Aufgabe 1 — Gravitation

Die erste Landung von Menschen auf dem Mond im Jahr 1969 war ein Höhepunkt des amerikanischen Mondprogramms, bei dem bemannte Raumschiffe den Anziehungsbereich der Erde verließen.

Abbildung 1: Start der Apollo-11-Mission am 16. Juli 1969

Gravitationskonstante	$Formula: G = 6,67 \cdot 10^{-11} \; \tfrac{\text{N} \cdot \text{m}^2}{\text{kg}^2}$ $Formula: G = 6,67 \cdot 10^{-11} \; \tfrac{\text{N} \cdot \text{m}^2}{\text{kg}^2}$
Masse der Erde	$Formula: m_{\text{Erde}} = 5,975 \cdot 10^{24} \; \text{kg}$ $Formula: m_{\text{Erde}} = 5,975 \cdot 10^{24} \; \text{kg}$
mittlerer Radius der Erde	$Formula: r_{\text{Erde}} = 6370 \; \text{km}$ $Formula: r_{\text{Erde}} = 6370 \; \text{km}$
Masse des Mondes	$Formula: m_{\text{Mond}} = 7,35 \cdot 10^{22} \; \text{kg}$ $Formula: m_{\text{Mond}} = 7,35 \cdot 10^{22} \; \text{kg}$
mittlerer Radius des Mondes	$Formula: r_{\text{Mond}} = 1738 \; \text{km}$ $Formula: r_{\text{Mond}} = 1738 \; \text{km}$
Mittlere Entfernung Erde-Mond (Abstand der Mittelpunkte)	$Formula: r_{\text{Erde-Mond}} = 384\,400 \; \text{km}$ $Formula: r_{\text{Erde-Mond}} = 384\,400 \; \text{km}$

Tabelle 1: Astronomische Konstanten und Daten

1.1

Damit ein Körper aus dem Anziehungsbereich der Erde herausgebracht werden kann, muss er den theoretischen Geschwindigkeitsbetrag von etwa $Formula: 11,2\;\tfrac{\mathrm{km}}{\mathrm{s}}$ $Formula: 11,2\;\tfrac{\mathrm{km}}{\mathrm{s}}$ besitzen, der auch als 2. kosmische Geschwindigkeit bezeichnet wird. Der Körper muss dazu beim Start gerade so viel kinetische Energie besitzen, um eine Hubarbeit von der Erdoberfläche bis ins Unendliche verrichten zu können.

Leite die Gleichung $Formula: v = \sqrt{2 \cdot G \cdot \tfrac{m_{\mathrm{Erde}}}{r_{\mathrm{Erde}}}}$ $Formula: v = \sqrt{2 \cdot G \cdot \tfrac{m_{\mathrm{Erde}}}{r_{\mathrm{Erde}}}}$ her und zeige durch eine Berechnung, dass sich der genannte Geschwindigkeitsbetrag ergibt.

6 BE

1.2

Auf der Verbindungsgeraden der Mittelpunkte von Erde und Mond existiert ein Punkt, an dem sich die Gravitationskräfte von beiden Himmelskörpern auf einen beliebigen dritten Körper aufheben. Ermittle dessen Entfernung von der Erdoberfläche.

6 BE

1.3

Beim Apollo-Programm wurde bei der Annäherung an den Mond zunächst eine kreisförmige Umlaufbahn in $Formula: 112\;\mathrm{km}$ $Formula: 112\;\mathrm{km}$ Höhe über der Mondoberfläche eingenommen.

Berechne die dort notwendige Kreisbahngeschwindigkeit.

Von dort startete dann die Landefähre zur Landung auf dem Mond.

