Aufgabe 4 — Massenbestimmung im Weltraum

Um den gesundheitlichen Zustand der Astronauten auf der Raumstation ISS zu überprüfen, wird regelmäßig auch ihre Masse kontrolliert. Messungen, denen die Gravitation zugrunde liegt, sind im Weltall nicht sinnvoll. Stattdessen wird ein Gerät mit dem Namen BMMD (Body Mass Measurement Device) verwendet.

4.1

Experiment: Die Massenbestimmung soll wie beim BMMD auf der Raumstation (M 14) nun modellhaft unter Nutzung eines vertikalen Federpendels durchgeführt werden.

4.1.1

Beschreibe die Durchführung eines Versuchs, mit dem unbekannte Massen auch in Schwerelosigkeit bestimmt werden können. Skizziere dafür einen Versuchsaufbau (M 15).

4 BE

4.1.2

Ermittle unter Berücksichtigung der Hinweise zum Versuch (M 15) die Periodendauern Formula: T_0 und $Formula: T_\text{g}$ $Formula: T_\text{g}$ experimentell.

Hinweis: Sollte das Aufnehmen von Messwerten nicht gelingen, so können bei der Lehrkraft Ersatzmesswerte angefordert werden. Den nicht erbrachten Leistungen entsprechend werden 7 BE nicht erteilt.

7 BE

4.2

Auswertung des Experiments: Formula: T_0 im Modellversuch entspricht der Schwingungsdauer des Stuhles ohne Astronauten. $Formula: T_\text{g}$ $Formula: T_\text{g}$ entspricht der Schwingungsdauer des Astronauten mit dem Stuhl. Damit das BMMD zu jeder Periodendauer $Formula: T_\text{g}$ $Formula: T_\text{g}$ direkt die Masse des Astronauten zuordnen kann, sollen die Ergebnisse innerhalb eines Diagramms dargestellt werden.

4.2.1

Stelle auf Basis der Messergebnisse den Quotienten $Formula: \tfrac{T_{\mathrm{g}}^2}{T_{0}^2}$ $Formula: \tfrac{T_{\mathrm{g}}^2}{T_{0}^2}$ in Abhängigkeit von der jeweils zusätzlichen Masse in einem Diagramm dar.

5 BE

4.2.2

Vergleiche die Messergebnisse mit dem in M 16 dargestellten idealisierten Zusammenhang, der sich aus Gleichung Formula: (1) ergibt.

4 BE

4.2.3

Nenne zwei mögliche Ursachen für die Messunsicherheiten beim Experiment und die Auswirkungen auf die Interpretation der Messergebnisse.

3 BE

4.3

In M 17 ist das $Formula: y(t)\text{-}$ $Formula: y(t)\text{-}$ Diagramm einer harmonischen Schwingung abgebildet, die eine Beispielmessung mit dem BMMD darstellt. Eine solche harmonische Schwingung kann allgemein durch die Funktionsgleichung $Formula: y(t) = y_{\mathrm{max}} \cdot \sin(\omega \cdot t)$ $Formula: y(t) = y_{\mathrm{max}} \cdot \sin(\omega \cdot t)$ beschrieben werden.

4.3.1

Ermittle die Funktionsgleichung für die in M 17 dargestellte Schwingung.

4 BE

4.3.2

Ermittle den Betrag der maximalen Geschwindigkeit des schwingenden Astronauten auf dem BMMD sowie die Zeitpunkte Formula: t während der ersten Periode, an denen dieser Maximalbetrag der Geschwindigkeit auftritt.

5 BE

4.4

Bei weiteren Testversuchen wurde festgestellt, dass die vom BMMD angezeigte Masse von der eigentlichen Masse um $Formula: 6\%$ $Formula: 6\%$ abweicht. Weiterhin wurde beobachtet, dass es sich um eine gedämpfte Schwingung handelt (M 19).

4.4.1

Der Einfluss der Dämpfung auf die Schwingung lässt sich unter Nutzung des sogenannten Abklingkoeffizienten $Formula: \delta$ $Formula: \delta$ mathematisch erfassen (M 18).

