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A2 - Analysis

Aufgaben
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In der nachfolgenden Tabelle ist die Entwicklung der Schulden der Länder und Gemeinden in Deutschland zwischen $1960$ und $2005$ dargestellt. $^1$
$t$ Jahr $1900+t$$60$$65$$70$ $75$$80$
$S(t)$ Schulden in Mio. €$13.686$$21.756$ $34.409$$71.154$$117.418$
$t$ Jahr $1900+t$$85$$90$$95$ $100$$105$
$S(t)$ Schulden in Mio. €$182.988$$230.010$ $352.263$$424.248$$559.485$
1.1   Zeichne die Werte in das gegebene Koordinatensystem (Material).
(4P)
1.2   Bestimme eine quadratische Funktion und eine Exponentialfunktion, die zu den gegebenen Wertepaaren möglichst gut passen.
Beurteile diese in Bezug auf ihre Eignung für die Modellierung der Entwicklung der Schulden für den angegebenen Zeitraum.
(6P)
Eine andere Möglichkeit, die Entwicklung der Schulden zu modellieren, ist die Verwendung der Funktion $f_3$ mit $f_3(t)=\dfrac{1.000.000}{1+15.000\cdot\mathrm e^{-0,094\cdot t}}$ ($t$ wie oben, $f_3(t)$ in Mio. €).
2.1   Skizziere den Graphen von $f_3$ im Material für $0\leq t\leq 200$.
Erläutere anhand des Graphen, um welchen Funktionstyp es sich hier handeln könnte.
Begründe anhand der typischen Eigenschaften dieses Funktionstyps, warum er in diesem Sachzusammenhang angemessen sein kann.
(5P)
2.2   Beschreibe den Aufbau des folgenden Terms und erläutere, was damit berechnet wird.
$\displaystyle\sum\limits_{i=12}^{21}(f_3(5\cdot i)-S(5\cdot i))^2$
(5P)
3.   Wenn du mit dem Rechner die Ableitung von $f_3$ bildest, erhälst du im Allgemeinen das Ergebnis: $f_{3}'(t)=\dfrac{1,41\cdot10^9\cdot\mathrm e^{0,094\cdot t}}{\left(\mathrm e^{0,094\cdot t}+15.000\right)^2}$
3.1   Berechne die Ableitung der Funktion $f_3$ mit einer geeigneten Ableitungsregel und zeige die Äquivalenz mit dem oben angeführten Rechnerergebnis.
(9P)
3.2   Es sei $G$ die obere Grenze der Funktion $f_3$.
Bestimme $G$ und erläutere die Bedeutung von $f_3'(t)$ sowie der einzelnen Faktoren auf der rechten Seite der Gleichung $f_3'(t)=c\cdot f_3(t)\cdot(G-f_3(t))$ im Sachzusammenhang.
(6P)
4.   Die Summe aller Zinsen, die für diese Schulden im Zeitraum vom Beginn des Jahres $1990$ bis zum Ende des Jahres $2010$ angefallen sind, soll ermittelt werden. Gehe dazu vereinfachend davon aus, dass sich der Schuldenstand im Laufe eines Jahres nicht ändert und jeweils am Jahresende Zinsen in Höhe von $2\,\%$ anfallen. Ermittle mit Hilfe der Funktion $f_3$ eine geeignete Näherung für den gesuchten Wert.
(5P)

1  Quelle: Statistisches Bundesamt.
https://www.destatis.de/DE/Publikationen/Thematisch/FinanzenSteuern/OeffentlicheHaushalte/Schulden/
SchuldenOeffentlicherHaushalte2140500117004.pdf?__blob=publicationFile, S.46 (abgerufen am 10.03.2014).

Material

A2 - Analysis
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Tipps
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1.
1.1 $\blacktriangleright$  Werte in das Koordinatensystem einzeichnen
Trage die in der Wertetabelle gegebenen Werte in das Koordinatensystem ein. Beachte hierbei, dass auf der $y$-Achse des Koordinatensystems die Schulden in $1.000$ Mio € aufgetragen sind und in der Wertetabelle nur in Mio €. Teile also die Schulden durch $1.000$, um den passenden Wert auf der $y$-Achse zu finden.
1.2 $\blacktriangleright$  Funktionen zu den Wertepaaren bestimmen
Bestimme hier eine quadratische Funktion und eine Exponentialfunktion, die zu den Wertepaaren möglichst gut passt. Diese kannst du mit deinem CAS bestimmen.
Speichere dazu die Wertetabelle ein. Bestimme nun jeweils die quadratische Funktion und die Exponentialfunktion mit den dazugehörigen Befehlen.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright}$  Quadratische Funktion
Die quadratische Funktion $f_1$ hat die Form
$f_1(x)=a_q\cdot x^2 + b_q \cdot x +c_q$
Die Koeffizienten $a_q$, $b_q$ und $c_q$ kannst du mit deinem CAS bestimmen.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright}$  Exponentialfunktion
Die Exponentialfunktion $f_2$ hat die Form
$f_2(x)=a_e\cdot b_e^x $
Die Koeffizienten $a_e$ und $b_e$ kannst du mit deinem CAS bestimmen.
$\blacktriangleright$  Eignung zur Modellierung beurteilen
Hier sollst du die Eignung der beiden Funktionen in Bezug auf die Modellierung der Entwicklung der Schulden beurteilen. Betrachte dazu zuerst die Graphen der beiden Funktionen mit deinem CAS. Vergleiche zuerst die Graphen der Funktionen mit den eingezeichneten Werten im Material, anschließend kannst du die Funktionswerte der beiden Funktionen mit der Wertetabelle abgleichen und so die Eignung der beiden Funktionen beurteilen.
2.
2.1 $\blacktriangleright$  Graphen skizzieren
Hier hast du nun die Funktion $f_3$ gegeben und sollst den Graphen der Funktion in das Material skizzieren. Lasse dir dazu den Graphen mit deinem CAS anzeigen und übertrage die Form auf das Material.
Die Funktion kannst du dir wie oben beschrieben anzeigen lassen. Achte darauf, dass Koordinatensystem des CAS dem Material anzupassen. Dieses kannst du im WINDOW-Menü bearbeiten.
$\blacktriangleright$  Funktionstyp bestimmen
Erläutere anhand des Graphen, um welchen Funktionstyp es sich hier handeln könnte. Versuche dazu am Graphen der Funktion bestimmte Besonderheiten der Funktion zu erkennen, um daran den Funktionstyp festzustellen.
Du erkennst, dass die Funktion sowohl für $t \to 0$ als auch für $t \to \infty$ einen Grenzwert besitzt. Für $t$ gegen Null ist die $x$-Achse ($y=0$) eine waagrechte Asymptote der Funktion, für $t$ gegen $200$ besitzt $f_3$ auch eine waagrechte Asymptote bei ca. $y=1.000$.
$\blacktriangleright$  Eignung des Funktionstyps erläutern
Begründe nun anhand der typischen Eigenschaften einer gebrochenen Exponentialfunktion, warum dieser Funktionstyp hier angemessen ist. Beschreibe dazu, warum die Eigenschaften der Funktion sich zur Modellierung von Schulden eignen.
