Aufgabe 2 — Temperaturmessung mit einem elektromagnetischen Schwingkreis

Kapazitive Sensoren werden für verschiedenste Messzwecke, z. B. zur Druck- oder Abstandsmessung eingesetzt. Auch Temperaturen können mit geeigneten Kondensatoren gemessen werden. Als Modell eines kapazitiven Sensors wird ein Kondensator im elektromagnetischen Schwingkreis betrachtet.

2.1

Im ungedämpften elektromagnetischen Schwingkreis (siehe M 7) wird, nachdem der Kondensator vollständig aufgeladen ist, der Schalter Formula: S von Position 1 nach 2 bewegt.

2.1.1

Beschreibe die Energieumwandlungen innerhalb der ersten viertel Schwingungsperiode.

4 BE

2.1.2

Leite nachstehende Beziehung für die maximale Stromstärke $Formula: I_{\mathrm{max}}$ $Formula: I_{\mathrm{max}}$ im Schwingkreis her: $Formula: I_{\mathrm{max}} = \sqrt{\dfrac{C \cdot U_{\mathrm{max}}^2}{L}}$ $Formula: I_{\mathrm{max}} = \sqrt{\dfrac{C \cdot U_{\mathrm{max}}^2}{L}}$

4 BE

2.1.3

Bei konstanter Spannung $Formula: U_{\mathrm{max}}$ $Formula: U_{\mathrm{max}}$ ändert sich die gespeicherte Energie des Kondensators, wenn zwischen die Kondensatorplatten ein Dielektrikum gebracht wird.

Begründe dies, ohne auf die Prozesse im Dielektrikum einzugehen.

3 BE

2.2

Es wird nun im ungedämpften Schwingkreis Wasser als Dielektrikum untersucht. Gemessen wird der zeitliche Verlauf der Stromstärke Formula: I(t) für vier verschiedene Temperaturen (siehe M 8).

2.2.1

Ermittle die Periodendauer Formula: T sowie die Kapazität Formula: C für die Messungen 1 und 4 mithilfe von M 8. Ergänze die Werte in Tabelle 1. Nutze auch die in Abbildung 9 dargestellte Abhängigkeit der relativen Dielektrizitätszahl von der Temperatur.

5 BE

2.2.2

Begründe die Veränderung der Periodendauer Formula: T und der Stromstärke $Formula: I_{\mathrm{max}}.$ $Formula: I_{\mathrm{max}}.$

4 BE

2.3

Der Versuchsaufbau aus Aufgabe 2.2 wird für die Temperaturmessung im Bereich von $Formula: 15\;\mathrm{^\circ C}$ $Formula: 15\;\mathrm{^\circ C}$ bis $Formula: 26\;\mathrm{^\circ C}$ $Formula: 26\;\mathrm{^\circ C}$ genutzt. Eine Auswerteelektronik soll über die Frequenzänderung im zeitlichen Verlauf der Stromstärke die aktuelle Temperatur auf ein Grad Celsius genau bestimmen. Für eine Beurteilung, ob die geforderte Messgenauigkeit erreicht wird, muss zunächst die Induktivität Formula: L der Spule bestimmt werden (siehe M 8).

2.3.1

Stelle in einem Diagramm Formula: T^2 in Abhängigkeit von Formula: C für die Messwerte aus Tabelle 1 dar.

Bestimme aus der Darstellung die Induktivität Formula: L der Spule.

[Kontrollwert: $Formula: L = 5,3\;\mathrm{mH}$ $Formula: L = 5,3\;\mathrm{mH}$ ]

9 BE

2.3.2

Beurteile, ob der Aufbau für diesen Messbereich geeignet ist, wenn die Frequenzbestimmung mit einer Genauigkeit von $Formula: \mathit{\Delta} f = 1\;\mathrm{kHz}$ $Formula: \mathit{\Delta} f = 1\;\mathrm{kHz}$ erfolgt.