Ermittle möglichst genau unter Nutzung der Gleichung Formula: (2) aus M 18 und des in M 19 abgebildeten Diagramms für eine gedämpfte Schwingung diesen Abklingkoeffizienten.

[Kontrollwert: $Formula: \delta = 0,10\;\tfrac{1}{\mathrm{s}}$ $Formula: \delta = 0,10\;\tfrac{1}{\mathrm{s}}$ ]

4 BE

4.4.2

Beurteile mit Hilfe von M 19, ob die Dämpfung einen Einfluss auf das Ergebnis der Messung der Masse hat.

4 BE

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M 14 Das Body Mass Measurement Device (BMMD)

Das BMMD besteht aus einer Art Hocker (mit bekannter Masse $Formula: m_\text{H}$ $Formula: m_\text{H}$ ), auf den sich der Astronaut begibt und festhält. Der Hocker ist über eine Feder (mit bekannter Federkonstante Formula: D ) mit der Raumstation fest verbunden.

Astronaut in Raumstation auf blauem Sitzgerät zwischen Kabeln und technischen Geräten

Abbildung 15: Das Body Mass Measurement Device (BMMD) mit Astronaut

Hocker auf Feder über Boden, Pfeil zeigt Auf- und Abbewegung

Abbildung 16: Das Body-Mass-Measurement Device (BMMD) schematisch

Wird das Gerät eingeschaltet, so wird der Astronaut zusammen mit dem Hocker in Eigenschwingungen versetzt. Die Elektronik des Geräts misst die Periodendauer, mit der Astronaut und Hocker als gemeinsame schwingende Masse frei auf und ab schwingen. Aus dieser Periodendauer können dann die schwingende Masse und daraus dann wiederum die Masse des Astronauten errechnet werden.

M 15 Material zur Durchführung des Versuchs

Geräte und Materialien:

Stativmaterial inklusive Befestigungsmaterials
1 Schraubenfeder
6 gleiche Massestücke
1 Stoppuhr

Hinweise zur Durchführung:

Ermittle die Periodendauer für die Anfangsmasse von $Formula: m_{\mathrm{0}} = 100\;\mathrm{g}.$ $Formula: m_{\mathrm{0}} = 100\;\mathrm{g}.$
Belasse diese Masse an der Feder. Füge danach schrittweise zu den $Formula: 100\;\mathrm{g}$ $Formula: 100\;\mathrm{g}$ vier weitere Massestücke von jeweils $Formula: 50\;\mathrm{g}$ $Formula: 50\;\mathrm{g}$ hinzu, wobei du in jedem Schritt jeweils die Periodendauer $Formula: T_{\mathrm{g}}$ $Formula: T_{\mathrm{g}}$ misst.
Wende hierbei ein Verfahren an, um die Messunsicherheit möglichst zu verringern.
Verwende kleine Auslenkungen.

Zusatzmasse $Formula: \boldsymbol{m_{\mathrm{z}}}$ $Formula: \boldsymbol{m_{\mathrm{z}}}$ in $Formula: \boldsymbol{\text{g}}$ $Formula: \boldsymbol{\text{g}}$
Periodendauer $Formula: \boldsymbol{T_{\mathrm{g}}}$ $Formula: \boldsymbol{T_{\mathrm{g}}}$ in $Formula: \boldsymbol{\text{s}}$ $Formula: \boldsymbol{\text{s}}$

M 16 Theoretischer Hintergrund beim BMMD

Werden Körper der Masse $Formula: m_{\mathrm{z}}$ $Formula: m_{\mathrm{z}}$ zusätzlich zur Anfangsmasse Formula: m_0 an denselben Federschwinger angehängt, so steigt die Periodendauer auf den Wert $Formula: T_{\mathrm{g}}.$ $Formula: T_{\mathrm{g}}.$ Werden die beiden quadrierten Periodendauern ins Verhältnis gesetzt, ergibt sich die folgende Gleichung:

$Formula: (1) \quad \dfrac{T_{\mathrm{g}}^{2}}{T_{0}^{2}} = \dfrac{m_{0} + m_{\mathrm{z}}}{m_{0}} \quad$ $Formula: (1) \quad \dfrac{T_{\mathrm{g}}^{2}}{T_{0}^{2}} = \dfrac{m_{0} + m_{\mathrm{z}}}{m_{0}} \quad$

