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A2 - Analysis

Aufgaben
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Das Moses Mabhida Stadion in Durban, Südafrika (Material 1) ist eines der Stadien, in denen die Fußballweltmeisterschaft 2010 ausgetragen wurde. Das charakteristische Element ist der Stahlbogen, der das Stadion überspannt. Die äußere Bogenspannweite am Boden beträgt 340 m und die Höhe im Scheitelpunkt 103 m.
Wählen Sie für die folgenden Berechnungen das Koordinatensystem so, dass die Bodenlinie auf der $x$-Achse und der höchste Punkt des Bogens auf der $y$-Achse liegt.
1. Der äußere Rand des Bogens soll zum einen durch die Polynomfunktion $p$ mit
$p(x)$$=a\cdot(x-x_{1})\cdot(x+x_{1})$, zum anderen durch die Kosinusfunktion $c$ mit $c(x)=A\cdot\cos\left(\dfrac{2\pi}{T}\cdot x\right)$ beschrieben werden.
Bestimmen Sie die Parameter $a$ und $x_{1}$ sowie $A$ und $T$ so, dass die Graphen der Funktionen jeweils die im Text genannten Eigenschaften haben.
(8P)
2. Im Folgenden soll die Bogenform durch eine Funktion aus der folgenden Schar beschrieben werden:
$k(x)=C-\dfrac{1}{2\lambda}\cdot\left(\mathrm e^{\lambda\cdot x}+\mathrm e^{-\lambda\cdot x}\right)$
2.1 Untersuchen Sie die Bedeutung der Parameter $C\in\mathbb{R}$ und $\lambda\in\mathbb{R}\backslash\{0\}$ für die Graphen von $k$.
(6P)
2.2 Geben Sie zwei Gleichungen an, um die Parameter $C$ und $\lambda$ so zu bestimmen, dass die Informationen aus dem einleitenden Text eingehalten werden.
(2P)
2.3 Es gelte $C=257,94$ und $\lambda=0,006454$.
Bestimmen Sie nun, für welche Werte von $x$ sich die Funktionswerte von $k$ und $p$ bzw. diejenigen von $k$ und $c$ am stärksten unterscheiden, und geben Sie die Unterschiede an diesen Stellen an.
Sollten Sie $p$ und $c$ in Aufgabe 1 nicht bestimmt haben, verwenden Sie
$p(x)=-0,036x^{2}+104$ und $c(x)=103\cdot\cos(0,009x)$.
(6P)
3. Für die Länge $L_{a}(x)$ des Bogens des Graphen einer Funktion $f$ von der Stelle
$a$ bis zur Stelle $x$ wird in Material 3 die Formel $L_{a}'(x)$$=\sqrt{1+\left(f'(x)\right)^2}$ hergeleitet.
3.1 Erklären Sie die Herleitungsschritte in Material 3 bis einschließlich Zeile (3).
Beachten Sie dazu die Zeichnung in Material 2.
(7P)
3.2 Zeigen Sie, dass $\mathop{\displaystyle\int}\limits_{\,}^{\,}\sqrt{1+\left(k'(x)\right)^{2}}\mathrm dx$$=\dfrac{1}{2\lambda}\cdot\left(\mathrm e^{\lambda\cdot x}-\mathrm e^{-\lambda\cdot x}\right)+C$ gilt.
Hinweis: Bilden Sie zunächst auf beiden Seiten der Gleichung die Ableitung.
(8P)
3.3 Entlang des Stahlbogens verläuft auf einer Seite eine Bahn, mit der man vom Boden bis zur Aussichtsplattform im Scheitelpunkt des Bogens fahren kann.
Bestimmen Sie mithilfe der oben genannten Formel für $L_{a}'(x)$ und der Beziehung aus Aufgabe 3.2 die Länge der dabei zurückgelegten Strecke für $\lambda=0,00645$.
(5P)
Material 1
A2 - Analysis Quelle: http://www.designboom.com/cms/images/ridoz/durb03.jpg
A2 - Analysis Quelle: http://www.designboom.com/cms/images/ridoz/durb03.jpg
Material 2
A2 - Analysis
A2 - Analysis
Material 3
Nachfolgend bedeutet $\overset{\displaystyle\frown}{AQ}$ die Länge des Kurvenbogens zwischen den Punkten $A$ und $Q$.
$\begin{array}{rlll} &\overset{\displaystyle\frown}{AQ}&=&L_{a}\left(x_{0}+\Delta x\right), \\ &\overset{\displaystyle\frown}{AP}&=&L_{a}(x_{0}) \\ \\ &\Rightarrow \\ \\ (1)&\overset{\displaystyle\frown}{PQ}&=&L_{a}(x_{0}+\Delta x)-L_{a}(x_{0}) \\ \\ (2)&\overline{\left|PQ\right|}&\leq&\overset{\displaystyle\frown}{PQ} \\ \\ &\Leftrightarrow \\ \\ &\sqrt{\left(\Delta x\right)^{2}+\left(\Delta y\right)^{2}}&\leq& L_{a}\left(x_{0}+\Delta x\right)-L_{a}\left(x_{0}\right) \\ \\ &\Rightarrow \\ \\ (3)&\sqrt{1+\left(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\right)^{2}}&\leq&\dfrac{L_{a}\left(x_{0}+\Delta x\right)-L_{a}\left(x_{0}\right)}{\Delta x} \\ \\ &\Rightarrow \\ \\ (4)&\mathop{\lim}\limits_{\Delta x\to 0}\left(\sqrt{1+\left(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\right)^{2}}\right)&\leq&\mathop{\lim}\limits_{\Delta x\to 0}\left(\dfrac{L_{a}\left(x_{0}+\Delta x\right)-L_{a}\left(x_{0}\right)}{\Delta x}\right) \\ \\ &\Rightarrow… \\ \\ (5)&\sqrt{1+\left(f'(x)\right)^{2}}&=&L_{a}'(x) \end{array}$
$\begin{array}{rl} \overset{\displaystyle\frown}{AQ}=&L_{a}\left(x_{0}+\Delta x\right), \\ \overset{\displaystyle\frown}{AP}=&L_{a}(x_{0}) \\ \\ \Rightarrow \\ \\ \end{array}$ $\begin{array}{rl} (1)&\overset{\displaystyle\frown}{PQ} \\ &= \\ &L_{a}(x_{0}+\Delta x)-L_{a}(x_{0}) \\ \\ (2)&\overline{\left|PQ\right|} \\ &\leq \\ &\overset{\displaystyle\frown}{PQ} \\ \\ &\Leftrightarrow \\ \\ &\sqrt{\left(\Delta x\right)^{2}+\left(\Delta y\right)^{2}} \\ &\leq \\ & L_{a}\left(x_{0}+\Delta x\right)-L_{a}\left(x_{0}\right) \\ \\ &\Rightarrow \\ \\ (3)&\sqrt{1+\left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)^{2}} \\ &\leq \\ &\frac{L_{a}\left(x_{0}+\Delta x\right)-L_{a}\left(x_{0}\right)}{\Delta x} \\ \\ &\Rightarrow \\ \\ (4)&\mathop{\lim}\limits_{\Delta x\to 0}\left(\sqrt{1+\left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)^{2}}\right) \\ &\leq \\ &\mathop{\lim}\limits_{\Delta x\to 0}\left(\frac{L_{a}\left(x_{0}+\Delta x\right)-L_{a}\left(x_{0}\right)}{\Delta x}\right) \\ \\ &\Rightarrow… \\ \\ (5)&\sqrt{1+\left(f'(x)\right)^{2}} \\ &= \\ &L_{a}'(x) \end{array}$
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1. $\blacktriangleright$ Bestimmen der Funktionsterme von $\boldsymbol{p}$ und $\boldsymbol{c}$
Zum Lösen dieser Aufgabe hast du zwei Funktionen gegeben, die den Bogen des Stadions beschreiben sollen:
  • $p(x)=a\cdot(x-x_{1})\cdot(x+x_{1})\\[5pt]$
  • $c(x)=A\cdot\cos\left(\dfrac{2\pi}{T}\cdot x\right)$
Bei $p$ handelt es sich also um eine ganzrationale Funktion zweiten Grades, die in Linearfaktorform gegeben ist. Weiterhin hast du mit $c$ eine trigonometrische Funktion gegeben.
Der Aufgabenstellung kannst du außerdem entnehmen, dass du dein zugrunde liegendes Koordinatensystem so wählen sollst, dass die Bodenlinie auf der $\boldsymbol{x}$-Achse und der höchste Punkt des Bogens auf der $\boldsymbol{y}$-Achse liegen soll.
Daraus kannst du ableiten, dass der Abstand zwischen den Nullstellen der modellierten Funktion $340\,\text{m}$ betragen muss. Des weiteren muss der höchste Punkt dann im Punkt $\boldsymbol{P_y(0|103)}$ liegen.
Da $p(x)$ in Linearfaktorform gegeben ist, kannst du mit den obigen Informationen sofort auf $x_1$ schließen und anschließend über eine Punktprobe mit $P_y$ den Parameter $a$ bestimmen.
Die allgemeine Form einer Kosinusfunktion ist:
$f(x)=A\cdot\cos(\dfrac{2\pi}{T}(x-c))+d$
  • $A$: Amplitude
  • $T$: Periodenlänge
  • $c$: Verschiebung auf der $x$-Achse
  • $d$: Verschiebung auf der $y$-Achse
$f(x)=A\cdot\cos(\dfrac{2\pi}{T}(x-c))+d$
  • $A$: Amplitude
  • $T$: Periodenlänge
  • $c$: Verschiebung auf der $x$-Achse
  • $d$: Verschiebung auf der $y$-Achse
Verwende diese, um $c(x)$ im zweiten Schritt eindeutig zu bestimmen.
Gehe beim Lösen der Aufgabe also so vor:
  • Berechne im 1. Schritt den Parameter $a$ durch Einsetzen von $P_y(0|103)$ in $p(x)$.
  • Vergleiche im 2. Schritt die gegebene Kosinusfunktion mit der allgemeinen Funktion, um die Parameter $A$ und $T$ aus $c(x)$ abzulesen.
2.
