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A2 - Analysis

Aufgaben
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Eine Schokoladenglocke soll mathematisch modelliert werden. Dazu werden an sieben verschiedenen Stellen die Radien der Glocke gemessen. Im Material 1 sind die Messdaten als Punkte eingetragen. Die Punkte liegen auf dem oberen Rand der Querschnittsfläche, die bei einem Querschnitt durch eine Symmetrieebene der Glocke entsteht. Durch Rotation des oberen Randes der Querschnittsfläche um die $x$-Achse erhält man die Glockenform.
Die Wertetabelle gibt die im Koordinatensystem eingetragenen Punkte an. Eine Einheit entspricht dabei einem Zentimeter.

$x$$-1,5$$-1,0$$-0,5$$0,0$$0,5$$1,0$$1,5$
$y$$0,00$$0,55$$0,80$$1,00$$1,20$$1,45$$2,00$
1.1
Begründe unter Verwendung von Material 1, warum die ganzrationale Funktion $f$ mindestens dritten Grades sein muss.
(4P)


1.2
Bestimme eine ganzrationale Funktion $f$ dritten Grades so, dass ihr Graph durch $(0,5\mid 1,20)$ und $(1,5\mid 2,00)$ verläuft und in $(0,0\mid 1,00)$ einen Wendepunkt besitzt.
(8P)


1.3
Begründe, dass es keine ganzrationale Funktion dritten Grades geben kann, die durch alle in der Wertetabelle gegebenen Punkte verläuft und in $(0,0\mid 1,00)$ einen Wendepunkt besitzt.
(3P)
#wendepunkt#analysis
2.
Eine weitere Möglichkeit, eine Näherungsfunktion für die Datenpunkte zu erhalten ist die Methode der Regression.
2.1
Gib eine mithilfe der Methode bestimmte ganzrationale Funktion $g$ dritten Grades an, welche die Datenpunkte der Tabelle annähert. Die Koeffizienten sollen auf vier Nachkommastellen gerundet sein.
(3P)


2.2
Bestimme als Näherungswert für das Volumen der Glocke das Volumen des Rotationskörpers, der durch Rotation des Graphen der Funktion $g$ im Intervall $[-1,5;1,5]$ um die $x$-Achse entsteht.
Solltest du den Funktionsterm von $g$ aus Aufgabe 2.1 nicht bestimmt haben, verwende die Ersatzfunktion $g$ mit $g(x)=0,15x^3+0,31x+1$.
(3P)
#analysis#regression#rotation
3.
Die Form des oberen Randes der Querschnittsfläche soll in einem dritten Modell in einer Umgebung von $x=0$ für eine geeignete Wahl des Parameters $t$ näherungsweise durch einen Graphen der Funktionenschar $f_t$ mit $f_t(x)=\dfrac{\mathrm e^{tx}-\mathrm e^{-tx}}{5t}+1$ und $t\neq0$ beschrieben werden.
Berechne die Funktionsgleichungen der ersten drei Ableitungen der Funktionenschar $f_t$. Zeige, dass alle Graphen der Schar $f_t$ genau einen Wendepunkt besitzen und entscheide, ob dort ein Wechsel von einer Rechts- in eine Linskrümmung oder ein Wechsel von einer Links- in eine Rechtskrümmung erfolgt.
(7P)
#ableitung#funktionenschar#wendepunkt#analysis
4.
Die Schokoladenglocke soll mit Blattgold verziert werden. Dazu wird eine extrem dünne, essbare Blattgoldfolie benötigt. Das Blattgold soll in einem Streifen von $x_1=0$ bis $x_2=1$ rund um die Glocke aufgetragen werden. Um einen ersten Näherungswert für den Materialbedarf zu erhalten, wird zunächst vereinfachend eine Funktion $k$ betrachtet, deren Graph vom Punkt $(0\mid 1)$ bis zum Punkt $(1\mid 1,5)$ geradlinig verläuft und in diesem Intervall um die $x$-Achse rotiert. Es ergibt sich die Form eines geraden Kegelstumpfs. Als Maß für den Materialbedarf dient der Flächeninhalt der Mantelfläche des Kegelstumpfs.


4.1
Zeige, dass beim Bestimmen des Flächeninhalts der Mantelfläche des Kegelstumpfs, der bei Rotation des Graphen von $k$ für $0\leq x\leq1$ um die $x$-Achse entsteht, beide in Material 2 angegebenen Methoden A und B zum gleichen Ergebnis führen.
(7P)


4.2
Bestimme mithilfe der Methode A den Inhalt der mit Blattgold bedeckten Fläche unter Verwendung der Scharkurve von $f_t$ aus Aufgabe 3 für $t=1,183$ und vergleiche das Ergebnis mit dem Ergebnis aus Aufgabe 4.1.
(5P)
#analysis#rotation#kegel

Material 1


Material 2


Methode A:
Lässt man den Graphen einer Funktion $f$ für $x_1 \leq x \leq x_2$ um die $x$-Achse ritieren, dann lässt sich der Flächeninhalt $M$ der Mantelfläche des Rotationskörpers folgendermaßen mithilfe eines Integrals ermitteln:
$M=2\pi\cdot\displaystyle\int_{x_1}^{x_2} f(x)\sqrt{1+(f'(x))^2}\;\mathrm dx$ für $f(x)\geq0$

Methode B:
Der Flächeninhalt $M$ der Mantelfläche eines geraden Kreiskegelstumpfs lässt sich mit folgender Formel berechnen:
$M=\pi\cdot(r_1+r_2)\cdot\;s$

Bildnachweise [nach oben]
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Tipps
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1.1
$\blacktriangleright$  Grad der Funktion begründen
Du sollst begründen, dass die Funktion, die die Punkte aus der Wertetabelle abbildet, mindestens dritten Grades ist.
Achte auf Extrem- und Wendepunkte und überlege, welche dieser Punkte eine Funktion nten Grades aufweisen kann.
1.2
$\blacktriangleright$  Ganzrationale Funktion dritten Grades bestimmen
Du sollst eine ganzrationale Funktion $f$ dritten Grades aus den Punkten $P_1(0,5\mid 1,2)$, $P_2(1,5\mid 2,0)$ und $W(0,0\mid 1,0)$ bestimmen, wobei $W(0,0\mid 1,0)$ ein Wendepunkt ist.
Allgemein gilt für Funktionen dritten Grades
$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$
$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$
Das notwendige Kriterium für Wendepunkte ist, dass die zweite Ableitung der Funktion an dieser Stelle gleich Null ist.
$p''(x_W)=0$
Mit Hilfe dieser Bedingung, der oben aufgeführten allgemeinen Form der Funktion und den gegebenen Koordinaten der Punkte kannst du ein lineares Gleichungssystem aufstellen. Damit lassen sich dann die Koeffizienten $a$, $b$, $c$ und $d$ bestimmen.
Die zweite Ableitung der ganzrationalen Funktion dritten Grades sieht folgendermaßen aus:
1.3
$\blacktriangleright$  Begründen, dass es keine ganzrationale Funktion dritten Grades gibt für gegebene Punkte
Du sollst begründen, dass es keine ganzrationale Funktion dritten Grades geben kann, die durch alle Punkte, die in der Wertetabelle gegeben sind, verläuft und im Punkt $W(0,0\mid 1,0)$ einen Wendepunkt besitzt.
Da du aus den drei Punkten $P_1(0,5\mid 1,2)$, $P_2(1,5\mid 2,0)$ und $W(0,0\mid 1,0)$ der Wertetabelle bereits eine ganzrationale Funktion dritten Grades berechnet hast, kannst du nun einen vierten Punkt aus der Tabelle in die Funktionsgleichung einsetzen und überprüfen, ob dieser durch die Funktion beschrieben ist.
