A2 - Analysis
Das Moses Mabhida Stadion in Durban, Südafrika (Abbildung 1) ist eines der Stadien, in denen die Fußballweltmeisterschaft 2010 ausgetragen wurde. Das charakteristische Element ist der Stahlbogen, der das Stadion überspannt. Die äußere Bogenspannweite am Boden beträgt 
und die Höhe im Scheitelpunkt 
Wähle für die folgenden Berechnungen das Koordinatensystem so, dass die Bodenlinie auf der 
-Achse und der höchste Punkt des Bogens auf der 
-Achse liegt.
und die Höhe im Scheitelpunkt
Wähle für die folgenden Berechnungen das Koordinatensystem so, dass die Bodenlinie auf der -Achse und der höchste Punkt des Bogens auf der -Achse liegt.
1
Der äußere Rand des Bogens soll zum einen durch die Polynomfunktion 
mit 
, zum anderen durch die Kosinusfunktion 
mit 
beschrieben werden.
Bestimme die Parameter 
und 
sowie 
und 
so, dass die Graphen der Funktionen jeweils die im Text genannten Eigenschaften haben.
mit , zum anderen durch die Kosinusfunktion mit beschrieben werden.
Bestimme die Parameter und sowie und so, dass die Graphen der Funktionen jeweils die im Text genannten Eigenschaften haben.
(1 BE)
2
Im Folgenden soll die Bogenform durch eine Funktion aus der Schar 
beschrieben werden.
beschrieben werden.
2.1
Untersuche die Bedeutung der Parameter 
und 
für die Graphen von 
und für die Graphen von
(6 BE)
2.2
Gib zwei Gleichungen an, um die Parameter 
und 
so zu bestimmen, dass die Informationen aus dem einleitenden Text eingehalten werden.
und so zu bestimmen, dass die Informationen aus dem einleitenden Text eingehalten werden.
(2 BE)
2.3
Es gelte 
und 
.
Bestimme nun, für welche Werte von sich die Funktionswerte von 
und bzw. diejenigen von und am stärksten unterscheiden, und gib die Unterschiede an diesen Stellen an.
Konnten und in Aufgabe 1 nicht bestimmt werden, können die folgenden Funktionen verwendet werden:
und 
.
und .
Bestimme nun, für welche Werte von sich die Funktionswerte von und bzw. diejenigen von und am stärksten unterscheiden, und gib die Unterschiede an diesen Stellen an.
Konnten und in Aufgabe 1 nicht bestimmt werden, können die folgenden Funktionen verwendet werden:
und .
(6 BE)
3
Für die Länge 
des Bogens des Graphen einer Funktion 
von der Stelle bis zur Stelle wird im Folgenden die Formel 
hergeleitet:
des Bogens des Graphen einer Funktion von der Stelle bis zur Stelle wird im Folgenden die Formel hergeleitet:
3.1
Erkläre die Herleitungsschritte aus der Aufgabenstellung bis einschließlich Zeile 
Beachte dazu die Zeichnung in Abbildung 2.
Beachte dazu die Zeichnung in Abbildung 2.
Abbildung 2
(7 BE)
3.2
Zeige, dass 
gilt.
Hinweis: Bilde zunächst auf beiden Seiten der Gleichung die Ableitung.
gilt.
Hinweis: Bilde zunächst auf beiden Seiten der Gleichung die Ableitung.
(8 BE)
3.3
Entlang des Stahlbogens verläuft auf einer Seite eine Bahn, mit der man vom Boden bis zur Aussichtsplattform im Scheitelpunkt des Bogens fahren kann.