2.1 $\blacktriangleright$ Bedeutung von $\boldsymbol{C}$ und $\boldsymbol{\lambda}$ untersuchen
Nun soll die Bogenform durch eine Scharfunktion, mit dem Funktionterm
$k(x) = C - \dfrac{1}{2 \cdot \lambda} \cdot \left( \mathrm e^{\lambda \cdot x}+ \mathrm e^{-\lambda \cdot x}\right)$
beschrieben werden. Deine Aufgabe ist es zunächst, die Bedeutung der Parameter $C \in \mathbb R$ und $\lambda \in \mathbb R \backslash \left\{0\right\}$ für die Graphen von $k$ zu untersuchen.
Willst du diese Aufgabe lösen, so verwende hier dein CAS.
Erkläre dazu den Parametereinfluss von $C$ und $\lambda$ getrennt, d.h. du variierst einen Parameter, z.B. $C$, während du dem anderen Parameter, im Beispiel dann $\lambda$, einen fixen Wert zuweist. Zeichne anschließend mit deinem CAS die verschiedenen Graphen und schließe dann von der Zeichnung auf den jeweiligen Parametereinfluss, der jeweiligen Parameter, auf die Graphen von $k$.
2.2 $\blacktriangleright$ Angeben von zwei Gleichungen
Hier sollst du nun zwei Gleichungen angeben, um die Parameter $C$ und $\lambda$ so zu bestimmen, dass die Informationen aus dem einleitenden Text eingehalten werden.
Bevor du diese Aufgabe löst, ist es hier sinnvoll, zunächst die Informationen aus dem einleitenden Text, die für den Graphen von $k$ von Bedeutung sind, nochmal zusammenzufassen:
  • Die $y$-Achse soll so gewählt werden, dass der höchste Punkt des Bogens auf der $y$-Achse liegt.
  • Die $x$-Achse soll so gewählt werden, dass die Bodenlinie auf der $x$-Achse liegt.
  • Der höchste Punkt liegt $103\,\text{m}$ über dem Boden.
  • Die Bogenspannweite beträgt $340\,\text{m}$.
Betrachtest du den Funktionsterm von $k$, so kannst du erkennen, dass hier mit $C$ und $\lambda$ insgesamt 2 Unbekannte gegeben sind, was die Anzahl der anzugebenden Gleichungen erklärt.
Wie in Aufgabenteil 1 kannst du nun Aussagen über Schnittpunkte des Graphen von $k$ mit der $y$-Achse und mit der $x$-Achse treffen, um so die gesuchten Gleichungen zu formulieren.
2.3 $\blacktriangleright$ Bestimmen der gesuchten Werte von $\boldsymbol{x}$
Im letzten Teil dieser Teilaufgabe sollst du nun bestimmen, für welche Werte von $x$ sich die Funktionswerte von $k$ und $p$ bzw. diejenigen von $k$ und $c$ am stärksten unterscheiden. Weiterhin sollst du die Abstände zwischen den Graphen an diesen Stellen angeben.
Aus dem Aufgabenteil $1$ weißt du, dass für $p$ und $c$ gilt:
  • $p(x) = - 0,003564 \cdot (x - 170)(x+170)$
  • $c(x) = 103 \cdot \cos\left(\dfrac{2 \cdot \pi}{680} \cdot x\right)$
Für den Funktionsterm der Funktion $k$ soll in diesem Aufgabenteil dabei folgendes gelten:
  • $p(x) = - 0,003564 \cdot (x - 170)(x+170)$
  • $c(x) = 103 \cdot \cos\left(\dfrac{2 \cdot \pi}{680} \cdot x\right)$
Willst du jene Stellen bestimmen, an welchen sich die Funktionswerte von $k$ und $p$ bzw. die von $k$ und $c$ am stärksten unterscheiden, so bildest du hier sogenannte Differenzfunktionen. Differenzfunktionen ergeben sich dabei aus dem Betrag der Differenz zwischen den betrachteten Funktionstermen.
Hast du diese Differenzfunktionen wie angegeben gebildet, so untersuchst du diese auf globale Maxima im betrachteten Bereich. Das heißt du untersuchst die bestimmten Differenzfunktionen zwischen den oben behandelten Nullstellen der Funktionen auf lokale Maxima. Da alle drei Funktionen die gleichen Nullstellen besitzen, erübrigt es sich hier die Randstellen des betrachteten Intervalls $[-170;170]$ zu untersuchen.
Beachte hier, dass für ein lokales Maxima bei $x_M$ folgende zwei Bedingungen erfüllt sein müssen:
  • Notwendige Bedingung: $d'(x_M) = 0$
  • Hinreichende Bedingung: $d''(x_M) < 0 $
Verwende zum Berechnen dein CAS und gib zuletzt die Abstände an den berechneten Extremstellen an. Diese entsprechen dann den Funktionswerten der betrachteten Differenzfunktionen.
Gehe beim Lösen dieser Aufgabe also so vor:
  1. Schritt: Bestimme die Differenzfunktionen
  2. Schritt: Bestimme die lokale Maxima der Differenzfunktionen
  3. Schritt: Bestimme die maximalen Abstände
3.
3.1 $\blacktriangleright$ Herleitungsschritte (1) bis (3) erklären
Bei dieser Aufgabe sollst du mit Hilfe der Kurve in Material 2 die Herleitungsschritte aus Material 3 bis zum 3. Schritt erklären.
  • $x_0$ ist die $x$-Koordinate von $P$
  • $\Delta x$ beschreibt die Differenz der $x$-Werte von $P$ und $Q$
  • $x_0+\Delta x$ stellt somit die $x$-Koordinate von $Q$ dar.
Du hast zwei Beispiele gegeben, die dir die Zusammenhänge zwischen der Kurve und der Rechnung näher bringen.
Die Bogenlänge $\overset{\displaystyle\frown}{AQ}$ wird mit $\overset{\displaystyle\frown}{AQ}=L_a(x_0+\Delta x)$ berechnet, d.h. $L_a$ wird mit der $x$-Koordinate multipliziert.
Das Gleiche gilt für $\overset{\displaystyle\frown}{AP}$:$\,$$\overset{\displaystyle\frown}{AP}=L_a(x_0)$
3.2 $\blacktriangleright$ Behauptung beweisen
Du hast eine Gleichung gegeben und sollst diese auf Gültigkeit untersuchen.
Weiterhin hast du als Hinweis gegeben, dass du die Ableitungen beider Seiten der Gleichung bestimmen sollst. Das heißt, du musst im ersten Schritt die Ableitung von $k'$ bestimmen, um dann im zweiten Schritt die Gültigkeit der Gleichung beweisen zu können.
Beachte beim Lösen der Aufgabe, dass es hier nicht zulässig ist, das CAS zu verwenden.
3.3 $\blacktriangleright$ Länge der zurückgelegten Strecke bestimmen
Zum Lösen dieser Aufgabe kannst du folgende Beziehungen/Angaben dem Aufgabentext bzw. den vorhergehenden Aufgabenteilen entnehmen:
  • $L_a'(x)=\sqrt{1+(f'(x))^2}$
  • $\mathop{\displaystyle\int}\limits_{\,}^{\,}\sqrt{1+\left(k'(x)\right)^{2}}\mathrm dx$$=\dfrac{1}{2\lambda}\cdot\left(\mathrm e^{\lambda\cdot x}-\mathrm e^{-\lambda\cdot x}\right)+C\\[5pt]$
  • $\lambda=0,00645$
  • Die halbe Bogenlänge verläuft von $x_1=0$ bis $x_2=170$
Um die Länge $L_a$ des Bogens zu bestimmen, musst du zunächst $L_a'$ integrieren, da $L_a$ einen Ansatz zur Berechnung von Längen von Graphen liefert.
Verwende hier zum Berechnen die Beziehung aus Aufgabe 3.2. Setze hier die Intervallgrenzen in die Funktion ein, um schließlich die Länge $L_a$ zu berechnen. Die Intervallgrenzen müssen hier die halbe Bogenlänge repräsentieren, für diese muss also $x_1 = 0$ und $x_2 = 170$ gelten.
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Lösungen TI
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1. $\blacktriangleright$ Bestimmen der Funktionsterme von $\boldsymbol{p}$ und $\boldsymbol{c}$
Zum Lösen dieser Aufgabe hast du zwei Funktionen gegeben, die den Bogen des Stadions beschreiben sollen:
  • $p(x)=a\cdot(x-x_{1})\cdot(x+x_{1})\\[5pt]$
  • $c(x)=A\cdot\cos\left(\dfrac{2\pi}{T}\cdot x\right)$
Bei $p$ handelt es sich also um eine ganzrationale Funktion zweiten Grades, die in Linearfaktorform gegeben ist. Weiterhin hast du mit $c$ eine trigonometrische Funktion gegeben.
Der Aufgabenstellung kannst du außerdem entnehmen, dass du dein zugrunde liegendes Koordinatensystem so wählen sollst, dass die Bodenlinie auf der $\boldsymbol{x}$-Achse und der höchste Punkt des Bogens auf der $\boldsymbol{y}$-Achse liegen soll.
Daraus kannst du ableiten, dass der Abstand zwischen den Nullstellen der modellierten Funktion $340\,\text{m}$ betragen muss. Des weiteren muss der höchste Punkt dann im Punkt $\boldsymbol{P_y(0|103)}$ liegen.
Da $p(x)$ in Linearfaktorform gegeben ist, kannst du mit den obigen Informationen sofort auf $x_1$ schließen und anschließend über eine Punktprobe mit $P_y$ den Parameter $a$ bestimmen.
Die allgemeine Form einer Kosinusfunktion ist:
$f(x)=A\cdot\cos(\dfrac{2\pi}{T}(x-c))+d$
  • $A$: Amplitude
  • $T$: Periodenlänge
  • $c$: Verschiebung auf der $x$-Achse
  • $d$: Verschiebung auf der $y$-Achse
$f(x)=A\cdot\cos(\dfrac{2\pi}{T}(x-c))+d$
  • $A$: Amplitude
  • $T$: Periodenlänge
  • $c$: Verschiebung auf der $x$-Achse
  • $d$: Verschiebung auf der $y$-Achse
Verwende diese, um $c(x)$ im zweiten Schritt eindeutig zu bestimmen.
Gehe beim Lösen der Aufgabe also so vor:
  • Berechne im 1. Schritt den Parameter $a$ durch Einsetzen von $P_y(0|103)$ in $p(x)$.