$Formula: m_{0}\text{:}$ $Formula: m_{0}\text{:}$ Anfangsmasse

$Formula: m_{\mathrm{z}}\text{:}$ $Formula: m_{\mathrm{z}}\text{:}$ Zusatzmasse

$Formula: T_{0}\text{:}$ $Formula: T_{0}\text{:}$ Periodendauer bei der Masse $Formula: m_{0}$ $Formula: m_{0}$

$Formula: T_{\mathrm{g}}\text{:}$ $Formula: T_{\mathrm{g}}\text{:}$ Periodendauer bei der Masse $Formula: m_{0} + m_{\mathrm{z}}$ $Formula: m_{0} + m_{\mathrm{z}}$

M 17 $Formula: \boldsymbol{\color{#287882}{y(t)\text{-}}}$ $Formula: \boldsymbol{\color{#287882}{y(t)\text{-}}}$ Diagramm einer Beispielmessung mit dem BMMD

Abbildung 17: $Formula: \small{y(t)\text{-}}$ $Formula: \small{y(t)\text{-}}$ Diagramm beim BMMD

M 18 Abklingkoeffizient bei einer gedämpften Schwingung

Der Abklingkoeffizient Formula: δ ist ein Maß für das Dämpfungsverhalten in frei schwingenden Systemen. Es gilt die folgende Gleichung zur Berechnung:

$Formula: (2)\quad \delta = \dfrac{1}{T} \cdot \ln \left( \dfrac{y_{\mathrm{max}}(t)}{y_{\mathrm{max}}(t + T)} \right)\quad$ $Formula: (2)\quad \delta = \dfrac{1}{T} \cdot \ln \left( \dfrac{y_{\mathrm{max}}(t)}{y_{\mathrm{max}}(t + T)} \right)\quad$

$Formula: \delta\text{:}$ $Formula: \delta\text{:}$ Abklingkoeffizient

$Formula: y_{\mathrm{max}}(t)\text{:}$ $Formula: y_{\mathrm{max}}(t)\text{:}$ Amplitude zum Zeitpunkt Formula: t

$Formula: y_{\mathrm{max}}(t + T)\text{:}$ $Formula: y_{\mathrm{max}}(t + T)\text{:}$ Amplitude zum Zeitpunkt Formula: t + T

M 19 $Formula: \boldsymbol{\color{#287882}{y(t)\text{-}}}$ $Formula: \boldsymbol{\color{#287882}{y(t)\text{-}}}$ Diagramm einer gedämpften Schwingung

Abbildung 18: $Formula: \small{y(t)\text{-}}$ $Formula: \small{y(t)\text{-}}$ Diagramm einer gedämpften Schwingung

Für gedämpfte harmonische Schwingungen gilt:

$Formula: (3) \quad \omega_{\mathrm{D}} = \sqrt{\omega^2 - \delta^2}\quad$ $Formula: (3) \quad \omega_{\mathrm{D}} = \sqrt{\omega^2 - \delta^2}\quad$

$Formula: \omega_{\mathrm{D}}\text{:}$ $Formula: \omega_{\mathrm{D}}\text{:}$ Kreisfrequenz der gedämpften Schwingung

$Formula: \omega\text{:}$ $Formula: \omega\text{:}$ Kreisfrequenz der ungedämpften Schwingung

$Formula: \delta\text{:}$ $Formula: \delta\text{:}$ Abklingkoeffizient

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4.1

4.1.1

Skizze eines Federschwingers:

Wie in der Skizze ersichtlich, wird die unbekannte Masse an der Feder aufgehängt, die Schraubenfeder wird an einem Stativ befestigt. Zunächst befindet sich die Masse in Ruhelage. Aus dieser wird die Masse ausgelenkt und losgelassen. Dabei wird die Zeit von mehreren Schwingungen gemessen.

