=&9.200\cdot ((1-2t)\cdot \mathrm{e}^{-2t} + (t-t^2) \cdot (-2\cdot \mathrm{e}^{-2t})) \\[5pt] =&9.200 \cdot \mathrm{e}^{-2t} \cdot (1-2t-2t+2t^2)\\[5pt] =&9.200 \cdot \mathrm{e}^{-2t} \cdot (2t^2-4t+1) \end{array}$
Die Funktionsgleichung der zweiten Ableitung $f''$ lautet somit: $f''(t)=9.200 \cdot \mathrm{e}^{-2t} \cdot (2t^2-4t+1)$ und stimmt mit dem gegebenen Term überein.
2.2 $\blacktriangleright$  Zeitpunkt des stärksten Anstiegs (bzw. Abstiegs) berechnen
Hier ist nach den Zeitpunkten gefragt, zu denen die Aktivitätskurve für das Enzym am stärksten ansteigt bzw. am stärksten fällt. Dies entspricht gerade den Extremstellen der ersten Ableitung bzw. den Wendestellen der Funktion. Die gesuchten Änderungsraten entsprechen dann den Steigungen an diesen Stellen. Diese kannst du mit deinem CAS bestimmen.
Nach Aufgabenstellung genügt es, die notwendige Bedingung zu überprüfen. Die notwendige Bedingung für Extremstellen der ersten Ableitung besagt:
$\boldsymbol{f''(t)=0}$
Setze also den Funktionsterm der zweiten Ableitung gleich Null, um die Extremstellen der ersten Ableitung zu berechnen. Diese Werte kannst du dann in die Funktionsgleichung einsetzen, um die Änderungsraten zu bestimmen. Die Ableitungen hast du oben schon bestimmt. Des Weiteren musst du noch die Randwerte zu den Zeitpunkten $t=0$ und $t=5$ auf Randextrema überprüfen.
1. Schritt: Extremstellen der ersten Ableitung bestimmen
Speichere den Funktionsterm von $f''$ wie oben in deinem CAS.
Berechne dann mit
menu $\to$ 3: Algebra $\to$ 7 $\to$ 1: Gleichungssystem lösen…
die Nullstellen der zweiten Ableitung, also die Extremstellen der ersten Ableitung.
A1 - Analysis
A1 - Analysis
Die Extremstellen sind somit $\boldsymbol{t_1 \approx 1,71}$ und $\boldsymbol{t_2 \approx 0,29}$.
2. Schritt: Änderungsraten berechnen
Nun kannst du die Änderungsraten bestimmen, indem du die Extremstellen in $f'(t)$ einsetzt:
$t_1$: $\quad$ $\begin{array}[t]{rll} f'(t_1)=&9.200 \cdot \mathrm{e}^{-2 \cdot 1,71} \cdot \left(1,71 - 1,71^2\right) \approx-365,39 \end{array}$
$t_2$: $\quad$ $\begin{array}[t]{rll} f'(t_2)=&9.200 \cdot \mathrm{e}^{-2 \cdot 0,29} \cdot \left(0,29 - 0,29^2\right) \approx1.060,6 \end{array}$
3. Schritt: Randwerte überprüfen
Betrachte nun die Änderungsraten an den Randstellen und überprüfe, ob dort eine höhere bzw. niedrigere Änderungsrate vorliegt. Die Randstellen sind $t=0$ und $t=5$:
$t=0$: $\quad$ $\begin{array}[t]{rll} f'(0)=&9.200 \cdot \mathrm{e}^{-2 \cdot 0} \cdot \left(0 - 0\right) \\[5pt] =&9.200 \cdot1 \cdot 0\\[5pt] =&0 \end{array}$
$t=5$: $\quad$ $\begin{array}[t]{rll} f'(5)=&9.200 \cdot \mathrm{e}^{-2 \cdot 5} \cdot \left(5 - 5^2\right) \\[5pt] =&9.200 \cdot\mathrm{e}^{-10} \cdot \left(-20\right)\\[5pt] \approx& -8,35 \end{array}$
Damit befinden sich am Rand keine Extremstellen der ersten Abeitung.
Die Aktivitätskurve fällt zum Zeitpunkt $\boldsymbol{t_1 \approx 1,71}$ am stärksten und die Änderungsrate ist $\boldsymbol{-365,39}$. Zum Zeitpunkt $\boldsymbol{t_2 \approx 0,29}$ steigt die Aktivitätskurve am stärksten und die Änderungsrate ist $\boldsymbol{1.060,6}$.
