Aufgabe 4 — Wellenoptik mit Schülerexperiment

4,1

Bestimme experimentell die Wellenlänge einfarbigen Lichts mithilfe eines optischen Gitters. Einzelheiten zum Versuchsaufbau und zu den verwendeten Geräten werden am Arbeitsplatz mitgeteilt.

4.1.1

Beschreibe anhand einer Skizze den Versuchsaufbau sowie die Durchführung der Messungen. Protokolliere mindestens für drei verschiedene Abstände (Gitter – Bildschirm) die Messwerte.

6 BE

4.1.2

Berechne die Wellenlänge des einfarbigen Lichts aus den Messwerten.

Vergleiche das Ergebnis mit Angaben im Tafelwerk und gib mögliche Fehlerquellen an.

5 BE

4.2

Bei einem Experiment mit gekreuzten Strichgittern wurden die beiden Bilder aufgenommen. Die Wellenlänge des Lasers beträgt $Formula: \lambda = 632\;\mathrm{nm}$ $Formula: \lambda = 632\;\mathrm{nm}$ und der Bildschirm hat eine Entfernung von $Formula: e = 75\;\mathrm{cm}$ $Formula: e = 75\;\mathrm{cm}$ zum Gitter.

Nahaufnahme: Lineal (cm) links, rechts transparente Folie mit regelmäßigen kleinen ovalen Löchern

Lineal mit Zentimeter-Skala und darüber mehrere vertikale Reihen heller Lichtpunkte.

Abbildung 6: Interferenzbilder; im Bildbereich sind Linealausschnitte von ca. $Formula: \small{3 \; \text{cm}}$ $Formula: \small{3 \; \text{cm}}$ bis $Formula: \small{6 \; \text{cm}}$ $Formula: \small{6 \; \text{cm}}$ bzw. $Formula: \small{2 \; \text{cm}}$ $Formula: \small{2 \; \text{cm}}$ bis $Formula: \small{7 \; \text{cm}}$ $Formula: \small{7 \; \text{cm}}$ zu sehen.

Ermittle die Gitterkonstanten der beiden Gitter und erläutere das Zustandekommen des Interferenzbildes.

9 BE

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4.1

4.1.1

Versuchsaufbau:

Eine monochromatische Lichtquelle wird so aufgestellt, dass ihr Lichtstrahl exakt senkrecht auf ein optisches Gitter trifft. Hinter dem Gitter wird in einem definierten Abstand ein Schirm platziert, um das entstehende Interferenzmuster (die Beugungsmaxima) aufzufangen.

Beschreibung der Durchführung

Der Laser, das Gitter und der Bildschirm werden in einer Linie aufgebaut.
Das Gitter und der Schirm werden exakt parallel zueinander und senkrecht zum Laserstrahl ausgerichtet.
Der Abstand zwischen dem Gitter und dem Bildschirm wird gemessen und notiert.
Auf dem Schirm werden die Abstände der Maxima ter Ordnung zum Hauptmaximum 0. Ordnung gemessen.
Der Abstand zwischen Gitter und Schirm wird verändert. Dieser Vorgang wird wiederholt, sodass Messwerte für mindestens drei verschiedene Abstände vorliegen.

Messprotokoll

Angabe der Gitterkonstanten und Lichtfarbe.

Messwerttabelle mit Werten für den Abstand Gitter-Schirm (mindestens drei verschiedene Abstände), den Abstand und die Ordnung der Maxima

4.1.2

Da die Beugungswinkel sehr klein sind, kann die Näherung $Formula: \sin(\alpha) \approx \tan(\alpha)$ $Formula: \sin(\alpha) \approx \tan(\alpha)$ angewendet werden. Daraus ergibt sich für die Wellenlänge die Formel:

$Formula: \begin{array}[t]{rll}\dfrac{n \cdot \lambda}{g} & = & \dfrac{a_{{n}}}{e_n} \quad&\mid \cdot \dfrac{g}{n} \\[5pt] \lambda & = & \dfrac{g \cdot a_n}{e_n\cdot n}\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}\dfrac{n \cdot \lambda}{g} & = & \dfrac{a_{{n}}}{e_n} \quad&\mid \cdot \dfrac{g}{n} \\[5pt] \lambda & = & \dfrac{g \cdot a_n}{e_n\cdot n}\end{array}$

Damit kann für jede Messung die Wellenlänge berechnet werden und schließlich der Mittelwert der Wellenlänge gebildet werden.

Anschließend wird das Ergebnis mit dem Tafelwerk verglichen und eine Fehlerbetrachtung durchgeführt.