4.1.2

Mögliche Messwerte: Periodendauer $Formula: T_{\mathrm{0}} = 1,05\;\mathrm{s}$ $Formula: T_{\mathrm{0}} = 1,05\;\mathrm{s}$ für die Anfangsmasse $Formula: m_{\mathrm{0}} = 100\;\mathrm{g}.$ $Formula: m_{\mathrm{0}} = 100\;\mathrm{g}.$

Zusatzmasse $Formula: \boldsymbol{m}_{\mathrm{z}}$ $Formula: \boldsymbol{m}_{\mathrm{z}}$ in $Formula: \boldsymbol{\mathrm{g}}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{g}}$
Periodendauer $Formula: \boldsymbol{T}_{\mathrm{g}}$ $Formula: \boldsymbol{T}_{\mathrm{g}}$ in $Formula: \boldsymbol{\mathrm{s}}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{s}}$

Um die Messunsicherheit zu verringern, werden für jedes Massenstück mehrere Perioden durchlaufen, um dann die entsprechende Schwingungsdauer zu berechnen.

4.2

4.2.1

Mithilfe der Messergebnisse kann der Quotient $Formula: \tfrac{T_{\mathrm{g}}^2}{T_{\mathrm{0}}^2}$ $Formula: \tfrac{T_{\mathrm{g}}^2}{T_{\mathrm{0}}^2}$ für die jeweils zusätzliche Masse berechnet werden:

Masse $Formula: \boldsymbol{m_{\mathrm{z}}}$ $Formula: \boldsymbol{m_{\mathrm{z}}}$ in $Formula: \boldsymbol{\mathrm{g}}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{g}}$
$Formula: \boldsymbol{\tfrac{T_{\mathrm{g}}^2}{T_{\mathrm{0}}^2}}$ $Formula: \boldsymbol{\tfrac{T_{\mathrm{g}}^2}{T_{\mathrm{0}}^2}}$

Das kann in einem Diagramm dargestellt werden:

Diagramm: T_g^2/T_0^2 gegen m_z (g), gepunktete Trendlinie, fünf Messpunkte, horizontale und vertikale Markierung bei ca. 1,45 und 115 g

4.2.2

Gemäß der Gleichung Formula: (1) wird als Graph eine Gerade erwartet, die einen Schnittpunkt mit der $Formula: \tfrac{T_{\mathrm{g}}^2}{T_0^2}\text{-}$ $Formula: \tfrac{T_{\mathrm{g}}^2}{T_0^2}\text{-}$ Achse bei Formula: 1 hat. Diese theoretischen Erwartungen stimmen mit der Auswertung der Messergebnisse im Rahmen der Messunsicherheit überein. Die Steigung der Gerade beträgt ca. $Formula: 0,008\;\tfrac{1}{\mathrm{g}}.$ $Formula: 0,008\;\tfrac{1}{\mathrm{g}}.$ Idealisiert wird eine Steigung von $Formula: 0,01\;\tfrac{1}{\mathrm{g}}$ $Formula: 0,01\;\tfrac{1}{\mathrm{g}}$ erwartet.

4.2.3

Eine große Messunsicherheit entsteht durch die Messung der Periodendauer mit der Stoppuhr. Durch die Messung über mehrere Perioden wird diese Unsicherheit verringert.
Zusätzlich kann es passieren, dass die vertikale Schwingung von horizontalen Pendelbewegungen überlagert wird, was auch zur Messunsicherheit der Periodendauer beiträgt.
Eine fehlerhafte Bestimmung der Periodendauer führt zu einer fehlerhaften Berechnung der Masse. Dies wäre im Falle des Astronauten evtl. eine falsche Einschätzung der Masse des Astronauten.

4.3

4.3.1

Für eine harmonische Schwingung gilt die allgemeine Funktionsgleichung $Formula: y(t) = y_{\mathrm{max}} \cdot \sin(\omega \cdot t)$ $Formula: y(t) = y_{\mathrm{max}} \cdot \sin(\omega \cdot t)$ mit der Amplitude $Formula: y_{\mathrm{max}}$ $Formula: y_{\mathrm{max}}$ und der Kreisfrequenz $Formula: \omega.$ $Formula: \omega.$ Aus dem Diagramm (Abbildung 17) kann $Formula: y_{\mathrm{max}} = 10\;\mathrm{cm}$ $Formula: y_{\mathrm{max}} = 10\;\mathrm{cm}$ abgelesen werden.

