Aufgabe 3 — Energie und Rotation

3.1

Am Max-Planck-Institut für Plasmaphysik in Garching wird die elektrische Energie für das Fusionsexperiment ASDEX Upgrade zur Versorgung seiner Magnetfeldspulen von großen Schwungradenergiespeicheranlagen geliefert. Das Schwungrad wird mit Elektromotoren angetrieben, anschließend gibt das Schwungrad seine Energie innerhalb von Sekunden an den Fusionsreaktor wieder ab.

Schematische Darstellung: öffentliches Stromnetz, Motor mit Schwungrad, Generator, Gleichrichter und ASDEX Upgrade Tokamak.

Abbildung 4: Skizze zum Fusionsexperiment ASDEX Upgrade

Das Schwungrad hat eine Masse von $Formula: 223\;\mathrm{t},$ $Formula: 223\;\mathrm{t},$ eine Länge von $Formula: 3,90\;\mathrm{m}$ $Formula: 3,90\;\mathrm{m}$ und einen Durchmesser von $Formula: 2,90\;\mathrm{m}.$ $Formula: 2,90\;\mathrm{m}.$ Vereinfacht wird das Rad als ein Vollzylinder mit homogener Massenverteilung betrachtet.

3.1.1

Das Rad läuft mit Formula: 1650 Umdrehungen pro Minute.

Berechne die Bahngeschwindigkeit eines Punktes auf der Außenwand und vergleiche diese mit der Schallgeschwindigkeit.

3 BE

3.1.2

Die Energieabgabe erfolgt dann innerhalb von $Formula: 10\;\mathrm{s}.$ $Formula: 10\;\mathrm{s}.$ Dabei wird das Schwungrad von Formula: 1650 auf Formula: 1275 Umdrehungen pro Minute abgebremst.

Berechne das Trägheitsmoment des Schwungrades mit der Formel für den Vollzylinder $Formula: J = \tfrac{1}{2} \cdot m \cdot r^2$ $Formula: J = \tfrac{1}{2} \cdot m \cdot r^2$ und die innerhalb von $Formula: 10\;\mathrm{s}$ $Formula: 10\;\mathrm{s}$ abgegebene Energie.

7 BE

3.2

Das Trägheitsmoment eines Schwungrades wird in der Schule experimentell bestimmt. Dazu wird die folgende Anordnung verwendet. Auf einer nahezu reibungsfrei gelagerten Achse befinden sich zentriert das Schwungrad und eine Rolle mit Schnur und einem daran befestigten Hakenkörper der Masse Formula: m. Das Schwungrad wird durch Herabsinken des Hakenkörpers aus dem Stillstand in Rotation versetzt. Das Band und die Rolle seien masselos, der Radius der Rolle beträgt Formula: r. Die Trägheitsmomente der Rolle und der Achse können vernachlässigt werden.

Diagramm: Masse m an Schnur an Rolle (Radius r), Achse mit Lagerung verbindet zu Schwungrad; Höhenangabe h.

Abbildung 5: Versuchsanordnung

3.2.1

Beschreibe die auftretenden Energieumwandlungen. Stelle eine Energiebilanzgleichung auf.

3 BE

3.2.2

Leite die Gleichung $Formula: J = m \cdot \left( \tfrac{2 \cdot g \cdot h}{\omega^2} - r^2 \right)$ $Formula: J = m \cdot \left( \tfrac{2 \cdot g \cdot h}{\omega^2} - r^2 \right)$ zur Bestimmung des Trägheitsmoments des Schwungrades her.

4 BE

3.2.3

Die Winkelgeschwindigkeit kann leicht durch die Zeit für eine Umdrehung bestimmt werden. Die Masse des Hakenkörpers beträgt $Formula: 1,00\;\mathrm{kg},$ $Formula: 1,00\;\mathrm{kg},$ die Absinkhöhe $Formula: 1,00\;\mathrm{m}$ $Formula: 1,00\;\mathrm{m}$ und der Radius der Antriebsrolle $Formula: 0,05\;\mathrm{m}.$ $Formula: 0,05\;\mathrm{m}.$ Die Anordnung führt nach Herabsinken des Hakenkörpers Formula: 4 Umdrehungen pro Sekunde aus.

Berechne das Trägheitsmoment des Schwungrades.

