A2 - Analysis

In der nachfolgenden Tabelle ist die Entwicklung der Schulden der Länder und Gemeinden in Deutschland zwischen $1960$ und $2005$ dargestellt. $^1$

$\color{#fff}{t}$ Jahr $\color{#fff}{1900+t}$	$\color{#fff}{S(t)}$ Schulden in Mio. €
$60$	$13\;686$
$65$	$21\;756$
$70$	$34\;409$
$75$	$71\;154$
$80$	$117\;418$
$85$	$182\;988$
$90$	$230\;010$
$95$	$352\;263$
$100$	$424\;248$
$105$	$559\;485$

1.1

Zeichne die Werte in das folgende Koordinatensystem.

Schulden Laender und Gemeinden Hessen Abi 2015

(4 BE)

1.2

Bestimme eine quadratische Funktion und eine Exponentialfunktion, die zu den gegebenen Wertepaaren möglichst gut passen.
Beurteile diese in Bezug auf ihre Eignung für die Modellierung der Entwicklung der Schulden für den angegebenen Zeitraum.

(6 BE)

Eine andere Möglichkeit, die Entwicklung der Schulden zu modellieren, ist die Verwendung der Funktion $f_3$ mit
$f_3(t)=\dfrac{1\;000\;000}{1+15\;000\cdot\mathrm e^{-0,094\cdot t}}\;$ ( $\;t$ wie oben, $f_3(t)$ in Mio. € ).

2.1

Skizziere den Graphen von $f_3$ im Material für $0\leq t\leq 200$ .
Erläutere anhand des Graphen, um welchen Funktionstyp es sich hier handeln könnte.
Begründe anhand der typischen Eigenschaften dieses Funktionstyps, warum er in diesem Sachzusammenhang angemessen sein kann.

(5 BE)

2.2

Beschreibe den Aufbau des folgenden Terms und erläutere, was damit berechnet wird.
$\displaystyle\sum\limits_{i=12}^{21}(f_3(5\cdot i)-S(5\cdot i))^2$

(5 BE)

Wenn du mit dem Rechner die Ableitung von $f_3$ bildest, erhältst du im Allgemeinen das Ergebnis: $f_{3}‘(t)=\dfrac{1,41\cdot10^9\cdot\mathrm e^{0,094\cdot t}}{\left(\mathrm e^{0,094\cdot t}+15 \;000\right)^2}$

3.1

Berechne die Ableitung der Funktion $f_3$ mit einer geeigneten Ableitungsregel und zeige die Äquivalenz mit dem oben angeführten Rechnerergebnis.

(9 BE)

3.2

Es sei $G$ die obere Grenze der Funktion $f_3$ .
Bestimme $G$ und erläutere die Bedeutung von $f_3‘(t)$ sowie der einzelnen Faktoren auf der rechten Seite der Gleichung $f_3‘(t)=c\cdot f_3(t)\cdot(G-f_3(t))$ im Sachzusammenhang.

(6 BE)

Die Summe aller Zinsen, die für diese Schulden im Zeitraum vom Beginn des Jahres $1990$ bis zum Ende des Jahres $2010$ angefallen sind, soll ermittelt werden. Gehe dazu vereinfachend davon aus, dass sich der Schuldenstand im Laufe eines Jahres nicht ändert und jeweils am Jahresende Zinsen in Höhe von $2\,\%$ anfallen. Ermittle mit Hilfe der Funktion $f_3$ eine geeignete Näherung für den gesuchten Wert.

(5 BE)

¹ Quelle: Statistisches Bundesamt.

Quelle anzeigen

https://www.destatis.de/DE/Publikationen/Thematisch/FinanzenSteuern/OeffentlicheHaushalte/Schulden/ SchuldenOeffentlicherHaushalte2140500117004.pdf?"__blob=publicationFile, S.46 (abgerufen am 10.03.2014).

1.1

Zu beachten ist, dass auf der $y$ -Achse des Koordinatensystems die Schulden in $1000$ Mio $\,€$ aufgetragen sind und in der Wertetabelle nur in Mio €.

Werte Koordinatensystem Schulden Hessen Abi 2015

1.2

Die gesuchten Funktionen können mit dem CAS bestimmt werden.

Dazu muss die Wertetabelle im Lists \& Spreadsheets-Modus gespeichert werden:

Tabelle mit Zahlen in den Zellen, darunter eine Auswahl von Werten in Spalte A.