6 BE

2.4

In M 9 ist die Abhängigkeit der Kapazität von der Temperatur in $Formula: \text{K}$ $Formula: \text{K}$ für einen industriellen kapazitiven Sensor dargestellt.

Beurteile die Eignung des Sensors für die Temperaturmessung unter Berücksichtigung von drei verschiedenen Temperaturbereichen.

5 BE

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2.1

2.1.1

Zu Beginn des Beobachtungszeitraums ( $Formula: t=0\cdot T$ $Formula: t=0\cdot T$ ) ist die gesamte Energie des Schwingkreises in Form von elektrischer Energie im elektrischen Feld des Kondensators gespeichert.
Im darauffolgenden Intervall ( $Formula: 0 < t < \tfrac{T}{4}$ $Formula: 0 < t < \tfrac{T}{4}$ ) setzt der Entladevorgang ein, die Spannung und die elektrische Feldstärke nehmen folglich ab und es baut sich ein magnetisches Feld in der Spule auf. Dadurch wird die elektrische Energie des Kondensators immer mehr in magnetische Energie der Spule umgewandelt.
Nach einem Viertel der Schwingungsdauer ( $Formula: t = \tfrac{T}{4}$ $Formula: t = \tfrac{T}{4}$ ) ist der Kondensator vollständig entladen, die elektrische Feldstärke ist null, während die magnetische Flussdichte maximal ist. Die gesamte Energie des Schwingkreises ist im Magnetfeld der Spule gespeichert.

2.1.2

Es gelten:

$Formula: E_{\text{Kondensator, max}}=\dfrac{1}{2} C \cdot U_{\max}^2$ $Formula: E_{\text{Kondensator, max}}=\dfrac{1}{2} C \cdot U_{\max}^2$ und $Formula: E_{\text{Spule, max}}=\dfrac{1}{2} L \cdot I_{\max}^2$ $Formula: E_{\text{Spule, max}}=\dfrac{1}{2} L \cdot I_{\max}^2$

Die maximale Stromstärke $Formula: I_\text{max}$ $Formula: I_\text{max}$ lässt sich über den Energieerhaltungssatz herleiten. Die maximale elektrische Energie im Kondensator $Formula: E_{\text {Kondensator, max }}$ $Formula: E_{\text {Kondensator, max }}$ entspricht der maximalen magnetischen Energie in der Spule $Formula: E_{\text {Spule, max}}\text{:}$ $Formula: E_{\text {Spule, max}}\text{:}$

$Formula: \begin{array}{rll} E_{\text{Kondensator, max}} & = & E_{\text{Spule, max}} \\[5pt] \dfrac{1}{2} C \cdot U_{\max}^2 & = & \dfrac{1}{2} L \cdot I_{\max}^2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rll} E_{\text{Kondensator, max}} & = & E_{\text{Spule, max}} \\[5pt] \dfrac{1}{2} C \cdot U_{\max}^2 & = & \dfrac{1}{2} L \cdot I_{\max}^2 \end{array}$

Das kann nach der maximalen Stromstärke $Formula: I_\text{max}$ $Formula: I_\text{max}$ aufgelöst werden:

$Formula: I_{\mathrm{max}} = U_{\mathrm{max}} \cdot \sqrt{\frac{C}{L}}= \sqrt{\dfrac{C \cdot U_{\mathrm{max}}^2}{L}}.$ $Formula: I_{\mathrm{max}} = U_{\mathrm{max}} \cdot \sqrt{\frac{C}{L}}= \sqrt{\dfrac{C \cdot U_{\mathrm{max}}^2}{L}}.$

2.1.3

Das Einbringen eines Dielektrikums bewirkt gemäß der Gleichung $Formula: C = \varepsilon_{0} \cdot \varepsilon_{{r}} \cdot \tfrac{A}{d}$ $Formula: C = \varepsilon_{0} \cdot \varepsilon_{{r}} \cdot \tfrac{A}{d}$ eine Erhöhung der Kapazität des Kondensators.

