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A2 - Analysis

Aufgaben
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1.
Ein Wachstumsprozess kann für $0 \leq t \leq 10$ durch die Funktion $f$ mit $f(t) = a \cdot b^t ,$ für $t \geq 10$ durch die Funktion $g$ mit $g(t) =8−326,817 \cdot 0,63^t$ beschrieben werden. In der Tabelle (Material 1) sind die Werte des Wachstumsprozesses zu verschiedenen Zeitpunkten $t$ dargestellt.
#wachstum
1.1
Bestimme durch Regression die Gleichung der Funktion $f$. Gib dabei die Koeffizienten $a$ und $b$ der Funktionsgleichung auf drei Nachkommastellen gerundet an.
(3 BE)
#regression
1.2
Im Material 2 sind der Graph der Funktion $f$ für $0 \leq t \leq 10$ und der Graph der Funktion $g$ für $10 \leq t \leq 24$ dargestellt. Untersuche unter Verwendung der auf drei Nachkommastellen gerundeten Ergebnisse, ob die Graphen der Funktionen $f$ und $g$ an der Stelle $t = 10$ ohne Sprung und ohne Knick ineinander übergehen. Falls du in Aufgabe 1.1 die Funktion $f$ nicht bestimmen konntest, verwende die Ersatzfunktion $r$ mit $r(t) = 0,2 \cdot e^{0,32 \cdot t} .$
(4 BE)
2.
Der Wachstumsprozess kann für $t \geq 0$ auch durch eine logistische Wachstumsfunktion $h$ mit
$h(t) =\dfrac{8}{1+100\cdot \mathrm e^{-0,5\dot t}}$
beschrieben werden.
2.1
Bestimme den Zeitpunkt $t,$ zu dem die Funktion $h$ $95\,\%$ ihrer Sättigungsgrenze erreicht hat.
2.2
Bestimme innerhalb des Definitionsbereichs den Zeitpunkt $t,$ zu dem die Wachstumsgeschwindigkeit am größten ist.
(4 BE)
2.3
Zeige durch eine Rechnung, dass die Funktion $H$ mit
$H(t) = 8 \cdot t + 16 \cdot \ln(100 \cdot e^{− 0,5\cdot t} +1)$
$ H(t)= … $
eine Stammfunktion von $h$ ist.
(5 BE)
#stammfunktion
2.4
Bestimme den Wert des Terms
$\frac{1}{20} \displaystyle\int_{0}^{20}h(t)\;\mathrm dt$
und erläutere die mathematische Bedeutung dieses Werts.
(4 BE)
#integral
3.
Es wird nun ein weiterer Wachstumsprozess, dessen Wachstumsgeschwindigkeit durch die Funktion $w'$ mit $w'(t) = 0,6 \cdot e^{− 0,1 \cdot t}$ beschrieben wird, betrachtet. Der Wert der zugrunde liegenden Wachstumsfunktion an der Stelle $t = 0$ soll $2,0$ betragen. Bestätige durch eine Rechnung, dass der Funktionsterm $w(t) = 8 − 6 \cdot e^{− 0,1 \cdot t}$ die dem Wachstumsprozess zugrunde liegende Funktion $w$ in Abhängigkeit von $t$ beschreibt.
(3 BE)
4.1
Skizziere die Graphen der Wachstumsgeschwindigkeiten der beiden Wachstumsprozesse $h$ und $w$ aus Aufgabe 2 bzw. 3 in das Koordinatensystem (Material 3). Vergleiche die Wachstumsgeschwindigkeiten der Funktionen $h$ und $w$ für $t \geq 0.$ Begründe ohne Rechnung und unter Verwendung der Skizze, dass bis zur Schnittstelle der Graphen bei $t \approx 5$ die Funktionswerte von $w$ größer als die Funktionswerte von $h$ sind.