2.1
$\blacktriangleright$  Ganzrationale Funktion dritten Grades mit Regressionsmethode bestimmen
Du sollst aus den Punkten der Wertetabelle eine ganzrationale Funktion dritten Grades mit Hilfe der Methode der Regression ermitteln. Dazu verwendest du deinen CAS. Erstelle zunächst zwei Listen: eine mit den $x$-Werten, die zweite mit den $y$-Werten.
Anschließend führst du die kubische Regression durch.
2.2
$\blacktriangleright$  Volumenintegral berechnen
Du sollst das Volumen einer Glocke berechnen. Die Querschnittsfläche der Glocke wird durch den Graphen der Funktion $g(x)$ begrenzt:
$g(x)=0,1667x^3+0,2869x+0,9929$.
Das Volumen soll durch die Rotation der Querschnittsfläche um die x-Achse beschrieben werden. Die Rotation geschieht in dem Intervall [-1,5; 1,5].
Die allgemeine Form des Volumenintegrals bei Rotation um die $x$-Achse im Intervall [a; b] ist beschrieben durch die Gleichung
$V(x)=\pi \displaystyle\int_{a}^{b}(f(x))^2\;\mathrm dx$
$V(x)=\pi \displaystyle\int_{a}^{b}(f(x))^2\;\mathrm dx$
3
$\blacktriangleright$  Wendepunkt bestimmen und Krümmungsverhalten untersuchen
Der obere Rand der Querschnittsfläche einer Schokoladenglocke soll durch einen Graphen der Funktionenschar
$f_t(x)=\dfrac{e^{tx}-e^{-tx}}{5t}+1; \quad t\neq 0$
beschrieben werden
Du sollst nun
  1. die ersten drei Ableitungen der Funktionsgleichungen bestimmen
  2. zeigen, dass alle Graphen der Schar $f_t$ genau einen Wendepunkt besitzen
  3. bestimmen, ob an diesem Wendepunkt der Wechsel von einer Rechts- auf eine Linkskrümmung oder umgekehrt erfolgt
$\blacktriangleright$ 1. Schritt: Funktionsgleichungen dreimal ableiten
Leite die Funktion der Funktionenschar $f_t(x)$ nach der Variablen $x$ ab.
$\blacktriangleright$ 2. Schritt: Zeigen, dass es nur einen Wendepunkt gibt
Du sollst zeigen, dass alle Graphen der Schar $f_t$ genau einen Wendepunkt besitzen. Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist, dass die zweite Ableitung an diesem Punkt gleich Null ist:
$\blacktriangleright$ 3. Schritt: Krümmungsverhalten bestimmen
Als nächstes sollst du entscheiden, wie sich die Krümmung an dem Wendepunkt ändert. Dazu setzt du die Koordinaten des Punkt in die dritte Ableitung der Schar ein:
Dann überprüfst du, ob die Gleichung größer oder kleiner Null ist.
4.1
$\blacktriangleright$  Mantelfläche bestimmen und Methodenvergleich durchführen
Um eine Schokoladenglocke mit Blattgold zu verzieren, soll der Materialbedarf abgeschätzt werden. Dazu sollst du den Flächeninhalt der Mantelfläche eines Kegelstumpfs bestimmen. Dieser Kegel entsteht durch Rotation des Graphen der Funktion $k$ um die $\color{#87c800}{x}$-Achse im Intervall [0,1]. Der Graph von $k$ verläuft geradlinig vom Punkt $(0\mid 1)$ zum Punkt $(1\mid 1,5)$.
In Material 3 werden dir die Methoden A und B zur Berechnung des Flächeninhalts vorgestellt. Du sollst nun zeigen, dass beide Methoden dasselbe Ergebnis für den oben beschriebenen Kegel liefern. Gehe dazu nach folgenden Schritten vor:
  1. Funktionsgleichung $k(x)$ aufstellen
  2. Mantelfläche nach Methode A berechnen
  3. Mantelfläche nach Methode B berechnen
  4. Ergebnisse vergleichen
4.2
$\blacktriangleright$  Mantelfläche bestimmen
Du hast wieder die Glockenform, die durch die Rotation des Graphen der Funktion
$f_{t=1,183}(x)=\dfrac{e^{1,183x}-e^{-1,183x}}{5\cdot 1,183}+1$
im Intervall [0, 1] beschrieben wird. Mit Hilfe der Methode A sollst du nun den Flächeninhalt des Mantels dieser Glocke berechnen. Vergleiche anschließend das Ergebnis mit dem Ergebnis aus Aufgabe 4.1.
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Lösungen TI
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1.1
$\blacktriangleright$  Grad der Funktion begründen
Du sollst begründen, dass die Funktion, die die Punkte aus der Wertetabelle abbildet, mindestens dritten Grades ist.
Achte auf Extrem- und Wendepunkte und überlege, welche dieser Punkte eine Funktion nten Grades aufweisen kann.
  • Der Graph einer ganzrationalen Funktion ersten Grades besitzt weder Extrem- noch Wendepunkte
  • Der Graph einer ganzrationalen Funktion zweiten Grades ist parabelförmig und besitzt einen Hoch- oder Tiefpunkt.
  • Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten (oder höheren) Grades kann neben Extrem- auch Wendepunkte besitzen, also Punkte, an denen sich die Krümmung ändert aber die Steigung ihr Vorzeichen beibehält.
Betrachtest du nun den beschriebenen Graphen, wird dir auffallen, dass vom Punkt $(-1,5\mid 0,0)$ bis zum Punkt $(0,0\mid 1,0)$ eine positive Steigung auftritt, die langsam abflacht. Vom Punkt $(0,0\mid 1,0)$ bis zum Punkt $(1,5\mid 2,0)$ gibt es ebenfalls eine positive Steigung, die zunimmt. Es handelt sich bei $(0,0\mid 1,0)$ also um einen Wendepunkt. Es muss sich somit um eine ganzrationale Funktion mindestens dritten Grades handeln.
1.2
$\blacktriangleright$  Ganzrationale Funktion dritten Grades bestimmen
Du sollst eine ganzrationale Funktion $f$ dritten Grades aus den Punkten $P_1(0,5\mid 1,2)$, $P_2(1,5\mid 2,0)$ und $W(0,0\mid 1,0)$ bestimmen, wobei $W(0,0\mid 1,0)$ ein Wendepunkt ist.
Allgemein gilt für Funktionen dritten Grades
$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$
$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$
Das notwendige Kriterium für Wendepunkte ist, dass die zweite Ableitung der Funktion an dieser Stelle gleich Null ist.
$p''(x_W)=0$
Mit Hilfe dieser Bedingung, der oben aufgeführten allgemeinen Form der Funktion und den gegebenen Koordinaten der Punkte kannst du ein lineares Gleichungssystem aufstellen. Damit lassen sich dann die Koeffizienten $a$, $b$, $c$ und $d$ bestimmen.
