Aufgabe 1 — Linearbeschleuniger in der Medizin

Für die Behandlung bestimmter Erkrankungen wie z. B. von Tumoren wird die sogenannte Strahlentherapie verwendet. Dafür ist beispielsweise hochenergetische Elektronenstrahlung nötig, für die Elektronen durch Linearbeschleuniger auf sehr hohe Geschwindigkeiten gebracht werden. Aufbau und Funktionsweise eines solchen Beschleunigers sind in M 1 dargestellt.

1.1

Definiere den Begriff homogenes elektrisches Feld.

Skizziere in Abbildung 2 in M 2 das elektrische Feld zwischen den Driftröhren.

5 BE

1.2

Für die Beschleunigung der Elektronen wird an die Driftröhren eine Wechselspannung mit fester Frequenz angelegt.

Begründe, dass an die Driftröhren Wechselspannung angelegt wird und dass die hinteren Driftröhren länger als die vorderen sind.

4 BE

1.3

Es soll ein neuer Linearbeschleuniger entsprechend M 1 konstruiert werden.

Die ideale Länge der $Formula: n\text{-}$ $Formula: n\text{-}$ ten Driftröhre ergibt sich nach der Gleichung $Formula: l_{{n}} = \dfrac{v_{{n}}}{2 \cdot f}.$ $Formula: l_{{n}} = \dfrac{v_{{n}}}{2 \cdot f}.$

Dabei ist Formula: v_n die Geschwindigkeit eines Elektrons in der $Formula: n\text{-}$ $Formula: n\text{-}$ ten Driftröhre.

1.3.1

Leite diese Formel her.

4 BE

1.3.2

Ermittle für die gegebenen Daten die ideale Länge der ersten Driftröhre.

7 BE

1.3.3

Erläutere den Einfluss der folgenden Kenngrößen auf die Länge der Driftröhren:

Frequenz der Spannungsquelle
Beschleunigungsspannung

4 BE

1.3.4

In M 3 findest du drei Vorschläge für idealisierte $Formula: E_{\mathrm{kin}}(t)\text{-}$ $Formula: E_{\mathrm{kin}}(t)\text{-}$ Diagramme der Bewegung eines Elektrons durch den Linearbeschleuniger in M 1. Der Zeitpunkt Formula: t = 0 beschreibt jeweils den Austritt der Elektronen aus der Teilchenquelle.

Entscheide begründet, welcher Vorschlag geeignet ist.

3 BE

1.4

In M 4 findest du einen alternativen Aufbau für einen Linearbeschleuniger.

Vergleiche diesen mit dem Aufbau in M 1.

Leite dabei ab, welche Veränderungen sich für den Betrieb des Linearbeschleunigers ergeben.

4 BE

1.5

Die im Linearbeschleuniger erzeugte Strahlung wird anschließend genutzt, um beispielsweise Tumore mittels Teletherapie zu bestrahlen. Dieses Verfahren wird in M 5 erläutert.

1.5.1

Gib zwei weitere Anwendungen der Röntgenstrahlung an.

2 BE

1.5.2

Erläutere mit Hilfe der Abbildung in M 6, dass eine Umwandlung in Röntgenstrahlung in bestimmten Fällen nötig ist.

3 BE

1.5.3

Überprüfe, ob der in M 1 beschriebene Linearbeschleuniger die Erzeugung von Röntgenstrahlung aus dem Elektronenstrahl ermöglicht.