(7 BE)
4.2
Untersuche, zu welchem Zeitpunkt $t$ die Differenz der Funktionswerte der beiden Wachstumsfunktionen $w$ und $h$ dem Betrag nach am größten ist. Hinweis: Auf die Überprüfung der Randwerte kann verzichtet werden.
(6 BE)
Material 1
$t$$ 0$$2 $$4 $$ 6$$ 8$$ 10$$ 12$$ 14$$16$$ 18$$ 20$$ 22$$24$
$y$$ 0,198$$0,374 $$0,708 $$1,338 $$2,530 $$4,782 $$6,723 $$7,493 $$ 7,799$$7,920 $$7,968 $$7,987 $$ 7,995$
$t$$y$
$0$$0,198 $
$ 2$$0,374 $
$ 4$$0,708 $
$ 6$$1,338 $
$ 8$$2,530 $
$ 10$$4,782 $
$12 $$6,723 $
$14 $$7,493 $
$16 $$7,799 $
$18 $$7,920 $
$20 $$7,968 $
$22 $$7,987 $
$24 $$7,995 $
Material 2
Material 3
Bildnachweise [nach oben]
[1],[2]
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Tipps
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1.1
$\blacktriangleright$  Koeffizienten durch Regression bestimmen
Verwende das Statistik-Menü deines CAS, indem du dort alle Wertepaare aus der Tabelle für $t\leq 10$ eingibst.
1.2
$\blacktriangleright$  Übergang untersuchen
Du sollst überprüfen, ob der Übergang der beiden Graphen, der an der Stelle $t=10$ stattfindet, sprung- und knickfrei ist.
  • Sprungfrei bedeutet, dass die Funktionswerte an der Übergangsstelle übereinstimmen, also: $f(10)=g(10)$
  • Knickfrei bedeutet, dass die Steigungen der beiden Graphen an der Übergangsstelle übereinstimmen, also: $f'(10)=g'(10)$
2.1
$\blacktriangleright$  Zeitpunkt bestimmen
Lies zuerst die Sättigungsgrenze $G$ aus der Funktionsgleichung ab. Anschließend kannst du $95\,\%$ davon berechnen und mit dem Funktionsterm gleichsetzen.
2.2
$\blacktriangleright$  Zeitpunkt mit größter Wachstumsgeschwindigkeit bestimmen
Gesucht ist der Zeitpunkt $t,$ zu dem $h'(t)$ innerhalb des Definitionsbereichs maximal wird.
Verwende die folgenden beiden Kriterien, um die lokalen Maximalstellen von $h'$ zu berechnen:
  • Notwendiges Kriterium: $h''(t)=0$
  • Hinreichendes Kriterium: $h'''(t) < 0$
2.3
$\blacktriangleright$  Stammfunktion zeigen
$H$ ist eine Stammfunktion von $h,$ wenn gilt $H'(t)= h(t).$
Bilde also die erste Ableitung von $H$ mit der Kettenregel und vergleiche mit $h.$
2.4
$\blacktriangleright$  Wert bestimmen und erläutern
Den Wert des Terms kannst du mit deinem CAS berechnen. Überlege dir anschließend, was der Zusammenhang zwischen einem Integralwert und der jeweiligen Funktion ist.
3.
$\blacktriangleright$  Funktionsterm nachweisen
Damit der angegebene Funktionsterm $w(t)$ die Funktion beschreibt, die dem Wachstumsprozess zugrunde liegt, muss einerseits $w'(t)= 0,6\cdot \mathrm e^{-0,1\cdot t}$ und andererseits $w(0) = 2,0$ sein, da $w'$ die Wachstumsgeschwindigkeit beschreibt und damit die erste Ableitung von $w$ sein muss.
4.1
$\blacktriangleright$  Graphen zeichnen
Lass dir die beiden Graphen von $h'$ und $w'$ im Graphik-Menü deines CAS anzeigen. Dort kannst du dir auch einzelne Funktionswerte anzeigen lassen, um dich daran zu orientieren.