Wird die Formel für die elektrische Energie $Formula: E = \tfrac{1}{2} \cdot C \cdot U_{\mathrm{max}}^{2}$ $Formula: E = \tfrac{1}{2} \cdot C \cdot U_{\mathrm{max}}^{2}$ betrachtet, so zeigt sich bei gleichbleibender anliegender Maximalspannung $Formula: U_{\mathrm{max}}$ $Formula: U_{\mathrm{max}}$ eine direkte Proportionalität zwischen der Kapazität Formula: C und der im Kondensator gespeicherten elektrischen Energie Formula: E. Aufgrund der durch das Dielektrikum vergrößerten Kapazität nimmt folglich auch die Menge der gespeicherten elektrischen Energie zu.

2.1

2.2.1

Zur genaueren Bestimmung der Periodendauer Formula: T wird die Dauer mehrerer Schwingungsperioden aus Abbildung 7 und 8 abgelesen und durch die Anzahl der durchlaufenen Perioden geteilt. Dadurch ergibt sich:

$Formula: T_1 = \frac{43,0 \; \mathrm{\mu s}}{6} = 7,2 \; \mathrm{\mu s}$ $Formula: T_1 = \frac{43,0 \; \mathrm{\mu s}}{6} = 7,2 \; \mathrm{\mu s}$

$Formula: T_4 = \frac{30,0 \; \mathrm{\mu s}}{5} = 6,0 \; \mathrm{\mu s}$ $Formula: T_4 = \frac{30,0 \; \mathrm{\mu s}}{5} = 6,0 \; \mathrm{\mu s}$

Zur Berechnung der Kapazität wird die Formel für die Kapazität Formula: C eines Plattenkondensators herangezogen:

$Formula: C = \varepsilon_{0} \cdot \varepsilon_{{r}} \cdot \frac{A}{d}$ $Formula: C = \varepsilon_{0} \cdot \varepsilon_{{r}} \cdot \frac{A}{d}$

Aus Abbildung 9 kann der Wert $Formula: \varepsilon_{{r,1}} = 88$ $Formula: \varepsilon_{{r,1}} = 88$ für die Temperatur $Formula: \vartheta = 0\;\mathrm{^\circ C}$ $Formula: \vartheta = 0\;\mathrm{^\circ C}$ und der Wert $Formula: \varepsilon_{{r,4}} = 59,5$ $Formula: \varepsilon_{{r,4}} = 59,5$ für die Temperatur $Formula: \vartheta = 84\;\mathrm{^\circ C}$ $Formula: \vartheta = 84\;\mathrm{^\circ C}$ abgelesen werden, somit ergeben sich folgende Kapazitäten $Formula: C\text{:}$ $Formula: C\text{:}$

$Formula: C_1 = \varepsilon_{\mathrm{0}} \cdot \dfrac{88 \cdot 16\;\mathrm{cm}^2}{5,0\;\mathrm{mm}} \approx 2,49 \cdot 10^{-10}\;\mathrm{F}$ $Formula: C_1 = \varepsilon_{\mathrm{0}} \cdot \dfrac{88 \cdot 16\;\mathrm{cm}^2}{5,0\;\mathrm{mm}} \approx 2,49 \cdot 10^{-10}\;\mathrm{F}$

$Formula: C_4 = \varepsilon_{\mathrm{0}} \cdot \dfrac{59,5 \cdot 16\;\mathrm{cm}^2}{5,0\;\mathrm{mm}} \approx 1,69 \cdot 10^{-10}\;\mathrm{F}$ $Formula: C_4 = \varepsilon_{\mathrm{0}} \cdot \dfrac{59,5 \cdot 16\;\mathrm{cm}^2}{5,0\;\mathrm{mm}} \approx 1,69 \cdot 10^{-10}\;\mathrm{F}$

Damit kann die Tabelle vervollständigt werden:

Nummer der Messung	Temperatur $Formula: \boldsymbol{\vartheta}$ $Formula: \boldsymbol{\vartheta}$ in $Formula: \boldsymbol{^\circ\mathrm{C}}$ $Formula: \boldsymbol{^\circ\mathrm{C}}$	Kapazität $Formula: \boldsymbol{C}$ $Formula: \boldsymbol{C}$ in $Formula: \boldsymbol{\mathrm{pF}}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{pF}}$	Periodendauer $Formula: \boldsymbol{T}$ $Formula: \boldsymbol{T}$ in $Formula: \boldsymbol{\mu\mathrm{s}}$ $Formula: \boldsymbol{\mu\mathrm{s}}$	$Formula: \boldsymbol{T^2}$ $Formula: \boldsymbol{T^2}$ in $Formula: \boldsymbol{(\mu\mathrm{s})^2}$ $Formula: \boldsymbol{(\mu\mathrm{s})^2}$

2.2.2

Wie Abbildung 9 zu entnehmen ist, nimmt die Dielektrizitätszahl und damit auch die Kapazität Formula: C des Kondensators mit zunehmender Temperatur ab. Da $Formula: U_{\mathrm{max}}$ $Formula: U_{\mathrm{max}}$ und Formula: L konstant sind, ergibt sich aus der in Aufgabenteil 2.1.2 hergeleiteten Gleichung die Proportionalität $Formula: I_{\mathrm{max}} \sim \sqrt{C}.$ $Formula: I_{\mathrm{max}} \sim \sqrt{C}.$ Daraus folgt, dass mit dem Rückgang der Kapazität Formula: C auch die maximale Stromstärke $Formula: I_{\mathrm{max}}$ $Formula: I_{\mathrm{max}}$ sinkt.

Des Weiteren beschreibt die Thomson'sche Schwingungsgleichung die Abhängigkeit der Periodendauer von der Induktivität und der Kapazität:

$Formula: T = 2\pi \cdot \sqrt{L \cdot C}$ $Formula: T = 2\pi \cdot \sqrt{L \cdot C}$

Daraus folgt unmittelbar die Proportionalität $Formula: T \sim \sqrt{C}.$ $Formula: T \sim \sqrt{C}.$ Demzufolge verringert sich bei höheren Temperaturen $Formula: \vartheta$ $Formula: \vartheta$ ebenso die Periodendauer .

2.3

2.3.1

Erstellen eines Diagramms aus den Messwerten

Diagramm: T² (μs²) gegen Kapazität C (pF), Messpunkte und lineare Ausgleichsgerade.

Bestimmen der Induktivität der Spule

Aufgrund der in Aufgabenteil 2.2 hergeleiteten Proportionalität $Formula: T \sim \sqrt{C}$ $Formula: T \sim \sqrt{C}$ muss die Proportionalität $Formula: T^2 \sim C$ $Formula: T^2 \sim C$ gelten. Folglich ist zu erwarten, dass die eingetragenen Messwertpaare zumindest näherungsweise auf einer Ursprungsgeraden liegen.

Die zugehörige Proportionalitätskonstante Formula: k lässt sich aus der Thomson'schen Schwingungsgleichung ableiten:

$Formula: T = 2\pi \cdot \sqrt{L \cdot C} \Rightarrow T^2 = k \cdot C$ $Formula: T = 2\pi \cdot \sqrt{L \cdot C} \Rightarrow T^2 = k \cdot C$ mit $Formula: k = 4\pi^2 \cdot L$ $Formula: k = 4\pi^2 \cdot L$

Aus dem Diagramm kann die Steigung z.B. über ein Steigungsdreieck bestimmt werden:

$Formula: k = \dfrac{50\;(\mathrm{\mu s})^2}{240\;\mathrm{pF}}=0,21 \; \frac{\mathrm{\mu s^2}}{\mathrm{pF}} = 0,21 \; \frac{\mathrm{V \cdot s}}{\mathrm{A}}$ $Formula: k = \dfrac{50\;(\mathrm{\mu s})^2}{240\;\mathrm{pF}}=0,21 \; \frac{\mathrm{\mu s^2}}{\mathrm{pF}} = 0,21 \; \frac{\mathrm{V \cdot s}}{\mathrm{A}}$