Bestimme mit Hilfe der oben genannten Formel für 
und der Beziehung aus Aufgabe 3.2 die Länge der dabei zurückgelegten Strecke für 
und der Beziehung aus Aufgabe 3.2 die Länge der dabei zurückgelegten Strecke für
(5 BE)
1
Parameter der Polynomfunktion bestimmen
Der Parameter 
beschreibt den betrag des -Werts der Nullstellen des Graphen von 
Da die äußere Bogenspannweite und somit der Abstand der Nullstellen 
beträgt und der Bogen symmetrisch zur -Achse ist, folgen die Nullstellen mit 
Der Parameter ist somit gegeben durch 
Einsetzen der Koordinaten des Scheitelpunkts in 
liefert nun:
Der Graph, der die Kurve mit den gegebenen Eigenschaften beschreibt, kann also durch die folgende Polynomfunktion beschrieben werden:
Parameter der Kosinusfunktion bestimmen
Da die Amplitude den größten Abstand der Funktion von der -Achse darstellt, entpricht der Wert von dem -Wert des Scheitelpunkts. Es folgt also 
Die Bogenspannweite von 
entspricht einer halben Periodenlänge, es gilt also 
Der Graph, der die Kurve mit den gegebenen Eigenschaften beschreibt, kann also durch die folgende Kosinusfunktion dargestellt werden:
![\(\begin{array}[t]{rll}
c(x)&=& 103\cdot \cos\left(\dfrac{2\pi}{680}\cdot x\right)&\\[5pt]
&=& 103\cdot \cos(0,009\cdot x)
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/7da16835bd891d1e4230592764ee2ad506e7780b140bb3f0808c0dba546f47fa_light.svg)
beschreibt den betrag des -Werts der Nullstellen des Graphen von Da die äußere Bogenspannweite und somit der Abstand der Nullstellen beträgt und der Bogen symmetrisch zur -Achse ist, folgen die Nullstellen mit
Der Parameter ist somit gegeben durch
Einsetzen der Koordinaten des Scheitelpunkts in liefert nun:
Der Graph, der die Kurve mit den gegebenen Eigenschaften beschreibt, kann also durch die folgende Polynomfunktion 
![\(\begin{array}[t]{rll}
103&=&a\cdot(0-170)\cdot (0+170) &\quad \scriptsize \mid \text{3. bin. Formel} \\[5pt]
103&=&a\cdot(0^2-170^2) & \\[5pt]
103&=& a\cdot (-170^2) & \quad \scriptsize \mid : (-170^2) \\[5pt]
-0,0036 &\approx& a
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/259ddbab661194aac3c11028ae479d8c6083fd3774198fd3573ea800debd7eed_light.svg)
beschrieben werden:
Parameter der Kosinusfunktion bestimmen
Da die Amplitude 
![\(\begin{array}[t]{rll}
p(x)&=& -0,0036 \cdot(x-170)\cdot (x+170)&\\[5pt]
&=& -0,0036\cdot (x^2-170^2)&\\[5pt]
&=& -0,0036\cdot x^2+ 104
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/b483fea4cd496ca02101f7f00d9cdd8e67867fe98cbf5f629d49488ffd43da79_light.svg)
den größten Abstand der Funktion von der -Achse darstellt, entpricht der Wert von dem -Wert des Scheitelpunkts. Es folgt also
Die Bogenspannweite von entspricht einer halben Periodenlänge, es gilt also
Der Graph, der die Kurve mit den gegebenen Eigenschaften beschreibt, kann also durch die folgende Kosinusfunktion dargestellt werden:
2.1
Bedeutung des Parameters 
Bedeutung des Parameters 
Um den Einfluss des Parameters zu untersuchen, können verschiedene Werte für eingesetzt werden und die entsprechenden Graphen mit festgelegtem mit Hilfe des CAS im 
-Modus gezeichnet werden.
Der Abbildung kann entnommen werden, dass der Parameter die Graphen der Scharfunktion entlang der -Achse verschiebt und somit Einfluss auf den -Achsenabschnitt hat, der dem Maximum der entsprechenden Funktion entspricht.
Der Parameter hat dabei keinen Einfluss auf die Streckung bzw. Stauchung der Graphen von
zu untersuchen, können verschiedene Werte für eingesetzt werden und die entsprechenden Graphen mit festgelegtem mit Hilfe des CAS im -Modus gezeichnet werden.
Der Abbildung kann entnommen werden, dass der Parameter die Graphen der Scharfunktion entlang der -Achse verschiebt und somit Einfluss auf den -Achsenabschnitt hat, der dem Maximum der entsprechenden Funktion entspricht.
Der Parameter hat dabei keinen Einfluss auf die Streckung bzw. Stauchung der Graphen von
Durch Zeichnen verschiedener Graphen der Scharfunktion mit fixem Wert von und verschiedenen Werten von mit Hilfe des CAS lässt sich schließen:
Umso größer der Wert von ist, desto stärker sind die Graphen von gestaucht.
Der Parameter streckt bzw. staucht somit die Graphen der Schar.
Zudem nimmt der -Achsenabschnitt mit zunehmendem Wert von ab. beeinflusst somit auch den Maximalwert der Funktionen der Schar.
und verschiedenen Werten von mit Hilfe des CAS lässt sich schließen:
Umso größer der Wert von ist, desto stärker sind die Graphen von gestaucht.