Quadratische Funktion bestimmen

Die quadratische Funktion $f_1$ hat die Form $f_1(x)=a_q\cdot x^2 + b_q \cdot x +c_q$

Die Koeffizienten $a_q$ , $b_q$ und $c_q$ können nun mit folgendem Befehl berechnet werden:

4: Statistik 1: 6: Quadratische Regression

Für die $x$ - und $y$ -Werte können nun die entsprechenden Spalten in der Wertetabelle angegeben werden:

Tabellenausschnitt mit Daten und einer Formel zur Regression in einer Analyseanwendung.

Die Koeffizienten folgen mit $a_q\approx 278,6736$ , $b_q\approx -34028,37061$ und $c_q=1053883,4$ .

Damit lautet der Funktionsterm von $f_1$ :

$f_1(x)...$

Term anzeigen

Exponentialfunktion bestimmen

Die Exponentialfunktion $f_2$ hat die Form $f_2(x)=a_e\cdot b_e^x$

Die Koeffizienten $a_e$ und $b_e$ können mit folgendem Befehl bestimmt werden:

4: Statistik 1: A: Exponentielle Regression

Für die $x$ - und $y$ -Werte können nun die entsprechenden Spalten der Wertetabelle angegeben werden:

Tabellenansicht mit Daten und Formeln zur exponentiellen Regression.

Die Koeffizienten folgen nun mit $a_e\approx 104,0569$ und $b_e\approx 1,0883$ .

Damit lautet der Funktionsterm von $f_2$ :

$f_2(x)= 104,0569 \cdot 1,0883^x$

Funktionen beurteilen

Mit dem CAS können die zugehörigen Graphen zu den beiden Funktionstypen erstellt werden und mit den eingezeichneten Werten aus dem vorherigen Aufgabenteil verglichen werden.

Nach dem Wechseln in das Graph-Menü können die beiden Funktionsterme von $f_1$ und $f_2$ gespeichert werden:

Graphische Darstellung von zwei mathematischen Funktionen f1(x) in blau und f2(x) in rot.

Die quadratische Funktion verläuft parabelförmig. Für die ersten Jahrzehnte nach 1900 sinken die Schulden folglich stark und nähern sich null an, bis sie etwa 60 Jahre später ähnlich wie die Werte aus der Tabelle steigen.

Die Exponentialfunktion hingegen nähert sich asymptotisch der negativen $x$ -Achse an und steigt ab etwa 1940 exponentiell an. Die Werte streben stark gegen Unendlich.

Beide Funktionen nehmen im abgebildeten Bereich ähnliche Werte wie die Werte der Tabelle an. Anhand der Wertetabellen beider Funktionen können diese nun genauer überprüft werden:

7: Tabelle 1:

Durch Anpassen der Tabellenwerte erhält man folgende Wertetabellen:

Graphische Darstellung von Funktionen mit numerischen Werten in einer Tabellenansicht.

Durch Vergleichen der Werte der beiden Funktionen mit der Wertetabelle fällt auf, dass sich die quadratische Funktion in fast jedem angegeben Jahr besser anpasst als die Exponentialfunktion. Besonders für das letzte Jahr $2005$ ist der Unterschied extrem:

$\left|S(105)-f_1(105)\right|= 6.204$

Rechenweg anzeigen

$\left|S(105)-f_2(105)\right|=191.925$

Rechenweg anzeigen

Die quadratische Funktion eignet sich somit sehr gut zur Modellierung im geeigneten Zeitraum, die Exponentialfunktion hingegen weniger gut.

2.1

Graph skizzieren

Mit dem CAS kann der Graph angezeigt werden, dabei muss das Koordinatensystem des CAS dem Material angepasst werden. Dies kann im WINDOW-Menü bearbeitet werden:

Graph einer mathematischen Funktion f(x) mit Achsenbeschriftungen und einer Formel.

Der abgebildete Graph kann nun in das Material übernommen werden:

Graph Koordinatensystem Schulden Hessen Abi 2015

Funktionstyp erläutern

Es kann abgelesen werden, dass die Funktion sowohl für $t \to 0$ als auch für $t \to \infty$ einen Grenzwert besitzt. Für $t\rightarrow 0\;$ ist die $x$ -Achse eine waagerechte Asymptote der Funktion, für $t\rightarrow200$ besitzt $f_3$ auch eine waagrechte Asymptote gegen einen Wert von etwa $y=1000$ .