A2 - Analysis
Abb. 6: Die Graphen von $w'$ und $h'$
A2 - Analysis
Abb. 6: Die Graphen von $w'$ und $h'$
$\blacktriangleright$  Wachstumsgeschwindigkeiten vergleichen
Zu Beginn ist die Wachstumsgeschwindigkeit von $w$ mit ca. $0,6$ deutlich höher als die von $h$ mit ca. $0,04.$ Die Wachstumsgeschwindigkeit von $w$ nimmt allerdings über den gesamten Zeitraum, also für $t\geq 0,$ ab, während die Wachstumsgeschwindigkeit von $h$ zunächst stark ansteigt bis beide bei $t\approx 5$ den gleichen Wert erreichen. Die Wachstumsgeschwindigkeit von $h$ nimmt dann weiter zu bis sie bei $t\approx 9,2$ ihr Maximum erreicht. Anschließend nimmt sie in etwa so schnell ab, wie sie zuvor zugenommen hat. Zum Zeitpunkt $t\approx 16$ nimmt sie wieder denselben Wert wie die Wachstumsgeschwindigkeit von $w$ an. Anschließend nehmen beide Wachstumsgeschwindigkeiten weiter ab, wobei die von $h$ allerdings schneller abnimmt und sich dem Wert null schnell annähert.
$\blacktriangleright$  Verhältnis der Funktionswerte begründen
Überlege, welche Zusammenhang zwischen den Graphen von $w$ und $w'$ bzw. $h$ und $h'$ besteht und beachte den Zusammenhang zwischen Stammfunktionen, Ableitungen und der Ausgangsfunktion.
4.2
$\blacktriangleright$  Zeitpunkt mit maximaler Differenz bestimmen
Gesucht ist das Maximum des Betrags der Differenzfunktion $d= w-h.$ Berechne also die Maxima und Minima von $d$ mithilfe des notwendigen und hinreichenden Kriteriums für Extremstellen. Vergleiche anschließend die Beträge.
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1.1
$\blacktriangleright$  Koeffizienten durch Regression bestimmen
A2 - Analysis
Abb. 1: Ergebnisse des CAS
A2 - Analysis
Abb. 1: Ergebnisse des CAS
Durch Regression ergibt sich mit Hilfe des CAS $f(t)\approx0,198 \cdot 1,375^t.$
1.2
$\blacktriangleright$  Übergang untersuchen
Du sollst überprüfen, ob der Übergang der beiden Graphen, der an der Stelle $t=10$ stattfindet, sprung- und knickfrei ist.
  • Sprungfrei bedeutet, dass die Funktionswerte an der Übergangsstelle übereinstimmen, also: $f(10)=g(10)$
  • Knickfrei bedeutet, dass die Steigungen der beiden Graphen an der Übergangsstelle übereinstimmen, also: $f'(10)=g'(10)$
A2 - Analysis
Abb. 2: Berechnung der Funktionswerte
A2 - Analysis
Abb. 2: Berechnung der Funktionswerte
Auf drei Nachkommastellen gerundet ergibt sich, dass die beiden Graphen mit einem leichten Sprung (Abweichung von $0,002$) und nicht knickfrei ineinander übergehen.
2.1
$\blacktriangleright$  Zeitpunkt bestimmen
Lies zuerst die Sättigungsgrenze $G$ aus der Funktionsgleichung ab. Anschließend kannst du $95\,\%$ davon berechnen und mit dem Funktionsterm gleichsetzen.
Aus der Funktionsgleichung ergibt sich die Sättigungsgrenze $G=8.$ Davon sollen $95\,\%$ erreicht werden:
A2 - Analysis
Abb. 3: Lösen mit dem CAS
A2 - Analysis
Abb. 3: Lösen mit dem CAS
Die Funktion erreicht ihre Sättigungsgrenze zu $95\,\%$ zum Zeitpunkt $t\approx 15,1.$
2.2
$\blacktriangleright$  Zeitpunkt mit größter Wachstumsgeschwindigkeit bestimmen
Gesucht ist der Zeitpunkt $t,$ zu dem $h'(t)$ innerhalb des Definitionsbereichs maximal wird.