  • Vergleiche im 2. Schritt die gegebene Kosinusfunktion mit der allgemeinen Funktion, um die Parameter $A$ und $T$ aus $c(x)$ abzulesen.
$\blacktriangleright$ 1. Schritt: $\boldsymbol {p(x)}$ bestimmen
Parameter $x_1$, im Funktionsterm von $p(x)$, beschreibt die Nullstellen der Funktion $p$. Da die höchste Stelle des Bogens auf der $y$-Achse liegt, müssen die Nullstellen von $p$ an den Stellen $x_N = \pm 170$ liegen. Setze also $x_1 = 170$ in $p(x)$ ein, um diesen eindeutig zu bestimmen.
Weiterhin ist bekannt, dass der Scheitelpunkt, also der Hochpunkt der Parabel, an der Stelle $x=0$ liegt, im Punkt $P_y(0|103)$. Führe eine Punktprobe mit diesem durch, um dann $p(x)$ vollständig zu bestimmen.
Daraus folgt:
$\begin{array}{rl} p(0)=&a\cdot(0-x_1)(0+x_1) \\ 103=&a\cdot(0-170)(0+170) \\ 103=&a\cdot(-170^2) \\ a\approx&-0,003564 \end{array}$
Der Funktionsterm von $p$ lautet also:
$p(x)=-0,003564\cdot(x-170)(x+170)$.
$\blacktriangleright$ 2. Schritt: $\boldsymbol{A}$ und $\boldsymbol{T}$ bestimmen
Die Amplitude $A$ stellt den größten Abstand der Funktion von der $\boldsymbol{x}$-Achse dar. Die Amplitude muss also der $y$-Koordinate des Punktes $P_y$ entsprechen, es gilt also: $A = 103$.
Aus dem Aufgabentext kannst du entnehmen, dass die Bogenspannweite $340\,\text{m}$ beträgt. Dies ist gleichbedeutend mit der halben Periodenlänge, da sich die Kosinusfunktion nach einer Periode wiederholt.
D.h. $T=2\cdot 340=680$
Der Funktionsterm von $c$ lautet also:
$c(x)=103\cdot \cos\left(\dfrac{2\pi}{680}\cdot x\right)$.
2.
2.1 $\blacktriangleright$ Bedeutung von $\boldsymbol{C}$ und $\boldsymbol{\lambda}$ untersuchen
Nun soll die Bogenform durch eine Scharfunktion, mit dem Funktionterm
$k(x) = C - \dfrac{1}{2 \cdot \lambda} \cdot \left( \mathrm e^{\lambda \cdot x}+ \mathrm e^{-\lambda \cdot x}\right)$
beschrieben werden. Deine Aufgabe ist es zunächst, die Bedeutung der Parameter $C \in \mathbb R$ und $\lambda \in \mathbb R \backslash \left\{0\right\}$ für die Graphen von $k$ zu untersuchen.
Willst du diese Aufgabe lösen, so verwende hier dein CAS.
Erkläre dazu den Parametereinfluss von $C$ und $\lambda$ getrennt, d.h. du variierst einen Parameter, z.B. $C$, während du dem anderen Parameter, im Beispiel dann $\lambda$, einen fixen Wert zuweist. Zeichne anschließend mit deinem CAS die verschiedenen Graphen und schließe dann von der Zeichnung auf den jeweiligen Parametereinfluss, der jeweiligen Parameter, auf die Graphen von $k$.
$\blacktriangleright$ 1. Schritt: Erklären des Parametereinflusses von Parameter $\boldsymbol{C}$
Um den Parametereinfluss von $C$ auf die Graphen von $k$ zu erklären, könntest du hier $\lambda$ mit $\lambda = 0,5$ festlegen und für Parameter $C$ die Werte $C_1 = 20$, $C_2 = 15$ und $C_3 = 10$ annehmen. Die betrachteten Scharfunktionen wären hier dann die folgenden:
  • $k_1(x) = 20 - \dfrac{1}{2 \cdot 0,5} \cdot \left( \mathrm e^{0,5 \cdot x}+ \mathrm e^{-0,5 \cdot x}\right)$,
  • $k_2(x) = 15 - \dfrac{1}{2 \cdot 0,5} \cdot \left( \mathrm e^{0,5 \cdot x}+ \mathrm e^{-0,5 \cdot x}\right)$ und
  • $k_3(x) = 10 - \dfrac{1}{2 \cdot 0,5} \cdot \left( \mathrm e^{0,5 \cdot x}+ \mathrm e^{-0,5 \cdot x}\right)$.
Lasse dir anschließend die Graphen von $k_1$ $(\texttt{f1})$, $k_2$ $(\texttt{f2})$ und $k_3$ $(\texttt{f3})$ im $\texttt{Graphs}$-Modus deines CAS anzeigen und schließe so auf den Einfluss von $C$ auf die Graphen von $k$:
A2 - Analysis
A2 - Analysis
Der Abbildung oben kannst du entnehmen, dass der Schnittpunkt der Graphen von $k$ mit der $\boldsymbol{y}$-Achse mit größer bzw. kleiner werdenden $C$ sich verändert. Das bedeutet, dass Parameter $C$ die Graphen der Scharfunktion $k$ entlang der $\boldsymbol{y}$-Achse verschiebt. Weiterhin hat $C$ keinen Einfluss auf die Streckung bzw. Stauchung der Graphen von $k$.
$\blacktriangleright$ 2. Schritt: Erklären des Parametereinflusses von Parameter $\boldsymbol{\lambda}$
Variiere nun $\lambda$, während du $C$ einen fixen Wert zuweist. Du könntest beispielsweise $C$ mit $C = 20$ festlegen, während du $\lambda$ mit den Werten $\lambda_1 = 0,5$, $\lambda_2 = 1$ und $\lambda_3 = 2$ variierest. Die betrachteten Scharfunktionen wären hier dann die folgenden:
  • $k_1(x) = 20 - \dfrac{1}{2 \cdot 0,5} \cdot \left( \mathrm e^{0,5 \cdot x}+ \mathrm e^{-0,5 \cdot x}\right)$,
  • $k_2(x) = 20 - \dfrac{1}{2 \cdot 1} \cdot \left( \mathrm e^{1 \cdot x}+ \mathrm e^{-1 \cdot x}\right)$ und
  • $k_3(x) = 20 - \dfrac{1}{2 \cdot 2} \cdot \left( \mathrm e^{2 \cdot x}+ \mathrm e^{-2 \cdot x}\right)$.
Lasse dir nun wie oben die Graphen von $k_1$ $(\texttt{f1})$, $k_2$ $(\texttt{f2})$ und $k_3$ $(\texttt{f3})$ im $\texttt{Graphs}$-Modus deines CAS anzeigen und schließe so auf den Einfluss von $\lambda$ auf die Graphen von $k$:
A2 - Analysis
A2 - Analysis
Der Abbildung von oben kannst du entnehmen, dass die Graphen von $k$ mit zunehmendem Wert von $\lambda$ zunehmend stärker gestaucht werden. Weiterhin verringert sich ebenfalls der Schnittpunkt mit der $y$-Achse mit zunehmenden Werten von $\lambda$.
$\lambda$ streckt bzw. staucht also hauptsächlich die Graphen der Funktion $k$.
2.2 $\blacktriangleright$ Angeben von zwei Gleichungen
Hier sollst du nun zwei Gleichungen angeben, um die Parameter $C$ und $\lambda$ so zu bestimmen, dass die Informationen aus dem einleitenden Text eingehalten werden.
Bevor du diese Aufgabe löst, ist es hier sinnvoll, zunächst die Informationen aus dem einleitenden Text, die für den Graphen von $k$ von Bedeutung sind, nochmal zusammenzufassen:
  • Die $y$-Achse soll so gewählt werden, dass der höchste Punkt des Bogens auf der $y$-Achse liegt.
  • Die $x$-Achse soll so gewählt werden, dass die Bodenlinie auf der $x$-Achse liegt.
  • Der höchste Punkt liegt $103\,\text{m}$ über dem Boden.
  • Die Bogenspannweite beträgt $340\,\text{m}$.
Betrachtest du den Funktionsterm von $k$, so kannst du erkennen, dass hier mit $C$ und $\lambda$ insgesamt 2 Unbekannte gegeben sind, was die Anzahl der anzugebenden Gleichungen erklärt.
Wie in Aufgabenteil 1 kannst du nun Aussagen über Schnittpunkte des Graphen von $k$ mit der $y$-Achse und mit der $x$-Achse treffen, um so die gesuchten Gleichungen zu formulieren.
Die erste Gleichung ergibt sich aus der Tatsache, dass der Scheitelpunkt auf der $y$-Achse liegen soll und dadurch durch den Punkt $P_y(0|103)$ beschrieben werden kann. Führe mit $k$ eine Punktprobe mit $\boldsymbol{P_y}$ durch, um die erste Gleichung zu erhalten:
$\begin{array}{rrl} Ⅰ&k(0)=&103 = C - \dfrac{1}{2 \cdot \lambda} \cdot \left( e^{\lambda \cdot 0} + e^{-\lambda \cdot 0}\right) \\ & 103 =& C - \dfrac{1}{2 \cdot \lambda} \cdot \left( 1 + 1\right) \\ & 103 =& C - \dfrac{1}{\lambda} \end{array}$
Die zweite Gleichung erhältst du aus der Tatsache, dass der Graph von $k$ bei $x_1 = -170$ bzw. $x_2 = 170$ die $x$-Achse schneiden muss. Setze also beispielsweise $x_2$ ein, um die zweite, hier gesuchte, Gleichung zu erhalten:
$\begin{array}{rrl} Ⅱ&k(170)=&0 = C - \dfrac{1}{2 \cdot \lambda} \cdot \left( e^{\lambda \cdot 170} + e^{-\lambda \cdot 170}\right) \\ &0=&C - \dfrac{1}{2 \cdot \lambda} \cdot \left( e^{170 \cdot \lambda} + e^{-170 \cdot \lambda}\right) \end{array}$
2.3 $\blacktriangleright$ Bestimmen der gesuchten Werte von $\boldsymbol{x}$
Im letzten Teil dieser Teilaufgabe sollst du nun bestimmen, für welche Werte von $x$ sich die Funktionswerte von $k$ und $p$ bzw. diejenigen von $k$ und $c$ am stärksten unterscheiden. Weiterhin sollst du die Abstände zwischen den Graphen an diesen Stellen angeben.