Ermittle den theoretisch erforderlichen Energiebetrag, damit der obere Teil der Landefähre mit einer Masse von $Formula: 6,5\;\mathrm{t}$ $Formula: 6,5\;\mathrm{t}$ vom Mond aus wieder die kreisförmige Umlaufbahn mit der dort notwendigen Geschwindigkeit von ca. $Formula: 1,6\;\tfrac{\mathrm{km}}{\mathrm{s}}$ $Formula: 1,6\;\tfrac{\mathrm{km}}{\mathrm{s}}$ erreichen kann.

Hinweis: Die kinetische Energie der Landefähre auf der Mondoberfläche und ihr Massenverlust bis zum Erreichen der kreisförmigen Umlaufbahn werden vernachlässigt.

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1.1

Der Körper muss beim Start gerade so viel kinetische Energie besitzen, um eine Hubarbeit von der Erdoberfläche bis ins Unendliche verrichten zu können ( $Formula: E_{\mathrm{kin}} = W_{\mathrm{hub}}$ $Formula: E_{\mathrm{kin}} = W_{\mathrm{hub}}$ ).

Durch Einsetzen ergibt sich:

$Formula: \begin{array}[t]{rll}\dfrac{1}{2}\cdot m\cdot v^{2}&=&G\cdot m\cdot m_{\mathrm{E}}\cdot\left(\dfrac{1}{r_{\mathrm{E}}}-\dfrac{1}{r_2}\right)\\[5pt] \dfrac{1}{2}\cdot m\cdot v^{2}&=&G\cdot m\cdot m_{\mathrm{E}}\cdot\left(\dfrac{1}{r_{\mathrm{E}}}-\dfrac{1}{\infty}\right) \quad&\mid \cdot \dfrac{1}{m} \\[5pt]\dfrac{1}{2}\cdot v^{2}&=&G\cdot m_{\mathrm{E}}\cdot\dfrac{1}{r_{\mathrm{E}}} \quad&\mid \cdot 2 \\[5pt]v^{2}&=&\dfrac{2\cdot G\cdot m_{\mathrm{E}}}{r_{\mathrm{E}}} \quad&\mid \sqrt{\;} \\[5pt]v&=&\sqrt{\dfrac{2\cdot G\cdot m_{\mathrm{E}}}{r_{\mathrm{E}}}}\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}\dfrac{1}{2}\cdot m\cdot v^{2}&=&G\cdot m\cdot m_{\mathrm{E}}\cdot\left(\dfrac{1}{r_{\mathrm{E}}}-\dfrac{1}{r_2}\right)\\[5pt] \dfrac{1}{2}\cdot m\cdot v^{2}&=&G\cdot m\cdot m_{\mathrm{E}}\cdot\left(\dfrac{1}{r_{\mathrm{E}}}-\dfrac{1}{\infty}\right) \quad&\mid \cdot \dfrac{1}{m} \\[5pt]\dfrac{1}{2}\cdot v^{2}&=&G\cdot m_{\mathrm{E}}\cdot\dfrac{1}{r_{\mathrm{E}}} \quad&\mid \cdot 2 \\[5pt]v^{2}&=&\dfrac{2\cdot G\cdot m_{\mathrm{E}}}{r_{\mathrm{E}}} \quad&\mid \sqrt{\;} \\[5pt]v&=&\sqrt{\dfrac{2\cdot G\cdot m_{\mathrm{E}}}{r_{\mathrm{E}}}}\end{array}$

Durch Einsetzen der Werte kann nun die Geschwindigkeit berechnet werden:

$Formula: \begin{array}[t]{rll}v&=&\sqrt{\dfrac{2\cdot G\cdot m_{\mathrm{E}}}{r_{\mathrm{E}}}}\\[5pt]v&=&11186\;\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\\[5pt]v&\approx&11,2\;\dfrac{\mathrm{km}}{\mathrm{s}}\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}v&=&\sqrt{\dfrac{2\cdot G\cdot m_{\mathrm{E}}}{r_{\mathrm{E}}}}\\[5pt]v&=&11186\;\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\\[5pt]v&\approx&11,2\;\dfrac{\mathrm{km}}{\mathrm{s}}\end{array}$