3 BE

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3.1

3.1.1

Das Rad dreht sich mit Formula: n_1 = 1650 Umdrehungen pro Minute. Zunächst wird dies in die Frequenz Formula: f_1 (Umdrehungen pro Sekunde) umgerechnet:

$Formula: f_{\mathrm{1}} = \dfrac{1650}{60\;\mathrm{s}} = 27,5\;\mathrm{Hz}$ $Formula: f_{\mathrm{1}} = \dfrac{1650}{60\;\mathrm{s}} = 27,5\;\mathrm{Hz}$

Die Bahngeschwindigkeit Formula: v am Rand des Schwungrades berechnet sich mit der Formel für die Kreisbewegung:

$Formula: v = 2 \cdot \pi \cdot f_1 \cdot r$ $Formula: v = 2 \cdot \pi \cdot f_1 \cdot r$

Durch Einsetzen der Werte ergibt sich:

$Formula: v = 2 \cdot \pi \cdot 27,5\;\dfrac{1}{\mathrm{s}} \cdot 1,45\;\mathrm{m} \approx 251\;\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ $Formula: v = 2 \cdot \pi \cdot 27,5\;\dfrac{1}{\mathrm{s}} \cdot 1,45\;\mathrm{m} \approx 251\;\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

Die Bahngeschwindigkeit von etwa $Formula: 251 \; \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ $Formula: 251 \; \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ ist deutlich kleiner als die Schallgeschwindigkeit in Luft (welche bei ca. $Formula: 340\;\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ $Formula: 340\;\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ liegt).

3.1.2

In die in der Aufgabenstellung gegebene Formel $Formula: J = \tfrac{1}{2} \cdot m \cdot r^2$ $Formula: J = \tfrac{1}{2} \cdot m \cdot r^2$ können die gegebenen Werte eingesetzt werden:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} J & = & \dfrac{1}{2} \cdot 223.000\;\mathrm{kg} \cdot (1,45\;\mathrm{m})^2 \\[5pt] & = & 234.429\;\mathrm{kg} \cdot \mathrm{m}^2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} J & = & \dfrac{1}{2} \cdot 223.000\;\mathrm{kg} \cdot (1,45\;\mathrm{m})^2 \\[5pt] & = & 234.429\;\mathrm{kg} \cdot \mathrm{m}^2 \end{array}$

Damit kann die innerhalb von $Formula: 10 \; \text{s}$ $Formula: 10 \; \text{s}$ abgegebene Energie berechnet werden.

Das Schwungrad wird von $Formula: n_{\mathrm{1}} = 1650\;\tfrac{\mathrm{U}}{\mathrm{min}}$ $Formula: n_{\mathrm{1}} = 1650\;\tfrac{\mathrm{U}}{\mathrm{min}}$ auf $Formula: n_{\mathrm{2}} = 1275\;\tfrac{\mathrm{U}}{\mathrm{min}}$ $Formula: n_{\mathrm{2}} = 1275\;\tfrac{\mathrm{U}}{\mathrm{min}}$ abgebremst. Die abgegebene Energie $Formula: \Delta E$ $Formula: \Delta E$ entspricht der Differenz der Rotationsenergien vorher und nachher.

Zunächst werden die Winkelgeschwindigkeiten $Formula: \omega_1$ $Formula: \omega_1$ und $Formula: \omega_2$ $Formula: \omega_2$ berechnet:

Anfangszustand:

$Formula: \begin{array}[t]{rll}\omega_{\mathrm{1}} & = & 2 \cdot \pi \cdot f_{\mathrm{1}} \\[5pt] & = & 2 \cdot \pi \cdot 27,5\;\dfrac{1}{\mathrm{s}} \\[5pt] & \approx & 172,8\;\dfrac{1}{\mathrm{s}}\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}\omega_{\mathrm{1}} & = & 2 \cdot \pi \cdot f_{\mathrm{1}} \\[5pt] & = & 2 \cdot \pi \cdot 27,5\;\dfrac{1}{\mathrm{s}} \\[5pt] & \approx & 172,8\;\dfrac{1}{\mathrm{s}}\end{array}$

Endzustand: Frequenz $Formula: f_{\mathrm{2}} = \tfrac{1275}{60\;\mathrm{s}} = 21,25\;\mathrm{Hz}$ $Formula: f_{\mathrm{2}} = \tfrac{1275}{60\;\mathrm{s}} = 21,25\;\mathrm{Hz}$

$Formula: \begin{array}[t]{rll}\omega_{\mathrm{2}} & = & 2 \cdot \pi \cdot f_{\mathrm{2}} \\[5pt] & = & 2 \cdot \pi \cdot 21,25\;\dfrac{1}{\mathrm{s}} \\[5pt] & \approx & 133,5\;\dfrac{1}{\mathrm{s}}\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}\omega_{\mathrm{2}} & = & 2 \cdot \pi \cdot f_{\mathrm{2}} \\[5pt] & = & 2 \cdot \pi \cdot 21,25\;\dfrac{1}{\mathrm{s}} \\[5pt] & \approx & 133,5\;\dfrac{1}{\mathrm{s}}\end{array}$