Der Parameter streckt bzw. staucht somit die Graphen der Schar.
Zudem nimmt der -Achsenabschnitt mit zunehmendem Wert von ab. beeinflusst somit auch den Maximalwert der Funktionen der Schar.
2.2
Der einleitende Text liefert die folgenden Informationen über den Graphen:
-Achse liegen soll und somit durch den Punkt 
beschrieben werden kann, muss gelten:
![\(\begin{array}[t]{rll}
k(0)&=& 103 & \\[5pt]
C - \dfrac{1}{2 \lambda} \cdot \left( \mathrm e^{\lambda \cdot 0} + \mathrm e^{-\lambda \cdot 0}\right)&=& 103& \\[5pt]
C - \dfrac{1}{2 \lambda} \cdot \left( 1 + 1\right)&=& 103 & \\[5pt]
C - \dfrac{1}{\lambda}&=& 103
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/a3409cd9f5551ca977241e74586f1bc353fb078445127d9a76d8a3d1e9f163c5_light.svg)
Aufgrund der Symmetrie und der Bogenspannweite von 
folgen die Schnittstellen des Graphen mit der -Achse mit 
und 
Es gilt also:
![\(\begin{array}[t]{rll}
k(170)&=& 0 & \\[5pt]
C - \dfrac{1}{2 \lambda} \cdot \left( \mathrm e^{\lambda \cdot 170} + \mathrm e^{-\lambda \cdot 170}\right)&=& 0 & \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/a2098496554f0da8145bc10bfaa4278461f78486d500a87f03d044e5e1fdb6fe_light.svg)
Zwei Gleichungen, um die Parameter und zu bestimmen, sind somit gegeben durch:
- Die -Achse soll so gewählt werden, dass der höchste Punkt des Bogens auf der -Achse liegt.
- Die -Achse soll so gewählt werden, dass die Bodenlinie auf der -Achse liegt.
- Der höchste Punkt liegt über dem Boden.
- Die Bogenspannweite beträgt
-Achse liegen soll und somit durch den Punkt beschrieben werden kann, muss gelten:
Aufgrund der Symmetrie und der Bogenspannweite von folgen die Schnittstellen des Graphen mit der -Achse mit und Es gilt also:
Zwei Gleichungen, um die Parameter und zu bestimmen, sind somit gegeben durch:
2.3
1. Schritt: Differenzfunktionen aufstellen
Im CAS können die drei Funktionen 
und 
mit den gegebenen Werten aus der Aufgabenstellung definiert werden:
Die Differenzfunktionen ergeben sich nun zu:
![\(\begin{array}[t]{rll}
d_1(x) &=& \left|p(x) - k(x)\right|& \\[5pt]
d_2(x) &=& \left|c(x) - k(x)\right|
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/62592837595513de921af9dced32adb4d5177c127341ffd8f362857f8dc544c5_light.svg)
2. Schritt: Extremstellen bestimmen
Mit dem CAS können nun die Extremstellen der beiden Differenzfunktionen berechnet werden oder alternativ graphisch bestimmt werden:
-Werte in 
bzw. 
liefert:
Somit gilt:
Der Abstand zwischen den Graphen von und ist an den Stellen 
und 
mit 
maximal.
Der Abstand zwischen den Graphen von und ist hingegen an den Stellen
und 
mit 
maximal.
und mit den gegebenen Werten aus der Aufgabenstellung definiert werden:
Die Differenzfunktionen ergeben sich nun zu:
![\(\begin{array}[t]{rll}
k(x)&=& 257,94- \dfrac{1}{2 \cdot 0,006454 } \cdot \left( \mathrm e^{0,006454 \cdot x} + \mathrm e^{-0,006454 \cdot x}\right)& \\[5pt]
&=& 257,94- \dfrac{1}{0,012908} \cdot \left( \mathrm e^{0,006454 \cdot x} + \mathrm e^{-0,006454 \cdot x} \right)& \\[5pt]
p(x)&=& -0,0036x^2+104& \\[5pt]
c(x)&=& 103\cdot \cos(0,009x) & \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/16b01e386ebe22adbb101feddb199247a51d4dfbdf19f0edb987b2375b0f0c8c_light.svg)
Für ergeben sich:
![\(\begin{array}[t]{rll}
x_1&=& -120,8 & \\[5pt]
x_2&=& 0 & \\[5pt]
x_3&=& 120,8
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/cd5f4d5ed4fbb7d30d48793c3428dc204299937a82dfb1147287b90adb64078f_light.svg)
ergeben sich:
Für ergeben sich:
![\(\begin{array}[t]{rll}
x_4&=& -119,49 & \\[5pt]
x_5&=& 0 & \\[5pt]
x_6&=& 119,49
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/1a77bde310b6dc4b3d1dc270ae6396eb91044aa89fefd0d853e7ca7af094342f_light.svg)
3. Schritt: Funktionswerte berechnen
Einsetzen der ergeben sich:
-Werte in bzw. liefert:
und ist an den Stellen und mit maximal.