Um $Formula: \omega$ $Formula: \omega$ zu bestimmen, muss zuerst die Periodendauer Formula: T ermittelt werden. Dafür wird aus dem Diagramm eine bestimmte Anzahl von Schwingungen ausgewählt und das dazugehörige Zeitintervall bestimmt. So ergibt sich z.B. das Wertepaar Formula: n=4 nach $Formula: t= 6 \; \text{s}.$ $Formula: t= 6 \; \text{s}.$ Daraus folgt:

$Formula: T=\dfrac{t}{n} = \dfrac{6\;\mathrm{s}}{4} = 1,5\;\mathrm{s}$ $Formula: T=\dfrac{t}{n} = \dfrac{6\;\mathrm{s}}{4} = 1,5\;\mathrm{s}$

$Formula: \Rightarrow \omega = \dfrac{2\pi}{T} = \dfrac{4}{3} \cdot \pi\;\dfrac{1}{\mathrm{s}} \approx 4,19\;\dfrac{1}{\mathrm{s}}$ $Formula: \Rightarrow \omega = \dfrac{2\pi}{T} = \dfrac{4}{3} \cdot \pi\;\dfrac{1}{\mathrm{s}} \approx 4,19\;\dfrac{1}{\mathrm{s}}$

Das kann in die allgemeine Funktionsgleichung einer harmonischen Schwingung eingesetzt werden:

$Formula: y(t) = 10\;\mathrm{cm} \cdot \sin\left(\dfrac{4}{3}\pi\;\dfrac{1}{\mathrm{s}} \cdot t\right)$ $Formula: y(t) = 10\;\mathrm{cm} \cdot \sin\left(\dfrac{4}{3}\pi\;\dfrac{1}{\mathrm{s}} \cdot t\right)$

4.3.2

Für die Geschwindigkeit eines Schwingers gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} v(t) & = & y_{\mathrm{max}} \cdot \omega \cdot \cos(\omega \cdot t) \\[5pt] & = & 10\;\mathrm{cm} \cdot \dfrac{4}{3}\pi\;\dfrac{1}{\mathrm{s}} \cdot \cos\left(\dfrac{4}{3}\pi\;\dfrac{1}{\mathrm{s}} \cdot t\right) \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} v(t) & = & y_{\mathrm{max}} \cdot \omega \cdot \cos(\omega \cdot t) \\[5pt] & = & 10\;\mathrm{cm} \cdot \dfrac{4}{3}\pi\;\dfrac{1}{\mathrm{s}} \cdot \cos\left(\dfrac{4}{3}\pi\;\dfrac{1}{\mathrm{s}} \cdot t\right) \end{array}$

Der Betrag der Geschwindigkeit ist maximal, wenn $Formula: \cos\left(\tfrac{4}{3}\pi\;\tfrac{1}{\mathrm{s}} \cdot t\right) = \pm 1$ $Formula: \cos\left(\tfrac{4}{3}\pi\;\tfrac{1}{\mathrm{s}} \cdot t\right) = \pm 1$ gilt. Daraus folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} v_{\mathrm{max}} & = & 10\;\mathrm{cm} \cdot \dfrac{4}{3}\pi\;\dfrac{1}{\mathrm{s}} \\[5pt] & = & \dfrac{40}{3}\pi\;\dfrac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}} \\[5pt] & \approx & 41,9\;\dfrac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} v_{\mathrm{max}} & = & 10\;\mathrm{cm} \cdot \dfrac{4}{3}\pi\;\dfrac{1}{\mathrm{s}} \\[5pt] & = & \dfrac{40}{3}\pi\;\dfrac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}} \\[5pt] & \approx & 41,9\;\dfrac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}} \end{array}$

Für $Formula: \cos\left(\tfrac{4}{3}\pi\;\tfrac{1}{\mathrm{s}} \cdot t\right) = \pm 1$ $Formula: \cos\left(\tfrac{4}{3}\pi\;\tfrac{1}{\mathrm{s}} \cdot t\right) = \pm 1$ nimmt die Schwingung die maximale Geschwindigkeit während der ersten Periode zu den Zeiten Formula: t = 0 und $Formula: t = 0,75\;\mathrm{s}$ $Formula: t = 0,75\;\mathrm{s}$ an.