4.2

Ermitteln der Gitterkonstanten

Zunächst müssen die Abstände der Beugungsmaxima ( Formula: a_n ) aus den abgebildeten Linealausschnitten abgelesen werden. Wird der Abstand vom Hauptmaximum 0. Ordnung zum ersten Maximum ( Formula: n = 1 ) betrachtet, ergeben sich folgende Werte:

Abstand beim ersten Gitter: $Formula: a_{\mathrm{1}} \approx 0,4\;\mathrm{cm}$ $Formula: a_{\mathrm{1}} \approx 0,4\;\mathrm{cm}$
Abstand beim zweiten Gitter: $Formula: a_{\mathrm{2}} \approx 0,9\;\mathrm{cm}$ $Formula: a_{\mathrm{2}} \approx 0,9\;\mathrm{cm}$

Für kleine Beugungswinkel kann die Näherung $Formula: \sin(\alpha) \approx \tan(\alpha)$ $Formula: \sin(\alpha) \approx \tan(\alpha)$ angewendet werden. Daraus ergibt sich für die Gitterkonstante Formula: g die Formel:

$Formula: \begin{array}[t]{rll}\dfrac{n \cdot \lambda}{g} & = & \dfrac{a_{{n}}}{e} \\[5pt] g & = & \dfrac{n \cdot \lambda \cdot e}{a_{{n}}}\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}\dfrac{n \cdot \lambda}{g} & = & \dfrac{a_{{n}}}{e} \\[5pt] g & = & \dfrac{n \cdot \lambda \cdot e}{a_{{n}}}\end{array}$

Nun werden die Werte für beide Gitter (mit Formula: n = 1 ) eingesetzt und berechnet:

Für das erste Gitter ( Formula: g_1 ):

$Formula: \begin{array}[t]{rll}g_{\mathrm{1}} & = & \dfrac{1 \cdot 632 \cdot 10^{-9}\;\mathrm{m} \cdot 0,75\;\mathrm{m}}{0,004\;\mathrm{m}} \\[5pt] & \approx & 0,0001185\;\mathrm{m} \\[5pt] & \approx & 0,12\;\mathrm{mm}\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}g_{\mathrm{1}} & = & \dfrac{1 \cdot 632 \cdot 10^{-9}\;\mathrm{m} \cdot 0,75\;\mathrm{m}}{0,004\;\mathrm{m}} \\[5pt] & \approx & 0,0001185\;\mathrm{m} \\[5pt] & \approx & 0,12\;\mathrm{mm}\end{array}$

Für das zweite Gitter ( Formula: g_2 ):

$Formula: \begin{array}[t]{rll}g_{\mathrm{2}} & = & \dfrac{1 \cdot 632 \cdot 10^{-9}\;\mathrm{m} \cdot 0,75\;\mathrm{m}}{0,009\;\mathrm{m}} \\[5pt] & \approx & 0,0000526\;\mathrm{m} \\[5pt] & \approx & 0,05\;\mathrm{mm}\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}g_{\mathrm{2}} & = & \dfrac{1 \cdot 632 \cdot 10^{-9}\;\mathrm{m} \cdot 0,75\;\mathrm{m}}{0,009\;\mathrm{m}} \\[5pt] & \approx & 0,0000526\;\mathrm{m} \\[5pt] & \approx & 0,05\;\mathrm{mm}\end{array}$

Erläuterung des Interferenzbildes

Das charakteristische Punktemuster auf dem Bildschirm lässt sich physikalisch wie folgt erklären:

Kreuzgitter: Durch das Kreuzen der senkrecht zueinander stehenden Strichgitter entsteht ein Kreuzgitter.
Huygenssches Prinzip: An jeder einzelnen quadratischen Öffnung dieses Kreuzgitters bilden sich nach dem Huygensschen Prinzip neue Elementarwellen aus. Diese besitzen alle die gleiche Frequenz und stehen in einer festen Phase zueinander.
Interferenz: Diese Elementarwellen breiten sich aus und überlagern sich ungestört im Raum hinter dem Gitter (Interferenz). An bestimmten Stellen auf dem Schirm verstärken sich die Wellenberge (konstruktive Interferenz) und es entstehen die sichtbaren hellen Lichtpunkte. Dazwischen kommt es zur Auslöschung (destruktive Interferenz).
Einfluss der Gitterkonstanten: Da die ermittelten Gitterkonstanten der beiden Strichgitter unterschiedlich groß sind ( $Formula: 0,12\;\mathrm{mm}$ $Formula: 0,12\;\mathrm{mm}$ vs. $Formula: 0,05\;\mathrm{mm}$ $Formula: 0,05\;\mathrm{mm}$ ), sind auch die Beugungswinkel in der Horizontalen und der Vertikalen verschieden.
Abstände der Punkte: Je kleiner die Gitterkonstante, desto stärker wird das Licht gebeugt. Daher liegen die Interferenzpunkte in der horizontalen Ebene (die durch das Gitter mit der kleineren Gitterkonstante erzeugt werden) auf dem Schirm deutlich weiter auseinander.

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