Verwende die folgenden beiden Kriterien, um die lokalen Maximalstellen von $h'$ zu berechnen:
  • Notwendiges Kriterium: $h''(t)=0$
  • Hinreichendes Kriterium: $h'''(t) < 0$
A2 - Analysis
Abb. 4: Berechnung mit dem CAS
A2 - Analysis
Abb. 4: Berechnung mit dem CAS
An der Stelle $t = 4\cdot \ln(5)+4\cdot\ln(2) \approx 9,21$ besitzt $h'$ also ein lokales Maximum. Da dies das einzige Extremum ist, befindet sich dort also auch das Maximum des gesamten Definitionsbereichs.
Zum Zeitpunkt $t = 4\cdot \ln(5)+4\cdot\ln(2)\approx 9,21$ ist die Wachstumsgeschwindigkeit am größten.
#extrempunkt
2.3
$\blacktriangleright$  Stammfunktion zeigen
$H$ ist eine Stammfunktion von $h,$ wenn gilt $H'(t)= h(t).$
Bilde also die erste Ableitung von $H$ mit der Kettenregel und vergleiche mit $h.$
$\begin{array}[t]{rll} H'(t)&=& 8+ 16\cdot \dfrac{1}{100\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot t} +1}\cdot 100\cdot (-0,5)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot t} \\[5pt] &=& 8 - \dfrac{800\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot t}}{100\mathrm e^{-0,5\cdot t} +1}\\[5pt] &=& \dfrac{8\cdot \left(100\mathrm e^{-0,5\cdot t} +1 \right)-800\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot t}}{100\mathrm e^{-0,5\cdot t} +1} \\[5pt] &=& \dfrac{ 800\mathrm e^{-0,5\cdot t} + 8-800\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot t}}{100\mathrm e^{-0,5\cdot t} +1} \\[5pt] &=& \dfrac{8}{100\mathrm e^{-0,5\cdot t} +1}\\[5pt] &=& \dfrac{8}{1+100\mathrm e^{-0,5\cdot t}} \\[5pt] &=& h(t) \end{array}$
$ H'(t) = … $
Es gilt $H'(t)= h(t),$ damit ist also $H$ eine Stammfunktion von $h.$
#kettenregel
2.4
$\blacktriangleright$  Wert bestimmen und erläutern
Den Wert des Terms kannst du mit deinem CAS berechnen. Den Befehl für das Integral findest du unter:
A2 - Analysis
Abb. 5: Berechnung mit dem CAS
A2 - Analysis
Abb. 5: Berechnung mit dem CAS
Der Wert beschreibt den durchschnittlichen Funktionswert von $h$ im Intervall $[0;20].$
3.
$\blacktriangleright$  Funktionsterm nachweisen
Damit der angegebene Funktionsterm $w(t)$ die Funktion beschreibt, die dem Wachstumsprozess zugrunde liegt, muss einerseits $w'(t)= 0,6\cdot \mathrm e^{-0,1\cdot t}$ und andererseits $w(0) = 2,0$ sein, da $w'$ die Wachstumsgeschwindigkeit beschreibt und damit die erste Ableitung von $w$ sein muss.