Die zweite Ableitung der ganzrationalen Funktion dritten Grades sieht folgendermaßen aus:
$f''(x_W)=6ax_W+2b=0$
Somit ergeben sich die folgenden Bedingungen
$\begin{array}[t]{rll} f(0,5)&\stackrel{!}{=}& 1,2 \\[5pt] f(1,5)&\stackrel{!}{=}& 2 \\[5pt] f(0)&\stackrel{!}{=}& 1 \\[5pt] f''(0)&\stackrel{!}{=}& 0 \\[5pt] \end{array}$
Diese Bedingungen führen zu dem nun aufgeführten Gleichungssystem
$\begin{array}[t]{rll} &\text{I}& 1,2&=& a\cdot0,5^3+b\cdot0,5^2+c\cdot0,5+d \\[5pt] &\text{II}& 2,0&=& a\cdot1,5^3+b\cdot1,5^2+c\cdot1,5+d \\[5pt] &\text{III}& 1,0&=& a\cdot0^3+b\cdot0^2+c\cdot0+d \\[5pt] &\text{IV}& 0,0&=& 6a\cdot0+2b \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} &\text{I}& 1,2&=& a\cdot0,5^3+b\cdot… \\[5pt] &\text{II}& 2,0&=& a\cdot1,5^3+b\cdot… \\[5pt] &\text{III}& 1,0&=& a\cdot0^3+b\cdot… \\[5pt] &\text{IV}& 0,0&=& 6a\cdot0+2b \\[5pt] \end{array}$
Dieses Gleichungssystem kannst du nun mit dem CAS lösen, indem du folgende Befehle in deinen Taschenrechner eingibst:
on $\rightarrow$ Calculator $\rightarrow$ Menu $\rightarrow$ Algebra $\rightarrow$ Gleichungssysteme lösen $\rightarrow$ System linearer Gleichungen lösen… $\rightarrow$ Anzahl der Gleichungen: 4 $\rightarrow$ Variablen: Variablennamen mit Komma getrennt eingeben $\rightarrow$ OK
on $\rightarrow$ Calculator $\rightarrow$ Menu $\rightarrow$ Algebra $\rightarrow$ Gleichungssysteme lösen $\rightarrow$ System linearer Gleichungen lösen… $\rightarrow$ Anzahl der Gleichungen: 4 $\rightarrow$ Variablen: Variablennamen mit Komma getrennt eingeben $\rightarrow$ OK
A2 - Analysis
Abb. 1: Allgemeine Form zum Lösen eines linearen Gleichungssystems
A2 - Analysis
Abb. 1: Allgemeine Form zum Lösen eines linearen Gleichungssystems
In die einzelnen Felder gibst du nun je eine der vier Gleichungen ein. Anschließend drückst du ENTER und bekommst so die Werte für die Variablen in der Reihenfolge, wie du die Variablen eingegeben hast.
A2 - Analysis
Abb. 2: Lösung des Gleichungssystems
A2 - Analysis
Abb. 2: Lösung des Gleichungssystems
Alternativ würde es auch mit einer Matrix und dem rref-Befehl funktionieren.
on $\rightarrow$ Calculator $\rightarrow$ $a:=$ $\rightarrow$ Menu $\rightarrow$ Matrix und Vektoren $\rightarrow$ 1: Erstellen $\rightarrow$ Matrix… $\rightarrow$ Zeilenanzahl: 4, Spaltenanzahl: 5 $\rightarrow$ ok
on $\rightarrow$ Calculator $\rightarrow$ $a:=$ $\rightarrow$ Menu $\rightarrow$ Matrix und Vektoren $\rightarrow$ 1: Erstellen $\rightarrow$ Matrix… $\rightarrow$ Zeilenanzahl: 4, Spaltenanzahl: 5 $\rightarrow$ ok
So erzeugst du eine 4x5-Matrix, in die du das Gleichungssystem in Matrixform eingibst:
$\begin{pmatrix}0,5^3&0,5^2&0,5&1&1,2\\[2pt]1,5^3&1,5^2&1,5&1&2\\[2pt]0&0&0&1&1\\[2pt]0&2&0&0&0\end{pmatrix}$
Dein Taschenrechner sollte jetzt folgendes Bild zeigen:
A2 - Analysis
Abb. 3: Ausgefüllte Matrix zur Lösung des Gleichungssystems
A2 - Analysis
Abb. 3: Ausgefüllte Matrix zur Lösung des Gleichungssystems
Löse das Gleichungssystem dann mit dem CAS durch folgende Befehle
$rref(a)$ $\rightarrow$ ENTER
$rref(a)$ $\rightarrow$ ENTER
A2 - Analysis
Abb. 4: Lösung des linearen Gleichungssystems
A2 - Analysis
Abb. 4: Lösung des linearen Gleichungssystems
Eine mögliche Funktion dritten Grades lautet somit unabhängig welchen Lösungsweg du wählst:
$f(x)=0,133\cdot x^3+0,367\cdot x+1$
1.3
$\blacktriangleright$  Begründen, dass es keine ganzrationale Funktion dritten Grades gibt für gegebene Punkte
Du sollst begründen, dass es keine ganzrationale Funktion dritten Grades geben kann, die durch alle Punkte, die in der Wertetabelle gegeben sind, verläuft und im Punkt $W(0,0\mid 1,0)$ einen Wendepunkt besitzt.
Da du aus den drei Punkten $P_1(0,5\mid 1,2)$, $P_2(1,5\mid 2,0)$ und $W(0,0\mid 1,0)$ der Wertetabelle bereits eine ganzrationale Funktion dritten Grades berechnet hast, kannst du nun einen vierten Punkt aus der Tabelle in die Funktionsgleichung einsetzen und überprüfen, ob dieser durch die Funktion beschrieben ist. Verwende beispielsweise den Punkt $P_3(1,0 \mid 1,45)$:
$f(1)=0,133\cdot 1+0,367\cdot 1+1 =1,5$
Du siehst, dass das Ergebnis für $x=1$ nicht $f(x=1)=1,45$ sondern $(x=1)=1,5$ ist. Dadurch liegt der Punkt $P_3$ nicht auf dem Graphen, der durch die ganzrationale Funktion dritten Grades $f(x)$ beschrieben wird.
#wendepunkt#analysis#gleichungssystem
2.1
$\blacktriangleright$  Ganzrationale Funktion dritten Grades mit Regressionsmethode bestimmen
Du sollst aus den Punkten der Wertetabelle eine ganzrationale Funktion dritten Grades mit Hilfe der Methode der Regression ermitteln. Dazu verwendest du deinen CAS. Erstelle zunächst zwei Listen: eine mit den $x$-Werten, die zweite mit den $y$-Werten. Gib dazu folgende Befehlsfole in deinen Taschenrechner ein:
on $\rightarrow$ List & Spreadsheet
on $\rightarrow$ List & Spreadsheet
A2 - Analysis
Abb. 5: Wertetabelle für die kubische Regression
A2 - Analysis
Abb. 5: Wertetabelle für die kubische Regression
Anschließend führst du die kubische Regression durch, indem du folgende Befehle ausführst:
Menu $\rightarrow$ Statistik $\rightarrow$ 1: statistische Berechnung $\rightarrow$ 7: Kubische Regression $\rightarrow$ x-Liste: a[], y-Liste: b[] $\rightarrow$ ok
Menu $\rightarrow$ Statistik $\rightarrow$ 1: statistische Berechnung $\rightarrow$ 7: Kubische Regression $\rightarrow$ x-Liste: a[], y-Liste: b[] $\rightarrow$ ok
Das Ergebnis erscheint dann auf dem Bildschirm des CAS
A2 - Analysis
Abb. 6: Lösung der kubischen Regression
A2 - Analysis
Abb. 6: Lösung der kubischen Regression
Die Methode der Regression liefert somit die Funktion
$g(x)=0,1667x^3+0,2869x+0,9929$.
2.2
$\blacktriangleright$  Volumenintegral berechnen
Du sollst das Volumen einer Glocke berechnen. Die Querschnittsfläche der Glocke wird durch den Graphen der Funktion $g(x)$ begrenzt:
$g(x)=0,1667x^3+0,2869x+0,9929$.
Das Volumen soll durch die Rotation der Querschnittsfläche um die x-Achse beschrieben werden. Die Rotation geschieht in dem Intervall [-1,5; 1,5].