1.2

Damit sich die Gravitationskräfte aufheben, muss die Anziehungskraft der Erde ( Formula: F_1 ) auf den Probekörper (Masse Formula: m ) genauso groß sein wie die Anziehungskraft des Mondes ( Formula: F_2 ). Der Ansatz lautet daher:

Formula: F_1 = F_2

Mit Hilfe des Gravitationsgesetzes ergibt das:

$Formula: G \cdot \dfrac{m \cdot m_{\mathrm{E}}}{r_{1}^2} = G \cdot \dfrac{m \cdot m_{\mathrm{M}}}{r_{2}^2}$ $Formula: G \cdot \dfrac{m \cdot m_{\mathrm{E}}}{r_{1}^2} = G \cdot \dfrac{m \cdot m_{\mathrm{M}}}{r_{2}^2}$ mit $Formula: r_{1} + r_{2} = r_{\mathrm{E-M}}$ $Formula: r_{1} + r_{2} = r_{\mathrm{E-M}}$

Die Gravitationskonstante Formula: G und die Masse des Probekörpers Formula: m können auf beiden Seiten gekürzt werden. Außerdem gilt $Formula: r_{2} = r_{\mathrm{E-M}} - r_{1},$ $Formula: r_{2} = r_{\mathrm{E-M}} - r_{1},$ daraus folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll}\dfrac{m_{\mathrm{E}}}{r_1^2}&=&\dfrac{m_{\mathrm{M}}}{(r_{\mathrm{E-M}}-r_1)^2}\quad&\mid \cdot \dfrac{(r_{\mathrm{E-M}}-r_1)^2}{m_\mathrm{E}}; \sqrt{\;} \\[5pt]\dfrac{r_{\mathrm{E-M}}-r_1}{r_1}&=&\sqrt{\dfrac{m_{\mathrm{M}}}{m_{\mathrm{E}}}}\\[5pt]\dfrac{r_{\mathrm{E-M}}}{r_1}-1&=&\sqrt{\dfrac{m_{\mathrm{M}}}{m_{\mathrm{E}}}}\\[5pt]r_1&=&\dfrac{r_{\mathrm{E-M}}}{\sqrt{\tfrac{m_{\mathrm{M}}}{m_{\mathrm{E}}}}+1}\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}\dfrac{m_{\mathrm{E}}}{r_1^2}&=&\dfrac{m_{\mathrm{M}}}{(r_{\mathrm{E-M}}-r_1)^2}\quad&\mid \cdot \dfrac{(r_{\mathrm{E-M}}-r_1)^2}{m_\mathrm{E}}; \sqrt{\;} \\[5pt]\dfrac{r_{\mathrm{E-M}}-r_1}{r_1}&=&\sqrt{\dfrac{m_{\mathrm{M}}}{m_{\mathrm{E}}}}\\[5pt]\dfrac{r_{\mathrm{E-M}}}{r_1}-1&=&\sqrt{\dfrac{m_{\mathrm{M}}}{m_{\mathrm{E}}}}\\[5pt]r_1&=&\dfrac{r_{\mathrm{E-M}}}{\sqrt{\tfrac{m_{\mathrm{M}}}{m_{\mathrm{E}}}}+1}\end{array}$

Damit kann nun der Abstand Formula: r_1 berechnet werden:

$Formula: r_1 = \dfrac{r_{\mathrm{E-M}}}{\sqrt{\tfrac{m_{\mathrm{M}}}{m_{\mathrm{E}}}} + 1} \approx 346\,023\;\mathrm{km}$ $Formula: r_1 = \dfrac{r_{\mathrm{E-M}}}{\sqrt{\tfrac{m_{\mathrm{M}}}{m_{\mathrm{E}}}} + 1} \approx 346\,023\;\mathrm{km}$