Der Abstand zwischen den Graphen von und ist hingegen an den Stellen
und mit maximal.
3.1
1. Schritt:
ist die -Koordinate von 
und 
beschreibt die Differenz der -Werte von und 
Der Wert
stellt somit die -Koordinate von 
dar.
Die Länge des Kurvenbogens 
ist folglich die Differenz von 
und 
.
Es gilt also:
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overset{\displaystyle\frown}{PQ}&=&\overset{\displaystyle\frown}{AQ} -\overset{\displaystyle\frown}{AP}& \\[5pt]
&=& L_a(x_0+\Delta x)-L_a(x_0)
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/733bf2f4e3794374bdf831ce9e3d98cc603982dc61d2c32241556d572c937e08_light.svg)
2. Schritt:
In diesem Schritt wird die Länge der Strecke von zu berechnet und mit verglichen.
Es gilt:
.
Diese Strecke stellt eine Sekante dar und kann maximal so groß wie der Bogen sein.
Somit gilt:
3. Schritt:
Die Gleichung wir auf beiden Seiten mit dividiert:
Auf der rechten Seite ergibt sich dadurch der Differenzenquotient der Funktion 
ist die -Koordinate von und beschreibt die Differenz der -Werte von und
Der Wert
stellt somit die -Koordinate von dar.
Die Länge des Kurvenbogens ist folglich die Differenz von und .
Es gilt also:
2. Schritt:
In diesem Schritt wird die Länge der Strecke von zu berechnet und mit verglichen.
Es gilt:
.
Diese Strecke stellt eine Sekante dar und kann maximal so groß wie der Bogen sein.
Somit gilt:
3. Schritt:
Die Gleichung wir auf beiden Seiten mit dividiert:
Auf der rechten Seite ergibt sich dadurch der Differenzenquotient der Funktion ![\(\begin{array}[t]{rll}
\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}& \leq & L_a\left(x_0+\Delta x\right)-L_a\left(x_0\right) & \\[5pt]
\dfrac{1}{\Delta x}\cdot \sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}&\leq& \dfrac{L_a\left(x_0+\Delta x\right)-L_a\left(x_0\right)}{\Delta x}& \\[5pt]
\sqrt{\left(\dfrac{1}{\Delta x}\right)^2\cdot \left((\Delta x)^2+(\Delta y)^2 \right)}&\leq& \dfrac{L_a\left(x_0+\Delta x\right)-L_a\left(x_0\right)}{\Delta x}& \\[5pt]
\sqrt{\dfrac{(\Delta x)^2}{(\Delta x)^2}+\dfrac{(\Delta y)^2 }{(\Delta x)^2}}&\leq& \dfrac{L_a\left(x_0+\Delta x\right)-L_a\left(x_0\right)}{\Delta x}& \\[5pt]
\sqrt{1+\left(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\right)^2}&\leq& \dfrac{L_a\left(x_0+\Delta x\right)-L_a\left(x_0\right)}{\Delta x}& \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/01e85e2bcf1e6319870d6237e656e51e785b069718e7537ffbce51b9e4f99db4_light.svg)
3.2
Einsetzen von 
in den linken Term liefert:
Auf beiden Seiten kann nun die Ableitung gebildet werden. Hierbei entspricht die Ableitung eines Integrals der Funktion selbst.
Auflösen der Gleichung liefert nun:
Da nun auf beiden Seiten derselbe Ausdruck steht, folgt, dass die Gleichung gilt.
in den linken Term liefert:
Auf beiden Seiten kann nun die Ableitung gebildet werden. Hierbei entspricht die Ableitung eines Integrals der Funktion selbst.