Die allgemeine Form des Volumenintegrals bei Rotation um die $x$-Achse im Intervall [a; b] ist beschrieben durch die Gleichung
$V(x)=\pi \displaystyle\int_{a}^{b}(f(x))^2\;\mathrm dx$
$V(x)=\pi \displaystyle\int_{a}^{b}(f(x))^2\;\mathrm dx$
Das Integral löst du mit deinem CAS. Dazu gibst du zunächst den Funktionsterm $(g(x))^2$ ein, den du anschließend von der unteren Grenze (lower) $-1,5$ bis zur oberen Grenze (upper) integrierst.
on $\rightarrow$ Graphs
on $\rightarrow$ Graphs
A2 - Analysis
Abb. 7: Funktionsterm unter dem Integral
A2 - Analysis
Abb. 7: Funktionsterm unter dem Integral
Menu $\rightarrow$ Graph analysieren $\rightarrow$ 7: Integral $\rightarrow$ untere Schranke: $-1,5$ $\rightarrow$ ENTER $\rightarrow$ obere Schranke: $1,5$ $\rightarrow$ ENTER
Menu $\rightarrow$ Graph analysieren $\rightarrow$ 7: Integral $\rightarrow$ untere Schranke: $-1,5$ $\rightarrow$ ENTER $\rightarrow$ obere Schranke: $1,5$ $\rightarrow$ ENTER
A2 - Analysis
Abb. 8: Integral zur Berechnung des Volumens
A2 - Analysis
Abb. 8: Integral zur Berechnung des Volumens
Das Ergebnis musst du noch mit $\pi$ multiplizieren, sodass du auf ein Volumen von ungefähr
$ V(x)=11,22 $
kommst.
#rotation#regression#analysis#integral
3
$\blacktriangleright$  Wendepunkt bestimmen und Krümmungsverhalten untersuchen
Der obere Rand der Querschnittsfläche einer Schokoladenglocke soll durch einen Graphen der Funktionenschar
$f_t(x)=\dfrac{e^{tx}-e^{-tx}}{5t}+1; \quad t\neq 0$
beschrieben werden
Du sollst nun
  1. die ersten drei Ableitungen der Funktionsgleichungen bestimmen
  2. zeigen, dass alle Graphen der Schar $f_t$ genau einen Wendepunkt besitzen
  3. bestimmen, ob an diesem Wendepunkt der Wechsel von einer Rechts- auf eine Linkskrümmung oder umgekehrt erfolgt
$\blacktriangleright$ 1. Schritt: Funktionsgleichungen dreimal ableiten
Leite die Funktion der Funktionenschar $f_t(x)$ nach der Variablen $x$ ab. Achtung: nicht Ausversehen nach $t$ ableiten, $t$ wird hier wie eine Konstante behandelt
$\begin{array}[t]{rll} f_t'(x)&=&\dfrac{te^{tx}+te^{-tx}}{5t} \\[5pt] f_t''(x)&=&\dfrac{t^2e^{tx}-t^2e^{-tx}}{5t} \\[5pt] f_t'''(x)&=&\dfrac{t^3e^{tx}+t^3e^{-tx}}{5t} \\[5pt] \end{array}$
$\blacktriangleright$ 2. Schritt: Zeigen, dass es nur einen Wendepunkt gibt
Du sollst zeigen, dass alle Graphen der Schar $f_t$ genau einen Wendepunkt besitzen. Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist, dass die zweite Ableitung an diesem Punkt gleich Null ist:
$f_t''(x_W)\stackrel{!}{=}0$
Du setzt also die zweite Ableitung des Funktionsterms gleich Null und überprüfst und berechnest, für welche $x$ die Gleichung erfüllt ist.
$\begin{array}[t]{rll} 0&\stackrel{!}{=}&\dfrac{t^2e^{tx}-t^2e^{-tx}}{5t} \\[5pt] &=&\dfrac{t^2(e^{tx}-e^{-tx})}{5t} \\[5pt] \end{array}$
Diese Gleichung ist nach dem Satz vom Nullprodukt erfüllt, wenn die Klammer im Zähler gleich Null ist
$\begin{array}[t]{rll} 0&\stackrel{!}{=}& e^{tx}-e^{-tx} &\quad \scriptsize \mid\ +e^{-tx} \\[5pt] e^{tx}&=&e^{-tx}&\quad \scriptsize \mid\ \ln() \\[5pt] tx&=& -tx \\[5pt] \end{array}$
Die letzte Gleichung ist nur erfüllt, wenn $t$ oder $x$ gleich Null ist. Da aber die Bedingung für die Kurvenschar ist, dass $t\neq 0$, kann nur gelten
$x=0$
Es gibt keinen anderen $x$-Wert, der diese Gleichung erfüllt.
Wenn du $x=0$ nun in die Funktionsgleichung der Kurvenschar einsetzt, kommst du auf den Wendepunkt
$f_t(x_W=0)=1$
$\blacktriangleright$ 3. Schritt: Krümmungsverhalten bestimmen
Als nächstes sollst du entscheiden, wie sich die Krümmung an dem Wendepunkt ändert. Dazu setzt du die Koordinaten des Punkt in die dritte Ableitung der Schar ein:
$\begin{array}[t]{rll} f_t'''(x_W=0)&=&\dfrac{t^3\cdot 1+t^3 \cdot 1}{5t} \\[5pt] &=&\dfrac{2\cdot t^3}{5t} \\[5pt] &=&\dfrac{2}{5}\cdot t^2 \\[5pt] &>& 0\\[5pt] \end{array}$
Die letzte Ungleichung gilt, da $t\neq 0$ und $t^2>0$.
Ist die dritte Ableitung am Wendepunkt einer Funktion größer Null, erfolgt an diesem Wendepunkt eine Änderung der Krümmung von rechts nach links.
#ableitung#funktionenschar#wendepunkt#krümmung#analysis
4.1
$\blacktriangleright$  Mantelfläche bestimmen und Methodenvergleich durchführen
Um eine Schokoladenglocke mit Blattgold zu verzieren, soll der Materialbedarf abgeschätzt werden. Dazu sollst du den Flächeninhalt der Mantelfläche eines Kegelstumpfs bestimmen. Dieser Kegel entsteht durch Rotation des Graphen der Funktion $k$ um die $\color{#87c800}{x}$-Achse im Intervall [0,1]. Der Graph von $k$ verläuft geradlinig vom Punkt $(0\mid 1)$ zum Punkt $(1\mid 1,5)$.
In Material 3 werden dir die Methoden A und B zur Berechnung des Flächeninhalts vorgestellt. Du sollst nun zeigen, dass beide Methoden dasselbe Ergebnis für den oben beschriebenen Kegel liefern. Gehe dazu nach folgenden Schritten vor:
  1. Funktionsgleichung $k(x)$ aufstellen
  2. Mantelfläche nach Methode A berechnen
  3. Mantelfläche nach Methode B berechnen
  4. Ergebnisse vergleichen
1. Schritt: Funktionsgleichung $\boldsymbol{k(x)}$ aufstellen
Stelle den Funktionsterm $k(x)$ auf, indem du die gegeben Koordinaten in die Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion ersten Grades einsetzt. Die allgemeine Form der Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion ersten Grades lautet
$f(x)=ax+b$
$f(x)=ax+b$
Die Funktion kannst du mit dem CAS bestimmen.
on $\rightarrow$ List & Spreadsheet
on $\rightarrow$ Lists & Spreadsheet
A2 - Analysis
Abb. 9: Tabelle der Punkte für $k(x)$
A2 - Analysis
Abb. 9: Tabelle der Punkte für $k(x)$
Anschließend führst du eine lineare Regression durch, indem du folgende Befehle ausführst:
Menu $\rightarrow$ Statistik $\rightarrow$ 1: statistische Berechnung $\rightarrow$ 3: Lineare Regression $\rightarrow$ x-Liste: a[], y-Liste: b[] $\rightarrow$ ok
Menu $\rightarrow$ Statistik $\rightarrow$ 1: statistische Berechnung $\rightarrow$ 3: Lineare Regression $\rightarrow$ x-Liste: a[], y-Liste: b[] $\rightarrow$ ok
Das Ergebnis erscheint dann auf dem Bildschirm des CAS
A2 - Analysis
Abb. 10: Parameter für $k(x)$
A2 - Analysis
Abb. 10: Parameter für $k(x)$
Die Funktion $k(x)$ hat also folgende Funktionsgleichung:
$k(x)=0,5x+1$
2. Schritt: Mantelfläche nach Methode A berechnen
Berechne nun die Größe der Mantelfläche mit Methode A
$M_A=2\pi\cdot\displaystyle\int_0 ^1k(x)\sqrt{1+(k'(x))^2}\;\mathrm dx$
Wie du siehst, benötigst du die erste Ableitung der Funktion $k(x)$:
$k'(x)=0,5$
Nun kannst du die Mantelfläche $M$ mit Methode A berechnen.