Aus dem Aufgabenteil $1$ weißt du, dass für $p$ und $c$ gilt:
  • $p(x) = - 0,003564 \cdot (x - 170)(x+170)$
  • $c(x) = 103 \cdot \cos\left(\dfrac{2 \cdot \pi}{680} \cdot x\right)$
Für den Funktionsterm der Funktion $k$ soll in diesem Aufgabenteil dabei folgendes gelten:
  • $p(x) = - 0,003564 \cdot (x - 170)(x+170)$
  • $c(x) = 103 \cdot \cos\left(\dfrac{2 \cdot \pi}{680} \cdot x\right)$
Willst du jene Stellen bestimmen, an welchen sich die Funktionswerte von $k$ und $p$ bzw. die von $k$ und $c$ am stärksten unterscheiden, so bildest du hier sogenannte Differenzfunktionen. Differenzfunktionen ergeben sich dabei aus dem Betrag der Differenz zwischen den betrachteten Funktionstermen.
Hast du diese Differenzfunktionen wie angegeben gebildet, so untersuchst du diese auf globale Maxima im betrachteten Bereich. Das heißt du untersuchst die bestimmten Differenzfunktionen zwischen den oben behandelten Nullstellen der Funktionen auf lokale Maxima. Da alle drei Funktionen die gleichen Nullstellen besitzen, erübrigt es sich hier die Randstellen des betrachteten Intervalls $[-170;170]$ zu untersuchen.
Beachte hier, dass für ein lokales Maxima bei $x_M$ folgende zwei Bedingungen erfüllt sein müssen:
  • Notwendige Bedingung: $d'(x_M) = 0$
  • Hinreichende Bedingung: $d''(x_M) < 0 $
Verwende zum Berechnen dein CAS und gib zuletzt die Abstände an den berechneten Extremstellen an. Diese entsprechen dann den Funktionswerten der betrachteten Differenzfunktionen.
Gehe beim Lösen dieser Aufgabe also so vor:
  1. Schritt: Bestimme die Differenzfunktionen
  2. Schritt: Bestimme die lokale Maxima der Differenzfunktionen
  3. Schritt: Bestimme die maximalen Abstände
$\blacktriangleright$ 1. Schritt: Bestimmen der Differenzfunktionen
Um die Stellen mit maximalen Abstand zwischen den Funktionen $p$ und $k$ berechnen zu können, musst du hier die Differenzfunktion $d_1$, mit
  • $d_1(x) = \left|p(x) - k(x)\right|$
betrachten. Für den Abstand zwischen Funktion $c$ und $k$ gilt dann analog:
  • $d_2(x) = \left|c(x) - k(x)\right|$.
$\blacktriangleright$ 2. Schritt: Bestimmen der lokalen Maxima der Differenzfunktionen
Willst du nun die lokalen Maxima der Differenzfunktionen bestimmen, so legst du diese zunächst, wie in Schaubildern unten, im $\texttt{Calculator}$-Modus deines CAS fest:
A2 - Analysis
A2 - Analysis
A2 - Analysis
Lege anschließend die benötigten Ableitungsfunktionen $d_1'$ und $d_1''$ bzw. $d_2'$ und $d_2''$ fest. Verwende dazu den Ableitungsbefehl, welchen du unter
$\texttt{menu \(\to\) 4: Analysis \(\to\) 1: Ableitung}$
findest. Hier wurde $d_1'$ unter $\texttt{d1d1}$ und $d_1''$ unter $\texttt{d2d1}$ festgelegt (analog bei $d_2'$ und $d_2''$):
A2 - Analysis
A2 - Analysis
A2 - Analysis
Verwende nun den $\texttt{solve}$-Befehl um die Extremstellen von $d_1$ sowie $d_2$ zu berechnen. Deine Berechnung sollte hier wie unten zu sehen ist abgelaufen sein.
A2 - Analysis
A2 - Analysis
Die Extremstellen von $d_1$ und $d_2$ ergeben sich hier also zu:
  • Extremstellen von $d_1$: $x_1 = -120,8$, $x_2 = 0$ und $x_3 = 120,8$
  • Extremstellen von $d_2$: $x_4 = -119,49$, $x_5 = 0$ und $x_6 = 119,49$
Da dein CAS nicht dazu in der Lage ist, die Funktionswerte der zweiten Ableitungsfunktion zu berechnen (siehe unten), gehen wir hier einen anderen Weg.
A2 - Analysis
A2 - Analysis
Setze hier die ermittelten Extremstellen in $d_1$ bzw. $d_2$ ein und finde so heraus, welches jeweils die Stellen mit maximalen Abstand sind:
A2 - Analysis
A2 - Analysis
Es ergibt sich also:
  • Der Abstand zwischen den Graphen von $p$ und $k$ ist also an den Stellen $x_1 = -120,8$ und $x_3 = 120,8$ mit $2,48\,\text{m}$ maximal.
  • Der Abstand zwischen den Graphen von $c$ und $k$ ist hingegen an den Stellen
    $x_4 = -119,49$ und $x_6 = 119,49$ mit $8,25\,\text{m}$ maximal.
3.
3.1 $\blacktriangleright$ Herleitungsschritte (1) bis (3) erklären
Bei dieser Aufgabe sollst du mit Hilfe der Kurve in Material 2 die Herleitungsschritte aus Material 3 bis zum 3. Schritt erklären.
  • $x_0$ ist die $x$-Koordinate von $P$
  • $\Delta x$ beschreibt die Differenz der $x$-Werte von $P$ und $Q$
  • $x_0+\Delta x$ stellt somit die $x$-Koordinate von $Q$ dar.
Du hast zwei Beispiele gegeben, die dir die Zusammenhänge zwischen der Kurve und der Rechnung näher bringen.
Die Bogenlänge $\overset{\displaystyle\frown}{AQ}$ wird mit $\overset{\displaystyle\frown}{AQ}=L_a(x_0+\Delta x)$ berechnet, d.h. $L_a$ wird mit der $x$-Koordinate multipliziert.
Das Gleiche gilt für $\overset{\displaystyle\frown}{AP}$:$\,$$\overset{\displaystyle\frown}{AP}=L_a(x_0)$
$\blacktriangleright$ 1. Schritt:Länge des Kurvenbogens
Die Länge des Kurvenbogens $\overset{\displaystyle\frown}{PQ}$ ist die Differenz von $\overset{\displaystyle\frown}{AQ}$ und $\overset{\displaystyle\frown}{AP}$.
$\overset{\displaystyle\frown}{PQ}=\overset{\displaystyle\frown}{AQ}-\overset{\displaystyle\frown}{AP}=L_a(x_0+\Delta x)-L_a(x_0)$
$\blacktriangleright$ 2. Schritt: Länge der Strecke
Hier wird die Länge der Strecke von $P$ zu $Q$ berechnet und mit $\overset{\displaystyle\frown}{PQ}$ verglichen.
Die Länge der Strecke $\overline{PQ}$ lässt sich mit dem Satz des Pythagoras berechnen:
$(\Delta x)^2+(\Delta y)^2=\overline{PQ}^2$
Daraus folgt:
$\left|\overline{PQ}\right|=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}$.
Diese Strecke stellt eine Sekante dar und kann maximal so groß wie der Bogen $\overset{\displaystyle\frown}{PQ}$ sein.
Somit gilt:
$\left|\overline{PQ}\right|\leq\overset{\displaystyle\frown}{PQ}$
$\blacktriangleright$ 3. Schritt: Differenzenquotient
Im 3. Schritt wird auf beiden Seiten der Gleichung mit $\Delta x$ dividiert.
Auf der rechten Seite ergibt sich dadurch der Differenzenquotient der Funktion $L_a$.
3.2 $\blacktriangleright$ Behauptung beweisen
Du hast eine Gleichung gegeben und sollst diese auf Gültigkeit untersuchen.
Weiterhin hast du als Hinweis gegeben, dass du die Ableitungen beider Seiten der Gleichung bestimmen sollst. Das heißt, du musst im ersten Schritt die Ableitung von $k'$ bestimmen, um dann im zweiten Schritt die Gültigkeit der Gleichung beweisen zu können.
Beachte beim Lösen der Aufgabe, dass es hier nicht zulässig ist, das CAS zu verwenden.
$\blacktriangleright$ 1. Schritt: Bestimmen der ersten Ableitung von $\boldsymbol{k}$
Verwende zum Ableiten von $k$ die Kettenregel:
$\begin{array}{rl} k(x)=&C - \dfrac{1}{2 \cdot \lambda} \cdot \left( \mathrm e^{\lambda \cdot x}+ \mathrm e^{-\lambda \cdot x}\right) \\[5pt] k'(x)=&-\dfrac{1}{2 \cdot \lambda} \cdot \left(\lambda \mathrm e^{\lambda \cdot x}+ (-\lambda) \mathrm e^{-\lambda \cdot x}\right) \\ =&-\dfrac{1}{2 \cdot \lambda} \cdot \left(\lambda \mathrm e^{\lambda \cdot x} -\lambda \mathrm e^{-\lambda \cdot x}\right) \\ =&-\dfrac{1}{2 \cdot \lambda} \cdot \lambda \cdot \left(\mathrm e^{\lambda \cdot x} - \mathrm e^{-\lambda \cdot x}\right) \\ =&-\dfrac{1}{2}\cdot \left(\mathrm e^{\lambda \cdot x} - \mathrm e^{-\lambda \cdot x}\right) \end{array}$
$\blacktriangleright$ 2. Schritt: Beweisen der Gültigkeit
Setze nun $k'(x)$ in den Zusammenhang aus der Aufgabenstellung ein und beweise wie in den folgenden Schritten die Gültigkeit des Zusammenhangs:
$\begin{array}{rll} \mathop{\displaystyle\int}\limits_{\,}^{\,}\sqrt{1+\left(k'(x)\right)^{2}}\mathrm dx\stackrel{!}{=}&\dfrac{1}{2\lambda}\cdot\left(\mathrm e^{\lambda\cdot x}-\mathrm e^{-\lambda\cdot x}\right)+C&\scriptsize \text{Einsetzen von}\; k'(x) \\ \mathop{\displaystyle\int}\limits_{\,}^{\,}\sqrt{1+\left(-\dfrac{1}{2}\cdot(\mathrm e^{\lambda x}-\mathrm e^{-\lambda x})\right)^{2}}\mathrm dx\stackrel{!}{=}&\dfrac{1}{2\lambda}\cdot\left(\mathrm e^{\lambda\cdot x}-\mathrm e^{-\lambda\cdot x}\right)+C \end{array}$
$\begin{array}{rl} \mathop{\displaystyle\int}\limits_{\,}^{\,}\sqrt{1+\left(k'(x)\right)^{2}}\mathrm dx \\ \stackrel{!}{=}\dfrac{1}{2\lambda}\cdot\left(\mathrm e^{\lambda\cdot x}-\mathrm e^{-\lambda\cdot x}\right)+C \\ \\ \mathop{\displaystyle\int}\limits_{\,}^{\,}\sqrt{1+\left(-\dfrac{1}{2}\cdot(\mathrm e^{\lambda x}-\mathrm e^{-\lambda x})\right)^{2}}\mathrm dx \\ \stackrel{!}{=}\dfrac{1}{2\lambda}\cdot\left(\mathrm e^{\lambda\cdot x}-\mathrm e^{-\lambda\cdot x}\right)+C \end{array}$
Das unbestimmte Integral einer Ableitung einer bestimmten Funktion ist die Funktion selbst. Bedenke das bei den folgenden Schritten.