Hierbei handelt es sich folglich um eine gebrochene Exponentialfunkton. Die $\mathrm e$ -Funktion besitzt die Grenzwerte $0$ und $\infty$ , die je nach Vorzeichen des Exponenten angepasst werden können. Durch weitere Parameter kann die Funktion auf die hier zu sehende Form gebracht werden.

Eignung erläutern

Gebrochene Exponentialfunktionen weisen jeweils einen Grenzwert für kleine und große $t$ auf. Dies eignet sich zur Modellierung der Schulden eines Staates, da die Schulden zuerst immer weiter steigen, danach jedoch gegen einen bestimmten Maximalwert laufen und diesen nicht weiter überschreiten.

2.2

1. Schritt: Funktionswerte beschreiben

$f_3(5\cdot i)$ : Die durch die Funktion $f_3$ angenäherten Schulden zum Zeitpunkt $5\cdot i$ .

$S(5\cdot i)$ : Die tatsächlichen Schulden zum Zeitpunkt $5\cdot i$ .

2. Schritt: Subtraktion

Die Subtraktion beschreibt gerade die Differenz zwischen den tatsächlichen und geschätzten Schulden im Jahr $1900 + (5\cdot i)$ . Dieser Wert ist somit die Abweichung der Funktion $f_3$ von den tatsächlichen Schulden im Jahr $1900 + (5\cdot i)$ .

3. Schritt: Quadrat

Hier wird das Quadrat der obigen Differenz berechnet. Dies hat zur Folge, dass alle Werte nun positiv sind. Dieser Wert ist somit die quadratische Abweichung der Funktion $f_3$ von den tatsächlichen Schulden im Jahr $1900 + 5\cdot i$ .

4. Schritt: Summe

Nun wird eine Summe über die Quadrate gebildet. Die Summe läuft von $i=12$ bis $i=21$ . Somit werden die Differenzen über alle Jahre von $5 \cdot 12$ bis $5 \cdot 21$ in $5$ -er Schritten berechnet. Dies sind gerade alle in der Wertetabelle angegeben Werte. Die Summe beschreibt also die quadratische Abweichung der Funktion $f_3$ von allen in der Wertetabelle angegebenen Werten.

3.1

Ableitung berechnen

Da es sich bei der Funktion $f_3$ um eine gebrochene Funktion handelt, wird an dieser Stelle die Quotientenregel benötigt.

Mit $u=1000000$ und $v=1 + 15000 \cdot \mathrm e^{-0,094 \cdot t}$ folgt:

Rechenweg anzeigen

$f_3‘(t)= \dfrac{1,410 \cdot 10^9 \cdot \mathrm e^{-0,094 \cdot t}}{\left(1+15000 \cdot \mathrm e^{-0,094 \cdot t}\right)^2}$

Äquivalenz zeigen

Durch Erweitern mit $\left(\mathrm e^{0,094 \cdot t}\right)^2$ folgt:

Rechnung anzeigen

Damit ist die Äquivalenz der beiden Ausdrücke gezeigt.

3.2

Obere Grenze $G$ bestimmen

Da die Funktion $f_3$ monoton wachsend ist, entspricht der Grenzwert von $f_3$ der gesuchten oberen Grenze $G$ .

Berechnen des Grenzwerts von $f_3$ :

Rechenweg anzeigen

$G=1000000$

Die obere Grenze $G$ der Funktion $f_3$ ist folglich $1000000$ .

Bedeutung der Ableitung erläutern

Die Ableitung $f_3‘$ gibt die Änderungsrate der Funktion $f_3$ an. Der Funktionswert $f_3(t)$ beschreibt im Sachzusammenhang den Schuldenstand in Mio.€ im Jahr $1900 + t.$

Die Ableitung $f_3‘$ beschreibt somit die Änderungsrate der Schulden bzw. den Zuwachs an Schulden in Mio. € im Jahr $1900 + t$ .