4 BE

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M 1 Aufbau und Funktionsweise von Linearbeschleunigern

Schema eines Linearbeschleunigers mit Teilchenquelle, Wechselspannungsquelle und fünf Driftröhren (D1–D5)

Abbildung 1: Prinzip des Wechselspannungs-Linearbeschleunigers nach Ising und Winderöe

Aus der Teilchenquelle treten Elektronen mit der kinetischen Energie $Formula: E_{\mathrm{kin}} = 1\;\mathrm{keV}$ $Formula: E_{\mathrm{kin}} = 1\;\mathrm{keV}$ aus. Sie passieren anschließend eine Reihe von metallischen Röhren, den sogenannten Driftröhren. Die Beschleunigung findet in schmalen Spalten zwischen den Röhren statt, während der Innenraum der Röhren nahezu feldfrei ist. Ein Elektron benötigt für das Durchlaufen einer solchen Driftröhre eine konstante Zeit Formula: t. Die Länge der Röhren ist bei fester Frequenz der Wechselspannung ( $Formula: f = 5\;\mathrm{MHz}, U = 25\;\mathrm{kV}$ $Formula: f = 5\;\mathrm{MHz}, U = 25\;\mathrm{kV}$ ) so gewählt, dass sich die Spannung beim Durchlaufen des Elektrons genau einmal umkehrt.

Der betrachtete Linearbeschleuniger hat fünf Driftröhren.

M 2 Bereich zwischen zwei Driftröhren

Zwei Rechtecke nebeneinander, links D2 mit Minus, rechts D3 mit Plus.

Abbildung 2: Bereich zwischen zwei Driftröhren

M 3 Energie-Zeit-Diagramme

Drei stufige Graphen A–C mit E_kin gegen Zeit t auf kariertem Hintergrund.

Abbildung 3: Mögliche Energie-Zeit-Diagramme

M 4 Alternativer Aufbau eines Linearbeschleunigers

Schematische Darstellung einer Teilchenquelle mit fünf Driftrohren (D1–D5) und Wechselspannungsquelle.

Abbildung 4: Prinzip eines alternativen Linearbeschleunigers

M 5 Teletherapie

Bei der Teletherapie wird der Tumor von außerhalb des Körpers aus einer gewissen Entfernung bestrahlt. Dafür können zwei Arten von Strahlung zum Einsatz kommen, die von einem Linearbeschleuniger erzeugt und auf das Zielgebiet gerichtet werden: Elektronenstrahlung und Röntgenstrahlung mit $Formula: \lambda = 10^{-8}\;\mathrm{m}$ $Formula: \lambda = 10^{-8}\;\mathrm{m}$ bis $Formula: 6 \cdot 10^{-14}\;\mathrm{m}.$ $Formula: 6 \cdot 10^{-14}\;\mathrm{m}.$

Teletherapie wird bei einer ganzen Reihe von bösartigen Tumorerkrankungen eingesetzt, die einer Bestrahlung von innen beziehungsweise aus kurzer Distanz (Brachytherapie) nicht zugänglich sind. Voraussetzung ist eine ausreichende Strahlenempfindlichkeit des Tumorgewebes. Ob eine Teletherapie sinnvoll ist, hängt von vielen Faktoren ab und muss im Einzelfall von einem interdisziplinären Ärztinnen- und Ärzteteam entschieden werden.

Die Bestrahlung muss sorgfältig geplant werden, damit die Tumorzellen gut erreicht und gesundes Gewebe möglichst geschont wird. Als Grundlage dient in der Regel ein CT- und in manchen Fällen zusätzlich ein MRT-Bild von der zu bestrahlenden Körperregion. Darin kann die Strahlentherapeutin oder der Strahlentherapeut millimetergenau festlegen, welches Gebiet bestrahlt werden soll, bevor mithilfe eines Computerprogramms die optimalen Einstellungen für die Bestrahlung errechnet werden.

Quelle: Uniklinikum Würzburg. (2023). Teletherapie (Bestrahlung von außen). Abgerufen am 02.04.2026

M 6 Eindringverhalten verschiedener Strahlungsarten

Diagramm: Intensität vs. Gewebetiefe, Kurven für Bremsstrahlung (4 & 20 MeV), Elektronen (4 MeV) und Protonen (150 MeV)

Abbildung 5: Intensität in Abhängigkeit von Eindringtiefe für Elektronen, Protonen und Röntgenstrahlung in Gewebe

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1.1

Definition

Ein elektrisches Feld ist der Raum um einen geladenen Körper, in dem auf andere geladene Körper Kräfte wirken. Ein elektrisches Feld ist dann homogen, wenn die elektrische Feldstärke überall gleich ist.