2.2 $\blacktriangleright$  Aufbau und Rechnung des Terms beschreiben
Beschreibe den Aufbau des angegebenen Terms und erläutere, was damit berechnet wird. Gehe dabei so vor, dass du die Rechenoperationen in der Reihenfolge ihrer Ausführung betrachtest und erläutere, was dabei geschieht.
Betrachte also zuerst die Funktionswerte an sich, dann die Subtraktion, danach ihr Quadrat und als Letztes die Summe.
3.
3.1 $\blacktriangleright$  Ableitung von $\boldsymbol{f_3}$ berechnen
Berechne hier die erste Ableitung von $f_3$ mit einer geeigneten Ableitungsregel. Bei der Funktion $f_3$ handelt es sich um eine gebrochene Funktion, dementsprechend ist die Quotientenregel eine geeignete Ableitungsregel. Leite also $f_3$ mit der Quotientenregel ab und beachte dabei auch die Kettenregel zu benutzen.
$\blacktriangleright$  Äquivalenz zeigen
Zeige nun, dass der obige Ausdruck äquivalent zu dem in der Aufgabenstellung gegebenen Ausdruck ist. Forme den obigen Ausdruck also in den gewünschten Ausdruck um. Erweitere dazu den Bruch mit $\left(\mathrm e^{0,094 \cdot t}\right)^2$.
3.2 $\blacktriangleright$  Obere Grenze $\boldsymbol{G}$ bestimmen
Bestimme hier die obere Grenze $G$ der Funktion $f_3$. Die Funktion $f_3$ ist monoton wachsend, somit ist der Grenzwert der Funktion $f_3$ die gesuchte obere Grenze $G$. Berechne also den Grenzwert von $f_3$:
$\begin{array}[t]{rll} G&=&\lim\limits_{t\to\infty}\, f_3(t) \\[5pt] \end{array}$
$\blacktriangleright$  Bedeutung von $\boldsymbol{f_3'}$ erläutern
Nun sollst du die Bedeutung von $f_3'(t)$ im Sachzusammenhang erläutern. Die Ableitung $f_3'$ gibt die Änderungsrate der Funktion $f_3$ an. Der Funktionswert $f_3(t)$ beschreibt im Sachzusammenhang den Schuldenstand in Mio. € im Jahr $1900 + t$.
$\blacktriangleright$  Bedeutung der Faktoren der Gleichung erläutern
Erläutere hier die Bedeutung der einzelnen Faktoren auf der rechten Seite der folgenden Gleichungen im Sachzusammenhang:
$f_3'(t)= c \cdot f_3(t) \cdot \left(G - f_3(t)\right)$
Hierzu benötigst du die Grenzwerte der Funktion $f_3(t)$:
$\lim\limits_{t\to\infty}\, f_3(t)=G$  und  $\lim\limits_{t\to -\infty}\, f_3(t)=0$.
Für den Faktor $G-f_3(t)$ gilt dementsprechend:
$\lim\limits_{t\to\infty}\, G- f_3(t)=G- G=0$  und  $\lim\limits_{t\to -\infty}\, G-f_3(t)=G- 0=G$.
Du erkennst, dass die Grenzwerte der Faktoren $f_3(t)$ und $G-f_3(t)$ gerade entgegensetzt sind. Betrachte nun jeweils die einzelnen Faktoren und erläutere ihre Bedeutung im Sachzusammenhang.
4. $\blacktriangleright$  Geeignete Näherung für den gesuchten Wert bestimmen
Hier ist deine Aufgabe, eine geeignete Näherung für die angefallen Schulden im Zeitraum vom Beginn des Jahres $1990$ bis zum Ende des Jahres $2010$ zu berechnen. Dabei geht man vereinfachend davon aus, dass sich der Schuldenstand innerhalb eines Jahres nicht ändert und die Zinsen von $2\,\%$ jeweils am Jahresende anfallen.
Die im Jahr $1900 + t$ anfallenden Zinsen kannst du mit dem durchschnittlichen Schuldenstand $d_t$ des Jahres $t$ und dem Zinssatz von $2\,\%$ bestimmen. Die Summe der Zinsen aller Jahre von $1990$ bis $2010$ ergeben dann die gesuchte Näherung.
Den durchschnittlichen Funktionswert $d$ einer Funktion $f$ im Intervall $\left[a;b\right]$ berechnest du folgendermaßen:
$d=\dfrac{1}{b-a} \displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\;\mathrm dx$
Hier sind wir am durchschnittlichen Schuldenstand im Jahr $1900 + t$ interessiert, also im Intervall $\left[t;t+1\right]$:
$\begin{array}[t]{rll} d_t&=&\dfrac{1}{\left(t+1\right)-\left(t\right)} \displaystyle\int_{t}^{t+1} f_3(x)\;\mathrm dx\\[5pt] &=&\dfrac{1}{1} \displaystyle\int_{t}^{t+1} f_3(x)\;\mathrm dx\\[5pt] &=& \displaystyle\int_{t}^{t+1} f_3(x)\;\mathrm dx \end{array}$
Die Zinsen $z_t$ im Jahr $1900 + t$ berechnest du dann folgendermaßen:
$z_t=0,02 \cdot d_t$
Damit kannst du die Summe aller Zinsen von Beginn des Jahres $1990$ bis zum Ende des Jahres $2010$ annähern. Summiere dazu über alle Schulden von $t=90$ bis $t=110$ auf:
$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\sum\limits_{t=90}^{110} z_t &=& \displaystyle\sum\limits_{t=90}^{110} 0,02 \cdot d_t \\[5pt] \end{array}$
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1.
1.1 $\blacktriangleright$  Werte in das Koordinatensystem einzeichnen
Trage die in der Wertetabelle gegebenen Werte in das Koordinatensystem ein. Beachte hierbei, dass auf der $y$-Achse des Koordinatensystems die Schulden in $1.000$ Mio € aufgetragen sind und in der Wertetabelle nur in Mio €. Teile also die Schulden durch $1.000$, um den passenden Wert auf der $y$-Achse zu finden:
A2 - Analysis
A2 - Analysis
1.2 $\blacktriangleright$  Funktionen zu den Wertepaaren bestimmen
Bestimme hier eine quadratische Funktion und eine Exponentialfunktion, die zu den Wertepaaren möglichst gut passt. Diese kannst du mit deinem CAS bestimmen.
Speichere dazu die Wertetabelle im Lists \& Spreadsheets-Modus:
A2 - Analysis
A2 - Analysis
Bestimme nun jeweils die quadratische Funktion und die Exponentialfunktion mit den dazugehörigen Befehlen.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright}$  Quadratische Funktion
Die quadratische Funktion $f_1$ hat die Form
$f_1(x)=a_q\cdot x^2 + b_q \cdot x +c_q$
Die Koeffizienten $a_q$, $b_q$ und $c_q$ kannst du mit deinem CAS bestimmen. Wähle dazu den Befehl
4: Statistik $\to$ 1: $\to$ 6: Quadratische Regression
und gib für die $x$- und $y$-Werte jeweils die entsprechende Spalte in der Wertetabelle an.