2.3
2.3.1 $\blacktriangleright$  Integrationsmethode
Hier ist es deine Aufgabe, die Integrationsmethode anzugeben, die hier verwendet wurde. Im Material erkennst du, dass auf der linken Seite der Gleichung ein Integral steht, welches nicht ohne Weiteres integriert werden kann. Es handelt sich hierbei um ein Produkt eines Polynoms und einer $\mathrm{e}$- Funktion. Auf der rechten Seite siehst du zwei Terme, wobei einer der beiden ein Integral ist. Diese Terme hängen folgendermaßen zusammen:
Definierst du $u(t)=4.600 \cdot t^2$ und $v(t)=\left( -\dfrac{1}{2}\right) \cdot \mathrm{e}^{-2t}$ wie im Material, dann sind die ersten Ableitungen $u'$ und $v'$ durch folgende Gleichungen gegeben: $u'(t)=9.200 \cdot t$ und $v'(t)=\mathrm{e}^{-2t}$.
Somit ist die Integralgleichung in Material 2 von der Form:
$\displaystyle\int_{}^{} u(t) \cdot v'(t) \;\mathrm dt =u(t) \cdot v(t) - \displaystyle\int_{}^{} u'(t) \cdot v(t)\; \mathrm dt$
Diese Methode der Integration ist die partielle Integration.
$\blacktriangleright$  Vervollständigung der Rechnung
Deine Aufgabe ist es nun, die Rechnung zu vervollständigen. In Material wurde bereits die partielle Integration einmal angewandt. Dabei ist dir nun folgende Gleichung gegeben:
$\begin{array}{rll} \displaystyle\int_{}^{}f(t)\;\mathrm dt=&100 \cdot t +\displaystyle\int_{}^{}4.600 \cdot t^2 \cdot \mathrm{e}^{-2t} \;\mathrm dx \\[5pt] =&100 \cdot t -2.300 \cdot t^2 \cdot \mathrm{e}^{-2t} + \displaystyle\int_{}^{}4.600 \cdot t \cdot \mathrm{e}^{-2 \cdot t} \;\mathrm dt \end{array}$
1. Schritt: Integral $\boldsymbol{\displaystyle\int_{}^{}4.600 \cdot t \cdot \mathrm{e}^{-2 \cdot t} \mathrm dt}$ bestimmen
Bestimme nun das Integral $\displaystyle\int_{}^{}4.600 \cdot t \cdot \mathrm{e}^{-2 \cdot t} \mathrm dt$ in einer Nebenrechnung. Hier ist ein Produkt unter dem Integral gegeben, somit benötigst du auch hier die partielle Integration:
$\begin{array}{rll} \displaystyle\int_{}^{}4.600 \cdot t \cdot \mathrm{e}^{-2 \cdot t} \;\mathrm dt = &4.600 \cdot t \cdot \left( -\dfrac{1}{2}\right) \cdot \mathrm{e}^{-2t} - \displaystyle\int_{}^{}4.600 \cdot \left( -\dfrac{1}{2}\right)\cdot \mathrm{e}^{-2t}\; \mathrm dt \\[5pt] =&-2.300 \cdot t \cdot \mathrm{e}^{-2t} + 2.300 \cdot \displaystyle\int_{}^{}\mathrm{e}^{-2t}\; \mathrm dt \\[5pt] =&-2.300 \cdot t \cdot \mathrm{e}^{-2t} + 2.300 \cdot \left( -\dfrac{1}{2}\right) \cdot \mathrm{e}^{-2t} \\[5pt] =&-2.300 \cdot t \cdot \mathrm{e}^{-2t} -1.150 \cdot \mathrm{e}^{-2t} \\[5pt] \end{array}$
2. Schritt: Ergebnis einsetzen
Dieses Ergebnis kannst du nun in die obere Funktionsgleichung einsetzen:
$\begin{array}{rll} \displaystyle\int_{}^{}f(t)\;\mathrm dt=&100 \cdot t -2.300 \cdot t^2 \cdot \mathrm{e}^{-2t} + \displaystyle\int_{}^{}4.600 \cdot t \cdot \mathrm{e}^{-2 \cdot t} \;\mathrm dt\\[5pt] = &100 \cdot t - 2.300 \cdot t^2 \cdot \mathrm{e}^{-2t} -2.300 \cdot t \cdot \mathrm{e}^{-2t} -1.150 \cdot \mathrm{e}^{-2t} +c\\[5pt] =&100t - 1.150 \cdot \mathrm{e}^{-2t} \cdot \left(2t^2+2t+1\right) + c \end{array}$
Setze die Integrationskonstante $c=0$. Damit erhältst du eine Stammfunktion $F$ von $f$ mit der Funktionsgleichung $F(t)=100t - 1.150 \cdot \mathrm{e}^{-2t} \cdot \left(2t^2+2t+1\right)$.