$ M_A= 2\pi\cdot\displaystyle\int_0 ^1(0,5x+1)\sqrt{1+0,5^2}\;\mathrm dx $
Das Integral kannst du mit dem CAS berechnen. Dazu gibst du zunächst den Term unterhalb des Integrals ein und lässt ihn dann innerhalb der Grenzen (lower$=0$ und upper$=1$) integrieren.
on $\rightarrow$ Graphs
on $\rightarrow$ Graphs
A2 - Analysis
Abb. 11: Integrand zur Berechnung der Mantelfläche $M_A$
A2 - Analysis
Abb. 11: Integrand zur Berechnung der Mantelfläche $M_A$
Menu $\rightarrow$ Graph analysieren $\rightarrow$ 7: Integral $\rightarrow$ untere Schranke: $0$ $\rightarrow$ ENTER $\rightarrow$ obere Schranke: $1$ $\rightarrow$ ENTER
Menu $\rightarrow$ Graph analysieren $\rightarrow$ 7: Integral $\rightarrow$ untere Schranke: $0$ $\rightarrow$ ENTER $\rightarrow$ obere Schranke: $1$ $\rightarrow$ ENTER
A2 - Analysis
Abb. 12: Integral von $0$ bis $1$
A2 - Analysis
Abb. 12: Integral von $0$ bis $1$
Das Ergebnis musst du nun mit $2\pi$ multiplizieren und kommst dann auf das Ergebnis
$M_A=8,8$
3. Schritt: Mantelfläche nach Methode B berechnen
Als nächstes folgt Methode B
A2 - Analysis
Abb. 13: Kegelstumpf
A2 - Analysis
Abb. 13: Kegelstumpf
$r_1$ ist der Radius der kleineren Kreisfläche des Kegelstumpfes, $r_2$ der Radius der größeren Kreisfläche. Für den Kegelstumpf aus dieser Aufgabe sind die Werte für die beiden Radien die $y$-Werte der beiden Punkte $(0\mid 1)$ und $(1\mid 1,5)$.
$\begin{array}[t]{rll} r_1&=& 1 \\[5pt] r_2&=& 1,5\\[5pt] \end{array}$
Die Länge der Mantellinie $s$ ist gleich der Länge der Verbindungslinie der Punkte $(0\mid 1)$ und $(1\mid 1,5)$.
$\begin{array}[t]{rll} s&=&\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} \\[5pt] &=&\sqrt{(1-0)^2+(1,5-1)^2} \\[5pt] &=&\sqrt{(1)^2+(0,5)^2} \\[5pt] &=&\sqrt{1+0,5^2} \\[5pt] \end{array}$
Wenn du nun $r_1$ , $r_2$ und $s$ in Methode B einsetzt, erhältst du das Ergebnis für die Mantelfläche:
$\begin{array}[t]{rll} M_B&=&\pi\cdot(1+1,5)\cdot \sqrt{1+0,5^2} \\[5pt] &=&\pi\cdot 2,5\cdot \sqrt{1+0,5^2} \\[5pt] &=& 8,8 \\[5pt] \end{array}$
4. Schritt: Vergleich der Ergebnisse
Vergleichst du nun beide Ergebnisse aus A und B, siehst du, dass es sich um dasselbe Ergebnis handelt.
$M_A=M_B$
4.2
$\blacktriangleright$  Mantelfläche bestimmen
Du hast wieder die Glockenform, die durch die Rotation des Graphen der Funktion
$f_{t=1,183}(x)=\dfrac{e^{1,183x}-e^{-1,183x}}{5\cdot 1,183}+1$
im Intervall [0, 1] beschrieben wird. Mit Hilfe der Methode A sollst du nun den Flächeninhalt des Mantels dieser Glocke berechnen. Dazu leitest du die Funktion $f_{t=1,183}(x)$ zunächst einmal ab.
$g'(x)=\dfrac{1,183e^{1,183x}+1,183e^{-1,183x}}{5\cdot 1,183}$
Dies muss nun in die Formel aus Methode A eingesetzt werden
$ M= 2\pi\cdot\displaystyle\int_{0} ^{1}f(x)\sqrt{1+(f'(x))^2}\;\mathrm dx $
und anschließend mit dem CAS berechnet werden. Gib dazu den Term unterhalb des Integrals als Funktion ein und berechne dann das Integral innerhalb der Grenzen (lower limit$=0$ und upper limit$=1$).
on $\rightarrow$ Graphs
on $\rightarrow$ Graphs
A2 - Analysis
Abb. 14: Integrand für $t=1,183$
A2 - Analysis
Abb. 14: Integrand für $t=1,183$
Menu $\rightarrow$ Graph analysieren $\rightarrow$ 7: Integral $\rightarrow$ untere Schranke: $0$ $\rightarrow$ ENTER $\rightarrow$ obere Schranke: $1$ $\rightarrow$ ENTER
Menu $\rightarrow$ Graph analysieren $\rightarrow$ 7: Integral $\rightarrow$ untere Schranke: $0$ $\rightarrow$ ENTER $\rightarrow$ obere Schranke: $1$ $\rightarrow$ ENTER
A2 - Analysis
Abb. 15: Integral von $0$ bis $1$
A2 - Analysis
Abb. 15: Integral von $0$ bis $1$
Das Ergebnis musst du nun mit $2\pi$ multiplizieren. Der CAS liefert dir dann das Ergebnis $M=8,7$.
Ein Vergleich mit $M_A=8,8$ aus Aufgabe 4.1 zeigt dir, dass das hier berechnete Ergebnis ein um $0,1$ geringerer Wert ist.
#kegel#integral#regression#analysis#ableitung
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1.1
$\blacktriangleright$  Grad der Funktion begründen
Du sollst begründen, dass die Funktion, die die Punkte aus der Wertetabelle abbildet, mindestens dritten Grades ist.
Achte auf Extrem- und Wendepunkte und überlege, welche dieser Punkte eine Funktion nten Grades aufweisen kann.
  • Der Graph einer ganzrationalen Funktion ersten Grades besitzt weder Extrem- noch Wendepunkte
  • Der Graph einer ganzrationalen Funktion zweiten Grades ist parabelförmig und besitzt einen Hoch- oder Tiefpunkt.
  • Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten (oder höheren) Grades kann neben Extrem- auch Wendepunkte besitzen, also Punkte, an denen sich die Krümmung ändert aber die Steigung ihr Vorzeichen beibehält.
Betrachtest du nun den beschriebenen Graphen, wird dir auffallen, dass vom Punkt $(-1,5\mid 0,0)$ bis zum Punkt $(0,0\mid 1,0)$ eine positive Steigung auftritt, die langsam abflacht. Vom Punkt $(0,0\mid 1,0)$ bis zum Punkt $(1,5\mid 2,0)$ gibt es ebenfalls eine positive Steigung, die zunimmt. Es handelt sich bei $(0,0\mid 1,0)$ also um einen Wendepunkt. Es muss sich somit um eine ganzrationale Funktion mindestens dritten Grades handeln.