A2 - Analysis
A2 - Analysis
Du erhältst als Koeffizienten $a_q\approx 278,6736$, $b_q\approx -34.028,37061$ und $c_q=1.053.883,4$. Damit lautet der Funktionsterm von $f_1$:
$f_1(x)=278,6736 \cdot x^2 -34.028,37061 \cdot x + 1.053.883,4$
$\color{#87c800}{\blacktriangleright}$  Exponentialfunktion
Die Exponentialfunktion $f_2$ hat die Form
$f_2(x)=a_e\cdot b_e^x $
Die Koeffizienten $a_e$ und $b_e$ kannst du mit deinem CAS bestimmen. Wähle dazu den Befehl
4: Statistik $\to$ 1: $\to$ A: Exponentielle Regression
und gib für die $x$- und $y$-Werte jeweils die entsprechende Spalte in der Wertetabelle an.
A2 - Analysis
A2 - Analysis
Du erhältst als Koeffizienten $a_e\approx 104,0569$ und $b_e\approx 1,0883$. Damit lautet der Funktionsterm von $f_2$:
$f_2(x)= 104,0569 \cdot 1,0883^x$
$\blacktriangleright$  Eignung zur Modellierung beurteilen
Hier sollst du die Eignung der beiden Funktionen in Bezug auf die Modellierung der Entwicklung der Schulden beurteilen. Betrachte dazu zuerst die Graphen der beiden Funktionen mit deinem CAS. Vergleiche zuerst die Graphen der Funktionen mit den eingezeichneten Werten im Material, anschließend kannst du die Funktionswerte der beiden Funktionen mit der Wertetabelle abgleichen und so die Eignung der beiden Funktionen beurteilen.
Wechsle zuerst in das Graph-Menü und speichere dort die beiden Funktionsterme von $f_1$ und $f_2$.
A2 - Analysis
A2 - Analysis
Vergleichst du nun die beiden Graphen mit den in das Material eingezeichneten Werten, so erkennst, dass die Graphen der Funktionen im angegebenen Zeitraum eine ähnliche Form haben. Somit sind beide Funktionen geeignet die Schulden näherungsweise zu modellieren.
Lass dir nun von deinem CAS eine Wertetabelle der Funktionswerte im angegebenen Zeitraum anzeigen und vergleiche diese mit den tatsächlichen Werten. Passe dazu unter
7: Tabelle $\to$ 1:
die Tabellenwerte an und lass dir die zugehörigen Tabelle anzeigen.
A2 - Analysis
A2 - Analysis
Vergleichst du nun die Werte der beiden Funktionen mit der Wertetabelle, so erkennst du, dass die quadratischen Funktion (hier blau) in fast jedem angegeben Jahr (außer im Jahr $1990$) sich offensichtlich besser anpasst als die Exponentialfunktion. Für das letzte Jahr $2005$ ist der Unterschied besonders extrem:
$\begin{array}[t]{rll} \left|S(105)-f_1(105)\right|&=&\left|559.485-553.281\right|&=&6.204\\[5pt] \left|S(105)-f_2(105)\right|&=&\left|559.485-751.410\right|&=&191.925 \end{array}$
Hier weicht die Exponentialfunktion sehr deutlich von den tatsächlichen Schulden ab.
Die quadratische Funktion eignet sich somit sehr gut zur Modellierung im geeigneten Zeitraum, die Exponentialfunktion hingegen nicht ganz so gut.
2.
2.1 $\blacktriangleright$  Graphen skizzieren
Hier hast du nun die Funktion $f_3$ gegeben und sollst den Graphen der Funktion in das Material skizzieren. Lasse dir dazu den Graphen mit deinem CAS anzeigen und übertrage die Form auf das Material.
Die Funktion kannst du dir wie oben beschrieben anzeigen lassen. Achte darauf, dass Koordinatensystem des CAS dem Material anzupassen. Dieses kannst du im WINDOW-Menü bearbeiten.
A2 - Analysis
A2 - Analysis
Du erkennst hier die Form des Graphen. Übertrage diese nun in das Material:
A2 - Analysis
A2 - Analysis
$\blacktriangleright$  Funktionstyp bestimmen
Erläutere anhand des Graphen, um welchen Funktionstyp es sich hier handeln könnte. Versuche dazu am Graphen der Funktion bestimmte Besonderheiten der Funktion zu erkennen, um daran den Funktionstyp festzustellen.
Du erkennst, dass die Funktion sowohl für $t \to 0$ als auch für $t \to \infty$ einen Grenzwert besitzt. Für $t$ gegen Null ist die $x$-Achse ($y=0$) eine waagrechte Asymptote der Funktion, für $t$ gegen $200$ besitzt $f_3$ auch eine waagrechte Asymptote bei ca. $y=1.000$.
Hierbei handelt es sich nun um eine gebrochene Exponentialfunkton. Die $\mathrm e$-Funktion besitzt die Grenzwerte $0$ und $\infty$, die je nach Vorzeichen des Exponenten angepasst werden können. Durch weitere Parameter kann die Funktion auf die hier zu sehende Form gebracht werden.
$\blacktriangleright$  Eignung des Funktionstyps erläutern
Begründe nun anhand der typischen Eigenschaften einer gebrochenen Exponentialfunktion, warum dieser Funktionstyp hier angemessen ist. Beschreibe dazu, warum die Eigenschaften der Funktion sich zur Modellierung von Schulden eignen.
Gebrochene Exponentialfunktionen weisen jeweils einen Grenzwert für kleine und große $t$ auf. Dies eignet sich zur Modellierung der Schulden eines Staates, da die Schulden zuerst immer weiter steigen, danach jedoch gegen einen bestimmten Maximalwert laufen und diesen nicht weiter überschreiten.
2.2 $\blacktriangleright$  Aufbau und Rechnung des Terms beschreiben
Beschreibe den Aufbau des angegebenen Terms und erläutere, was damit berechnet wird. Gehe dabei so vor, dass du die Rechenoperationen in der Reihenfolge ihrer Ausführung betrachtest und erläutere, was dabei geschieht.
Betrachte also zuerst die Funktionswerte an sich, dann die Subtraktion, danach ihr Quadrat und als Letztes die Summe.
1. Schritt: Funktionswerte
Beschreibe die Funktionswerte:
  • $f_3(5\cdot i)$: Die durch die Funktion $f_3$ angenäherten Schulden zum Zeitpunkt $5\cdot i$.
  • $S(5\cdot i)$: Die tatsächlichen Schulden zum Zeitpunkt $5\cdot i$.
2. Schritt: Subtraktion
Hierbei wird die Differenz zwischen den Funktionswerten $f(5\cdot i)$ und $S(5\cdot i)$ berechnet. Dies ist gerade die Differenz zwischen den tatsächlichen und geschätzten Schulden im Jahr $1900 + (5\cdot i)$. Dieser Wert ist somit die Abweichung der Funktion $f_3$ von den tatsächlichen Schulden im Jahr $1900 + (5\cdot i)$.