2.3.2 $\blacktriangleright$  Bestimmen des Integrals
Das Integral kannst du mit deinem CAS berechnen. Speichere dazu wie oben den Funktionsterm von $f$.
Wähle dann unter
menu $\to$ 4: Analysis $\to$ 3: Integral
den Befehl zum Bestimmen des Integrals aus. Gib die untere Grenze $x=0$, die obere Grenze $x=3$ sowie die Funktion $f$ ein und multipliziere mit $\dfrac{1}{3}$:
A1 - Analysis
A1 - Analysis
Du erhältst somit:
$\dfrac{1}{3} \displaystyle\int_{0}^{3} f(t) \;\mathrm dt \approx 459,58$
$\blacktriangleright$  Deuten des Ergebnisses im Sachzusammenhang
Nach Aufgabenstellung beschreibt die Funktion $f$ die Enzymaktivität in Units. $t$ steht hierbei für die Tage, die seit dem Infarkt vergangen sind. Das Integral $\displaystyle\int_{0}^{3} f(t)\; \mathrm dt$ beschreibt damit die insgesamte Menge an Enzymaktivität in Units die 3 Tage nach dem Infarkt insgesamt ausgeschüttet wurde. Teilt man dies durch 3, so erhält man die durschnittliche Enzymaktivität der ersten 3 Tage in Units pro Tag. Also lag die durchschnittliche Enzymaktivität während der ersten drei Tage nach dem Infarkt bei $459,58$ Units pro Tag.
2.4 $\blacktriangleright$  Zeitspanne für Diagnose Herzinfarkt bestimmen
Deine Aufgabe ist zu zeigen, in welcher Zeitspanne die Diagnose Herzinfarkt gestellt werden kann. Dies ist nach Aufgabenstellung der Fall, wenn die Enzymaktivität mindestens $\boldsymbol{192}$ beträgt. Also wird zu jedem $t$ mit $0\leq t \leq 5$, das die Ungleichung $f(t)=100+4.600 \cdot t^2 \cdot \mathrm{e}^{-2t}\geq 192$ erfüllt, die Diagnose Herzinfarkt gestellt.
Bestimme dazu zuerst die Grenzen des Intervalls, welches die Zeitspanne beschreibt. Für die untere und obere Grenze des Intervalls ist gilt $f(t)=192$, wobei $0\leq t \leq 5$. Anschließend überprüfst du, ob die Funktion $f$ vor, nach oder zwischen den Grenzen die Ungleichung erfüllt.
Speichere dazu die Funktion $f$ in deinem CAS. Hast du diese dort gespeichert, berechne die beiden Schnittpunkt wie oben:
A1 - Analysis
A1 - Analysis
Du erhältst $\boldsymbol{t_1 \approx 0,17}$ und $\boldsymbol{t_2\approx 3,08}$ als Schnittstellen.
Überprüfe nun, in welchem Bereich die Ungleichung erfüllt ist. Da die Funktion stetig ist, reicht es jeweils einen Funktionswert eines Zeitpunkts vor $t_1$, also $\tilde{t}_1 \in \left[0; t_1\right]$, zwischen $t_1$ und $t_2$, also $\tilde{t}_2 \in \left[t_1; t_2\right]$, und nach $t_2$, also $\tilde{t}_3 \in \left[t_2; 5\right]$.
Wähle zum Beispiel: $\tilde{t}_1=0$, $\tilde{t}_2=1$ und $\tilde{t}_3=4$.
A1 - Analysis
A1 - Analysis
Es gilt:
$\begin{array}[t]{ccc} f(0)\leq192,&f(1)\geq192,&f(4)\leq192. \end{array}$
Damit erkennst du, dass die Ungleichung zwischen den beiden Schnittstellen erfüllt ist.
Also ist ungefähr im Intervall $\left[0,17;\, 3,08\right]$ die Enzymaktivität somit größer oder gleich $192$ und es kann die Diagnose Herzinfarkt gestellt werden.
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1.