Nun wird die Rotationsenergie $Formula: E_\text{rot} = \tfrac{1}{2} \cdot J \cdot \omega^2$ $Formula: E_\text{rot} = \tfrac{1}{2} \cdot J \cdot \omega^2$ für beide Zustände ermittelt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} E_\text{rot1} &=& \dfrac{1}{2} \cdot 234.429 \; \mathrm{kg} \cdot \mathrm{m}^2 \cdot (172,8 \; \dfrac{1}{\mathrm{s}})^2 \\[5pt] &\approx& 3,5 \cdot 10^9 \; \mathrm{J} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} E_\text{rot1} &=& \dfrac{1}{2} \cdot 234.429 \; \mathrm{kg} \cdot \mathrm{m}^2 \cdot (172,8 \; \dfrac{1}{\mathrm{s}})^2 \\[5pt] &\approx& 3,5 \cdot 10^9 \; \mathrm{J} \end{array}$

$Formula: \begin{array}[t]{rll} E_{\mathrm{rot2}} &=& \dfrac{1}{2} \cdot 234.429 \; \mathrm{kg} \cdot \mathrm{m}^2 \cdot (133,5 \; \dfrac{1}{\mathrm{s}})^2 \\[5pt] &\approx& 2,1 \cdot 10^9 \; \mathrm{J} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} E_{\mathrm{rot2}} &=& \dfrac{1}{2} \cdot 234.429 \; \mathrm{kg} \cdot \mathrm{m}^2 \cdot (133,5 \; \dfrac{1}{\mathrm{s}})^2 \\[5pt] &\approx& 2,1 \cdot 10^9 \; \mathrm{J} \end{array}$

Die Energiedifferenz (und damit die ans System abgegebene Energie) beträgt folglich:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} \Delta E &=& E_{\mathrm{rot1}} - E_{\mathrm{rot2}} \\[5pt] &=& 3,5 \cdot 10^9 \; \mathrm{J} - 2,1 \cdot 10^9 \; \mathrm{J} \\[5pt] &=& 1,4 \cdot 10^9 \; \mathrm{J} \\[5pt] &=& 1400 \; \mathrm{MJ} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} \Delta E &=& E_{\mathrm{rot1}} - E_{\mathrm{rot2}} \\[5pt] &=& 3,5 \cdot 10^9 \; \mathrm{J} - 2,1 \cdot 10^9 \; \mathrm{J} \\[5pt] &=& 1,4 \cdot 10^9 \; \mathrm{J} \\[5pt] &=& 1400 \; \mathrm{MJ} \end{array}$

3.2

3.2.1

Beschreiben der Energieumwandlungen

Zu Beginn des Experiments (im Stillstand) besitzt der Hakenkörper in der Höhe Formula: h ausschließlich potenzielle Energie. Die kinetische Energie des Hakenkörpers und die Rotationsenergie des Schwungrades sind zu diesem Zeitpunkt null. Bewegt sich der Hakenkörper nach unten, verringert sich seine Höhe, wodurch seine potenzielle Energie abnimmt. Diese Energie wandelt sich zeitgleich in zwei andere Energieformen um. Zum einen in die kinetische Energie des sich nun abwärts bewegenden Hakenkörpers (Translationsenergie) und zum anderen in die Rotationsenergie des sich drehenden Schwungrades.

Energiebilanzgleichung

Aus dem Energieerhaltungssatz ergibt sich damit der folgende Ansatz für den Moment, in dem der Hakenkörper die Höhe Formula: h durchfallen hat:

$Formula: E_\mathrm{pot, Hakenk\ddot{o}rper} = E_\mathrm{kin, Hakenk\ddot{o}rper} + E_\text{rot, Schwungrad}$ $Formula: E_\mathrm{pot, Hakenk\ddot{o}rper} = E_\mathrm{kin, Hakenk\ddot{o}rper} + E_\text{rot, Schwungrad}$

3.2.2

In die aufgestellte Bilanzgleichung können die physikalischen Formeln eingesetzt werden:

$Formula: m \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 + \frac{1}{2} \cdot J \cdot \omega^2$ $Formula: m \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 + \frac{1}{2} \cdot J \cdot \omega^2$

Da das Band masselos ist und am Rand der Rolle mit dem Radius Formula: r abrollt, entspricht die Fallgeschwindigkeit Formula: v des Hakenkörpers der Bahngeschwindigkeit am Rand der Rolle ( $Formula: v=\omega \cdot r$ $Formula: v=\omega \cdot r$ ):