$\begin{array}[t]{rll} w(t)&=& 8-6\cdot \mathrm e^{-0,1\cdot t}\\[10pt] w'(t)&=& -6\cdot (-0,1)\cdot \mathrm e^{-0,1\cdot t} \\[5pt] &=& 0,6\cdot \mathrm e^{-0,1\cdot t} \end{array}$
$ w'(t) = … $
Es gilt:
$\begin{array}[t]{rll} w(0)&=& 8-6\cdot \mathrm e^{-0,1\cdot 0} \\[5pt] &=&8-6\\[5pt] &=&2\\[5pt] \end{array}$
$ w(0)=2 $
Es gilt $w(0)=2$ und $w'(t)= 0,6\cdot \mathrm e^{-0,1\cdot t}.$ Damit beschreibt $w(t)= 8-6\cdot \mathrm e^{-0,1\cdot t}$ die dem Wachstumsprozess zugrunde liegende Funktion $w$ in Abhängigkeit von der Zeit $t.$
4.1
$\blacktriangleright$  Graphen zeichnen
Lass dir die beiden Graphen von $h'$ und $w'$ im Graphik-Menü deines CAS anzeigen. Dort kannst du dir auch einzelne Funktionswerte anzeigen lassen, um dich daran zu orientieren.
A2 - Analysis
Abb. 6: Die Graphen von $w'$ und $h'$
A2 - Analysis
Abb. 6: Die Graphen von $w'$ und $h'$
$\blacktriangleright$  Wachstumsgeschwindigkeiten vergleichen
Zu Beginn ist die Wachstumsgeschwindigkeit von $w$ mit ca. $0,6$ deutlich höher als die von $h$ mit ca. $0,04.$ Die Wachstumsgeschwindigkeit von $w$ nimmt allerdings über den gesamten Zeitraum, also für $t\geq 0,$ ab, während die Wachstumsgeschwindigkeit von $h$ zunächst stark ansteigt bis beide bei $t\approx 5$ den gleichen Wert erreichen. Die Wachstumsgeschwindigkeit von $h$ nimmt dann weiter zu bis sie bei $t\approx 9,2$ ihr Maximum erreicht. Anschließend nimmt sie in etwa so schnell ab, wie sie zuvor zugenommen hat. Zum Zeitpunkt $t\approx 16$ nimmt sie wieder denselben Wert wie die Wachstumsgeschwindigkeit von $w$ an. Anschließend nehmen beide Wachstumsgeschwindigkeiten weiter ab, wobei die von $h$ allerdings schneller abnimmt und sich dem Wert null schnell annähert.
$\blacktriangleright$  Verhältnis der Funktionswerte begründen
A2 - Analysis
Abb. 7: Skizze
A2 - Analysis
Abb. 7: Skizze
Da $w$ eine Stammfunktion von $w'$ und $h$ eine Stammfunktion von $h'$ ist, kann der jeweilige Flächeninhalt, der in der Skizze markiert ist, über die Differenz $w(t)-w(0)$ bzw. $h(t)-h(0)$ berechnet werden.
Da der Funktionswert von $h'$ bis ca. $t\approx 5$ kleiner als der von $w'$ ist, ist auch der Flächeninhalt der mit den Achsen eingeschlossenen Fläche im Bereich $[0;t]$ kleiner. Da dieser maßgeblich den Funktionswert von $h$ bzw. $w$ definiert, ist also auch der Funktionswert von $h$ bis $t\approx 5$ kleiner als der von $w.$
4.2
$\blacktriangleright$  Zeitpunkt mit maximaler Differenz bestimmen
Gesucht ist das Maximum des Betrags der Differenzfunktion $d= w-h.$ Berechne also die Maxima und Minima von $d$ mithilfe des notwendigen und hinreichenden Kriteriums für Extremstellen. Vergleiche anschließend die Beträge.
A2 - Analysis
Abb. 8: Bestimmung der Extrema mit dem CAS
A2 - Analysis
Abb. 8: Bestimmung der Extrema mit dem CAS
Die zugehörigen Beträge der Differenzen ergeben sich zu:
$\begin{array}[t]{rll} \left| d(4,87)\right|&\approx& 3,49 \\[5pt] \left|d(16,10)\right|&\approx& 0,9 \end{array}$
Zum Zeitpunkt $t\approx 4,87$ ist die Differenz der Funktionswerte von $w$ und $h$ dem Betrag nach am größten.
#extrempunkt
Bildnachweise [nach oben]
[1]-[8]
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