1.1 $\blacktriangleright$  Funktionsgleichung bestimmen
Die gegebene Funktion $f_{a,b,c}$ mit Funktionsgleichung $f_{a,b,c}(t)=a+b \cdot t^2\cdot \mathrm{e}^{c\cdot t}$ beschreibt die Enzymaktivität in Units nach $t$ Tagen. Deine Aufgabe ist es, die Parameter $a$,$b$ und $c$ zu bestimmen.
Du hast hier drei gesuchte Parameter, deswegen musst du drei Bedingungen an $f_{a,b,c}$ formulieren. Leite die Bedingungen aus den dir gegebenen Angaben ab und bestimme mit diesen die gesuchten Parameter.
  1. „Die Enzymaktivität beträgt zu Beginn $80$ Units“
    $\Rightarrow$ Zeitpunkt $t=0$ mit Enzymaktivität $f_{a,b,c}(0)=80$
    $(Ⅰ):\;80=f_{a,b,c}(0)$
  2. „Zum Zeitpunkt $t=0,8$ ist die Enzymaktivität mit $773$ Units am größten.“
    $\Rightarrow$ Zeitpunkt $t=0,8$ mit Enzymaktivität $f_{a,b,c}(0,8)=773$
    $(Ⅱ):\;773=f_{a,b,c}(0,8)$
  3. „Zum Zeitpunkt $t=0,8$ ist die Enzymaktivität mit $773$ Units am größten.“
    $\Rightarrow$ Funktion $f_{a,b,c}$ nimmt zum Zeitpunkt $t=0,8$ ihr Maximum an. Die notwendige Bedingung für Extremstellen besagt nun:
    $(Ⅲ):\;0=f'_{a,b,c}(0,8)$
Das aus den Bedingungen (Ⅰ), (Ⅱ) und (Ⅲ) ausgehende Gleichungssystem kannst du mit deinem CAS lösen.
Speichere dir die Funktion $f$ sowie die Ableitung $f'$ ein und stelle dazu ein Gleichungssystem mit 3 Gleichungen auf. Den entsprechenden Befehl findest du unter:
Keyboard $\to$ $\{$
Gib hier die drei Bedingungen ein und bestätige mit EXE.
A1 - Analysis
A1 - Analysis
Somit sind die gesuchten Parameter $a=80$, $b\approx 8.000,96$ und $c=-2,5$.
Die Funktionsgleichung lautet:
$\begin{array}[t]{rll} f_{80;\,8.000,96;\,-2,5}(t)&=&80+ 8.000,96 \cdot t^2\cdot e^{-2,5 \cdot t} \end{array}$
1.2 $\blacktriangleright$  Einfluss des Parameters $\boldsymbol{b}$
Zeige hier rechnerisch, dass der Parameter $b$ keinen Einfluss auf den Zeitpunkt der maximalen Enzymaktivität hat. Betrachte hierfür die notwendige Bedingung für eine Maximalstelle und zeige damit, dass $b$ keinen Einfluss auf die Maximalstelle hat.
Leite dazu zuerst die Funktion $f$ ab. Achte dabei darauf, die Produkt- und Kettenregel zu verwenden:
$\begin{array}{rll} f(t)&=&a+b \cdot t^2\cdot \mathrm{e}^{c\cdot t}\\[5pt] f'(t)&=&b \cdot \left(2 \cdot t\right) \cdot \mathrm{e}^{c \cdot t} + b \cdot t^2 \cdot \left(c \cdot \mathrm{e}^{c \cdot t}\right) \\[5pt] &=&b \cdot \mathrm{e}^{c \cdot t} \left(2 \cdot t + c\cdot t^2\right)\\[5pt] \end{array}$
Die notwendige Bedingung für eine Extremstelle $t_0$ lautet:
$0=f'_{a,b,c}(t_0)$
Setzt du nun die erste Ableitung ein, so erhältst du:
$0=b \cdot \mathrm{e}^{c \cdot t_0} \left(2 \cdot t_0 + c\cdot t_0^2\right)$
Nach dem Satz über das Nullprodukt ist ein Produkt genau dann Null, wenn (mind.) einer der Faktoren Null ist. Nach Aufgabenstellung gilt hier $b>0$, also hat $b$ keinen Einfluss darauf, ob die Gleichung Null ist und du kannst durch $b$ teilen. Du erhältst als Bedingung für eine Extremstelle $t_0$:
$0=\mathrm{e}^{c \cdot t_0} \left(2 \cdot t_0 + c\cdot t_0^2\right)$
Du erkennst nun, dass kein $b$ mehr in der Gleichung ist. Somit hat der Parameter $b$ keinen Einfluss auf die Extremstellen, also insbesondere nicht auf den Zeitpunkt der maximalen Enzymaktivität.