1.2
$\blacktriangleright$  Ganzrationale Funktion dritten Grades bestimmen
Du sollst eine ganzrationale Funktion $f$ dritten Grades aus den Punkten $P_1(0,5\mid 1,2)$, $P_2(1,5\mid 2,0)$ und $W(0,0\mid 1,0)$ bestimmen, wobei $W(0,0\mid 1,0)$ ein Wendepunkt ist.
Allgemein gilt für Funktionen dritten Grades
$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$
$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$
Das notwendige Kriterium für Wendepunkte ist, dass die zweite Ableitung der Funktion an dieser Stelle gleich Null ist.
$p''(x_W)=0$
Mit Hilfe dieser Bedingung, der oben aufgeführten allgemeinen Form der Funktion und den gegebenen Koordinaten der Punkte kannst du ein lineares Gleichungssystem aufstellen. Damit lassen sich dann die Koeffizienten $a$, $b$, $c$ und $d$ bestimmen.
Die zweite Ableitung der ganzrationalen Funktion dritten Grades sieht folgendermaßen aus:
$f''(x_W)=6ax_W+2b=0$
Somit ergeben sich die folgenden Bedingungen
$\begin{array}[t]{rll} f(0,5)&\stackrel{!}{=}& 1,2 \\[5pt] f(1,5)&\stackrel{!}{=}& 2 \\[5pt] f(0)&\stackrel{!}{=}& 1 \\[5pt] f''(0)&\stackrel{!}{=}& 0 \\[5pt] \end{array}$
Diese Bedingungen führen zu dem nun aufgeführten Gleichungssystem
$\begin{array}[t]{rll} &\text{I}& 1,2&=& a\cdot0,5^3+b\cdot0,5^2+c\cdot0,5+d \\[5pt] &\text{II}& 2,0&=& a\cdot1,5^3+b\cdot1,5^2+c\cdot1,5+d \\[5pt] &\text{III}& 1,0&=& a\cdot0^3+b\cdot0^2+c\cdot0+d \\[5pt] &\text{IV}& 0,0&=& 6a\cdot0+2b \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} &\text{I}& 1,2&=& a\cdot0,5^3+b\cdot… \\[5pt] &\text{II}& 2,0&=& a\cdot1,5^3+b\cdot… \\[5pt] &\text{III}& 1,0&=& a\cdot0^3+b\cdot… \\[5pt] &\text{IV}& 0,0&=& 6a\cdot0+2b \\[5pt] \end{array}$
Dieses Gleichungssystem kannst du nun mit dem CAS lösen, indem du folgenden Befehl in deinen Taschenrechner eingibst:
solve({lin. Gleichungen}, {Variablen}) $\rightarrow$ ENTER
solve({lin. Gleichungen}, {Variablen}) $\rightarrow$ ENTER
Innerhalb des solve-Befehls schreibst du die vier Gleichungen, mit Komma getrennt, zwischen die ersten zwei geschweiften Klammern. Zwischen das zweite Paar geschweifter Klammern werden die Variablen, ebenfalls mit Komma getrennt, getippt, die Werte der Variablen werden dann in derselben Reihenfolge ausgegeben.
A2 - Analysis
Abb. 1: Lineares Gleichungssystem mit Lösung
A2 - Analysis
Abb. 1: Lineares Gleichungssystem mit Lösung
Alternativ würde es auch mit einer Matrix und dem rref-Befehl funktionieren.
MENU $\rightarrow$ Main $\rightarrow$ Keyboard $\rightarrow$ Math2 $\rightarrow$ 4x5-Matrix erstellen
MENU $\rightarrow$ Main $\rightarrow$ Keyboard $\rightarrow$ Math2 $\rightarrow$ 4x5-Matrix erstellen
Nun erzeugst du eine 4x5-Matrix und gibst das Gleichungssystem in Matrixform ein:
$\begin{pmatrix}0,5^3&0,5^2&0,5&1&1,2\\[2pt]1,5^3&1,5^2&1,5&1&2\\[2pt]0&0&0&1&1\\[2pt]0&2&0&0&0\end{pmatrix}$
Dein Taschenrechner sollte jetzt folgendes Bild zeigen:
A2 - Analysis
Abb. 2: Ausgefüllte Matrix zur Lösung des Gleichungssystems
A2 - Analysis
Abb. 2: Ausgefüllte Matrix zur Lösung des Gleichungssystems
Speichere dieses Gleichungssystem in einer Variablen deiner Wahl (z.B. $A$)und löse das Gleichungssystem dann mit dem CAS durch folgende Befehle
"$\Rightarrow$" $\rightarrow$ A $\rightarrow$ ENTER $\rightarrow$ Action $\rightarrow$ Matrix $\rightarrow$ Calculation $\rightarrow$ rref(A) $\rightarrow$ ENTER
"$\Rightarrow$" $\rightarrow$ A $\rightarrow$ ENTER $\rightarrow$ Action $\rightarrow$ Matrix $\rightarrow$ Calculation $\rightarrow$ rref(A) $\rightarrow$ ENTER
A2 - Analysis
Abb. 3: Lösung des linearen Gleichungssystems
A2 - Analysis
Abb. 3: Lösung des linearen Gleichungssystems
Eine mögliche Funktion dritten Grades lautet somit unabhängig welchen Lösungsweg du wählst:
$f(x)=0,133\cdot x^3+0,367\cdot x+1$
1.3
$\blacktriangleright$  Begründen, dass es keine ganzrationale Funktion dritten Grades gibt für gegebene Punkte
Du sollst begründen, dass es keine ganzrationale Funktion dritten Grades geben kann, die durch alle Punkte, die in der Wertetabelle gegeben sind, verläuft und im Punkt $W(0,0\mid 1,0)$ einen Wendepunkt besitzt.
Da du aus den drei Punkten $P_1(0,5\mid 1,2)$, $P_2(1,5\mid 2,0)$ und $W(0,0\mid 1,0)$ der Wertetabelle bereits eine ganzrationale Funktion dritten Grades berechnet hast, kannst du nun einen vierten Punkt aus der Tabelle in die Funktionsgleichung einsetzen und überprüfen, ob dieser durch die Funktion beschrieben ist. Verwende beispielsweise den Punkt $P_3(1,0 \mid 1,45)$:
$f(1)=0,133\cdot 1+0,367\cdot 1+1 =1,5$
Du siehst, dass das Ergebnis für $x=1$ nicht $f(x=1)=1,45$ sondern $(x=1)=1,5$ ist. Dadurch liegt der Punkt $P_3$ nicht auf dem Graphen, der durch die ganzrationale Funktion dritten Grades $f(x)$ beschrieben wird.
#gleichungssystem#wendepunkt#analysis
2.1
$\blacktriangleright$  Ganzrationale Funktion dritten Grades mit Regressionsmethode bestimmen
Du sollst aus den Punkten der Wertetabelle eine ganzrationale Funktion dritten Grades mit Hilfe der Methode der Regression ermitteln. Dazu verwendest du deinen CAS. Erstelle zunächst zwei Listen: eine mit den $x$-Werten, die zweite mit den $y$-Werten. Gib dazu folgende Befehlsfole in deinen Taschenrechner ein:
MENU $\rightarrow$ Statistics
MENU $\rightarrow$ Statistics
A2 - Analysis
Abb. 4: Wertetabelle für die kubische Regression
A2 - Analysis
Abb. 4: Wertetabelle für die kubische Regression
Anschließend führst du die kubische Regression durch, indem du folgende Befehle ausführst:
Calc $\rightarrow$ Regression $\rightarrow$ Cubic Reg $\rightarrow$ OK
Calc $\rightarrow$ Regression $\rightarrow$ Cubic Reg $\rightarrow$ OK
Das Ergebnis erscheint dann auf dem Bildschirm des CAS
A2 - Analysis
Abb. 5: Lösung der kubischen Regression
A2 - Analysis
Abb. 5: Lösung der kubischen Regression
Die Methode der Regression liefert somit die Funktion
$g(x)=0,1667x^3+0,2869x+0,9929$.