Bedeutung der Faktoren erläutern

Faktor $c:$
Der Faktor $c$ beschreibt eine Konstante, welche nicht von $t$ abhängig ist und dafür sorgt, dass die Gleichheit erfüllt ist.
Faktor $f_3(t):$
Der Faktor $f_3(t)$ beschreibt den Schuldenstand zum Zeitpunkt $t$ . Ist der Schuldenstand $f_3(t)$ sehr niedrig, also $f_3(t) \approx 0$ , so gilt für den Faktor $G-f_3(t) \approx G.$ Für das Produkt der Faktoren gilt somit:
$\begin{array}[t]{rll} f_3‘(t)&=&c \cdot f_3(t) \cdot \left(G - f_3(t)\right) & \\[5pt] &\approx& c \cdot 0 \cdot G & \\[5pt] &=& 0& \\[5pt] \end{array}$
Somit gilt $f_3‘(t)\approx 0$ für kleine $t$ . Der Zuwachs der Schulden zum Zeitpunkt $t$ ist somit sehr niedrig, falls die Schulden zum Zeitpunkt $t$ sehr niedrig sind.
Faktor $G-f_3(t):$
Der Faktor $G-f_3(t)$ beschreibt die Differenz zwischen dem Schuldenstand zum Zeitpunkt $t$ und der oberen Grenze $G$ . Ist der Schuldenstand $f_3(t)$ sehr hoch, also $f_3(t) \approx G$ , so gilt für den Faktor $G-f_3(t) \approx 0.$ Für das Produkt der Faktoren gilt somit:
$\begin{array}[t]{rll} f_3‘(t)&=& c \cdot f_3(t) \cdot \left(G - f_3(t)\right)& \\[5pt] &\approx & c \cdot G \cdot 0& \\[5pt] &=& 0 \end{array}$
Somit gilt $f_3‘(t)\approx 0$ für große $t$ . Der Zuwachs der Schulden zum Zeitpunkt $t$ ist somit sehr niedrig, falls die Schulden zum Zeitpunkt $t$ sehr hoch sind.

Die im Jahr $1900 + t$ anfallenden Zinsen können mit dem durchschnittlichen Schuldenstand $d_t$ des Jahres $t$ und dem Zinssatz von $2\,\%$ bestimmt werden. Die Summe der Zinsen der Jahre von $1990$ bis $2010$ ergeben dann die gesuchte Näherung.

Der durchschnittlichen Funktionswert $d$ einer Funktion $f$ im Intervall $\left[a;b\right]$ wird wie folgt berechnet:

$d=\dfrac{1}{b-a} \displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\;\mathrm dx$

Für das Intervall $\left[t;t+1\right]$ ergibt sich also:

$\begin{array}[t]{rll} d_t&=&\dfrac{1}{\left(t+1\right)-\left(t\right)} \displaystyle\int_{t}^{t+1} f_3(x)\;\mathrm dx\\[5pt] &=&\dfrac{1}{1} \displaystyle\int_{t}^{t+1} f_3(x)\;\mathrm dx\\[5pt] &=& \displaystyle\int_{t}^{t+1} f_3(x)\;\mathrm dx \end{array}$

Die Zinsen $z_t$ im Jahr $1900 + t$ folgen nun mit $z_t=0,02 \cdot d_t.$

Für die Summe aller Zinsen von Beginn des Jahres $1990$ bis zum Ende des Jahres $2010$ ergibt sich:

Rechenweg anzeigen

$\displaystyle\sum\limits_{t=90}^{110} z_t = 0,02 \cdot \displaystyle\int_{90}^{111} f_3(x)\;\mathrm dx$

Das Integral kann mit dem CAS berechnet werden. Dazu muss in das Calculator-Menü gewechselt und dort der Funktionsterm von $f_3$ gespeichert werden.

4: Analysis 3: Integral

Durch Wählen der unteren Grenze $x=90$ und der oberen Grenze $x=111$ folgt:

Mathematische Gleichung und Integralberechnung auf einem Bildschirm.

Somit ergibt sich:

$0,02 \cdot \displaystyle\int_{90}^{111} f(x) \mathrm dx \approx 193617$

Die Zinsen der Schulden betragen folglich näherungsweise $193617$ Mio. €.

1.1

Zu beachten ist, dass auf der $y$ -Achse des Koordinatensystems die Schulden in $1000$ Mio $\,€$ aufgetragen sind und in der Wertetabelle nur in Mio €.

1.2

Die gesuchten Funktionen können mit dem CAS bestimmt werden.

Dazu muss die Wertetabelle im Tabellenkalkulat-Modus gespeichert werden:

Tabelle mit drei Listen und Zahlenwerten, die Ergebnisse oder Daten darstellen.