3. Schritt: Quadrat
Hier wird das Quadrat der obigen Differenz berechnet. Dies hat zur Folge, dass alle Werte nun positiv sind. Dieser Wert ist somit die quadratische Abweichung der Funktion $f_3$ von den tatsächlichen Schulden im Jahr $1900 + 5\cdot i$.
4. Schritt: Summe
Nun wird eine Summe über die Quadrate gebildet. Die Summe läuft von $i=12$ bis $i=21$. Somit werden die Differenzen über alle Jahre von $5 \cdot 12 $ bis $5 \cdot 21$ in $5$-er Schritten berechnet. Dies sind gerade alle in der Wertetabelle angegeben Werte. Die Summe beschreibt also die quadratische Abweichung der Funktion $f_3$ von allen in der Wertetabelle angegebenen Werten.
3.
3.1 $\blacktriangleright$  Ableitung von $\boldsymbol{f_3}$ berechnen
Berechne hier die erste Ableitung von $f_3$ mit einer geeigneten Ableitungsregel. Bei der Funktion $f_3$ handelt es sich um eine gebrochene Funktion, dementsprechend ist die Quotientenregel eine geeignete Ableitungsregel. Leite also $f_3$ mit der Quotientenregel ab und beachte dabei auch die Kettenregel zu benutzen.
$\begin{array}[t]{rll} f_3(t)&=&\dfrac{1.000.000}{1 + 15.000 \cdot \mathrm e^{-0,094 \cdot t}} \\[5pt] f_3'(t)&=&\dfrac{0-1.000.000 \cdot \left(\left(-0,094\right)\cdot 15.000 \cdot \mathrm e^{-0,094 \cdot t}\right)}{\left(1 + 15.000 \cdot \mathrm e^{-0,094 \cdot t}\right)^2} \\[5pt] &=&\dfrac{1.000.000 \cdot 1.410 \cdot \mathrm e^{-0,094 \cdot t}}{\left(1+15.000 \cdot \mathrm e^{-0,094 \cdot t}\right)^2}\\[5pt] &=&\dfrac{1,410 \cdot 10^9 \cdot \mathrm e^{-0,094 \cdot t}}{\left(1+15.000 \cdot \mathrm e^{-0,094 \cdot t}\right)^2} \end{array}$
$\blacktriangleright$  Äquivalenz zeigen
Zeige nun, dass der obige Ausdruck äquivalent zu dem in der Aufgabenstellung gegebenen Ausdruck ist. Forme den obigen Ausdruck also in den gewünschten Ausdruck um. Erweitere dazu den Bruch mit $\left(\mathrm e^{0,094 \cdot t}\right)^2$:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{1,410 \cdot 10^9 \cdot \mathrm e^{-0,094 \cdot t}}{\left(1+15.000 \cdot \mathrm e^{-0,094 \cdot t}\right)^2}&=& \dfrac{\left(\mathrm e^{0,094 \cdot t}\right)^2 \cdot \left(1,410 \cdot 10^9 \cdot \mathrm e^{-0,094 \cdot t}\right)}{\left(\mathrm e^{0,094 \cdot t}\right)^2 \cdot \left(1+15.000 \cdot \mathrm e^{-0,094 \cdot t}\right)^2} & \quad \scriptsize \; \text{Potenzgesetze} \\[5pt] &=& \dfrac{\mathrm e^{2 \cdot 0,094 \cdot t} \cdot 1,410 \cdot 10^9 \cdot \mathrm e^{-0,094 \cdot t}}{\left(\mathrm e^{0,094 \cdot t} \cdot \left(1+15.000 \cdot \mathrm e^{-0,094 \cdot t}\right)\right)^2}& \quad \scriptsize \; \text{Potenzgesetze} \\[5pt] &=& \dfrac{\mathrm e^{2 \cdot 0,094 \cdot t -0,094 \cdot t} \cdot 1,410 \cdot 10^9}{\left(\mathrm e^{0,094 \cdot t}+15.000 \cdot \mathrm e^{0,094 \cdot t} \cdot \mathrm e^{-0,094 \cdot t}\right)^2}\\[5pt] &=& \dfrac{\mathrm e^{0,094 \cdot t } \cdot 1,410 \cdot 10^9}{\left(\mathrm e^{0,094 \cdot t}+15.000 \cdot \mathrm e^{0,094 \cdot t-0,094 \cdot t}\right)^2}\\[5pt] &=& \dfrac{1,410 \cdot 10^9 \cdot \mathrm e^{0,094 \cdot t }}{\left(\mathrm e^{0,094 \cdot t}+15.000 \cdot \mathrm e^{0}\right)^2}& \quad \scriptsize \mid\; \mathrm e^{0}=1 \\[5pt] &=& \dfrac{1,410 \cdot 10^9 \cdot \mathrm e^{0,094 \cdot t }}{\left(\mathrm e^{0,094 \cdot t}+15.000\right)^2} \end{array}$
Damit hast du die Äquivalenz der beiden Ausdrücke gezeigt.
3.2 $\blacktriangleright$  Obere Grenze $\boldsymbol{G}$ bestimmen
Bestimme hier die obere Grenze $G$ der Funktion $f_3$. Die Funktion $f_3$ ist monoton wachsend, somit ist der Grenzwert der Funktion $f_3$ die gesuchte obere Grenze $G$. Berechne also den Grenzwert von $f_3$:
$\begin{array}[t]{rll} G&=&\lim\limits_{t\to\infty}\, f_3(t) \\[5pt] &=& \lim\limits_{t\to\infty}\, \dfrac{1.000.000}{1+15.000 \cdot\mathrm e^{-0,094 \cdot t}} &\quad\scriptsize \mid\; \lim\limits_{t\to\infty}\, \mathrm e^{-0,094 \cdot t}=0 \\[5pt] &=& \dfrac{1.000.000}{1+15.000 \cdot 0} \\[5pt] &=& \dfrac{1.000.000}{1} \\[5pt] &=& 1.000.000 \\[5pt] \end{array}$
Die obere Grenze $G$ der Funktion $f_3$ ist $1.000.000$.
$\blacktriangleright$  Bedeutung von $\boldsymbol{f_3'}$ erläutern
Nun sollst du die Bedeutung von $f_3'(t)$ im Sachzusammenhang erläutern. Die Ableitung $f_3'$ gibt die Änderungsrate der Funktion $f_3$ an. Der Funktionswert $f_3(t)$ beschreibt im Sachzusammenhang den Schuldenstand in Mio. € im Jahr $1900 + t$.
Die Ableitung $f_3'$ beschreibt somit die Änderungsrate der Schulden bzw. den Zuwachs an Schulden in Mio. € im Jahr $1900 + t$.