2.2
$\blacktriangleright$  Volumenintegral berechnen
Du sollst das Volumen einer Glocke berechnen. Die Querschnittsfläche der Glocke wird durch den Graphen der Funktion $g(x)$ begrenzt:
$g(x)=0,1667x^3+0,2869x+0,9929$.
Das Volumen soll durch die Rotation der Querschnittsfläche um die x-Achse beschrieben werden. Die Rotation geschieht in dem Intervall [-1,5; 1,5].
Die allgemeine Form des Volumenintegrals bei Rotation um die $x$-Achse im Intervall [a; b] ist beschrieben durch die Gleichung
$V(x)=\pi \displaystyle\int_{a}^{b}(f(x))^2\;\mathrm dx$
$V(x)=\pi \displaystyle\int_{a}^{b}(f(x))^2\;\mathrm dx$
Das Integral löst du mit deinem CAS. Dazu gibst du zunächst den Funktionsterm $(g(x))^2$ ein, den du anschließend von der unteren Grenze (lower) $-1,5$ bis zur oberen Grenze (upper) integrierst.
MENU $\rightarrow$ Graph & Table
MENU $\rightarrow$ Graph & Table
A2 - Analysis
Abb. 6: Funktionsterm unter dem Integral
A2 - Analysis
Abb. 6: Funktionsterm unter dem Integral
Graph-Icon $\rightarrow$ Analysis $\rightarrow$ G-Solve $\rightarrow$ Integral $\rightarrow$ $\displaystyle\int\;\mathrm dx$ $\rightarrow$ lower: $-1,5$, upper: $1,5$ $\rightarrow$ OK
Graph-Icon $\rightarrow$ Analysis $\rightarrow$ G-Solve $\rightarrow$ Integral $\rightarrow$ $\displaystyle\int\;\mathrm dx$ $\rightarrow$ lower: $-1,5$, upper: $1,5$ $\rightarrow$ OK
A2 - Analysis
Abb. 7: Integral zur Berechnung des Volumens
A2 - Analysis
Abb. 7: Integral zur Berechnung des Volumens
Das Ergebnis musst du noch mit $\pi$ multiplizieren, sodass du auf ein Volumen von ungefähr
$ V(x)=11,2103 $
kommst.
#rotation#integral#regression#analysis
3
$\blacktriangleright$  Wendepunkt bestimmen und Krümmungsverhalten untersuchen
Der obere Rand der Querschnittsfläche einer Schokoladenglocke soll durch einen Graphen der Funktionenschar
$f_t(x)=\dfrac{e^{tx}-e^{-tx}}{5t}+1; \quad t\neq 0$
beschrieben werden
Du sollst nun
  1. die ersten drei Ableitungen der Funktionsgleichungen bestimmen
  2. zeigen, dass alle Graphen der Schar $f_t$ genau einen Wendepunkt besitzen
  3. bestimmen, ob an diesem Wendepunkt der Wechsel von einer Rechts- auf eine Linkskrümmung oder umgekehrt erfolgt
$\blacktriangleright$ 1. Schritt: Funktionsgleichungen dreimal ableiten
Leite die Funktion der Funktionenschar $f_t(x)$ nach der Variablen $x$ ab. Achtung: nicht Ausversehen nach $t$ ableiten, $t$ wird hier wie eine Konstante behandelt
$\begin{array}[t]{rll} f_t'(x)&=&\dfrac{te^{tx}+te^{-tx}}{5t} \\[5pt] f_t''(x)&=&\dfrac{t^2e^{tx}-t^2e^{-tx}}{5t} \\[5pt] f_t'''(x)&=&\dfrac{t^3e^{tx}+t^3e^{-tx}}{5t} \\[5pt] \end{array}$
$\blacktriangleright$ 2. Schritt: Zeigen, dass es nur einen Wendepunkt gibt
Du sollst zeigen, dass alle Graphen der Schar $f_t$ genau einen Wendepunkt besitzen. Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist, dass die zweite Ableitung an diesem Punkt gleich Null ist:
$f_t''(x_W)\stackrel{!}{=}0$
Du setzt also die zweite Ableitung des Funktionsterms gleich Null und überprüfst und berechnest, für welche $x$ die Gleichung erfüllt ist.
$\begin{array}[t]{rll} 0&\stackrel{!}{=}&\dfrac{t^2e^{tx}-t^2e^{-tx}}{5t} \\[5pt] &=&\dfrac{t^2(e^{tx}-e^{-tx})}{5t} \\[5pt] \end{array}$
Diese Gleichung ist nach dem Satz vom Nullprodukt erfüllt, wenn die Klammer im Zähler gleich Null ist
$\begin{array}[t]{rll} 0&\stackrel{!}{=}& e^{tx}-e^{-tx} &\quad \scriptsize \mid\ +e^{-tx} \\[5pt] e^{tx}&=&e^{-tx}&\quad \scriptsize \mid\ \ln() \\[5pt] tx&=& -tx \\[5pt] \end{array}$
Die letzte Gleichung ist nur erfüllt, wenn $t$ oder $x$ gleich Null ist. Da aber die Bedingung für die Kurvenschar ist, dass $t\neq 0$, kann nur gelten
$x=0$
Es gibt keinen anderen $x$-Wert, der diese Gleichung erfüllt.
Wenn du $x=0$ nun in die Funktionsgleichung der Kurvenschar einsetzt, kommst du auf den Wendepunkt
$f_t(x_W=0)=1$
$\blacktriangleright$ 3. Schritt: Krümmungsverhalten bestimmen
Als nächstes sollst du entscheiden, wie sich die Krümmung an dem Wendepunkt ändert. Dazu setzt du die Koordinaten des Punkt in die dritte Ableitung der Schar ein:
$\begin{array}[t]{rll} f_t'''(x_W=0)&=&\dfrac{t^3\cdot 1+t^3\cdot 1}{5t} \\[5pt] &=&\dfrac{2\cdot t^3}{5t} \\[5pt] &=&\dfrac{2}{5}\cdot t^2 \\[5pt] &>& 0\\[5pt] \end{array}$
Die letzte Ungleichung gilt, da $t\neq 0$ und $t^2>0$.
Ist die dritte Ableitung am Wendepunkt einer Funktion größer Null, erfolgt an diesem Wendepunkt eine Änderung der Krümmung von rechts nach links.
#funktionenschar#analysis#ableitung#krümmung#wendepunkt
4.1
$\blacktriangleright$  Mantelfläche bestimmen und Methodenvergleich durchführen
Um eine Schokoladenglocke mit Blattgold zu verzieren, soll der Materialbedarf abgeschätzt werden. Dazu sollst du den Flächeninhalt der Mantelfläche eines Kegelstumpfs bestimmen. Dieser Kegel entsteht durch Rotation des Graphen der Funktion $k$ um die $\color{#87c800}{x}$-Achse im Intervall [0,1]. Der Graph von $k$ verläuft geradlinig vom Punkt $(0\mid 1)$ zum Punkt $(1\mid 1,5)$.