Quadratische Funktion bestimmen

Die quadratische Funktion $f_1$ hat die Form $f_1(x)=a_q\cdot x^2 + b_q \cdot x +c_q$

Die Koeffizienten $a_q$ , $b_q$ und $c_q$ können nun mit folgendem Befehl berechnet werden:

Calc Regressionen Quadratische Regression

Für die $x$ - und $y$ -Werte können nun die entsprechenden Spalten in der Wertetabelle angegeben werden:

Tabelle mit Werten für eine quadratische Regression, einschließlich a, b, c, r² und MSe.

Die Koeffizienten folgen mit $a_q\approx 278,6736$ , $b_q\approx -34028,37061$ und $c_q=1053883,4$ .

Damit lautet der Funktionsterm von $f_1$ :

$f_1(x)...$

Term anzeigen

Exponentialfunktion bestimmen

Die Exponentialfunktion $f_2$ hat die Form $f_2(x)=a_e\cdot b_e^x$

Die Koeffizienten $a_e$ und $b_e$ können mit folgendem Befehl bestimmt werden:

Calc Regressionen Exp. Regression

Für die $x$ - und $y$ -Werte können nun die entsprechenden Spalten der Wertetabelle angegeben werden:

Tabelle mit Werten zur freien exponentiellen Regression, einschließlich a, b, r, r² und MSe.

Die Koeffizienten folgen nun mit $a_e\approx 104,0569$ und $b_e\approx 1,0883$ .

Damit lautet der Funktionsterm von $f_2$ :

$f_2(x)= 104,0569 \cdot 1,0883^x$

Funktionen beurteilen

Mit dem CAS können die zugehörigen Graphen zu den beiden Funktionstypen erstellt werden und mit den eingezeichneten Werten aus dem vorherigen Aufgabenteil verglichen werden.

Nach dem Wechseln in das Grafik-Menü können die beiden Funktionsterme von $f_1$ und $f_2$ gespeichert werden:

Mathematische Graphen mit Funktionen y1 und y2, dargestellt in einem Diagramm.

Die Exponentialfunktion hingegen nähert sich asymptotisch der negativen $x$ -Achse an und steigt ab etwa 1940 exponentiell an. Die Werte streben stark gegen Unendlich.

Beide Funktionen nehmen im abgebildeten Bereich ähnliche Werte wie die Werte der Tabelle an. Mit dem CAS können nun die Wertetabellen der beiden Funktionen angezeigt und näher untersucht werden:

Tabelle mit Werten für x, y1 und y2 in verschiedenen Farben.

$\left|S(105)-f_1(105)\right|= 6.204$

Rechenweg anzeigen

$\left|S(105)-f_2(105)\right|=191.925$

Rechenweg anzeigen

Die quadratische Funktion eignet sich somit sehr gut zur Modellierung im geeigneten Zeitraum, die Exponentialfunktion hingegen weniger gut.

2.1

Graph skizzieren

Mit dem CAS kann der zugehörige Graph zur Funktion $f_3$ angezeigt und das Koordinatensystem entsprechend angepasst werden:

Graf einer mathematischen Funktion mit einer grün dargestellten Kurve.

Der abgebildete Graph kann nun in das Material übernommen werden:

Funktionstyp erläutern

Eignung erläutern

2.2

1. Schritt: Funktionswerte beschreiben

$f_3(5\cdot i)$ : Die durch die Funktion $f_3$ angenäherten Schulden zum Zeitpunkt $5\cdot i$ .

$S(5\cdot i)$ : Die tatsächlichen Schulden zum Zeitpunkt $5\cdot i$ .

2. Schritt: Subtraktion

3. Schritt: Quadrat

4. Schritt: Summe

3.1

Ableitung berechnen

Da es sich bei der Funktion $f_3$ um eine gebrochene Funktion handelt, wird an dieser Stelle die Quotientenregel benötigt.

Mit $u=1000000$ und $v=1 + 15000 \cdot \mathrm e^{-0,094 \cdot t}$ folgt:

Rechenweg anzeigen

$f_3‘(t)= \dfrac{1,410 \cdot 10^9 \cdot \mathrm e^{-0,094 \cdot t}}{\left(1+15000 \cdot \mathrm e^{-0,094 \cdot t}\right)^2}$

Äquivalenz zeigen

Durch Erweitern mit $\left(\mathrm e^{0,094 \cdot t}\right)^2$ folgt:

Rechnung anzeigen

Damit ist die Äquivalenz der beiden Ausdrücke gezeigt.