Auflösen der Gleichung liefert nun:
Da nun auf beiden Seiten derselbe Ausdruck steht, folgt, dass die Gleichung gilt.
![\(\begin{array}[t]{rll}
\sqrt{1+\left(-\dfrac{1}{2}\cdot(\mathrm e^{\lambda x}-\mathrm e^{-\lambda x})\right)^{2}}&=&\dfrac{1}{2}\cdot\left(\mathrm e^{\lambda x}+\mathrm e^{-\lambda x}\right) & \quad \scriptsize \,\bigg \vert \, \text{2. bin. Formel} \\[5pt]
\sqrt{1+\dfrac{1}{4}\cdot(\mathrm e^{2\lambda x}-2\mathrm e^{\lambda x}\mathrm e^{-\lambda x}+\mathrm e^{-2\lambda x})}&=&\dfrac{1}{2}\cdot\left(\mathrm e^{\lambda x}+\mathrm e^{-\lambda x}\right) & \quad \scriptsize \\[5pt]
\sqrt{1+\dfrac{1}{4}\cdot(\mathrm e^{2\lambda x}-2+\mathrm e^{-2\lambda x})}&=&\dfrac{1}{2}\cdot\left(\mathrm e^{\lambda x}+\mathrm e^{-\lambda x}\right) & \quad \scriptsize \,\bigg \vert \, (\,)^2 \\[5pt]
1+\dfrac{1}{4}\cdot(\mathrm e^{2\lambda x}-2+\mathrm e^{-2\lambda x})&=&\dfrac{1}{4}\cdot\left(\mathrm e^{\lambda x}+\mathrm e^{-\lambda x}\right)^2 & \quad \scriptsize \,\bigg \vert \, \text{2. bin. Formel} \\[5pt]
1+\dfrac{1}{4}\cdot(\mathrm e^{2\lambda x}-2+\mathrm e^{-2\lambda x})&=&\dfrac{1}{4}\cdot\left(\mathrm e^{2\lambda x}+2+\mathrm e^{-2\lambda x}\right) & \quad \scriptsize \\[5pt]
1+\dfrac{1}{4}\cdot \mathrm e^{2\lambda x}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}\cdot\mathrm e^{-2\lambda x}&=&\dfrac{1}{4}\cdot \mathrm e^{2\lambda x} + \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}\cdot\mathrm e^{-2\lambda x} & \quad \scriptsize \,\bigg \vert \, +\dfrac{1}{2} \\[5pt]
1+\dfrac{1}{4}\cdot \mathrm e^{2\lambda x}+\dfrac{1}{4}\cdot\mathrm e^{-2\lambda x}&=&\dfrac{1}{4}\cdot \mathrm e^{2\lambda x}+\dfrac{1}{4}\cdot\mathrm e^{-2\lambda x} +1
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/0d72e9c5d611594f40c451a84f9bc220baf7862478c1b273cdf90e6f91d3760d_light.svg)
3.3
Die Länge 
des Stahlbogens kann mit folgender Formel berechnet werden:
Der Scheitelpunkt liegt bei 
Einsetzen von 
und den Intervallgrenzen und 
ergibt:
Die Länge der von der Bahn zurückgelegten Strecke beträgt somit etwa 
des Stahlbogens kann mit folgender Formel berechnet werden:
Der Scheitelpunkt liegt bei 
![\(\begin{array}[t]{rll}
L_a(x)&=& \displaystyle\int_{\,}^{\,} L_a](https://www.schullv.de/resources/formulas/ad45405ae1143f0568efe7291b4cc282fd3bc77ce557976c4b550ef6c685393b_light.svg)
Einsetzen von und den Intervallgrenzen und ergibt:
Die Länge der von der Bahn zurückgelegten Strecke beträgt somit etwa ![\(\begin{array}[t]{rll}
\left[\dfrac{1}{2\cdot 0,00645}\cdot\left(\mathrm e^{0,00645\cdot x}-\mathrm e^{-0,00645\cdot x}\right)+C\right]^{170}_0&=&\dfrac{1}{2\cdot 0,00645}\cdot\left(\mathrm e^{0,00645\cdot 170}-\mathrm e^{-0,00645\cdot 170}\right)+C-\dfrac{1}{2\cdot 0,00645}\cdot\left(\mathrm e^{0}-\mathrm e^{0}\right)-C &\quad \scriptsize \\[5pt]
&\approx& 206-0 &\quad \scriptsize \\[5pt]
&=& 206 \; [\text{m}]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/c054002b1ddabf69aefafc3cc4336d9de90d4d665a453d28b35b3960082cdb86_light.svg)
1
Parameter der Polynomfunktion bestimmen
Der Parameter beschreibt den betrag des -Werts der Nullstellen des Graphen von Da die äußere Bogenspannweite und somit der Abstand der Nullstellen beträgt und der Bogen symmetrisch zur -Achse ist, folgen die Nullstellen mit