Bilde nun auf beiden Seiten die Ableitungen:
$\begin{array}{rll} \sqrt{1+\left(-\dfrac{1}{2}\cdot(\mathrm e^{\lambda x}-\mathrm e^{-\lambda x})\right)^{2}}\stackrel{!}{=}&\dfrac{1}{2}\cdot\left(\mathrm e^{\lambda\cdot x}+\mathrm e^{-\lambda\cdot x}\right)&\scriptsize \text{2. binomische Formel anwenden} \\ \sqrt{1+\left(\dfrac{1}{4}\cdot(\mathrm e^{2\lambda x}-2\mathrm e^{\lambda x}\mathrm e^{-\lambda x}+\mathrm e^{-2\lambda x})\right)}\stackrel{!}{=}&\dfrac{1}{2}\cdot\left(\mathrm e^{\lambda\cdot x}+\mathrm e^{-\lambda\cdot x}\right)&\scriptsize \mathrm e^{\lambda x}\mathrm e^{-\lambda x}=\mathrm e^0=1 \\ \sqrt{1+\left(\dfrac{1}{4}\cdot(\mathrm e^{2\lambda x}-2+\mathrm e^{-2\lambda x})\right)}\stackrel{!}{=}&\dfrac{1}{2}\cdot\left(\mathrm e^{\lambda\cdot x}+\mathrm e^{-\lambda\cdot x}\right)&\scriptsize \text{Quadrieren} \\ 1+\left(\dfrac{1}{4}\cdot(\mathrm e^{2\lambda x}-2+\mathrm e^{-2\lambda x})\right)\stackrel{!}{=}&\dfrac{1}{4}\cdot\left(\mathrm e^{\lambda\cdot x}+\mathrm e^{-\lambda\cdot x}\right)^2&\scriptsize \text{2. binomische Formel anwenden} \\ 1+\dfrac{1}{4}\cdot(\mathrm e^{2\lambda x}-2+\mathrm e^{-2\lambda x})=&\dfrac{1}{4}\cdot\left(\mathrm e^{2\lambda\cdot x}+2+\mathrm e^{-2\lambda\cdot x}\right) \end{array}$
$\begin{array}{l} \sqrt{1+\left(-\dfrac{1}{2}\cdot(\mathrm e^{\lambda x}-\mathrm e^{-\lambda x})\right)^{2}} \\ \stackrel{!}{=}\dfrac{1}{2}\cdot\left(\mathrm e^{\lambda\cdot x}+\mathrm e^{-\lambda\cdot x}\right) \\ \\ \sqrt{1+\left(\dfrac{1}{4}\cdot(\mathrm e^{2\lambda x}-2\mathrm e^{\lambda x}\mathrm e^{-\lambda x}+\mathrm e^{-2\lambda x})\right)} \\ \stackrel{!}{=}\dfrac{1}{2}\cdot\left(\mathrm e^{\lambda\cdot x}+\mathrm e^{-\lambda\cdot x}\right) \\ \\ \sqrt{1+\left(\dfrac{1}{4}\cdot(\mathrm e^{2\lambda x}-2+\mathrm e^{-2\lambda x})\right)} \\ \stackrel{!}{=}\dfrac{1}{2}\cdot\left(\mathrm e^{\lambda\cdot x}+\mathrm e^{-\lambda\cdot x}\right) \\ \\ 1+\left(\dfrac{1}{4}\cdot(\mathrm e^{2\lambda x}-2+\mathrm e^{-2\lambda x})\right) \\ \stackrel{!}{=}\dfrac{1}{4}\cdot\left(\mathrm e^{\lambda\cdot x}+\mathrm e^{-\lambda\cdot x}\right)^2 \\ \\ 1+\dfrac{1}{4}\cdot(\mathrm e^{2\lambda x}-2+\mathrm e^{-2\lambda x}) \\ =\dfrac{1}{4}\cdot\left(\mathrm e^{2\lambda\cdot x}+2+\mathrm e^{-2\lambda\cdot x}\right) \end{array}$
Die beiden Gleichungsseiten unterscheiden sich somit nur durch eine Konstante, die durch Integrieren und anschließendem Ableiten entstanden ist.
Sie hat keine Auswirkung auf das Ergebnis.
3.3 $\blacktriangleright$ Länge der zurückgelegten Strecke bestimmen
Zum Lösen dieser Aufgabe kannst du folgende Beziehungen/Angaben dem Aufgabentext bzw. den vorhergehenden Aufgabenteilen entnehmen:
  • $L_a'(x)=\sqrt{1+(f'(x))^2}$
  • $\mathop{\displaystyle\int}\limits_{\,}^{\,}\sqrt{1+\left(k'(x)\right)^{2}}\mathrm dx$$=\dfrac{1}{2\lambda}\cdot\left(\mathrm e^{\lambda\cdot x}-\mathrm e^{-\lambda\cdot x}\right)+C\\[5pt]$
  • $\lambda=0,00645$
  • Die halbe Bogenlänge verläuft von $x_1=0$ bis $x_2=170$
Um die Länge $L_a$ des Bogens zu bestimmen, musst du zunächst $L_a'$ integrieren, da $L_a$ einen Ansatz zur Berechnung von Längen von Graphen liefert.
Verwende hier zum Berechnen die Beziehung aus Aufgabe 3.2. Setze hier die Intervallgrenzen in die Funktion ein, um schließlich die Länge $L_a$ zu berechnen. Die Intervallgrenzen müssen hier die halbe Bogenlänge repräsentieren, für diese muss also $x_1 = 0$ und $x_2 = 170$ gelten.
Integrieren von $L_a'(x)$ liefert:
$L_a(x)=\displaystyle\int_{\,}^{\,}\sqrt{1+(f'(x))^2}\mathrm dx$
Nutze nun die Beziehung aus 3.2:
Die Konstante $C$ wurde in der Aufgabenstellung aus formellen Gründen erwähnt, würde später aber wegfallen und kann somit gleich vernachlässigt werden.
$\begin{array}{rl} L_a(x)=&\displaystyle\int_{\,}^{\,}\sqrt{1+(f'(x))^2}\mathrm dx \\ =&\dfrac{1}{2\lambda}\cdot\left(\mathrm e^{\lambda\cdot x}-\mathrm e^{-\lambda\cdot x}\right) \end{array}$
Setze nun $\lambda$ sowie die Intervallgrenzen $x_1=0$ und $x_2=170$ in die Gleichung ein:
$\begin{array}{l} \left[\dfrac{1}{2\cdot 0,00645}\cdot\left(\mathrm e^{0,00645\cdot x}-\mathrm e^{-0,00645\cdot x}\right)\right]^{170}_0 \\ =\dfrac{1}{2\cdot 0,00645}\cdot\left(\mathrm e^{0,00645\cdot 170}-\mathrm e^{-0,00645\cdot 170}\right)-\dfrac{1}{2\cdot 0,00645}\cdot\left(\mathrm e^{0}-\mathrm e^{0}\right) \\ \approx 206-0 \\ =206 \end{array}$
$\begin{array}{l} \left[\dfrac{1}{2\cdot 0,00645}\cdot\left(\mathrm e^{0,00645\cdot x}-\mathrm e^{-0,00645\cdot x}\right)\right]^{170}_0 \\ =\dfrac{1}{2\cdot 0,00645}\cdot\left(\mathrm e^{0,00645\cdot 170}-\mathrm e^{-0,00645\cdot 170}\right) \\ \,\,-\dfrac{1}{2\cdot 0,00645}\cdot\left(\mathrm e^{0}-\mathrm e^{0}\right) \\ \approx 206-0 \\ =206 \end{array}$
Die Länge der Strecke beträgt etwa 206 m.
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1. $\blacktriangleright$ Bestimmen der Funktionsterme von $\boldsymbol{p}$ und $\boldsymbol{c}$
Zum Lösen dieser Aufgabe hast du zwei Funktionen gegeben, die den Bogen des Stadions beschreiben sollen:
  • $p(x)=a\cdot(x-x_{1})\cdot(x+x_{1})\\[5pt]$
  • $c(x)=A\cdot\cos\left(\dfrac{2\pi}{T}\cdot x\right)$
Bei $p$ handelt es sich also um eine ganzrationale Funktion zweiten Grades, die in Linearfaktorform gegeben ist. Weiterhin hast du mit $c$ eine trigonometrische Funktion gegeben.
Der Aufgabenstellung kannst du außerdem entnehmen, dass du dein zugrunde liegendes Koordinatensystem so wählen sollst, dass die Bodenlinie auf der $\boldsymbol{x}$-Achse und der höchste Punkt des Bogens auf der $\boldsymbol{y}$-Achse liegen soll.
Daraus kannst du ableiten, dass der Abstand zwischen den Nullstellen der modellierten Funktion $340\,\text{m}$ betragen muss. Des weiteren muss der höchste Punkt dann im Punkt $\boldsymbol{P_y(0|103)}$ liegen.