Skizzieren des elektrischen Felds

Schematisches Diagramm: zwei Bereiche D2 (–) und D3 (+) verbunden durch einen mittigen Kanal mit Pfeilen

1.2

Ein Elektron ist negativ geladen und wird entsprechend nur in Richtung des positiven Pols beschleunigt. Wären die Driftröhren mit einer Gleichspannung beschaltet, so würde das Elektron zwischen bestimmten Röhren abgebremst werden, da die hinter ihm liegende Driftröhre negativ geladen wäre. Daher ist eine Wechselspannung nötig.

Die Geschwindigkeit Formula: v der Elektronen erhöht sich beim Durchlaufen des Beschleunigers. Da die Zeit zum Durchlaufen einer Driftröhre konstant $Formula: \Delta t = 100\;\mathrm{ns}$ $Formula: \Delta t = 100\;\mathrm{ns}$ beträgt, muss wegen $Formula: v = \tfrac{\Delta s}{\Delta t}$ $Formula: v = \tfrac{\Delta s}{\Delta t}$ die Länge Formula: Δs der Driftröhren zunehmen.

1.3

1.3.1

Da sich die Elektronen innerhalb der Driftröhren gleichförmig bewegen, gilt die Formel $Formula: v = \tfrac{\Delta s}{\Delta t},$ $Formula: v = \tfrac{\Delta s}{\Delta t},$ wobei der Weg $Formula: \Delta s$ $Formula: \Delta s$ hier die Länge der $Formula: n\text{-}$ $Formula: n\text{-}$ ten Driftröhre ist, also $Formula: v_{{n}} = \tfrac{\ell_{{n}}}{\Delta t} \Rightarrow \ell_{{n}} = v_{{n}} \cdot \Delta t.$ $Formula: v_{{n}} = \tfrac{\ell_{{n}}}{\Delta t} \Rightarrow \ell_{{n}} = v_{{n}} \cdot \Delta t.$

Die Spannung kehrt sich laut M 1 beim Durchlaufen des Elektrons exakt einmal um. Die Zeit muss also der halben Periodendauer der Wechselspannung entsprechen:

$Formula: \Delta t = \dfrac{T}{2} = \dfrac{1}{2 \cdot f}$ $Formula: \Delta t = \dfrac{T}{2} = \dfrac{1}{2 \cdot f}$

Das kann in die Formel für $Formula: \ell_n$ $Formula: \ell_n$ eingesetzt werden, daraus folgt:

$Formula: \ell_{{n}} = v_{{n}} \cdot \dfrac{1}{2 \cdot f}$ $Formula: \ell_{{n}} = v_{{n}} \cdot \dfrac{1}{2 \cdot f}$

1.3.2

Zunächst muss die kinetische Energie der Elektronen nach der ersten Driftröhre berechnet werden:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} E_{\mathrm{kin},1} & = & E_{\mathrm{kin},0} + E_{\mathrm{el}} \\[5pt] & = & 1\;\mathrm{keV} + 25\;\mathrm{keV} \\[5pt] & = & 26\;\mathrm{keV} \\[5pt] & \approx & 4,16 \cdot 10^{-15}\;\mathrm{J} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} E_{\mathrm{kin},1} & = & E_{\mathrm{kin},0} + E_{\mathrm{el}} \\[5pt] & = & 1\;\mathrm{keV} + 25\;\mathrm{keV} \\[5pt] & = & 26\;\mathrm{keV} \\[5pt] & \approx & 4,16 \cdot 10^{-15}\;\mathrm{J} \end{array}$