Der Parameter ist somit gegeben durch
Einsetzen der Koordinaten des Scheitelpunkts in liefert nun:
Der Graph, der die Kurve mit den gegebenen Eigenschaften beschreibt, kann also durch die folgende Polynomfunktion beschrieben werden:
Parameter der Kosinusfunktion bestimmen
Da die Amplitude den größten Abstand der Funktion von der -Achse darstellt, entpricht der Wert von dem -Wert des Scheitelpunkts. Es folgt also
Die Bogenspannweite von entspricht einer halben Periodenlänge, es gilt also
Der Graph, der die Kurve mit den gegebenen Eigenschaften beschreibt, kann also durch die folgende Kosinusfunktion dargestellt werden:
beschreibt den betrag des -Werts der Nullstellen des Graphen von Da die äußere Bogenspannweite und somit der Abstand der Nullstellen beträgt und der Bogen symmetrisch zur -Achse ist, folgen die Nullstellen mit
Der Parameter ist somit gegeben durch
Einsetzen der Koordinaten des Scheitelpunkts in liefert nun:
Der Graph, der die Kurve mit den gegebenen Eigenschaften beschreibt, kann also durch die folgende Polynomfunktion beschrieben werden:
Parameter der Kosinusfunktion bestimmen
Da die Amplitude den größten Abstand der Funktion von der -Achse darstellt, entpricht der Wert von dem -Wert des Scheitelpunkts. Es folgt also
Die Bogenspannweite von entspricht einer halben Periodenlänge, es gilt also
Der Graph, der die Kurve mit den gegebenen Eigenschaften beschreibt, kann also durch die folgende Kosinusfunktion dargestellt werden:
2.1
Bedeutung des Parameters
Bedeutung des Parameters
Um den Einfluss des Parameters zu untersuchen, können verschiedene Werte für eingesetzt werden und die entsprechenden Graphen mit festgelegtem mit Hilfe des CAS im -Modus gezeichnet werden.
Der Abbildung kann entnommen werden, dass der Parameter die Graphen der Scharfunktion entlang der -Achse verschiebt und somit Einfluss auf den -Achsenabschnitt hat, der dem Maximum der entsprechenden Funktion entspricht.
Der Parameter hat dabei keinen Einfluss auf die Streckung bzw. Stauchung der Graphen von
zu untersuchen, können verschiedene Werte für eingesetzt werden und die entsprechenden Graphen mit festgelegtem mit Hilfe des CAS im -Modus gezeichnet werden.
Der Abbildung kann entnommen werden, dass der Parameter die Graphen der Scharfunktion entlang der -Achse verschiebt und somit Einfluss auf den -Achsenabschnitt hat, der dem Maximum der entsprechenden Funktion entspricht.
Der Parameter hat dabei keinen Einfluss auf die Streckung bzw. Stauchung der Graphen von
Durch Zeichnen verschiedener Graphen der Scharfunktion mit fixem Wert von und verschiedenen Werten von mit Hilfe des CAS lässt sich schließen:
Umso größer der Wert von ist, desto stärker sind die Graphen von gestaucht.
Der Parameter streckt bzw. staucht somit die Graphen der Schar.
Zudem nimmt der -Achsenabschnitt mit zunehmendem Wert von ab. beeinflusst somit auch den Maximalwert der Funktionen der Schar.
und verschiedenen Werten von mit Hilfe des CAS lässt sich schließen:
Umso größer der Wert von ist, desto stärker sind die Graphen von gestaucht.
Der Parameter streckt bzw. staucht somit die Graphen der Schar.
Zudem nimmt der -Achsenabschnitt mit zunehmendem Wert von ab. beeinflusst somit auch den Maximalwert der Funktionen der Schar.