$\blacktriangleright$  Wirkung der Parameter beschreiben
Beschreibe nun die Wirkung der Parameter $a$, $b$ und $c$ auf den Verlauf des Graphen von $f_{a,b,c}$. Betrachte dabei die obigen Bedingungen und versuche daraus die Wirkung der Parameter abzuleiten.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright}$  Parameter $\boldsymbol{a}$
Wie du bereits in der vorherigen Aufgabe an der ersten Bedingung gesehen hast, gilt: $f_{a,b,c}(0)=a$.
Der Parameter $a$ bestimmt also den Schnittpunkt $\left(0 \mid a\right)$ des Graphen der Funktion $f_{a,b,c}$ mit der $y$-Achse, den sog. $y$-Achsenabschnitt. Der Parameter $a$ hat keinen Einfluss auf den Verlauf des Graphen, er verschiebt ihn lediglich „nach oben“ und „nach unten“.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright}$  Parameter $\boldsymbol{b}$
Der Parameter $b$ hat Auswirkungen auf die Höhe des Graphen der Funktion $f_{a,b,c}$. Je größer der Wert $b$ ist, desto größer werden die Funktionswerte von $f_{a,b,c}$.
Je größer die Funktionswerte des Maximums werden, desto höher verläuft der Graph der Funktion. $b$ hat also insbesondere Auswirkungen auf den Maximalwert der Funktion.
Da die Funktion für den Wert $0$ fest die Höhe $a$ hat und du mit $b$ die Höhe des Maximums verändern kannst, „zieht“ $b$ den Graphen „auseinander“. Der Parameter $b$ hat, wie du oben gezeigt hast, außerdem keinen Einfluss auf den Zeitpunkt des Maximums, somit verschiebt er den Graphen nicht in $x$-Richtung.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright}$  Parameter $\boldsymbol{c}$
Kommen wir nun noch zum Parameter $c$: Wie du im vorherigen Aufgabenteil gesehen hast, ist der Zeitpunkt der maximalen Enzymaktivität abhängig von $c$.
Für eine Extremstelle $t_0$ gilt die folgende Gleichung:
$\begin{array}[t]{rll} 0&=& \mathrm{e}^{c \cdot t_0} \left(2 \cdot t_0 + c\cdot t_0^2\right) \\[5pt] \end{array}$
Diese Bedingung ist nach dem Satz über das Nullprodukt für $t_m=0$ (Minimalstelle der Funktion) und für $t_0=-\dfrac{2}{c}$ (Maximalstelle) erfüllt. Somit hängt die Maximalstelle der Funktion $f_{a,b,c}$ vom Parameter $c$ ab.
Für den Verlauf des Graphen heißt das, du kannst mit Vergrößern bzw. Verkleinern von $c$ den Graphen nach links bzw. rechts verschieben. Dabei hat $c$ jedoch auch Auswirkungen auf die Höhe des Graphen, also zieht $c$ den Graphen ähnlich wie $b$ auseinander.
2.
2.1 $\blacktriangleright$  Ableitungen bestimmen
Leite die Funktion $f$ zweimal ab, um die Behauptung zu zeigen. Der Funktionsterm von $f$ lautet dabei:
$f(t)=100+4.600\cdot t^2 \cdot \mathrm{e}^{-2t}$
Mit der Produkt- und Kettenregel kannst du die ersten beiden Ableitungen berechnen:
$\begin{array}{rll} f'(t)=&4.600\cdot (2t\cdot \mathrm{e}^{-2t} + t^2 \cdot (-2\cdot \mathrm{e}^{-2t})) \\[5pt] =&4.600\cdot (2t\cdot \mathrm{e}^{-2t} -2t^2 \cdot \mathrm{e}^{-2t})\\[5pt] =&9.200 \cdot \mathrm{e}^{-2t} \cdot (t-t^2) \end{array}$
Die Funktionsgleichung der ersten Ableitung $f'$ lautet somit: $f'(t)=9.200 \cdot \mathrm{e}^{-2t} \cdot (t-t^2)$.