Da $p(x)$ in Linearfaktorform gegeben ist, kannst du mit den obigen Informationen sofort auf $x_1$ schließen und anschließend über eine Punktprobe mit $P_y$ den Parameter $a$ bestimmen.
Die allgemeine Form einer Kosinusfunktion ist:
$f(x)=A\cdot\cos(\dfrac{2\pi}{T}(x-c))+d$
  • $A$: Amplitude
  • $T$: Periodenlänge
  • $c$: Verschiebung auf der $x$-Achse
  • $d$: Verschiebung auf der $y$-Achse
$f(x)=A\cdot\cos(\dfrac{2\pi}{T}(x-c))+d$
  • $A$: Amplitude
  • $T$: Periodenlänge
  • $c$: Verschiebung auf der $x$-Achse
  • $d$: Verschiebung auf der $y$-Achse
Verwende diese, um $c(x)$ im zweiten Schritt eindeutig zu bestimmen.
Gehe beim Lösen der Aufgabe also so vor:
  • Berechne im 1. Schritt den Parameter $a$ durch Einsetzen von $P_y(0|103)$ in $p(x)$.
  • Vergleiche im 2. Schritt die gegebene Kosinusfunktion mit der allgemeinen Funktion, um die Parameter $A$ und $T$ aus $c(x)$ abzulesen.
$\blacktriangleright$ 1. Schritt: $\boldsymbol {p(x)}$ bestimmen
Parameter $x_1$, im Funktionsterm von $p(x)$, beschreibt die Nullstellen der Funktion $p$. Da die höchste Stelle des Bogens auf der $y$-Achse liegt, müssen die Nullstellen von $p$ an den Stellen $x_N = \pm 170$ liegen. Setze also $x_1 = 170$ in $p(x)$ ein, um diesen eindeutig zu bestimmen.
Weiterhin ist bekannt, dass der Scheitelpunkt, also der Hochpunkt der Parabel, an der Stelle $x=0$ liegt, im Punkt $P_y(0|103)$. Führe eine Punktprobe mit diesem durch, um dann $p(x)$ vollständig zu bestimmen.
Daraus folgt:
$\begin{array}{rl} p(0)=&a\cdot(0-x_1)(0+x_1) \\ 103=&a\cdot(0-170)(0+170) \\ 103=&a\cdot(-170^2) \\ a\approx&-0,003564 \end{array}$
Der Funktionsterm von $p$ lautet also:
$p(x)=-0,003564\cdot(x-170)(x+170)$.
$\blacktriangleright$ 2. Schritt: $\boldsymbol{A}$ und $\boldsymbol{T}$ bestimmen
Die Amplitude $A$ stellt den größten Abstand der Funktion von der $\boldsymbol{x}$-Achse dar. Die Amplitude muss also der $y$-Koordinate des Punktes $P_y$ entsprechen, es gilt also: $A = 103$.
Aus dem Aufgabentext kannst du entnehmen, dass die Bogenspannweite $340\,\text{m}$ beträgt. Dies ist gleichbedeutend mit der halben Periodenlänge, da sich die Kosinusfunktion nach einer Periode wiederholt.
D.h. $T=2\cdot 340=680$
Der Funktionsterm von $c$ lautet also:
$c(x)=103\cdot \cos\left(\dfrac{2\pi}{680}\cdot x\right)$.
2.
2.1 $\blacktriangleright$ Bedeutung von $\boldsymbol{C}$ und $\boldsymbol{\lambda}$ untersuchen
Nun soll die Bogenform durch eine Scharfunktion, mit dem Funktionterm
$k(x) = C - \dfrac{1}{2 \cdot \lambda} \cdot \left( \mathrm e^{\lambda \cdot x}+ \mathrm e^{-\lambda \cdot x}\right)$
beschrieben werden. Deine Aufgabe ist es zunächst, die Bedeutung der Parameter $C \in \mathbb R$ und $\lambda \in \mathbb R \backslash \left\{0\right\}$ für die Graphen von $k$ zu untersuchen.
Willst du diese Aufgabe lösen, so verwende hier dein CAS.
Erkläre dazu den Parametereinfluss von $C$ und $\lambda$ getrennt, d.h. du variierst einen Parameter, z.B. $C$, während du dem anderen Parameter, im Beispiel dann $\lambda$, einen fixen Wert zuweist. Zeichne anschließend mit deinem CAS die verschiedenen Graphen und schließe dann von der Zeichnung auf den jeweiligen Parametereinfluss, der jeweiligen Parameter, auf die Graphen von $k$.
$\blacktriangleright$ 1. Schritt: Erklären des Parametereinflusses von Parameter $\boldsymbol{C}$
Um den Parametereinfluss von $C$ auf die Graphen von $k$ zu erklären, könntest du hier $\lambda$ mit $\lambda = 0,5$ festlegen und für Parameter $C$ die Werte $C_1 = 20$, $C_2 = 15$ und $C_3 = 10$ annehmen. Die betrachteten Scharfunktionen wären hier dann die folgenden:
  • $k_1(x) = 20 - \dfrac{1}{2 \cdot 0,5} \cdot \left( \mathrm e^{0,5 \cdot x}+ \mathrm e^{-0,5 \cdot x}\right)$,
  • $k_2(x) = 15 - \dfrac{1}{2 \cdot 0,5} \cdot \left( \mathrm e^{0,5 \cdot x}+ \mathrm e^{-0,5 \cdot x}\right)$ und
  • $k_3(x) = 10 - \dfrac{1}{2 \cdot 0,5} \cdot \left( \mathrm e^{0,5 \cdot x}+ \mathrm e^{-0,5 \cdot x}\right)$.
Lasse dir anschließend die Graphen von $k_1$ $(\texttt{f1})$, $k_2$ $(\texttt{f2})$ und $k_3$ $(\texttt{f3})$ im $\texttt{Graphs}$-Modus deines CAS anzeigen und schließe so auf den Einfluss von $C$ auf die Graphen von $k$:
A2 - Analysis
A2 - Analysis
Der Abbildung oben kannst du entnehmen, dass der Schnittpunkt der Graphen von $k$ mit der $\boldsymbol{y}$-Achse mit größer bzw. kleiner werdenden $C$ sich verändert. Das bedeutet, dass Parameter $C$ die Graphen der Scharfunktion $k$ entlang der $\boldsymbol{y}$-Achse verschiebt. Weiterhin hat $C$ keinen Einfluss auf die Streckung bzw. Stauchung der Graphen von $k$.
$\blacktriangleright$ 2. Schritt: Erklären des Parametereinflusses von Parameter $\boldsymbol{\lambda}$
Variiere nun $\lambda$, während du $C$ einen fixen Wert zuweist. Du könntest beispielsweise $C$ mit $C = 20$ festlegen, während du $\lambda$ mit den Werten $\lambda_1 = 0,5$, $\lambda_2 = 1$ und $\lambda_3 = 2$ variierest. Die betrachteten Scharfunktionen wären hier dann die folgenden:
  • $k_1(x) = 20 - \dfrac{1}{2 \cdot 0,5} \cdot \left( \mathrm e^{0,5 \cdot x}+ \mathrm e^{-0,5 \cdot x}\right)$,
  • $k_2(x) = 20 - \dfrac{1}{2 \cdot 1} \cdot \left( \mathrm e^{1 \cdot x}+ \mathrm e^{-1 \cdot x}\right)$ und
  • $k_3(x) = 20 - \dfrac{1}{2 \cdot 2} \cdot \left( \mathrm e^{2 \cdot x}+ \mathrm e^{-2 \cdot x}\right)$.
Lasse dir nun wie oben die Graphen von $k_1$ $(\texttt{f1})$, $k_2$ $(\texttt{f2})$ und $k_3$ $(\texttt{f3})$ im $\texttt{Graphs}$-Modus deines CAS anzeigen und schließe so auf den Einfluss von $\lambda$ auf die Graphen von $k$:
A2 - Analysis
A2 - Analysis
Der Abbildung von oben kannst du entnehmen, dass die Graphen von $k$ mit zunehmendem Wert von $\lambda$ zunehmend stärker gestaucht werden. Weiterhin verringert sich ebenfalls der Schnittpunkt mit der $y$-Achse mit zunehmenden Werten von $\lambda$.
$\lambda$ streckt bzw. staucht also hauptsächlich die Graphen der Funktion $k$.
2.2 $\blacktriangleright$ Angeben von zwei Gleichungen
Hier sollst du nun zwei Gleichungen angeben, um die Parameter $C$ und $\lambda$ so zu bestimmen, dass die Informationen aus dem einleitenden Text eingehalten werden.
Bevor du diese Aufgabe löst, ist es hier sinnvoll, zunächst die Informationen aus dem einleitenden Text, die für den Graphen von $k$ von Bedeutung sind, nochmal zusammenzufassen:
  • Die $y$-Achse soll so gewählt werden, dass der höchste Punkt des Bogens auf der $y$-Achse liegt.
  • Die $x$-Achse soll so gewählt werden, dass die Bodenlinie auf der $x$-Achse liegt.
  • Der höchste Punkt liegt $103\,\text{m}$ über dem Boden.
  • Die Bogenspannweite beträgt $340\,\text{m}$.
Betrachtest du den Funktionsterm von $k$, so kannst du erkennen, dass hier mit $C$ und $\lambda$ insgesamt 2 Unbekannte gegeben sind, was die Anzahl der anzugebenden Gleichungen erklärt.
Wie in Aufgabenteil 1 kannst du nun Aussagen über Schnittpunkte des Graphen von $k$ mit der $y$-Achse und mit der $x$-Achse treffen, um so die gesuchten Gleichungen zu formulieren.