2.2
Der einleitende Text liefert die folgenden Informationen über den Graphen:
-Achse liegen soll und somit durch den Punkt beschrieben werden kann, muss gelten:
Aufgrund der Symmetrie und der Bogenspannweite von folgen die Schnittstellen des Graphen mit der -Achse mit und Es gilt also:
Zwei Gleichungen, um die Parameter und zu bestimmen, sind somit gegeben durch:
- Die -Achse soll so gewählt werden, dass der höchste Punkt des Bogens auf der -Achse liegt.
- Die -Achse soll so gewählt werden, dass die Bodenlinie auf der -Achse liegt.
- Der höchste Punkt liegt über dem Boden.
- Die Bogenspannweite beträgt
-Achse liegen soll und somit durch den Punkt beschrieben werden kann, muss gelten:
Aufgrund der Symmetrie und der Bogenspannweite von folgen die Schnittstellen des Graphen mit der -Achse mit und Es gilt also:
Zwei Gleichungen, um die Parameter und zu bestimmen, sind somit gegeben durch:
2.3
1. Schritt: Differenzfunktionen aufstellen
Im CAS können die drei Funktionen und mit den gegebenen Werten aus der Aufgabenstellung definiert werden:
Die Differenzfunktionen ergeben sich nun zu:
2. Schritt: Extremstellen bestimmen
Mit dem CAS können nun die Extremstellen der beiden Differenzfunktionen berechnet werden oder alternativ graphisch bestimmt werden:
-Werte in bzw. liefert:
Somit gilt:
Der Abstand zwischen den Graphen von und ist an den Stellen und mit maximal.
Der Abstand zwischen den Graphen von und ist hingegen an den Stellen
und mit maximal.
und mit den gegebenen Werten aus der Aufgabenstellung definiert werden:
Für ergeben sich:
ergeben sich:
Für ergeben sich:
3. Schritt: Funktionswerte berechnen
Einsetzen der ergeben sich:
-Werte in bzw. liefert:
und ist an den Stellen und mit maximal.
Der Abstand zwischen den Graphen von und ist hingegen an den Stellen
und mit maximal.
3.1
1. Schritt:
ist die -Koordinate von und beschreibt die Differenz der -Werte von und
Der Wert stellt somit die -Koordinate von dar.
Die Länge des Kurvenbogens ist folglich die Differenz von und .
Es gilt also:
2. Schritt:
In diesem Schritt wird die Länge der Strecke von zu berechnet und mit verglichen.
Es gilt:
.
Diese Strecke stellt eine Sekante dar und kann maximal so groß wie der Bogen sein.
Somit gilt:
3. Schritt:
Die Gleichung wir auf beiden Seiten mit dividiert:
Auf der rechten Seite ergibt sich dadurch der Differenzenquotient der Funktion
ist die -Koordinate von und beschreibt die Differenz der -Werte von und
Der Wert
stellt somit die -Koordinate von dar.
Die Länge des Kurvenbogens ist folglich die Differenz von und .
Es gilt also:
2. Schritt:
In diesem Schritt wird die Länge der Strecke von zu berechnet und mit verglichen.
Es gilt:
.
Diese Strecke stellt eine Sekante dar und kann maximal so groß wie der Bogen sein.
Somit gilt:
3. Schritt:
Die Gleichung wir auf beiden Seiten mit dividiert:
Auf der rechten Seite ergibt sich dadurch der Differenzenquotient der Funktion
3.2
Einsetzen von in den linken Term liefert:
Auf beiden Seiten kann nun die Ableitung gebildet werden. Hierbei entspricht die Ableitung eines Integrals der Funktion selbst.
Auflösen der Gleichung liefert nun:
Da nun auf beiden Seiten derselbe Ausdruck steht, folgt, dass die Gleichung gilt.
in den linken Term liefert:
Auf beiden Seiten kann nun die Ableitung gebildet werden. Hierbei entspricht die Ableitung eines Integrals der Funktion selbst.
Auflösen der Gleichung liefert nun:
Da nun auf beiden Seiten derselbe Ausdruck steht, folgt, dass die Gleichung gilt.
3.3
Die Länge des Stahlbogens kann mit folgender Formel berechnet werden:
Der Scheitelpunkt liegt bei
Einsetzen von und den Intervallgrenzen und ergibt:
Die Länge der von der Bahn zurückgelegten Strecke beträgt somit etwa
des Stahlbogens kann mit folgender Formel berechnet werden:
Der Scheitelpunkt liegt bei
Einsetzen von und den Intervallgrenzen und ergibt:
Die Länge der von der Bahn zurückgelegten Strecke beträgt somit etwa