In Material 3 werden dir die Methoden A und B zur Berechnung des Flächeninhalts vorgestellt. Du sollst nun zeigen, dass beide Methoden dasselbe Ergebnis für den oben beschriebenen Kegel liefern. Gehe dazu nach folgenden Schritten vor:
  1. Funktionsgleichung $k(x)$ aufstellen
  2. Mantelfläche nach Methode A berechnen
  3. Mantelfläche nach Methode B berechnen
  4. Ergebnisse vergleichen
1. Schritt: Funktionsgleichung $\boldsymbol{k(x)}$ aufstellen
Stelle den Funktionsterm $k(x)$ auf, indem du die gegeben Koordinaten in die Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion ersten Grades einsetzt. Die allgemeine Form der Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion ersten Grades lautet
$f(x)=ax+b$
$f(x)=ax+b$
Die Funktion kannst du mit dem CAS bestimmen.
MENU $\rightarrow$ Statics
MENU $\rightarrow$ Statics
A2 - Analysis
Abb. 8: Tabelle der Punkte für $k(x)$
A2 - Analysis
Abb. 8: Tabelle der Punkte für $k(x)$
Anschließend führst du eine lineare Regression durch, indem du folgende Befehle ausführst:
Calc $\rightarrow$ Regression $\rightarrow$ Linear Reg $\rightarrow$ OK
Calc $\rightarrow$ Regression $\rightarrow$ Linear Reg $\rightarrow$ OK
Das Ergebnis erscheint dann auf dem Bildschirm des CAS
A2 - Analysis
Abb. 9: Parameter für $k(x)$
A2 - Analysis
Abb. 9: Parameter für $k(x)$
Die Funktion $k(x)$ hat also folgende Funktionsgleichung:
$k(x)=0,5x+1$
2. Schritt: Mantelfläche nach Methode A berechnen
Berechne nun die Größe der Mantelfläche mit Methode A
$M_A=2\pi\cdot\displaystyle\int_0 ^1k(x)\sqrt{1+(k'(x))^2}\;\mathrm dx$
Wie du siehst, benötigst du die erste Ableitung der Funktion $k(x)$:
$k'(x)=0,5$
Nun kannst du die Mantelfläche $M$ mit Methode A berechnen.
$ M_A= 2\pi\cdot\displaystyle\int_0 ^1(0,5x+1)\sqrt{1+0,5^2}\;\mathrm dx $
Das Integral kannst du mit dem CAS berechnen. Dazu gibst du zunächst den Term unterhalb des Integrals ein und lässt ihn dann innerhalb der Grenzen (lower$=0$ und upper$=1$) integrieren.
MENU $\rightarrow$ Graph & Table
MENU $\rightarrow$ Graph & Table
A2 - Analysis
Abb. 10: Integrand zur Berechnung der Mantelfläche $M_A$
A2 - Analysis
Abb. 10: Integrand zur Berechnung der Mantelfläche $M_A$
Graph-Icon $\rightarrow$ Analysis $\rightarrow$ G-Solve $\rightarrow$ Integral $\rightarrow$ $\displaystyle\int\;\mathrm dx$ $\rightarrow$ lower: $0$, upper: $1$ $\rightarrow$ OK
Graph-Icon $\rightarrow$ Analysis $\rightarrow$ G-Solve $\rightarrow$ Integral $\rightarrow$ $\displaystyle\int\;\mathrm dx$ $\rightarrow$ lower: $0$, upper: $1$ $\rightarrow$ OK
A2 - Analysis
Abb. 11: Integral von $0$ bis $1$
A2 - Analysis
Abb. 11: Integral von $0$ bis $1$
Das Ergebnis musst du nun mit $2\pi$ multiplizieren und kommst dann auf das Ergebnis
$M_A=8,781$
3. Schritt: Mantelfläche nach Methode B berechnen
Als nächstes folgt Methode B
A2 - Analysis
Abb. 12: Kegelstumpf
A2 - Analysis
Abb. 12: Kegelstumpf
$r_1$ ist der Radius der kleineren Kreisfläche des Kegelstumpfes, $r_2$ der Radius der größeren Kreisfläche. Für den Kegelstumpf aus dieser Aufgabe sind die Werte für die beiden Radien die $y$-Werte der beiden Punkte $(0\mid 1)$ und $(1\mid 1,5)$.
$\begin{array}[t]{rll} r_1&=& 1 \\[5pt] r_2&=& 1,5\\[5pt] \end{array}$
Die Länge der Mantellinie $s$ ist gleich der Länge der Verbindungslinie der Punkte $(0\mid 1)$ und $(1\mid 1,5)$.
$\begin{array}[t]{rll} s&=&\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} \\[5pt] &=&\sqrt{(1-0)^2+(1,5-1)^2} \\[5pt] &=&\sqrt{(1)^2+(0,5)^2} \\[5pt] &=&\sqrt{1+0,5^2} \\[5pt] \end{array}$
Wenn du nun $r_1$ , $r_2$ und $s$ in Methode B einsetzt, erhältst du das Ergebnis für die Mantelfläche:
$\begin{array}[t]{rll} M_B&=&\pi\cdot(1+1,5)\cdot \sqrt{1+0,5^2} \\[5pt] &=&\pi\cdot 2,5\cdot \sqrt{1+0,5^2} \\[5pt] &=& 8,781 \\[5pt] \end{array}$
4. Schritt: Vergleich der Ergebnisse
Vergleichst du nun beide Ergebnisse aus A und B, siehst du, dass es sich um dasselbe Ergebnis handelt.
$M_A=M_B$
4.2
$\blacktriangleright$  Mantelfläche bestimmen
Du hast wieder die Glockenform, die durch die Rotation des Graphen der Funktion
$f_{t=1,183}(x)=\dfrac{e^{1,183x}-e^{-1,183x}}{5\cdot 1,183}+1$
im Intervall [0, 1] beschrieben wird. Mit Hilfe der Methode A sollst du nun den Flächeninhalt des Mantels dieser Glocke berechnen. Dazu leitest du die Funktion $f_{t=1,183}(x)$ zunächst einmal ab.
$g'(x)=\dfrac{1,183e^{1,183x}+1,183e^{-1,183x}}{5\cdot 1,183}$
Dies muss nun in die Formel aus Methode A eingesetzt werden
$ M= 2\pi\cdot\displaystyle\int_{0} ^{1}f(x)\sqrt{1+(f'(x))^2}\;\mathrm dx $
und anschließend mit dem CAS berechnet werden. Gib dazu den Term unterhalb des Integrals als Funktion ein und berechne dann das Integral innerhalb der Grenzen (lower limit$=0$ und upper limit$=1$).
MENU $\rightarrow$ Graph & Table
MENU $\rightarrow$ Graph & Table
A2 - Analysis
Abb. 13: Integrand für $t=1,183$
A2 - Analysis
Abb. 13: Integrand für $t=1,183$
Graph-Icon $\rightarrow$ Analysis $\rightarrow$ G-Solve $\rightarrow$ Integral $\rightarrow$ $\displaystyle\int\;\mathrm dx$ $\rightarrow$ lower: $0$, upper: $1$ $\rightarrow$ OK
Graph-Icon $\rightarrow$ Analysis $\rightarrow$ G-Solve $\rightarrow$ Integral $\rightarrow$ $\displaystyle\int\;\mathrm dx$ $\rightarrow$ lower: $0$, upper: $1$ $\rightarrow$ OK
A2 - Analysis
Abb. 14: Integral von $0$ bis $1$
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Abb. 14: Integral von $0$ bis $1$
Das Ergebnis musst du nun mit $2\pi$ multiplizieren. Der CAS liefert dir dann das Ergebnis $M=8,662$.
Ein Vergleich mit $M_A=8,781$ aus Aufgabe 4.1 zeigt dir, dass das hier berechnete Ergebnis ein um $0,119$ geringerer Wert ist.
#integral#analysis#ableitung#regression#kegel
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