Aufgabe 1 — Freifallturm

In einigen Freizeitparks gibt es Freifalltürme, bei denen eine Gondel aus großer Höhe nahezu frei fällt und dann induktiv abgebremst wird (siehe Abbildung 1). Bei einem solchen Freifallturm mit einer Fallstrecke von insgesamt $Formula: 70\;\text{m}$ $Formula: 70\;\text{m}$ hat die vollbesetzte Gondel eine Masse von $Formula: 20\;\text{t}.$ $Formula: 20\;\text{t}.$ Während der ersten Phase der Bewegung fällt die Gondel auf einer Strecke von $Formula: 40\;\text{m}$ $Formula: 40\;\text{m}$ frei. Während der zweiten Phase der Bewegung wird die Gondel gleichmäßig so abgebremst, dass sie in einer Höhe von $Formula: 2\;\text{m}$ $Formula: 2\;\text{m}$ über dem tiefsten Punkt der Fallstrecke nur noch eine Geschwindigkeit von $Formula: 10\;\tfrac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$ $Formula: 10\;\tfrac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$ besitzt.

Hoher Fallturm mit rundem Sitzring vor blauem Himmel

Abb. 1: Freifallturm

1.1

Berechne die Geschwindigkeit der Gondel am Ende des freien Falls unter Vernachlässigung der Luftreibung.

3 BE

1.2

Ermittle die durchschnittliche Bremsverzögerung während der zweiten Phase der Bewegung, wenn die Geschwindigkeit zu Beginn des Bremsvorganges $Formula: 28\;\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ $Formula: 28\;\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ beträgt.

5 BE

1.3

Zum Bremsen sind an der Gondel sehr starke Dauermagnete angebracht. Die Gondel fällt in geringem Abstand an Platten aus einem nicht ferromagnetischen Metall (z. B. Kupfer), sogenannten Bremsschwertern, vorbei, die am Turm befestigt sind (siehe Abbildung 2).

Erkläre, wie das berührungslose, induktive Abbremsen funktioniert. Gehe dabei auch auf die Energieumwandlungen ein.

4 BE

Schematische Zeichnung einer Gondel mit Dauermagneten und Bremsgewichten an einer Schiene

Abb. 2: Vereinfachte Darstellung

1.4

Ungefähr $Formula: 85\,\%$ $Formula: 85\,\%$ der umgewandelten mechanischen Energie während des induktiven Bremsvorgangs werden in thermische Energie der Bremsschwerter umgewandelt. Diese haben eine Masse von insgesamt $Formula: 2\;\mathrm{t}$ $Formula: 2\;\mathrm{t}$ und bestehen aus Kupfer mit einer spezifischen Wärmekapazität von $Formula: 0,39\;\tfrac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}}.$ $Formula: 0,39\;\tfrac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}}.$

Stelle eine Energiebilanz zur Umwandlung der mechanischen Energien während dieses Prozesses auf.

Bestimme den Temperaturanstieg der Bremsschwerter dabei.

8 BE

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1.1

$Formula: \begin{array}[t]{rll}v&=&\sqrt{2 \cdot g \cdot h} \\[5pt] &=&\sqrt{2 \cdot 9,81\;\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 40\;\text{m}} \\[5pt] &\approx& 28\;\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}v&=&\sqrt{2 \cdot g \cdot h} \\[5pt] &=&\sqrt{2 \cdot 9,81\;\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 40\;\text{m}} \\[5pt] &\approx& 28\;\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \end{array}$

1.2

Es gilt $Formula: 10\;\dfrac{\text{km}}{\text{h}}=\dfrac{100}{36}\;\dfrac{\text{m}}{\text{s}}.$ $Formula: 10\;\dfrac{\text{km}}{\text{h}}=\dfrac{100}{36}\;\dfrac{\text{m}}{\text{s}}.$ Damit ergibt sich für Formula: a:

$Formula: \begin{array}[t]{rll}\Delta E_{\mathrm{kin}}&=&W \\[5pt] \dfrac{1}{2}\cdot m\cdot\Delta (v^2)&=&F\cdot s \\[5pt] \dfrac{1}{2}\cdot m\cdot\Delta (v^2)&=&m\cdot a\cdot s \quad&\scriptsize\mid :(m\cdot s) \\[5pt] \dfrac{\Delta (v^2)}{2s}&=&a\\[5pt] \dfrac{\left(28\;\tfrac{\text{m}}{\text{s}}\right)^2-\left(\tfrac{100}{36}\;\tfrac{\text{m}}{\text{s}}\right)^2}{28\;\text{m}}&=&a\\[5pt] -13,9\;\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}&\approx& a \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}\Delta E_{\mathrm{kin}}&=&W \\[5pt] \dfrac{1}{2}\cdot m\cdot\Delta (v^2)&=&F\cdot s \\[5pt] \dfrac{1}{2}\cdot m\cdot\Delta (v^2)&=&m\cdot a\cdot s \quad&\scriptsize\mid :(m\cdot s) \\[5pt] \dfrac{\Delta (v^2)}{2s}&=&a\\[5pt] \dfrac{\left(28\;\tfrac{\text{m}}{\text{s}}\right)^2-\left(\tfrac{100}{36}\;\tfrac{\text{m}}{\text{s}}\right)^2}{28\;\text{m}}&=&a\\[5pt] -13,9\;\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}&\approx& a \end{array}$