4.4

4.4.1

Um die Dämpfung der Schwingung in Abbildung 18 zu bestimmen, wird die Gleichung Formula: (2) verwendet:

$Formula: \delta = \dfrac{1}{T} \cdot \ln \left( \dfrac{y_{\mathrm{max}}(t)}{y_{\mathrm{max}}(t+T)} \right)$ $Formula: \delta = \dfrac{1}{T} \cdot \ln \left( \dfrac{y_{\mathrm{max}}(t)}{y_{\mathrm{max}}(t+T)} \right)$

In Abbildung 18 können verschiedene Amplituden aus dem Diagramm abgelesen werden, daraus ergibt sich:

$Formula: y_{\mathrm{1}} = 9,5\;\mathrm{cm};$ $Formula: y_{\mathrm{1}} = 9,5\;\mathrm{cm};$ $Formula: y_{\mathrm{2}} = 7,8\;\mathrm{cm};$ $Formula: y_{\mathrm{2}} = 7,8\;\mathrm{cm};$ $Formula: y_{\mathrm{3}} = 6,4\;\mathrm{cm};$ $Formula: y_{\mathrm{3}} = 6,4\;\mathrm{cm};$ $Formula: y_{\mathrm{4}} = 5,2\;\mathrm{cm};$ $Formula: y_{\mathrm{4}} = 5,2\;\mathrm{cm};$ $Formula: y_{\mathrm{5}} = 4,3\;\mathrm{cm}$ $Formula: y_{\mathrm{5}} = 4,3\;\mathrm{cm}$

Mit diesen Werten kann nun die jeweilige Dämpfung berechnet werden:

$Formula: \delta_{\mathrm{1}} = \dfrac{1}{T} \cdot \ln \left( \dfrac{y_{\mathrm{1}}}{y_{\mathrm{2}}} \right) \approx 0,099\;\dfrac{1}{\mathrm{s}}$ $Formula: \delta_{\mathrm{1}} = \dfrac{1}{T} \cdot \ln \left( \dfrac{y_{\mathrm{1}}}{y_{\mathrm{2}}} \right) \approx 0,099\;\dfrac{1}{\mathrm{s}}$

$Formula: \delta_{\mathrm{2}} = \dfrac{1}{T} \cdot \ln \left( \dfrac{y_{\mathrm{2}}}{y_{\mathrm{3}}} \right) \approx 0,099\;\dfrac{1}{\mathrm{s}}$ $Formula: \delta_{\mathrm{2}} = \dfrac{1}{T} \cdot \ln \left( \dfrac{y_{\mathrm{2}}}{y_{\mathrm{3}}} \right) \approx 0,099\;\dfrac{1}{\mathrm{s}}$

$Formula: \delta_{\mathrm{3}} = \dfrac{1}{T} \cdot \ln \left( \dfrac{y_{\mathrm{3}}}{y_{\mathrm{4}}} \right) \approx 0,104\;\dfrac{1}{\mathrm{s}}$ $Formula: \delta_{\mathrm{3}} = \dfrac{1}{T} \cdot \ln \left( \dfrac{y_{\mathrm{3}}}{y_{\mathrm{4}}} \right) \approx 0,104\;\dfrac{1}{\mathrm{s}}$

$Formula: \delta_{\mathrm{4}} = \dfrac{1}{T} \cdot \ln \left( \dfrac{y_{\mathrm{4}}}{y_{\mathrm{5}}} \right) \approx 0,095\;\dfrac{1}{\mathrm{s}}$ $Formula: \delta_{\mathrm{4}} = \dfrac{1}{T} \cdot \ln \left( \dfrac{y_{\mathrm{4}}}{y_{\mathrm{5}}} \right) \approx 0,095\;\dfrac{1}{\mathrm{s}}$

Abschließend wird daraus noch der Mittelwert der Abklingkoeffizienten gebildet: $Formula: \bar{\delta} = 0,099\;\tfrac{1}{\mathrm{s}}$ $Formula: \bar{\delta} = 0,099\;\tfrac{1}{\mathrm{s}}$