$Formula: \begin{array}[t]{rll}m \cdot g \cdot h &=& \dfrac{1}{2} m \cdot \omega^2 \cdot r^2 + \dfrac{1}{2} J \cdot \omega^2 \quad&\mid - \dfrac{1}{2} m \cdot \omega^2 \cdot r^2 \\[5pt] \dfrac{1}{2} J \cdot \omega^2 &=& m \cdot g \cdot h - \dfrac{1}{2} m \cdot \omega^2 \cdot r^2 \quad&\mid \cdot \dfrac{2}{\omega ^2} \\[5pt] J &=& \dfrac{2 \cdot m \cdot g \cdot h}{\omega^2} - m \cdot r^2 \\[5pt] J &=& m \cdot \left( \dfrac{2 \cdot g \cdot h}{\omega^2} - r^2 \right)\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}m \cdot g \cdot h &=& \dfrac{1}{2} m \cdot \omega^2 \cdot r^2 + \dfrac{1}{2} J \cdot \omega^2 \quad&\mid - \dfrac{1}{2} m \cdot \omega^2 \cdot r^2 \\[5pt] \dfrac{1}{2} J \cdot \omega^2 &=& m \cdot g \cdot h - \dfrac{1}{2} m \cdot \omega^2 \cdot r^2 \quad&\mid \cdot \dfrac{2}{\omega ^2} \\[5pt] J &=& \dfrac{2 \cdot m \cdot g \cdot h}{\omega^2} - m \cdot r^2 \\[5pt] J &=& m \cdot \left( \dfrac{2 \cdot g \cdot h}{\omega^2} - r^2 \right)\end{array}$

$Formula: \begin{array}[t]{rll}m \cdot g \cdot h &=& \dfrac{1}{2} m \cdot \omega^2 \cdot r^2 + \dfrac{1}{2} J \cdot \omega^2 \\[5pt] \dfrac{1}{2} J \cdot \omega^2 &=& m \cdot g \cdot h - \dfrac{1}{2} m \cdot \omega^2 \cdot r^2 \quad&\mid \cdot \dfrac{2}{\omega ^2} \\[5pt] J &=& \dfrac{2 \cdot m \cdot g \cdot h}{\omega^2} - m \cdot r^2 \\[5pt] J &=& m \cdot \left( \dfrac{2 \cdot g \cdot h}{\omega^2} - r^2 \right)\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}m \cdot g \cdot h &=& \dfrac{1}{2} m \cdot \omega^2 \cdot r^2 + \dfrac{1}{2} J \cdot \omega^2 \\[5pt] \dfrac{1}{2} J \cdot \omega^2 &=& m \cdot g \cdot h - \dfrac{1}{2} m \cdot \omega^2 \cdot r^2 \quad&\mid \cdot \dfrac{2}{\omega ^2} \\[5pt] J &=& \dfrac{2 \cdot m \cdot g \cdot h}{\omega^2} - m \cdot r^2 \\[5pt] J &=& m \cdot \left( \dfrac{2 \cdot g \cdot h}{\omega^2} - r^2 \right)\end{array}$

3.2.3

Zuerst wird die Winkelgeschwindigkeit $Formula: \omega$ $Formula: \omega$ berechnet:

$Formula: \omega = 2 \cdot \pi \cdot f = 2 \cdot \pi \cdot 4 \; \dfrac{1}{\mathrm{s}} \approx 25,1 \; \dfrac{1}{\mathrm{s}}$ $Formula: \omega = 2 \cdot \pi \cdot f = 2 \cdot \pi \cdot 4 \; \dfrac{1}{\mathrm{s}} \approx 25,1 \; \dfrac{1}{\mathrm{s}}$

Nun können alle Werte in die in 3.2.2 hergeleitete Formel eingesetzt werden:

$Formula: \begin{array}[t]{rll}J & = & 1,00\;\mathrm{kg} \\[5pt]&\phantom{=}& \cdot \left( \dfrac{2 \cdot 9,81\;\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} \cdot 1,00\;\mathrm{m}}{\left( 25,1\;\tfrac{1}{\mathrm{s}} \right)^2} - (0,05\;\mathrm{m})^2 \right)\\[5pt] & = & 0,0286\;\mathrm{kg}\cdot \text{m}^2\\[5pt]\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}J & = & 1,00\;\mathrm{kg} \\[5pt]&\phantom{=}& \cdot \left( \dfrac{2 \cdot 9,81\;\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} \cdot 1,00\;\mathrm{m}}{\left( 25,1\;\tfrac{1}{\mathrm{s}} \right)^2} - (0,05\;\mathrm{m})^2 \right)\\[5pt] & = & 0,0286\;\mathrm{kg}\cdot \text{m}^2\\[5pt]\end{array}$

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