Durch Umstellen der Gleichung für Formula: k nach der Induktivität Formula: L und Einsetzen des Wertes für ergibt sich das Endergebnis:

$Formula: L = \frac{k}{4\pi^2} = 5,3 \; \mathrm{mH}$ $Formula: L = \frac{k}{4\pi^2} = 5,3 \; \mathrm{mH}$

2.3.2

Für die untere Grenze des vorgegebenen Temperaturintervalls resultiert mit der Dielektrizitätszahl $Formula: \varepsilon_{{r,1}} = 82$ $Formula: \varepsilon_{{r,1}} = 82$ (siehe Abbildung 9) die Kapazität:

$Formula: \begin{array}{rcl} C_{1} & = & \varepsilon_{0} \cdot \dfrac{82 \cdot 16\;\mathrm{cm}^{2}}{5,0\;\mathrm{mm}} \\[5pt] & = & \varepsilon_{0} \cdot \varepsilon_{r, 1} \cdot \dfrac{A}{d} \\[5pt] & \approx & 232 \;\mathrm{pF} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcl} C_{1} & = & \varepsilon_{0} \cdot \dfrac{82 \cdot 16\;\mathrm{cm}^{2}}{5,0\;\mathrm{mm}} \\[5pt] & = & \varepsilon_{0} \cdot \varepsilon_{r, 1} \cdot \dfrac{A}{d} \\[5pt] & \approx & 232 \;\mathrm{pF} \end{array}$

Analog ergibt sich für die obere Grenze mit $Formula: \varepsilon_{{r,2}} = 78$ $Formula: \varepsilon_{{r,2}} = 78$ ein Wert von:

$Formula: \begin{array}{rcl} C_{2} & = & \varepsilon_{0} \cdot \dfrac{78 \cdot 16\;\mathrm{cm}^{2}}{5,0\;\mathrm{mm}} \\[5pt] & = & \varepsilon_{0} \cdot \varepsilon_{r, 2} \cdot \dfrac{A}{d} \\[5pt] & \approx & 221 \;\mathrm{pF} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcl} C_{2} & = & \varepsilon_{0} \cdot \dfrac{78 \cdot 16\;\mathrm{cm}^{2}}{5,0\;\mathrm{mm}} \\[5pt] & = & \varepsilon_{0} \cdot \varepsilon_{r, 2} \cdot \dfrac{A}{d} \\[5pt] & \approx & 221 \;\mathrm{pF} \end{array}$

(Beide Werte sind hier jeweils auf zwei signifikante Stellen gerundet.)

Unter Einbezug des zuvor ermittelten Kontrollwertes für die Induktivität Formula: L aus Aufgabenteil 2.3.1 lassen sich mithilfe der Thomson'schen Schwingungsgleichung die entsprechenden Grenzen des Frequenzintervalls bestimmen:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} f_{\mathrm{1}} & = & \dfrac{1}{2\pi \cdot \sqrt{L \cdot C_{\mathrm{1}}}} \\[5pt] & = & \dfrac{1}{2\pi \cdot \sqrt{5,3\;\mathrm{mH} \cdot 232\;\mathrm{pF}}} \\[5pt] & \approx & 143,5 \;\mathrm{kHz} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} f_{\mathrm{1}} & = & \dfrac{1}{2\pi \cdot \sqrt{L \cdot C_{\mathrm{1}}}} \\[5pt] & = & \dfrac{1}{2\pi \cdot \sqrt{5,3\;\mathrm{mH} \cdot 232\;\mathrm{pF}}} \\[5pt] & \approx & 143,5 \;\mathrm{kHz} \end{array}$