4.4.2

Bei der Bestimmung der Masse geht das Gerät (BMMD) von dem idealen Fall einer ungedämpften harmonischen Schwingung aus. In Wirklichkeit ist die Schwingung jedoch gedämpft. Dabei gilt zwischen der Kreisfrequenz der gedämpften Schwingung $Formula: \omega_{\mathrm{D}}$ $Formula: \omega_{\mathrm{D}}$ und der ungedämpften Schwingung $Formula: \omega$ $Formula: \omega$ der Zusammenhang $Formula: \omega = \sqrt{\omega_{\mathrm{D}}^2 + \delta^2}.$ $Formula: \omega = \sqrt{\omega_{\mathrm{D}}^2 + \delta^2}.$

Es muss die Periodendauer für $Formula: \delta = 0,099\;\tfrac{1}{\mathrm{s}}$ $Formula: \delta = 0,099\;\tfrac{1}{\mathrm{s}}$ für die ungedämpfte Schwingung bei einer Periodendauer von $Formula: 2\;\mathrm{s}$ $Formula: 2\;\mathrm{s}$ der gedämpften Schwingung berechnet werden.

$Formula: \omega_{\mathrm{D}} = \dfrac{2\pi}{T_{\mathrm{D}}} = \dfrac{2\pi}{2\;\mathrm{s}} \approx 3,1416\;\mathrm{s^{-1}}$ $Formula: \omega_{\mathrm{D}} = \dfrac{2\pi}{T_{\mathrm{D}}} = \dfrac{2\pi}{2\;\mathrm{s}} \approx 3,1416\;\mathrm{s^{-1}}$

Mit der Gleichung $Formula: \omega = \sqrt{\omega_{\mathrm{D}}^2 + \delta^2}$ $Formula: \omega = \sqrt{\omega_{\mathrm{D}}^2 + \delta^2}$ folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} \omega & = & \sqrt{\omega_{\mathrm{D}}^{2} + \delta^{2}} \\[5pt] \omega & = & \sqrt{(3,1416\;\mathrm{s^{-1}})^{2} + (0,099\;\mathrm{s^{-1}})^{2}} \\[5pt] \omega & \approx & 3,1432\;\mathrm{s^{-1}} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} \omega & = & \sqrt{\omega_{\mathrm{D}}^{2} + \delta^{2}} \\[5pt] \omega & = & \sqrt{(3,1416\;\mathrm{s^{-1}})^{2} + (0,099\;\mathrm{s^{-1}})^{2}} \\[5pt] \omega & \approx & 3,1432\;\mathrm{s^{-1}} \end{array}$

$Formula: \Rightarrow T = \frac{2\pi}{\omega} \approx \frac{2 \cdot \pi}{3,1432 \; \mathrm{s}^{-1}} \approx 1,999 \; \mathrm{s}$ $Formula: \Rightarrow T = \frac{2\pi}{\omega} \approx \frac{2 \cdot \pi}{3,1432 \; \mathrm{s}^{-1}} \approx 1,999 \; \mathrm{s}$

Somit hat die Dämpfung im Rahmen der Messgenauigkeit keinen Einfluss auf die Messung der Schwingungsdauer und somit auch nicht auf die Bestimmung der Masse.

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Aufgabe 4 — Massenbestimmung im Weltraum

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M 14 Das Body Mass Measurement Device (BMMD)

M 15 Material zur Durchführung des Versuchs

Geräte und Materialien:

Hinweise zur Durchführung:

M 16 Theoretischer Hintergrund beim BMMD

M 17 Diagramm einer Beispielmessung mit dem BMMD

M 18 Abklingkoeffizient bei einer gedämpften Schwingung

M 19 Diagramm einer gedämpften Schwingung

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M 17 $Formula: \boldsymbol{\color{#287882}{y(t)\text{-}}}$ $Formula: \boldsymbol{\color{#287882}{y(t)\text{-}}}$ Diagramm einer Beispielmessung mit dem BMMD

M 19 $Formula: \boldsymbol{\color{#287882}{y(t)\text{-}}}$ $Formula: \boldsymbol{\color{#287882}{y(t)\text{-}}}$ Diagramm einer gedämpften Schwingung