Die erste Gleichung ergibt sich aus der Tatsache, dass der Scheitelpunkt auf der $y$-Achse liegen soll und dadurch durch den Punkt $P_y(0|103)$ beschrieben werden kann. Führe mit $k$ eine Punktprobe mit $\boldsymbol{P_y}$ durch, um die erste Gleichung zu erhalten:
$\begin{array}{rrl} Ⅰ&k(0)=&103 = C - \dfrac{1}{2 \cdot \lambda} \cdot \left( e^{\lambda \cdot 0} + e^{-\lambda \cdot 0}\right) \\ & 103 =& C - \dfrac{1}{2 \cdot \lambda} \cdot \left( 1 + 1\right) \\ & 103 =& C - \dfrac{1}{\lambda} \end{array}$
Die zweite Gleichung erhältst du aus der Tatsache, dass der Graph von $k$ bei $x_1 = -170$ bzw. $x_2 = 170$ die $x$-Achse schneiden muss. Setze also beispielsweise $x_2$ ein, um die zweite, hier gesuchte, Gleichung zu erhalten:
$\begin{array}{rrl} Ⅱ&k(170)=&0 = C - \dfrac{1}{2 \cdot \lambda} \cdot \left( e^{\lambda \cdot 170} + e^{-\lambda \cdot 170}\right) \\ &0=&C - \dfrac{1}{2 \cdot \lambda} \cdot \left( e^{170 \cdot \lambda} + e^{-170 \cdot \lambda}\right) \end{array}$
2.3 $\blacktriangleright$ Bestimmen der gesuchten Werte von $\boldsymbol{x}$
Im letzten Teil dieser Teilaufgabe sollst du nun bestimmen, für welche Werte von $x$ sich die Funktionswerte von $k$ und $p$ bzw. diejenigen von $k$ und $c$ am stärksten unterscheiden. Weiterhin sollst du die Abstände zwischen den Graphen an diesen Stellen angeben.
Aus dem Aufgabenteil $1$ weißt du, dass für $p$ und $c$ gilt:
  • $p(x) = - 0,003564 \cdot (x - 170)(x+170)$
  • $c(x) = 103 \cdot \cos\left(\dfrac{2 \cdot \pi}{680} \cdot x\right)$
Für den Funktionsterm der Funktion $k$ soll in diesem Aufgabenteil dabei folgendes gelten:
  • $p(x) = - 0,003564 \cdot (x - 170)(x+170)$
  • $c(x) = 103 \cdot \cos\left(\dfrac{2 \cdot \pi}{680} \cdot x\right)$
Willst du jene Stellen bestimmen, an welchen sich die Funktionswerte von $k$ und $p$ bzw. die von $k$ und $c$ am stärksten unterscheiden, so bildest du hier sogenannte Differenzfunktionen. Differenzfunktionen ergeben sich dabei aus dem Betrag der Differenz zwischen den betrachteten Funktionstermen.
Hast du diese Differenzfunktionen wie angegeben gebildet, so untersuchst du diese auf globale Maxima im betrachteten Bereich. Das heißt du untersuchst die bestimmten Differenzfunktionen zwischen den oben behandelten Nullstellen der Funktionen auf lokale Maxima. Da alle drei Funktionen die gleichen Nullstellen besitzen, erübrigt es sich hier die Randstellen des betrachteten Intervalls $[-170;170]$ zu untersuchen.
Beachte hier, dass für ein lokales Maxima bei $x_M$ folgende zwei Bedingungen erfüllt sein müssen:
  • Notwendige Bedingung: $d'(x_M) = 0$
  • Hinreichende Bedingung: $d''(x_M) < 0 $
Verwende zum Berechnen dein CAS und gib zuletzt die Abstände an den berechneten Extremstellen an. Diese entsprechen dann den Funktionswerten der betrachteten Differenzfunktionen.
Gehe beim Lösen dieser Aufgabe also so vor:
  1. Schritt: Bestimme die Differenzfunktionen
  2. Schritt: Bestimme die lokale Maxima der Differenzfunktionen
  3. Schritt: Bestimme die maximalen Abstände
$\blacktriangleright$ 1. Schritt: Bestimmen der Differenzfunktionen
Um die Stellen mit maximalen Abstand zwischen den Funktionen $p$ und $k$ berechnen zu können, musst du hier die Differenzfunktion $d_1$, mit
  • $d_1(x) = \left|p(x) - k(x)\right|$
betrachten. Für den Abstand zwischen Funktion $c$ und $k$ gilt dann analog:
  • $d_2(x) = \left|c(x) - k(x)\right|$.
$\blacktriangleright$ 2. Schritt: Bestimmen der lokalen Maxima der Differenzfunktionen
Willst du nun die lokalen Maxima der Differenzfunktionen bestimmen, so legst du diese zunächst, wie in Schaubildern unten, im $\texttt{Main}$-Modus deines CAS fest:
A2 - Analysis
A2 - Analysis
Lege anschließend die benötigten Ableitungsfunktionen $d_1'$ und $d_1''$ bzw. $d_2'$ und $d_2''$ fest. Verwende dazu den Ableitungsbefehl, welchen du unter
$\texttt{Interactive $\to$ Calculation $\to$ diff}$
findest. Hier wurde $d_1'$ unter $\texttt{d1d1}$ und $d_1''$ unter $\texttt{d2d1}$ festgelegt (analog bei $d_2'$ und $d_2''$):
A2 - Analysis
A2 - Analysis
A2 - Analysis
Verwende nun den $\texttt{solve}$-Befehl um die Extremstellen von $d_1$ sowie $d_2$ zu berechnen. Deine Berechnung sollte hier wie unten zu sehen ist abgelaufen sein.
A2 - Analysis
A2 - Analysis
Die Extremstellen von $d_1$ und $d_2$ ergeben sich hier also zu:
  • Extremstellen von $d_1$: $x_1 = -120,8$, $x_2 = 0$ und $x_3 = 120,8$
  • Extremstellen von $d_2$: $x_4 = -119,49$, $x_5 = 0$ und $x_6 = 119,49$
Da dein CAS nicht dazu in der Lage ist, die Funktionswerte der zweiten Ableitungsfunktion zu berechnen (siehe unten), gehen wir hier einen anderen Weg.
A2 - Analysis
A2 - Analysis
Setze hier die ermittelten Extremstellen in $d_1$ bzw. $d_2$ ein und finde so heraus, welches jeweils die Stellen mit maximalen Abstand sind:
A2 - Analysis
A2 - Analysis
Es ergibt sich also:
  • Der Abstand zwischen den Graphen von $p$ und $k$ ist also an den Stellen $x_1 = -120,8$ und $x_3 = 120,8$ mit $2,48\,\text{m}$ maximal.
  • Der Abstand zwischen den Graphen von $c$ und $k$ ist hingegen an den Stellen
    $x_4 = -119,49$ und $x_6 = 119,49$ mit $8,25\,\text{m}$ maximal.
3.
3.1 $\blacktriangleright$ Herleitungsschritte (1) bis (3) erklären
Bei dieser Aufgabe sollst du mit Hilfe der Kurve in Material 2 die Herleitungsschritte aus Material 3 bis zum 3. Schritt erklären.
  • $x_0$ ist die $x$-Koordinate von $P$
  • $\Delta x$ beschreibt die Differenz der $x$-Werte von $P$ und $Q$
  • $x_0+\Delta x$ stellt somit die $x$-Koordinate von $Q$ dar.
Du hast zwei Beispiele gegeben, die dir die Zusammenhänge zwischen der Kurve und der Rechnung näher bringen.
Die Bogenlänge $\overset{\displaystyle\frown}{AQ}$ wird mit $\overset{\displaystyle\frown}{AQ}=L_a(x_0+\Delta x)$ berechnet, d.h. $L_a$ wird mit der $x$-Koordinate multipliziert.
Das Gleiche gilt für $\overset{\displaystyle\frown}{AP}$:$\,$$\overset{\displaystyle\frown}{AP}=L_a(x_0)$
$\blacktriangleright$ 1. Schritt:Länge des Kurvenbogens
Die Länge des Kurvenbogens $\overset{\displaystyle\frown}{PQ}$ ist die Differenz von $\overset{\displaystyle\frown}{AQ}$ und $\overset{\displaystyle\frown}{AP}$.
$\overset{\displaystyle\frown}{PQ}=\overset{\displaystyle\frown}{AQ}-\overset{\displaystyle\frown}{AP}=L_a(x_0+\Delta x)-L_a(x_0)$
$\blacktriangleright$ 2. Schritt: Länge der Strecke
Hier wird die Länge der Strecke von $P$ zu $Q$ berechnet und mit $\overset{\displaystyle\frown}{PQ}$ verglichen.
Die Länge der Strecke $\overline{PQ}$ lässt sich mit dem Satz des Pythagoras berechnen:
$(\Delta x)^2+(\Delta y)^2=\overline{PQ}^2$
Daraus folgt:
$\left|\overline{PQ}\right|=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}$.
Diese Strecke stellt eine Sekante dar und kann maximal so groß wie der Bogen $\overset{\displaystyle\frown}{PQ}$ sein.
Somit gilt:
$\left|\overline{PQ}\right|\leq\overset{\displaystyle\frown}{PQ}$
$\blacktriangleright$ 3. Schritt: Differenzenquotient
Im 3. Schritt wird auf beiden Seiten der Gleichung mit $\Delta x$ dividiert.
Auf der rechten Seite ergibt sich dadurch der Differenzenquotient der Funktion $L_a$.
3.2 $\blacktriangleright$ Behauptung beweisen
Du hast eine Gleichung gegeben und sollst diese auf Gültigkeit untersuchen.
Weiterhin hast du als Hinweis gegeben, dass du die Ableitungen beider Seiten der Gleichung bestimmen sollst. Das heißt, du musst im ersten Schritt die Ableitung von $k'$ bestimmen, um dann im zweiten Schritt die Gültigkeit der Gleichung beweisen zu können.
Beachte beim Lösen der Aufgabe, dass es hier nicht zulässig ist, das CAS zu verwenden.