Damit kann nun die Geschwindigkeit der Elektronen berechnet werden:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} v_1 & = & \sqrt{\dfrac{2 \cdot E_{\mathrm{kin},1}}{m_{\mathrm{e}}}} \\[5pt] & = & \sqrt{\dfrac{2 \cdot 4,16 \cdot 10^{-15}\;\mathrm{J}}{9,11 \cdot 10^{-31}\;\mathrm{kg}}} \\[5pt] & \approx & 9,56 \cdot 10^7\;\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} v_1 & = & \sqrt{\dfrac{2 \cdot E_{\mathrm{kin},1}}{m_{\mathrm{e}}}} \\[5pt] & = & \sqrt{\dfrac{2 \cdot 4,16 \cdot 10^{-15}\;\mathrm{J}}{9,11 \cdot 10^{-31}\;\mathrm{kg}}} \\[5pt] & \approx & 9,56 \cdot 10^7\;\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \end{array}$

Damit kann schließlich die ideale Länge der ersten Driftröhre berechnet werden:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} \ell_1 & = & v_1 \cdot \dfrac{1}{2 \cdot f} \\[5pt] & = & 9,56 \cdot 10^7\;\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \cdot \dfrac{1}{2 \cdot 5\;\mathrm{MHz}} \\[5pt] & = & 9,56\;\mathrm{m} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} \ell_1 & = & v_1 \cdot \dfrac{1}{2 \cdot f} \\[5pt] & = & 9,56 \cdot 10^7\;\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \cdot \dfrac{1}{2 \cdot 5\;\mathrm{MHz}} \\[5pt] & = & 9,56\;\mathrm{m} \end{array}$

1.3.3

Frequenz $Formula: \boldsymbol{f}$ $Formula: \boldsymbol{f}$ der Spannungsquelle: Bei gleichbleibender Geschwindigkeit gilt $Formula: \ell_{{n}} \sim \tfrac{1}{f},$ $Formula: \ell_{{n}} \sim \tfrac{1}{f},$ daher nimmt die Länge der Driftröhren mit steigender Frequenz ab.
Beschleunigungsspannung $Formula: \boldsymbol{U \text{:}}$ $Formula: \boldsymbol{U \text{:}}$ Bei gleichbleibender Frequenz gilt $Formula: \ell_{{n}} \sim v_{{n}}.$ $Formula: \ell_{{n}} \sim v_{{n}}.$ Da mit steigender Beschleunigungsspannung auch die Geschwindigkeit der Elektronen steigt, muss die Länge der Driftröhren zunehmen.

1.3.4

Diagramm A ist richtig.

Diagramm B ist auszuschließen, da die kinetische Energie der Elektronen zu Beginn hier Formula: 0 ist. Laut M 1 treten die Elektronen jedoch mit einer nicht verschwindend geringen Anfangsgeschwindigkeit aus der Teilchenquelle aus und müssen daher bereits eine kinetische Energie größer als besitzen.

Diagramm C ist auszuschließen, da hier die Zeit zum Durchlaufen einer Driftröhre mit fortlaufender Bewegung steigt. Laut M 1 bleibt die Zeit zum Durchlaufen einer Driftröhre allerdings konstant.

1.4

Vergleich

Beim alternativen Aufbau (M 4) sind alle Driftröhren gleich lang. Die restlichen Bestandteile, insbesondere die Anzahl der Driftröhren, sind identisch.

Veränderungen für den Betrieb des Linearbeschleunigers

Im Linearbeschleuniger wie in M 1 ist die Zeit zum Durchlaufen einer Driftröhre konstant. Der Linearbeschleuniger kann also eine Wechselspannungsquelle mit konstanter Frequenz nutzen.

Im Linearbeschleuniger wie in M 4 haben die Driftröhren die gleiche Länge. Mit zunehmender Geschwindigkeit der Elektronen sinkt somit die Zeit zum Durchlaufen der Driftröhren. Damit auch hier die Elektronen zwischen den Driftröhren maximal beschleunigt werden, muss die Frequenz der Wechselspannungsquelle an die Durchlaufzeit der Elektronen angepasst, d. h. im Laufe der Bewegung erhöht werden.