$\blacktriangleright$  Bedeutung der Faktoren der Gleichung erläutern
Erläutere hier die Bedeutung der einzelnen Faktoren auf der rechten Seite der folgenden Gleichungen im Sachzusammenhang:
$f_3'(t)= c \cdot f_3(t) \cdot \left(G - f_3(t)\right)$
Hierzu benötigst du die Grenzwerte der Funktion $f_3(t)$:
$\lim\limits_{t\to\infty}\, f_3(t)=G$  und  $\lim\limits_{t\to -\infty}\, f_3(t)=0$.
Für den Faktor $G-f_3(t)$ gilt dementsprechend:
$\lim\limits_{t\to\infty}\, G- f_3(t)=G- G=0$  und  $\lim\limits_{t\to -\infty}\, G-f_3(t)=G- 0=G$.
Du erkennst, dass die Grenzwerte der Faktoren $f_3(t)$ und $G-f_3(t)$ gerade entgegensetzt sind. Betrachte nun jeweils die einzelnen Faktoren und erläutere ihre Bedeutung im Sachzusammenhang.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright}$  Faktor $\boldsymbol{c}$
Der Faktor $c$ beschreibt eine Konstante, welche nicht von $t$ abhängig ist und dafür sorgt, dass die Gleichheit erfüllt ist.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright}$  Faktor $\boldsymbol{f_3(t)}$
Der Faktor $f_3(t)$ beschreibt den Schuldenstand zum Zeitpunkt $t$. Ist der Schuldenstand $f_3(t)$ sehr niedrig, also $f_3(t) \approx 0$, so gilt für den Faktor $G-f_3(t) \approx G$ (siehe Grenzwertbetrachtung). Für das Produkt der Faktoren gilt somit:
$f_3'(t)=c \cdot f_3(t) \cdot \left(G - f_3(t)\right) \approx c \cdot 0 \cdot G =0$
Somit gilt $f_3'(t)\approx 0$ für kleine $t$. Der Zuwachs der Schulden zum Zeitpunkt $t$ ist somit sehr niedrig, falls die Schulden zum Zeitpunkt $t$ sehr niedrig sind.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright}$  Faktor $\boldsymbol{G-f_3(t)}$
Der Faktor $G-f_3(t)$ beschreibt die Differenz zwischen dem Schuldenstand zum Zeitpunkt $t$ und der oberen Grenze $G$. Ist der Schuldenstand $f_3(t)$ sehr hoch, also $f_3(t) \approx G$, so gilt für den Faktor $G-f_3(t) \approx 0$ (siehe Grenzwertbetrachtung). Für das Produkt der Faktoren gilt somit:
$f_3'(t)=c \cdot f_3(t) \cdot \left(G - f_3(t)\right) \approx c \cdot G \cdot 0 =0$
Somit gilt $f_3'(t)\approx 0$ für große $t$. Der Zuwachs der Schulden zum Zeitpunkt $t$ ist somit sehr niedrig, falls die Schulden zum Zeitpunkt $t$ sehr hoch sind.
4. $\blacktriangleright$  Geeignete Näherung für den gesuchten Wert bestimmen
Hier ist deine Aufgabe, eine geeignete Näherung für die angefallen Schulden im Zeitraum vom Beginn des Jahres $1990$ bis zum Ende des Jahres $2010$ zu berechnen. Dabei geht man vereinfachend davon aus, dass sich der Schuldenstand innerhalb eines Jahres nicht ändert und die Zinsen von $2\,\%$ jeweils am Jahresende anfallen.
Die im Jahr $1900 + t$ anfallenden Zinsen kannst du mit dem durchschnittlichen Schuldenstand $d_t$ des Jahres $t$ und dem Zinssatz von $2\,\%$ bestimmen. Die Summe der Zinsen aller Jahre von $1990$ bis $2010$ ergeben dann die gesuchte Näherung.
Den durchschnittlichen Funktionswert $d$ einer Funktion $f$ im Intervall $\left[a;b\right]$ berechnest du folgendermaßen:
$d=\dfrac{1}{b-a} \displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\;\mathrm dx$
Hier sind wir am durchschnittlichen Schuldenstand im Jahr $1900 + t$ interessiert, also im Intervall $\left[t;t+1\right]$:
$\begin{array}[t]{rll} d_t&=&\dfrac{1}{\left(t+1\right)-\left(t\right)} \displaystyle\int_{t}^{t+1} f_3(x)\;\mathrm dx\\[5pt] &=&\dfrac{1}{1} \displaystyle\int_{t}^{t+1} f_3(x)\;\mathrm dx\\[5pt] &=& \displaystyle\int_{t}^{t+1} f_3(x)\;\mathrm dx \end{array}$
Die Zinsen $z_t$ im Jahr $1900 + t$ berechnest du dann folgendermaßen:
$z_t=0,02 \cdot d_t$
Damit kannst du die Summe aller Zinsen von Beginn des Jahres $1990$ bis zum Ende des Jahres $2010$ annähern. Summiere dazu über alle Schulden von $t=90$ bis $t=110$ auf:
$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\sum\limits_{t=90}^{110} z_t &=& \displaystyle\sum\limits_{t=90}^{110} 0,02 \cdot d_t \\[5pt] &=& \displaystyle\sum\limits_{t=90}^{110} 0,02 \cdot \displaystyle\int_{t}^{t+1} f_3(x)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& 0,02 \cdot \displaystyle\sum\limits_{t=90}^{110} \displaystyle\int_{t}^{t+1} f_3(x)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& 0,02 \cdot \left( \displaystyle\int_{90}^{91} f_3(x)\;\mathrm dx\, +\, …\, + \displaystyle\int_{110}^{111} f_3(x)\;\mathrm dx \right) &\quad \scriptsize \; \text{Additivität des Integrals} \\[5pt] &=& 0,02 \cdot \displaystyle\int_{90}^{111} f_3(x)\;\mathrm dx \\[5pt] \end{array}$
Das Integral kannst du mit deinem CAS berechnen. Wechsle dazu mit deinem CAS in das Calculator-Menü und speichere dort den Funktionsterm von $f_3$. Hast du diesen dort gespeichert, kannst du dir mit Hilfe des folgenden Befehls das Integral berechnen lassen:
4: Analysis $\to$ 3: Integral
Gib anschließend die untere Grenze $x=90$ und die obere Grenze $x=111$ ein.
A2 - Analysis
A2 - Analysis
Du erhältst somit:
$0,02 \cdot \displaystyle\int_{90}^{111} f(x) \mathrm dx \approx 193.617 $
Die Zinsen der Schulden betragen somit näherungsweise $193.617$ Mio. €.
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1.
1.1 $\blacktriangleright$  Werte in das Koordinatensystem einzeichnen
Trage die in der Wertetabelle gegebenen Werte in das Koordinatensystem ein. Beachte hierbei, dass auf der $y$-Achse des Koordinatensystems die Schulden in $1.000$ Mio € aufgetragen sind und in der Wertetabelle nur in Mio €. Teile also die Schulden durch $1.000$, um den passenden Wert auf der $y$-Achse zu finden:
A2 - Analysis
A2 - Analysis
1.2 $\blacktriangleright$  Funktionen zu den Wertepaaren bestimmen
Bestimme hier eine quadratische Funktion und eine Exponentialfunktion, die zu den Wertepaaren möglichst gut passt. Diese kannst du mit deinem CAS bestimmen.