$\blacktriangleright$ 1. Schritt: Bestimmen der ersten Ableitung von $\boldsymbol{k}$
Verwende zum Ableiten von $k$ die Kettenregel:
$\begin{array}{rl} k(x)=&C - \dfrac{1}{2 \cdot \lambda} \cdot \left( \mathrm e^{\lambda \cdot x}+ \mathrm e^{-\lambda \cdot x}\right) \\[5pt] k'(x)=&-\dfrac{1}{2 \cdot \lambda} \cdot \left(\lambda \mathrm e^{\lambda \cdot x}+ (-\lambda) \mathrm e^{-\lambda \cdot x}\right) \\ =&-\dfrac{1}{2 \cdot \lambda} \cdot \left(\lambda \mathrm e^{\lambda \cdot x} -\lambda \mathrm e^{-\lambda \cdot x}\right) \\ =&-\dfrac{1}{2 \cdot \lambda} \cdot \lambda \cdot \left(\mathrm e^{\lambda \cdot x} - \mathrm e^{-\lambda \cdot x}\right) \\ =&-\dfrac{1}{2}\cdot \left(\mathrm e^{\lambda \cdot x} - \mathrm e^{-\lambda \cdot x}\right) \end{array}$
$\blacktriangleright$ 2. Schritt: Beweisen der Gültigkeit
Setze nun $k'(x)$ in den Zusammenhang aus der Aufgabenstellung ein und beweise wie in den folgenden Schritten die Gültigkeit des Zusammenhangs:
$\begin{array}{rll} \mathop{\displaystyle\int}\limits_{\,}^{\,}\sqrt{1+\left(k'(x)\right)^{2}}\mathrm dx\stackrel{!}{=}&\dfrac{1}{2\lambda}\cdot\left(\mathrm e^{\lambda\cdot x}-\mathrm e^{-\lambda\cdot x}\right)+C&\scriptsize \text{Einsetzen von}\; k'(x) \\ \mathop{\displaystyle\int}\limits_{\,}^{\,}\sqrt{1+\left(-\dfrac{1}{2}\cdot(\mathrm e^{\lambda x}-\mathrm e^{-\lambda x})\right)^{2}}\mathrm dx\stackrel{!}{=}&\dfrac{1}{2\lambda}\cdot\left(\mathrm e^{\lambda\cdot x}-\mathrm e^{-\lambda\cdot x}\right)+C \end{array}$
$\begin{array}{rl} \mathop{\displaystyle\int}\limits_{\,}^{\,}\sqrt{1+\left(k'(x)\right)^{2}}\mathrm dx \\ \stackrel{!}{=}\dfrac{1}{2\lambda}\cdot\left(\mathrm e^{\lambda\cdot x}-\mathrm e^{-\lambda\cdot x}\right)+C \\ \\ \mathop{\displaystyle\int}\limits_{\,}^{\,}\sqrt{1+\left(-\dfrac{1}{2}\cdot(\mathrm e^{\lambda x}-\mathrm e^{-\lambda x})\right)^{2}}\mathrm dx \\ \stackrel{!}{=}\dfrac{1}{2\lambda}\cdot\left(\mathrm e^{\lambda\cdot x}-\mathrm e^{-\lambda\cdot x}\right)+C \end{array}$
Das unbestimmte Integral einer Ableitung einer bestimmten Funktion ist die Funktion selbst. Bedenke das bei den folgenden Schritten.
Bilde nun auf beiden Seiten die Ableitungen:
$\begin{array}{rll} \sqrt{1+\left(-\dfrac{1}{2}\cdot(\mathrm e^{\lambda x}-\mathrm e^{-\lambda x})\right)^{2}}\stackrel{!}{=}&\dfrac{1}{2}\cdot\left(\mathrm e^{\lambda\cdot x}+\mathrm e^{-\lambda\cdot x}\right)&\scriptsize \text{2. binomische Formel anwenden} \\ \sqrt{1+\left(\dfrac{1}{4}\cdot(\mathrm e^{2\lambda x}-2\mathrm e^{\lambda x}\mathrm e^{-\lambda x}+\mathrm e^{-2\lambda x})\right)}\stackrel{!}{=}&\dfrac{1}{2}\cdot\left(\mathrm e^{\lambda\cdot x}+\mathrm e^{-\lambda\cdot x}\right)&\scriptsize \mathrm e^{\lambda x}\mathrm e^{-\lambda x}=\mathrm e^0=1 \\ \sqrt{1+\left(\dfrac{1}{4}\cdot(\mathrm e^{2\lambda x}-2+\mathrm e^{-2\lambda x})\right)}\stackrel{!}{=}&\dfrac{1}{2}\cdot\left(\mathrm e^{\lambda\cdot x}+\mathrm e^{-\lambda\cdot x}\right)&\scriptsize \text{Quadrieren} \\ 1+\left(\dfrac{1}{4}\cdot(\mathrm e^{2\lambda x}-2+\mathrm e^{-2\lambda x})\right)\stackrel{!}{=}&\dfrac{1}{4}\cdot\left(\mathrm e^{\lambda\cdot x}+\mathrm e^{-\lambda\cdot x}\right)^2&\scriptsize \text{2. binomische Formel anwenden} \\ 1+\dfrac{1}{4}\cdot(\mathrm e^{2\lambda x}-2+\mathrm e^{-2\lambda x})=&\dfrac{1}{4}\cdot\left(\mathrm e^{2\lambda\cdot x}+2+\mathrm e^{-2\lambda\cdot x}\right) \end{array}$
$\begin{array}{l} \sqrt{1+\left(-\dfrac{1}{2}\cdot(\mathrm e^{\lambda x}-\mathrm e^{-\lambda x})\right)^{2}} \\ \stackrel{!}{=}\dfrac{1}{2}\cdot\left(\mathrm e^{\lambda\cdot x}+\mathrm e^{-\lambda\cdot x}\right) \\ \\ \sqrt{1+\left(\dfrac{1}{4}\cdot(\mathrm e^{2\lambda x}-2\mathrm e^{\lambda x}\mathrm e^{-\lambda x}+\mathrm e^{-2\lambda x})\right)} \\ \stackrel{!}{=}\dfrac{1}{2}\cdot\left(\mathrm e^{\lambda\cdot x}+\mathrm e^{-\lambda\cdot x}\right) \\ \\ \sqrt{1+\left(\dfrac{1}{4}\cdot(\mathrm e^{2\lambda x}-2+\mathrm e^{-2\lambda x})\right)} \\ \stackrel{!}{=}\dfrac{1}{2}\cdot\left(\mathrm e^{\lambda\cdot x}+\mathrm e^{-\lambda\cdot x}\right) \\ \\ 1+\left(\dfrac{1}{4}\cdot(\mathrm e^{2\lambda x}-2+\mathrm e^{-2\lambda x})\right) \\ \stackrel{!}{=}\dfrac{1}{4}\cdot\left(\mathrm e^{\lambda\cdot x}+\mathrm e^{-\lambda\cdot x}\right)^2 \\ \\ 1+\dfrac{1}{4}\cdot(\mathrm e^{2\lambda x}-2+\mathrm e^{-2\lambda x}) \\ =\dfrac{1}{4}\cdot\left(\mathrm e^{2\lambda\cdot x}+2+\mathrm e^{-2\lambda\cdot x}\right) \end{array}$
Die beiden Gleichungsseiten unterscheiden sich somit nur durch eine Konstante, die durch Integrieren und anschließendem Ableiten entstanden ist.
Sie hat keine Auswirkung auf das Ergebnis.
3.3 $\blacktriangleright$ Länge der zurückgelegten Strecke bestimmen
Zum Lösen dieser Aufgabe kannst du folgende Beziehungen/Angaben dem Aufgabentext bzw. den vorhergehenden Aufgabenteilen entnehmen:
  • $L_a'(x)=\sqrt{1+(f'(x))^2}$
  • $\mathop{\displaystyle\int}\limits_{\,}^{\,}\sqrt{1+\left(k'(x)\right)^{2}}\mathrm dx$$=\dfrac{1}{2\lambda}\cdot\left(\mathrm e^{\lambda\cdot x}-\mathrm e^{-\lambda\cdot x}\right)+C\\[5pt]$
  • $\lambda=0,00645$
  • Die halbe Bogenlänge verläuft von $x_1=0$ bis $x_2=170$
Um die Länge $L_a$ des Bogens zu bestimmen, musst du zunächst $L_a'$ integrieren, da $L_a$ einen Ansatz zur Berechnung von Längen von Graphen liefert.
Verwende hier zum Berechnen die Beziehung aus Aufgabe 3.2. Setze hier die Intervallgrenzen in die Funktion ein, um schließlich die Länge $L_a$ zu berechnen. Die Intervallgrenzen müssen hier die halbe Bogenlänge repräsentieren, für diese muss also $x_1 = 0$ und $x_2 = 170$ gelten.
Integrieren von $L_a'(x)$ liefert:
$L_a(x)=\displaystyle\int_{\,}^{\,}\sqrt{1+(f'(x))^2}\mathrm dx$
Nutze nun die Beziehung aus 3.2:
Die Konstante $C$ wurde in der Aufgabenstellung aus formellen Gründen erwähnt, würde später aber wegfallen und kann somit gleich vernachlässigt werden.
$\begin{array}{rl} L_a(x)=&\displaystyle\int_{\,}^{\,}\sqrt{1+(f'(x))^2}\mathrm dx \\ =&\dfrac{1}{2\lambda}\cdot\left(\mathrm e^{\lambda\cdot x}-\mathrm e^{-\lambda\cdot x}\right) \end{array}$
Setze nun $\lambda$ sowie die Intervallgrenzen $x_1=0$ und $x_2=170$ in die Gleichung ein:
$\begin{array}{l} \left[\dfrac{1}{2\cdot 0,00645}\cdot\left(\mathrm e^{0,00645\cdot x}-\mathrm e^{-0,00645\cdot x}\right)\right]^{170}_0 \\ =\dfrac{1}{2\cdot 0,00645}\cdot\left(\mathrm e^{0,00645\cdot 170}-\mathrm e^{-0,00645\cdot 170}\right)-\dfrac{1}{2\cdot 0,00645}\cdot\left(\mathrm e^{0}-\mathrm e^{0}\right) \\ \approx 206-0 \\ =206 \end{array}$
$\begin{array}{l} \left[\dfrac{1}{2\cdot 0,00645}\cdot\left(\mathrm e^{0,00645\cdot x}-\mathrm e^{-0,00645\cdot x}\right)\right]^{170}_0 \\ =\dfrac{1}{2\cdot 0,00645}\cdot\left(\mathrm e^{0,00645\cdot 170}-\mathrm e^{-0,00645\cdot 170}\right) \\ \,\,-\dfrac{1}{2\cdot 0,00645}\cdot\left(\mathrm e^{0}-\mathrm e^{0}\right) \\ \approx 206-0 \\ =206 \end{array}$
Die Länge der Strecke beträgt etwa 206 m.
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