$\begin{array}{rll} f''(t)=&9.200\cdot ((1-2t)\cdot \mathrm{e}^{-2t} + (t-t^2) \cdot (-2\cdot \mathrm{e}^{-2t})) \\[5pt] =&9.200 \cdot \mathrm{e}^{-2t} \cdot (1-2t-2t+2t^2)\\[5pt] =&9.200 \cdot \mathrm{e}^{-2t} \cdot (2t^2-4t+1) \end{array}$
Die Funktionsgleichung der zweiten Ableitung $f''$ lautet somit: $f''(t)=9.200 \cdot \mathrm{e}^{-2t} \cdot (2t^2-4t+1)$ und stimmt mit dem gegebenen Term überein.
2.2 $\blacktriangleright$  Zeitpunkt des stärksten Anstiegs (bzw. Abstiegs) berechnen
Hier ist nach den Zeitpunkten gefragt, zu denen die Aktivitätskurve für das Enzym am stärksten ansteigt bzw. am stärksten fällt. Dies entspricht gerade den Extremstellen der ersten Ableitung bzw. den Wendestellen der Funktion. Die gesuchten Änderungsraten entsprechen dann den Steigungen an diesen Stellen. Diese kannst du mit deinem CAS bestimmen.
Nach Aufgabenstellung genügt es, die notwendige Bedingung zu überprüfen. Die notwendige Bedingung für Extremstellen der ersten Ableitung besagt:
$\boldsymbol{f''(t)=0}$
Setze also den Funktionsterm der zweiten Ableitung gleich Null, um die Extremstellen der ersten Ableitung zu berechnen. Diese Werte kannst du dann in die Funktionsgleichung einsetzen, um die Änderungsraten zu bestimmen. Die Ableitungen hast du oben schon bestimmt. Des Weiteren musst du noch die Randwerte zu den Zeitpunkten $t=0$ und $t=5$ auf Randextrema überprüfen.
1. Schritt: Extremstellen der ersten Ableitung bestimmen
Speichere den Funktionsterm von $f''$ wie oben in deinem CAS.
Berechne dann mit
Interaktiv $\to$ Weiterführend $\to$ solve
die Nullstellen der zweiten Ableitung, also die Extremstellen der ersten Ableitung.
A1 - Analysis
A1 - Analysis
Die Extremstellen sind somit $\boldsymbol{t_1 \approx 1,71}$ und $\boldsymbol{t_2 \approx 0,29}$.
2. Schritt: Änderungsraten berechnen
Nun kannst du die Änderungsraten bestimmen, indem du die Extremstellen in $f'(t)$ einsetzt:
$t_1$: $\quad$ $\begin{array}[t]{rll} f'(t_1)=&9.200 \cdot \mathrm{e}^{-2 \cdot 1,71} \cdot \left(1,71 - 1,71^2\right) \approx-365,39 \end{array}$
$t_2$: $\quad$ $\begin{array}[t]{rll} f'(t_2)=&9.200 \cdot \mathrm{e}^{-2 \cdot 0,29} \cdot \left(0,29 - 0,29^2\right) \approx1.060,6 \end{array}$
3. Schritt: Randwerte überprüfen
Betrachte nun die Änderungsraten an den Randstellen und überprüfe, ob dort eine höhere bzw. niedrigere Änderungsrate vorliegt. Die Randstellen sind $t=0$ und $t=5$:
$t=0$: $\quad$ $\begin{array}[t]{rll} f'(0)=&9.200 \cdot \mathrm{e}^{-2 \cdot 0} \cdot \left(0 - 0\right) \\[5pt] =&9.200 \cdot1 \cdot 0\\[5pt] =&0 \end{array}$
$t=5$: $\quad$ $\begin{array}[t]{rll} f'(5)=&9.200 \cdot \mathrm{e}^{-2 \cdot 5} \cdot \left(5 - 5^2\right) \\[5pt] =&9.200 \cdot\mathrm{e}^{-10} \cdot \left(-20\right)\\[5pt] \approx& -8,35 \end{array}$
Damit befinden sich am Rand keine Extremstellen der ersten Abeitung.
Die Aktivitätskurve fällt zum Zeitpunkt $\boldsymbol{t_1 \approx 1,71}$ am stärksten und die Änderungsrate ist $\boldsymbol{-365,39}$. Zum Zeitpunkt $\boldsymbol{t_2 \approx 0,29}$ steigt die Aktivitätskurve am stärksten und die Änderungsrate ist $\boldsymbol{1.060,6}$.