Speichere dazu die Wertetabelle im Tabellenkalkulat.-Modus:
A2 - Analysis
A2 - Analysis
Bestimme nun jeweils die quadratische Funktion und die Exponentialfunktion mit den dazugehörigen Befehlen.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright}$  Quadratische Funktion
Die quadratische Funktion $f_1$ hat die Form
$f_1(x)=a_q\cdot x^2 + b_q \cdot x +c_q$
Die Koeffizienten $a_q$, $b_q$ und $c_q$ kannst du mit deinem CAS bestimmen. Wähle dazu den Befehl
Calc $\to$ Regressionen $\to$ Quadratische Regression
und gib für die $x$- und $y$-Werte jeweils die entsprechende Spalte in der Wertetabelle an.
A2 - Analysis
A2 - Analysis
Du erhältst als Koeffizienten $a_q\approx 278,6736$, $b_q\approx -34.028,37061$ und $c_q=1.053.883,4$. Damit lautet der Funktionsterm von $f_1$:
$f_1(x)=278,6736 \cdot x^2 -34.028,37061 \cdot x + 1.053.883,4$
$\color{#87c800}{\blacktriangleright}$  Exponentialfunktion
Die Exponentialfunktion $f_2$ hat die Form
$f_2(x)=a_e\cdot b_e^x $
Die Koeffizienten $a_e$ und $b_e$ kannst du mit deinem CAS bestimmen. Wähle dazu den Befehl
Calc $\to$ Regressionen $\to$ Exp. Regression
und gib für die $x$- und $y$-Werte jeweils die entsprechende Spalte in der Wertetabelle an.
A2 - Analysis
A2 - Analysis
Du erhältst als Koeffizienten $a_e\approx 104,0569$ und $b_e\approx 1,0883$. Damit lautet der Funktionsterm von $f_2$:
$f_2(x)= 104,0569 \cdot 1,0883^x$
$\blacktriangleright$  Eignung zur Modellierung beurteilen
Hier sollst du die Eignung der beiden Funktionen in Bezug auf die Modellierung der Entwicklung der Schulden beurteilen. Betrachte dazu zuerst die Graphen der beiden Funktionen mit deinem CAS. Vergleiche zuerst die Graphen der Funktionen mit den eingezeichneten Werten im Material, anschließend kannst du die Funktionswerte der beiden Funktionen mit der Wertetabelle abgleichen und so die Eignung der beiden Funktionen beurteilen.
Wechsle zuerst in das Grafik-Menü und speichere dort die beiden Funktionsterme von $f_1$ und $f_2$.
A2 - Analysis
A2 - Analysis
Vergleichst du nun die beiden Graphen mit den in das Material eingezeichneten Werten, so erkennst, dass die Graphen der Funktionen im angegebenen Zeitraum eine ähnliche Form haben. Somit sind beide Funktionen geeignet die Schulden näherungsweise zu modellieren.
Lass dir nun von deinem CAS eine Wertetabelle der Funktionswerte im angegebenen Zeitraum anzeigen und vergleiche diese mit den tatsächlichen Werten.
A2 - Analysis
A2 - Analysis
Vergleichst du nun die Werte der beiden Funktionen mit der Wertetabelle, so erkennst du, dass die quadratischen Funktion (hier blau) in fast jedem angegeben Jahr (außer im Jahr $1990$) sich offensichtlich besser anpasst als die Exponentialfunktion. Für das letzte Jahr $2005$ ist der Unterschied besonders extrem:
$\begin{array}[t]{rll} \left|S(105)-f_1(105)\right|&=&\left|559.485-553.281\right|&=&6.204\\[5pt] \left|S(105)-f_2(105)\right|&=&\left|559.485-751.410\right|&=&191.925 \end{array}$
Hier weicht die Exponentialfunktion sehr deutlich von den tatsächlichen Schulden ab.
Die quadratische Funktion eignet sich somit sehr gut zur Modellierung im geeigneten Zeitraum, die Exponentialfunktion hingegen nicht ganz so gut.
2.
2.1 $\blacktriangleright$  Graphen skizzieren
Hier hast du nun die Funktion $f_3$ gegeben und sollst den Graphen der Funktion in das Material skizzieren. Lasse dir dazu den Graphen mit deinem CAS anzeigen und übertrage die Form auf das Material.
Die Funktion kannst du dir wie oben beschrieben anzeigen lassen. Achte darauf, dass Koordinatensystem des CAS dem Material anzupassen.
A2 - Analysis
A2 - Analysis
Du erkennst hier die Form des Graphen. Übertrage diese nun in das Material:
A2 - Analysis
A2 - Analysis
$\blacktriangleright$  Funktionstyp bestimmen
Erläutere anhand des Graphen, um welchen Funktionstyp es sich hier handeln könnte. Versuche dazu am Graphen der Funktion bestimmte Besonderheiten der Funktion zu erkennen, um daran den Funktionstyp festzustellen.
Du erkennst, dass die Funktion sowohl für $t \to 0$ als auch für $t \to \infty$ einen Grenzwert besitzt. Für $t$ gegen Null ist die $x$-Achse ($y=0$) eine waagrechte Asymptote der Funktion, für $t$ gegen $200$ besitzt $f_3$ auch eine waagrechte Asymptote bei ca. $y=1.000$.
Hierbei handelt es sich nun um eine gebrochene Exponentialfunkton. Die $\mathrm e$-Funktion besitzt die Grenzwerte $0$ und $\infty$, die je nach Vorzeichen des Exponenten angepasst werden können. Durch weitere Parameter kann die Funktion auf die hier zu sehende Form gebracht werden.
$\blacktriangleright$  Eignung des Funktionstyps erläutern
Begründe nun anhand der typischen Eigenschaften einer gebrochenen Exponentialfunktion, warum dieser Funktionstyp hier angemessen ist. Beschreibe dazu, warum die Eigenschaften der Funktion sich zur Modellierung von Schulden eignen.
Gebrochene Exponentialfunktionen weisen jeweils einen Grenzwert für kleine und große $t$ auf. Dies eignet sich zur Modellierung der Schulden eines Staates, da die Schulden zuerst immer weiter steigen, danach jedoch gegen einen bestimmten Maximalwert laufen und diesen nicht weiter überschreiten.
2.2 $\blacktriangleright$  Aufbau und Rechnung des Terms beschreiben
Beschreibe den Aufbau des angegebenen Terms und erläutere, was damit berechnet wird. Gehe dabei so vor, dass du die Rechenoperationen in der Reihenfolge ihrer Ausführung betrachtest und erläutere, was dabei geschieht.
Betrachte also zuerst die Funktionswerte an sich, dann die Subtraktion, danach ihr Quadrat und als Letztes die Summe.