Gesucht ist jedoch nicht der Abstand vom Erdmittelpunkt, sondern die Entfernung von der Erdoberfläche ( Formula: h ). Dazu muss noch der mittlere Erdradius ( $Formula: r_\text{E} = 6370 \; \text{km}$ $Formula: r_\text{E} = 6370 \; \text{km}$ ) subtrahiert werden:

$Formula: h = r_1 - r_{\mathrm{E}} = 339\,653\;\mathrm{km}$ $Formula: h = r_1 - r_{\mathrm{E}} = 339\,653\;\mathrm{km}$

1.3

Berechnung der Kreisbahngeschwindigkeit

Damit sich ein Raumschiff auf einer stabilen Kreisbahn bewegt, muss die Gravitationskraft des Mondes exakt als Zentripetalkraft wirken. Daraus ergibt sich der folgende Ansatz:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} F_{\mathrm{Z}} &=& F_{\mathrm{G}} \\[5pt] \dfrac{m \cdot v^2}{r} &=& G \cdot \dfrac{m \cdot m_{\mathrm{M}}}{r^2} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} F_{\mathrm{Z}} &=& F_{\mathrm{G}} \\[5pt] \dfrac{m \cdot v^2}{r} &=& G \cdot \dfrac{m \cdot m_{\mathrm{M}}}{r^2} \end{array}$

mit $Formula: r = r_{\mathrm{M}} + 112\;\mathrm{km} = 1850\;\mathrm{km}$ $Formula: r = r_{\mathrm{M}} + 112\;\mathrm{km} = 1850\;\mathrm{km}$

Nun wird die Ausgangsgleichung nach der Geschwindigkeit Formula: v umgestellt (die Masse Formula: m des Raumschiffs kürzt sich heraus):

$Formula: v = \sqrt{G \cdot \dfrac{m_{\mathrm{Mond}}}{r}}=1628 \; \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \approx 1,6 \; \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{s}}$ $Formula: v = \sqrt{G \cdot \dfrac{m_{\mathrm{Mond}}}{r}}=1628 \; \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \approx 1,6 \; \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{s}}$

Berechnung des erforderlichen Energiebetrags

Der theoretisch erforderliche Energiebetrag für die Landefähre ( Formula: E ) setzt sich aus der Hubarbeit ( $Formula: W_\text{hub}$ $Formula: W_\text{hub}$ ) von der Mondoberfläche bis zur Umlaufbahn und der kinetischen Energie ( $Formula: E_\text{kin}$ $Formula: E_\text{kin}$ ) zusammen, die für die Kreisbahngeschwindigkeit benötigt wird ( $Formula: E = W_\text{hub} + E_\text{kin}$ $Formula: E = W_\text{hub} + E_\text{kin}$ ). Durch Einsetzen ergibt sich:

$Formula: E = G \cdot m \cdot m_{\mathrm{M}} \cdot \left( \dfrac{1}{r_{1}} - \dfrac{1}{r_{2}} \right) + \dfrac{1}{2} \cdot m \cdot v^{2}$ $Formula: E = G \cdot m \cdot m_{\mathrm{M}} \cdot \left( \dfrac{1}{r_{1}} - \dfrac{1}{r_{2}} \right) + \dfrac{1}{2} \cdot m \cdot v^{2}$

Mit den Werten $Formula: m = 6,5\;\mathrm{t},$ $Formula: m = 6,5\;\mathrm{t},$ $Formula: r_{1} = r_{\mathrm{M}}$ $Formula: r_{1} = r_{\mathrm{M}}$ und $Formula: r_{2} = r_{\mathrm{M}} + 112\;\mathrm{km} = 1850\;\mathrm{km}$ $Formula: r_{2} = r_{\mathrm{M}} + 112\;\mathrm{km} = 1850\;\mathrm{km}$ folgt $Formula: E = 9,72 \cdot 10^{9}\;\mathrm{J}.$ $Formula: E = 9,72 \cdot 10^{9}\;\mathrm{J}.$

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