2.3
2.3.1 $\blacktriangleright$  Integrationsmethode
Hier ist es deine Aufgabe, die Integrationsmethode anzugeben, die hier verwendet wurde. Im Material erkennst du, dass auf der linken Seite der Gleichung ein Integral steht, welches nicht ohne Weiteres integriert werden kann. Es handelt sich hierbei um ein Produkt eines Polynoms und einer $\mathrm{e}$- Funktion. Auf der rechten Seite siehst du zwei Terme, wobei einer der beiden ein Integral ist. Diese Terme hängen folgendermaßen zusammen:
Definierst du $u(t)=4.600 \cdot t^2$ und $v(t)=\left( -\dfrac{1}{2}\right) \cdot \mathrm{e}^{-2t}$ wie im Material, dann sind die ersten Ableitungen $u'$ und $v'$ durch folgende Gleichungen gegeben: $u'(t)=9.200 \cdot t$ und $v'(t)=\mathrm{e}^{-2t}$.
Somit ist die Integralgleichung in Material 2 von der Form:
$\displaystyle\int_{}^{} u(t) \cdot v'(t) \;\mathrm dt =u(t) \cdot v(t) - \displaystyle\int_{}^{} u'(t) \cdot v(t)\; \mathrm dt$
Diese Methode der Integration ist die partielle Integration.
$\blacktriangleright$  Vervollständigung der Rechnung
Deine Aufgabe ist es nun, die Rechnung zu vervollständigen. In Material wurde bereits die partielle Integration einmal angewandt. Dabei ist dir nun folgende Gleichung gegeben:
$\begin{array}{rll} \displaystyle\int_{}^{}f(t)\;\mathrm dt=&100 \cdot t +\displaystyle\int_{}^{}4.600 \cdot t^2 \cdot \mathrm{e}^{-2t} \;\mathrm dx \\[5pt] =&100 \cdot t -2.300 \cdot t^2 \cdot \mathrm{e}^{-2t} + \displaystyle\int_{}^{}4.600 \cdot t \cdot \mathrm{e}^{-2 \cdot t} \;\mathrm dt \end{array}$
1. Schritt: Integral $\boldsymbol{\displaystyle\int_{}^{}4.600 \cdot t \cdot \mathrm{e}^{-2 \cdot t} \mathrm dt}$ bestimmen
Bestimme nun das Integral $\displaystyle\int_{}^{}4.600 \cdot t \cdot \mathrm{e}^{-2 \cdot t} \mathrm dt$ in einer Nebenrechnung. Hier ist ein Produkt unter dem Integral gegeben, somit benötigst du auch hier die partielle Integration:
$\begin{array}{rll} \displaystyle\int_{}^{}4.600 \cdot t \cdot \mathrm{e}^{-2 \cdot t} \;\mathrm dt = &4.600 \cdot t \cdot \left( -\dfrac{1}{2}\right) \cdot \mathrm{e}^{-2t} - \displaystyle\int_{}^{}4.600 \cdot \left( -\dfrac{1}{2}\right)\cdot \mathrm{e}^{-2t}\; \mathrm dt \\[5pt] =&-2.300 \cdot t \cdot \mathrm{e}^{-2t} + 2.300 \cdot \displaystyle\int_{}^{}\mathrm{e}^{-2t}\; \mathrm dt \\[5pt] =&-2.300 \cdot t \cdot \mathrm{e}^{-2t} + 2.300 \cdot \left( -\dfrac{1}{2}\right) \cdot \mathrm{e}^{-2t} \\[5pt] =&-2.300 \cdot t \cdot \mathrm{e}^{-2t} -1.150 \cdot \mathrm{e}^{-2t} \\[5pt] \end{array}$
2. Schritt: Ergebnis einsetzen
Dieses Ergebnis kannst du nun in die obere Funktionsgleichung einsetzen:
$\begin{array}{rll} \displaystyle\int_{}^{}f(t)\;\mathrm dt=&100 \cdot t -2.300 \cdot t^2 \cdot \mathrm{e}^{-2t} + \displaystyle\int_{}^{}4.600 \cdot t \cdot \mathrm{e}^{-2 \cdot t} \;\mathrm dt\\[5pt] = &100 \cdot t - 2.300 \cdot t^2 \cdot \mathrm{e}^{-2t} -2.300 \cdot t \cdot \mathrm{e}^{-2t} -1.150 \cdot \mathrm{e}^{-2t} +c\\[5pt] =&100t - 1.150 \cdot \mathrm{e}^{-2t} \cdot \left(2t^2+2t+1\right) + c \end{array}$
Setze die Integrationskonstante $c=0$. Damit erhältst du eine Stammfunktion $F$ von $f$ mit der Funktionsgleichung $F(t)=100t - 1.150 \cdot \mathrm{e}^{-2t} \cdot \left(2t^2+2t+1\right)$.