1. Schritt: Funktionswerte
Beschreibe die Funktionswerte:
  • $f_3(5\cdot i)$: Die durch die Funktion $f_3$ angenäherten Schulden zum Zeitpunkt $5\cdot i$.
  • $S(5\cdot i)$: Die tatsächlichen Schulden zum Zeitpunkt $5\cdot i$.
2. Schritt: Subtraktion
Hierbei wird die Differenz zwischen den Funktionswerten $f(5\cdot i)$ und $S(5\cdot i)$ berechnet. Dies ist gerade die Differenz zwischen den tatsächlichen und geschätzten Schulden im Jahr $1900 + (5\cdot i)$. Dieser Wert ist somit die Abweichung der Funktion $f_3$ von den tatsächlichen Schulden im Jahr $1900 + (5\cdot i)$.
3. Schritt: Quadrat
Hier wird das Quadrat der obigen Differenz berechnet. Dies hat zur Folge, dass alle Werte nun positiv sind. Dieser Wert ist somit die quadratische Abweichung der Funktion $f_3$ von den tatsächlichen Schulden im Jahr $1900 + 5\cdot i$.
4. Schritt: Summe
Nun wird eine Summe über die Quadrate gebildet. Die Summe läuft von $i=12$ bis $i=21$. Somit werden die Differenzen über alle Jahre von $5 \cdot 12 $ bis $5 \cdot 21$ in $5$-er Schritten berechnet. Dies sind gerade alle in der Wertetabelle angegeben Werte. Die Summe beschreibt also die quadratische Abweichung der Funktion $f_3$ von allen in der Wertetabelle angegebenen Werten.
3.
3.1 $\blacktriangleright$  Ableitung von $\boldsymbol{f_3}$ berechnen
Berechne hier die erste Ableitung von $f_3$ mit einer geeigneten Ableitungsregel. Bei der Funktion $f_3$ handelt es sich um eine gebrochene Funktion, dementsprechend ist die Quotientenregel eine geeignete Ableitungsregel. Leite also $f_3$ mit der Quotientenregel ab und beachte dabei auch die Kettenregel zu benutzen.
$\begin{array}[t]{rll} f_3(t)&=&\dfrac{1.000.000}{1 + 15.000 \cdot \mathrm e^{-0,094 \cdot t}} \\[5pt] f_3'(t)&=&\dfrac{0-1.000.000 \cdot \left(\left(-0,094\right)\cdot 15.000 \cdot \mathrm e^{-0,094 \cdot t}\right)}{\left(1 + 15.000 \cdot \mathrm e^{-0,094 \cdot t}\right)^2} \\[5pt] &=&\dfrac{1.000.000 \cdot 1.410 \cdot \mathrm e^{-0,094 \cdot t}}{\left(1+15.000 \cdot \mathrm e^{-0,094 \cdot t}\right)^2}\\[5pt] &=&\dfrac{1,410 \cdot 10^9 \cdot \mathrm e^{-0,094 \cdot t}}{\left(1+15.000 \cdot \mathrm e^{-0,094 \cdot t}\right)^2} \end{array}$
$\blacktriangleright$  Äquivalenz zeigen
Zeige nun, dass der obige Ausdruck äquivalent zu dem in der Aufgabenstellung gegebenen Ausdruck ist. Forme den obigen Ausdruck also in den gewünschten Ausdruck um. Erweitere dazu den Bruch mit $\left(\mathrm e^{0,094 \cdot t}\right)^2$:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{1,410 \cdot 10^9 \cdot \mathrm e^{-0,094 \cdot t}}{\left(1+15.000 \cdot \mathrm e^{-0,094 \cdot t}\right)^2}&=& \dfrac{\left(\mathrm e^{0,094 \cdot t}\right)^2 \cdot \left(1,410 \cdot 10^9 \cdot \mathrm e^{-0,094 \cdot t}\right)}{\left(\mathrm e^{0,094 \cdot t}\right)^2 \cdot \left(1+15.000 \cdot \mathrm e^{-0,094 \cdot t}\right)^2} & \quad \scriptsize \; \text{Potenzgesetze} \\[5pt] &=& \dfrac{\mathrm e^{2 \cdot 0,094 \cdot t} \cdot 1,410 \cdot 10^9 \cdot \mathrm e^{-0,094 \cdot t}}{\left(\mathrm e^{0,094 \cdot t} \cdot \left(1+15.000 \cdot \mathrm e^{-0,094 \cdot t}\right)\right)^2}& \quad \scriptsize \; \text{Potenzgesetze} \\[5pt] &=& \dfrac{\mathrm e^{2 \cdot 0,094 \cdot t -0,094 \cdot t} \cdot 1,410 \cdot 10^9}{\left(\mathrm e^{0,094 \cdot t}+15.000 \cdot \mathrm e^{0,094 \cdot t} \cdot \mathrm e^{-0,094 \cdot t}\right)^2}\\[5pt] &=& \dfrac{\mathrm e^{0,094 \cdot t } \cdot 1,410 \cdot 10^9}{\left(\mathrm e^{0,094 \cdot t}+15.000 \cdot \mathrm e^{0,094 \cdot t-0,094 \cdot t}\right)^2}\\[5pt] &=& \dfrac{1,410 \cdot 10^9 \cdot \mathrm e^{0,094 \cdot t }}{\left(\mathrm e^{0,094 \cdot t}+15.000 \cdot \mathrm e^{0}\right)^2}& \quad \scriptsize \mid\; \mathrm e^{0}=1 \\[5pt] &=& \dfrac{1,410 \cdot 10^9 \cdot \mathrm e^{0,094 \cdot t }}{\left(\mathrm e^{0,094 \cdot t}+15.000\right)^2} \end{array}$
Damit hast du die Äquivalenz der beiden Ausdrücke gezeigt.
3.2 $\blacktriangleright$  Obere Grenze $\boldsymbol{G}$ bestimmen
Bestimme hier die obere Grenze $G$ der Funktion $f_3$. Die Funktion $f_3$ ist monoton wachsend, somit ist der Grenzwert der Funktion $f_3$ die gesuchte obere Grenze $G$. Berechne also den Grenzwert von $f_3$:
$\begin{array}[t]{rll} G&=&\lim\limits_{t\to\infty}\, f_3(t) \\[5pt] &=& \lim\limits_{t\to\infty}\, \dfrac{1.000.000}{1+15.000 \cdot\mathrm e^{-0,094 \cdot t}} &\quad\scriptsize \mid\; \lim\limits_{t\to\infty}\, \mathrm e^{-0,094 \cdot t}=0 \\[5pt] &=& \dfrac{1.000.000}{1+15.000 \cdot 0} \\[5pt] &=& \dfrac{1.000.000}{1} \\[5pt] &=& 1.000.000 \\[5pt] \end{array}$
Die obere Grenze $G$ der Funktion $f_3$ ist $1.000.000$.
$\blacktriangleright$  Bedeutung von $\boldsymbol{f_3'}$ erläutern
Nun sollst du die Bedeutung von $f_3'(t)$ im Sachzusammenhang erläutern. Die Ableitung $f_3'$ gibt die Änderungsrate der Funktion $f_3$ an. Der Funktionswert $f_3(t)$ beschreibt im Sachzusammenhang den Schuldenstand in Mio. € im Jahr $1900 + t$.