3.2

Obere Grenze $G$ bestimmen

Da die Funktion $f_3$ monoton wachsend ist, entspricht der Grenzwert von $f_3$ der gesuchten oberen Grenze $G$ .

Berechnen des Grenzwerts von $f_3$ :

Rechenweg anzeigen

$G=1000000$

Die obere Grenze $G$ der Funktion $f_3$ ist folglich $1000000$ .

Bedeutung der Ableitung erläutern

Die Ableitung $f_3‘$ gibt die Änderungsrate der Funktion $f_3$ an. Der Funktionswert $f_3(t)$ beschreibt im Sachzusammenhang den Schuldenstand in Mio.€ im Jahr $1900 + t.$

Die Ableitung $f_3‘$ beschreibt somit die Änderungsrate der Schulden bzw. den Zuwachs an Schulden in Mio. € im Jahr $1900 + t$ .

Bedeutung der Faktoren erläutern

Faktor $c:$
Der Faktor $c$ beschreibt eine Konstante, welche nicht von $t$ abhängig ist und dafür sorgt, dass die Gleichheit erfüllt ist.
Faktor $f_3(t):$
Der Faktor $f_3(t)$ beschreibt den Schuldenstand zum Zeitpunkt $t$ . Ist der Schuldenstand $f_3(t)$ sehr niedrig, also $f_3(t) \approx 0$ , so gilt für den Faktor $G-f_3(t) \approx G.$ Für das Produkt der Faktoren gilt somit:
$\begin{array}[t]{rll} f_3‘(t)&=&c \cdot f_3(t) \cdot \left(G - f_3(t)\right) & \\[5pt] &\approx& c \cdot 0 \cdot G & \\[5pt] &=& 0& \\[5pt] \end{array}$
Somit gilt $f_3‘(t)\approx 0$ für kleine $t$ . Der Zuwachs der Schulden zum Zeitpunkt $t$ ist somit sehr niedrig, falls die Schulden zum Zeitpunkt $t$ sehr niedrig sind.
Faktor $G-f_3(t):$
Der Faktor $G-f_3(t)$ beschreibt die Differenz zwischen dem Schuldenstand zum Zeitpunkt $t$ und der oberen Grenze $G$ . Ist der Schuldenstand $f_3(t)$ sehr hoch, also $f_3(t) \approx G$ , so gilt für den Faktor $G-f_3(t) \approx 0.$ Für das Produkt der Faktoren gilt somit:
$\begin{array}[t]{rll} f_3‘(t)&=& c \cdot f_3(t) \cdot \left(G - f_3(t)\right)& \\[5pt] &\approx & c \cdot G \cdot 0& \\[5pt] &=& 0 \end{array}$
Somit gilt $f_3‘(t)\approx 0$ für große $t$ . Der Zuwachs der Schulden zum Zeitpunkt $t$ ist somit sehr niedrig, falls die Schulden zum Zeitpunkt $t$ sehr hoch sind.

Der durchschnittlichen Funktionswert $d$ einer Funktion $f$ im Intervall $\left[a;b\right]$ wird wie folgt berechnet:

$d=\dfrac{1}{b-a} \displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\;\mathrm dx$

Für das Intervall $\left[t;t+1\right]$ ergibt sich also:

Die Zinsen $z_t$ im Jahr $1900 + t$ folgen nun mit $z_t=0,02 \cdot d_t.$

Für die Summe aller Zinsen von Beginn des Jahres $1990$ bis zum Ende des Jahres $2010$ ergibt sich:

Rechenweg anzeigen

$\displaystyle\sum\limits_{t=90}^{110} z_t = 0,02 \cdot \displaystyle\int_{90}^{111} f_3(x)\;\mathrm dx$

Das Integral kann mit dem CAS berechnet werden. Dazu muss in das Haupt-Menü gewechselt und dort der Funktionsterm von $f_3$ gespeichert werden.

Interaktiv Berechnungen

Durch Wählen der unteren Grenze $x=90$ und der oberen Grenze $x=111$ folgt:

Mathematische Formel und Berechnung in einem Programm, mit einer definierten Funktion und einem Integral.

Somit ergibt sich:

$0,02 \cdot \displaystyle\int_{90}^{111} f(x) \mathrm dx \approx 193617$

Die Zinsen der Schulden betragen folglich näherungsweise $193617$ Mio. €.