2.3.2 $\blacktriangleright$  Bestimmen des Integrals
Das Integral kannst du mit deinem CAS berechnen. Speichere dazu wie oben den Funktionsterm von $f$.
Wähle dann unter
Interaktiv $\to$ Berechnungen $\to$ $\int$
den Befehl zum Bestimmen des Integrals aus. Gib die untere Grenze $x=0$, die obere Grenze $x=3$ sowie die Funktion $f$ ein und multipliziere mit $\dfrac{1}{3}$:
A1 - Analysis
A1 - Analysis
Du erhältst somit:
$\dfrac{1}{3} \displaystyle\int_{0}^{3} f(t) \;\mathrm dt \approx 459,58$
$\blacktriangleright$  Deuten des Ergebnisses im Sachzusammenhang
Nach Aufgabenstellung beschreibt die Funktion $f$ die Enzymaktivität in Units. $t$ steht hierbei für die Tage, die seit dem Infarkt vergangen sind. Das Integral $\displaystyle\int_{0}^{3} f(t)\; \mathrm dt$ beschreibt damit die insgesamte Menge an Enzymaktivität in Units die 3 Tage nach dem Infarkt insgesamt ausgeschüttet wurde. Teilt man dies durch 3, so erhält man die durschnittliche Enzymaktivität der ersten 3 Tage in Units pro Tag. Also lag die durchschnittliche Enzymaktivität während der ersten drei Tage nach dem Infarkt bei $459,58$ Units pro Tag.
2.4 $\blacktriangleright$  Zeitspanne für Diagnose Herzinfarkt bestimmen
Deine Aufgabe ist zu zeigen, in welcher Zeitspanne die Diagnose Herzinfarkt gestellt werden kann. Dies ist nach Aufgabenstellung der Fall, wenn die Enzymaktivität mindestens $\boldsymbol{192}$ beträgt. Also wird zu jedem $t$ mit $0\leq t \leq 5$, das die Ungleichung $f(t)=100+4.600 \cdot t^2 \cdot \mathrm{e}^{-2t}\geq 192$ erfüllt, die Diagnose Herzinfarkt gestellt.
Bestimme dazu zuerst die Grenzen des Intervalls, welches die Zeitspanne beschreibt. Für die untere und obere Grenze des Intervalls ist gilt $f(t)=192$, wobei $0\leq t \leq 5$. Anschließend überprüfst du, ob die Funktion $f$ vor, nach oder zwischen den Grenzen die Ungleichung erfüllt.
Speichere dazu die Funktion $f$ in deinem CAS. Hast du diese dort gespeichert, berechne die beiden Schnittpunkt wie oben:
A1 - Analysis
A1 - Analysis
Du erhältst $\boldsymbol{t_1 \approx 0,17}$, $\boldsymbol{t_2\approx 3,08}$ sowie $t_3\approx -0,12$ als Schnittstellen. Jedoch liegt $t_3$ nicht im betrachteten Intervall und kann daher vernachlässigt werden.
Überprüfe nun, in welchem Bereich die Ungleichung erfüllt ist. Da die Funktion stetig ist, reicht es jeweils einen Funktionswert eines Zeitpunkts vor $t_1$, also $\tilde{t}_1 \in \left[0; t_1\right]$, zwischen $t_1$ und $t_2$, also $\tilde{t}_2 \in \left[t_1; t_2\right]$, und nach $t_2$, also $\tilde{t}_3 \in \left[t_2; 5\right]$.
Wähle zum Beispiel: $\tilde{t}_1=0$, $\tilde{t}_2=1$ und $\tilde{t}_3=4$.
A1 - Analysis
A1 - Analysis
Es gilt:
$\begin{array}[t]{ccc} f(0)\leq192,&f(1)\geq192,&f(4)\leq192. \end{array}$
Damit erkennst du, dass die Ungleichung zwischen den beiden Schnittstellen erfüllt ist.
Also ist ungefähr im Intervall $\left[0,17;\, 3,08\right]$ die Enzymaktivität somit größer oder gleich $192$ und es kann die Diagnose Herzinfarkt gestellt werden.
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