$Formula: \begin{array}[t]{rll} f_{\mathrm{2}} & = & \dfrac{1}{2\pi \cdot \sqrt{L \cdot C_{\mathrm{2}}}} \\[5pt] & = & \dfrac{1}{2\pi \cdot \sqrt{5,3\;\mathrm{mH} \cdot 221\;\mathrm{pF}}} \\[5pt] & \approx & 147 \;\mathrm{kHz} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} f_{\mathrm{2}} & = & \dfrac{1}{2\pi \cdot \sqrt{L \cdot C_{\mathrm{2}}}} \\[5pt] & = & \dfrac{1}{2\pi \cdot \sqrt{5,3\;\mathrm{mH} \cdot 221\;\mathrm{pF}}} \\[5pt] & \approx & 147 \;\mathrm{kHz} \end{array}$

(Beide Werte sind hier jeweils auf zwei signifikante Stellen gerundet.)

Das nutzbare Frequenzintervall beträgt also nur etwa $Formula: \Delta f_{gesamt} \approx 3,5\;\text{kHz}.$ $Formula: \Delta f_{gesamt} \approx 3,5\;\text{kHz}.$

Innerhalb dieses Frequenzbereichs ermöglicht die vorgegebene Messgenauigkeit der Elektronik (Auflösung von $Formula: 1 \; \mathrm{kHz}$ $Formula: 1 \; \mathrm{kHz}$ ) lediglich die Unterscheidung von 3 bis 4 verschiedenen Werten. Um jedoch die Temperatur im geforderten Intervall gradgenau erfassen zu können, wären 12 unterscheidbare Werte zwingend erforderlich. Daraus lässt sich schlussfolgern, dass die vorliegende Auswerteelektronik für die angestrebte Temperaturmessgenauigkeit nicht geeignet ist.

2.4

Temperaturbereich $Formula: \mathrm{I}$ $Formula: \mathrm{I}$ ( $Formula: \boldsymbol{5\; \text{K}}$ $Formula: \boldsymbol{5\; \text{K}}$ bis etwa $Formula: \boldsymbol{265\; \text{K}}$ $Formula: \boldsymbol{265\; \text{K}}$ ): Im ersten Intervall nimmt die Kapazität bei einem Anstieg der Temperatur kontinuierlich zu. Durch diese eindeutige Zuordnung lässt sich der Sensor mit entsprechender Auswerteelektronik in diesem Bereich für die Temperaturmessung einsetzen.
Temperaturbereich $Formula: \mathrm{II}$ $Formula: \mathrm{II}$ ( $Formula: \boldsymbol{265\; \text{K}}$ $Formula: \boldsymbol{265\; \text{K}}$ bis etwa $Formula: \boldsymbol{270\; \text{K}}$ $Formula: \boldsymbol{270\; \text{K}}$ ): Im zweiten Intervall erreicht die Kapazität zunächst einen Maximalwert und verringert sich danach wieder. Das führt dazu, dass einem einzelnen Kapazitätswert potenziell zwei unterschiedliche Temperaturen zugeordnet werden können. Wegen dieser fehlenden Eindeutigkeit ist der Sensor für Messungen in diesem Temperaturintervall ungeeignet.
Temperaturbereich $Formula: \mathrm{III}$ $Formula: \mathrm{III}$ (oberhalb $Formula: \boldsymbol{270\; \text{K}}$ $Formula: \boldsymbol{270\; \text{K}}$ ): Im dritten Intervall ist ein stetiges Absinken der Kapazität bei steigenden Temperaturen zu beobachten. Wie im ersten Intervall erlaubt diese eindeutige Zuordnung wieder einen zuverlässigen Einsatz des Sensors zur Bestimmung der Temperatur.

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Aufgabe 2 — Temperaturmessung mit einem elektromagnetischen Schwingkreis

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M 7 Modellversuch zum kapazitiven Sensor

M 8 Messwerte für verschiedene Temperaturen des Dielektrikums

M 9 Kapazitiver Temperatursensor CS-501

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