1.3

Die Gondel mit Dauermagneten bewegt sich an Kupferplatten vorbei. In ihnen werden Spannungen und Wirbelströme induziert (Induktionsgesetz). $Formula: E_{\mathrm{kin}}$ $Formula: E_{\mathrm{kin}}$ wird dabei in $Formula: E_{\mathrm{el}}$ $Formula: E_{\mathrm{el}}$ umgewandelt. Die Wirbelströme erzeugen ein Magnetfeld, das die Bewegung der Gondel abbremst (Lenz'sche Regel).

1.4

Energiebilanz aufstellen

Zustand	$Formula: \boldsymbol{E_\text{pot}}$ $Formula: \boldsymbol{E_\text{pot}}$	$Formula: \boldsymbol{E_\text{pot}}$ $Formula: \boldsymbol{E_\text{pot}}$
$Formula: h_A=30\;\mathrm{m}, v_A=28\;\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ $Formula: h_A=30\;\mathrm{m}, v_A=28\;\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$	$Formula: m_G \cdot g\cdot h_A$ $Formula: m_G \cdot g\cdot h_A$	$Formula: \dfrac{1}{2} \cdot m_G \cdot v_A^2$ $Formula: \dfrac{1}{2} \cdot m_G \cdot v_A^2$
$Formula: h_B=2\;\text{m}, v_B=10\;\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$ $Formula: h_B=2\;\text{m}, v_B=10\;\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$	$Formula: m_G \cdot g\cdot h_B$ $Formula: m_G \cdot g\cdot h_B$	$Formula: \dfrac{1}{2} \cdot m_G \cdot v_B^2$ $Formula: \dfrac{1}{2} \cdot m_G \cdot v_B^2$	$Formula: c \cdot m_{BS} \cdot \Delta T$ $Formula: c \cdot m_{BS} \cdot \Delta T$

Temperaturanstieg bestimmen

$Formula: \begin{array}[t]{rll}Q&=&0,85\cdot\Delta E_\text{mech} \\[5pt] c \cdot m_{BS} \cdot \Delta T &=&0,85 \cdot\left(\dfrac{1}{2} \cdot m_G \cdot v_A^2-\dfrac{1}{2} \cdot m_G \cdot v_B^2+m_G \cdot g \cdot h_A-m_G \cdot g \cdot h_B\right) \quad&\scriptsize\mid :(c\cdot m_{BS}) \\[5pt] \Delta T&=&\dfrac{0,85 \cdot m_G \cdot\left(\dfrac{1}{2} \cdot \Delta\left(v^2\right)+g \cdot \Delta h\right)}{c \cdot m_{BS}} \\[5pt] \Delta T&=&\dfrac{0,85 \cdot 20000\;\text{kg} \cdot\left(\dfrac{1}{2} \cdot \left(28\;\tfrac{\text{m}}{\text{s}}\right)^2-\left(\tfrac{100}{36}\;\tfrac{\text{m}}{\text{s}}\right)^2+9,81\;\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 28\;\text{m}\right)}{390\;\tfrac{\mathrm{J}}{\mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}} \cdot 2000\;\text{kg}} \\[5pt] \Delta T&\approx& 14,4\;\text{K} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}Q&=&0,85\cdot\Delta E_\text{mech} \\[5pt] c \cdot m_{BS} \cdot \Delta T &=&0,85 \cdot\left(\dfrac{1}{2} \cdot m_G \cdot v_A^2-\dfrac{1}{2} \cdot m_G \cdot v_B^2+m_G \cdot g \cdot h_A-m_G \cdot g \cdot h_B\right) \quad&\scriptsize\mid :(c\cdot m_{BS}) \\[5pt] \Delta T&=&\dfrac{0,85 \cdot m_G \cdot\left(\dfrac{1}{2} \cdot \Delta\left(v^2\right)+g \cdot \Delta h\right)}{c \cdot m_{BS}} \\[5pt] \Delta T&=&\dfrac{0,85 \cdot 20000\;\text{kg} \cdot\left(\dfrac{1}{2} \cdot \left(28\;\tfrac{\text{m}}{\text{s}}\right)^2-\left(\tfrac{100}{36}\;\tfrac{\text{m}}{\text{s}}\right)^2+9,81\;\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 28\;\text{m}\right)}{390\;\tfrac{\mathrm{J}}{\mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}} \cdot 2000\;\text{kg}} \\[5pt] \Delta T&\approx& 14,4\;\text{K} \end{array}$

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