Die Ableitung $f_3'$ beschreibt somit die Änderungsrate der Schulden bzw. den Zuwachs an Schulden in Mio. € im Jahr $1900 + t$.
$\blacktriangleright$  Bedeutung der Faktoren der Gleichung erläutern
Erläutere hier die Bedeutung der einzelnen Faktoren auf der rechten Seite der folgenden Gleichungen im Sachzusammenhang:
$f_3'(t)= c \cdot f_3(t) \cdot \left(G - f_3(t)\right)$
Hierzu benötigst du die Grenzwerte der Funktion $f_3(t)$:
$\lim\limits_{t\to\infty}\, f_3(t)=G$  und  $\lim\limits_{t\to -\infty}\, f_3(t)=0$.
Für den Faktor $G-f_3(t)$ gilt dementsprechend:
$\lim\limits_{t\to\infty}\, G- f_3(t)=G- G=0$  und  $\lim\limits_{t\to -\infty}\, G-f_3(t)=G- 0=G$.
Du erkennst, dass die Grenzwerte der Faktoren $f_3(t)$ und $G-f_3(t)$ gerade entgegensetzt sind. Betrachte nun jeweils die einzelnen Faktoren und erläutere ihre Bedeutung im Sachzusammenhang.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright}$  Faktor $\boldsymbol{c}$
Der Faktor $c$ beschreibt eine Konstante, welche nicht von $t$ abhängig ist und dafür sorgt, dass die Gleichheit erfüllt ist.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright}$  Faktor $\boldsymbol{f_3(t)}$
Der Faktor $f_3(t)$ beschreibt den Schuldenstand zum Zeitpunkt $t$. Ist der Schuldenstand $f_3(t)$ sehr niedrig, also $f_3(t) \approx 0$, so gilt für den Faktor $G-f_3(t) \approx G$ (siehe Grenzwertbetrachtung). Für das Produkt der Faktoren gilt somit:
$f_3'(t)=c \cdot f_3(t) \cdot \left(G - f_3(t)\right) \approx c \cdot 0 \cdot G =0$
Somit gilt $f_3'(t)\approx 0$ für kleine $t$. Der Zuwachs der Schulden zum Zeitpunkt $t$ ist somit sehr niedrig, falls die Schulden zum Zeitpunkt $t$ sehr niedrig sind.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright}$  Faktor $\boldsymbol{G-f_3(t)}$
Der Faktor $G-f_3(t)$ beschreibt die Differenz zwischen dem Schuldenstand zum Zeitpunkt $t$ und der oberen Grenze $G$. Ist der Schuldenstand $f_3(t)$ sehr hoch, also $f_3(t) \approx G$, so gilt für den Faktor $G-f_3(t) \approx 0$ (siehe Grenzwertbetrachtung). Für das Produkt der Faktoren gilt somit:
$f_3'(t)=c \cdot f_3(t) \cdot \left(G - f_3(t)\right) \approx c \cdot G \cdot 0 =0$
Somit gilt $f_3'(t)\approx 0$ für große $t$. Der Zuwachs der Schulden zum Zeitpunkt $t$ ist somit sehr niedrig, falls die Schulden zum Zeitpunkt $t$ sehr hoch sind.
4. $\blacktriangleright$  Geeignete Näherung für den gesuchten Wert bestimmen
Hier ist deine Aufgabe, eine geeignete Näherung für die angefallen Schulden im Zeitraum vom Beginn des Jahres $1990$ bis zum Ende des Jahres $2010$ zu berechnen. Dabei geht man vereinfachend davon aus, dass sich der Schuldenstand innerhalb eines Jahres nicht ändert und die Zinsen von $2\,\%$ jeweils am Jahresende anfallen.
Die im Jahr $1900 + t$ anfallenden Zinsen kannst du mit dem durchschnittlichen Schuldenstand $d_t$ des Jahres $t$ und dem Zinssatz von $2\,\%$ bestimmen. Die Summe der Zinsen aller Jahre von $1990$ bis $2010$ ergeben dann die gesuchte Näherung.
Den durchschnittlichen Funktionswert $d$ einer Funktion $f$ im Intervall $\left[a;b\right]$ berechnest du folgendermaßen:
$d=\dfrac{1}{b-a} \displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\;\mathrm dx$
Hier sind wir am durchschnittlichen Schuldenstand im Jahr $1900 + t$ interessiert, also im Intervall $\left[t;t+1\right]$:
$\begin{array}[t]{rll} d_t&=&\dfrac{1}{\left(t+1\right)-\left(t\right)} \displaystyle\int_{t}^{t+1} f_3(x)\;\mathrm dx\\[5pt] &=&\dfrac{1}{1} \displaystyle\int_{t}^{t+1} f_3(x)\;\mathrm dx\\[5pt] &=& \displaystyle\int_{t}^{t+1} f_3(x)\;\mathrm dx \end{array}$
Die Zinsen $z_t$ im Jahr $1900 + t$ berechnest du dann folgendermaßen:
$z_t=0,02 \cdot d_t$
Damit kannst du die Summe aller Zinsen von Beginn des Jahres $1990$ bis zum Ende des Jahres $2010$ annähern. Summiere dazu über alle Schulden von $t=90$ bis $t=110$ auf:
$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\sum\limits_{t=90}^{110} z_t &=& \displaystyle\sum\limits_{t=90}^{110} 0,02 \cdot d_t \\[5pt] &=& \displaystyle\sum\limits_{t=90}^{110} 0,02 \cdot \displaystyle\int_{t}^{t+1} f_3(x)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& 0,02 \cdot \displaystyle\sum\limits_{t=90}^{110} \displaystyle\int_{t}^{t+1} f_3(x)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& 0,02 \cdot \left( \displaystyle\int_{90}^{91} f_3(x)\;\mathrm dx\, +\, …\, + \displaystyle\int_{110}^{111} f_3(x)\;\mathrm dx \right) &\quad \scriptsize \; \text{Additivität des Integrals} \\[5pt] &=& 0,02 \cdot \displaystyle\int_{90}^{111} f_3(x)\;\mathrm dx \\[5pt] \end{array}$
Das Integral kannst du mit deinem CAS berechnen. Wechsle dazu mit deinem CAS in das Haupt-Menü und speichere dort den Funktionsterm von $f_3$. Hast du diesen dort gespeichert, kannst du dir mit Hilfe des folgenden Befehls das Integral berechnen lassen:
Interaktiv $\to$ Berechnungen $\to$ $\int$
Gib anschließend die untere Grenze $x=90$ und die obere Grenze $x=111$ ein.
A2 - Analysis
A2 - Analysis
Du erhältst somit:
$0,02 \cdot \displaystyle\int_{90}^{111} f(x) \mathrm dx \approx 193.617,5 $
Die Zinsen der Schulden betragen somit näherungsweise $193.617,5$ Mio. €.
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