1.5

1.5.1

Bildgebende Verfahren in der Medizin
zerstörungsfreie Werkstoff- und Materialprüfung
Untersuchung von Tascheninhalten in Sicherheitskontrollen
Röntgenspektroskopie

1.5.2

Dem Diagramm kann entnommen werden, dass die Strahlungsintensität von der Gewebetiefe abhängt. Dabei sind je nach Strahlungsart deutliche Unterschiede in ihrem Eindringvermögen in das Gewebe zu erkennen. Elektronenstrahlung kann nur wenige Zentimeter in das Gewebe eindringen und gibt ihre Energie dabei bereits vollständig ab. Liegt ein Tumor also tiefer, muss eine Umwandlung in Röntgenstrahlung (Bremsstrahlung) erfolgen, die auch über $Formula: 15\;\mathrm{cm}$ $Formula: 15\;\mathrm{cm}$ tief in das Gewebe eindringen kann.

1.5.3

Die Beschleunigungsspannung zwischen den Driftröhren beträgt $Formula: 25\;\mathrm{kV}.$ $Formula: 25\;\mathrm{kV}.$ Das bedeutet, dass die kine

tische Energie in jedem der Spalte um $Formula: 25\;\mathrm{keV}$ $Formula: 25\;\mathrm{keV}$ zunimmt. Da der Linearbeschleuniger aus fünf Driftröhren und damit fünf Beschleunigungsstrecken besteht, beträgt die Energie am Ende somit:

$Formula: E_{\mathrm{kin}} = 1\;\mathrm{keV} + 125\;\mathrm{keV} = 126\;\mathrm{keV} \approx 2,02 \cdot 10^{-14}\;\mathrm{J}$ $Formula: E_{\mathrm{kin}} = 1\;\mathrm{keV} + 125\;\mathrm{keV} = 126\;\mathrm{keV} \approx 2,02 \cdot 10^{-14}\;\mathrm{J}$

Damit kann die Wellenlänge berechnet werden:

$Formula: \begin{array}[t]{rll}E_{\mathrm{ph}}&=&E_{\mathrm{kin}}\\[5pt]\dfrac{h\cdot c}{\lambda}&=&E_{\mathrm{kin}} \quad&\mid \cdot \dfrac{\lambda}{E_{\mathrm{kin}}}\\[5pt]\lambda&=&\dfrac{h\cdot c}{E_{\mathrm{kin}}}\\[5pt]&=&\dfrac{6,626\cdot 10^{-34}\;\mathrm{Js}}{2,02\cdot 10^{-14}\;\mathrm{J}} \\[5pt]&\phantom{=}& \cdot 2,998\cdot 10^8\;\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \\[5pt]&\approx& 9,84\cdot 10^{-12}\;\mathrm{m}\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}E_{\mathrm{ph}}&=&E_{\mathrm{kin}}\\[5pt]\dfrac{h\cdot c}{\lambda}&=&E_{\mathrm{kin}} \quad&\mid \cdot \dfrac{\lambda}{E_{\mathrm{kin}}}\\[5pt]\lambda&=&\dfrac{h\cdot c}{E_{\mathrm{kin}}}\\[5pt]&=&\dfrac{6,626\cdot 10^{-34}\;\mathrm{Js}}{2,02\cdot 10^{-14}\;\mathrm{J}} \\[5pt]&\phantom{=}& \cdot 2,998\cdot 10^8\;\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \\[5pt]&\approx& 9,84\cdot 10^{-12}\;\mathrm{m}\end{array}$

Der berechnete Wert liegt im in M 5 angegebenen Bereich für Röntgenstrahlung. Der in M 1 beschriebene Linearbeschleuniger ermöglicht also die Erzeugung von Röntgenstrahlung.

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