Aufgabe 4 — Das Massenspektroskop

Mithilfe der Simulation eines Massenspektroskops soll eine Mischung der Wasserstoffisotope $Formula: \text{H-}1,$ $Formula: \text{H-}1,$ $Formula: \text{H-}2$ $Formula: \text{H-}2$ und $Formula: \text{H-}3$ $Formula: \text{H-}3$ bezüglich ihrer Massen untersucht werden.

Diagramm eines Geschwindigkeitsfilters mit Ionenquelle, Ablenkfeld und Beschleunigungsspannung.

Abbildung 4: Programmoberfläche

4.1

Gib den Aufbau dieser drei Isotope an.

3 BE

4.2

Starte das Simulationsprogramm „massenspektroskop“ und lies die Info.

Nimm folgende Einstellungen vor:

Ionenquelle	Mischung Wasserstoffisotope
Beschleunigungsspannung $Formula: \boldsymbol{U_{\mathrm{a}}}$ $Formula: \boldsymbol{U_{\mathrm{a}}}$	$Formula: 300\;\mathrm{V}$ $Formula: 300\;\mathrm{V}$
Ablenkspannung $Formula: \boldsymbol{U_{\mathrm{k}}}$ $Formula: \boldsymbol{U_{\mathrm{k}}}$	$Formula: 0\;\mathrm{V}$ $Formula: 0\;\mathrm{V}$
Magnetfeld $Formula: \boldsymbol{B_1}$ $Formula: \boldsymbol{B_1}$	$Formula: 0\;\mathrm{T}$ $Formula: 0\;\mathrm{T}$
Magnetfeld $Formula: \boldsymbol{B_2}$ $Formula: \boldsymbol{B_2}$	$Formula: 0,045\;\mathrm{T}$ $Formula: 0,045\;\mathrm{T}$

Tabelle 1: Einstellungen

4.2.1

Skizziere die Bahn der entstehenden Ionenstrahlen im Magnetfeld Formula: B_2.

Ordne jeder Bahn das zugehörige Wasserstoffisotop zu.

3 BE

4.2.2

Stelle am Geschwindigkeitsfilter (Abstand der Platten $Formula: d = 6,0\;\mathrm{cm}$ $Formula: d = 6,0\;\mathrm{cm}$ ) die Spannung $Formula: U_{\mathrm{k}} = 100\;\mathrm{V}$ $Formula: U_{\mathrm{k}} = 100\;\mathrm{V}$ ein. Nach Einstellung von $Formula: U_{\mathrm{k}}$ $Formula: U_{\mathrm{k}}$ sind die drei Strahlen erst dann wieder sichtbar, wenn Formula: B_1 geändert wird. Wähle den Ionenstrahl mit der mittleren Ablenkung aus und verändere das Magnetfeld so lange, bis dieser Teil des Ionenstrahls geradlinig in das Ablenkfeld gelangt. Stimme die magnetische Flussdichte Formula: B_2 im Ablenkfeld so ab, dass du den Radius der Bahn ablesen kannst.

Protokolliere alle Messwerte.

Ermittle die Masse dieser Ionen.

Leite dazu die Gleichung für die Masse $Formula: m = \tfrac{e \cdot B_1 \cdot B_2 \cdot r \cdot d}{U_{\mathrm{k}}}$ $Formula: m = \tfrac{e \cdot B_1 \cdot B_2 \cdot r \cdot d}{U_{\mathrm{k}}}$ her.

8 BE

4.3

Wiederhole das Experiment mit einem der weiteren Ionenstrahlen und ermittle auch für diesen die zugehörige Masse.

3 BE

4.4

Ermittle aus den Ergebnissen einen Näherungswert für die Masse eines Neutrons.

Begründe, warum eine genaue Bestimmung so nicht möglich ist.

3 BE

4.1

Die drei Wasserstoffisotope unterscheiden sich in der Anzahl ihrer Neutronen:

$Formula: \text{H-}1\text{:}$ $Formula: \text{H-}1\text{:}$ ein Proton im Kern und ein Elektron in der Hülle
$Formula: \text{H-}2\text{:}$ $Formula: \text{H-}2\text{:}$ ein Proton und ein Neutron im Kern sowie ein Elektron in der Hülle
$Formula: \text{H-}3\text{:}$ $Formula: \text{H-}3\text{:}$ ein Proton und zwei Neutronen im Kern sowie ein Elektron in der Hülle

4.2.1

Ionensimulator mit Ablenkfeld, Geschwindigkeitsfilter und Kurvenbahn eines Teilchens.

Mit zunehmender Masse nimmt auch der Bahnradius zu. Daraus folgt die Zuordnung:

$Formula: \text{H-}1\text{:}$ $Formula: \text{H-}1\text{:}$ kleinster Radius
$Formula: \text{H-}2\text{:}$ $Formula: \text{H-}2\text{:}$ mittlerer Radius
$Formula: \text{H-}3\text{:}$ $Formula: \text{H-}3\text{:}$ größter Radius

4.2.2

Für den Ionenstrahl mit der mittleren Ablenkung, also für $Formula: \text{H-}2\text{-}$ $Formula: \text{H-}2\text{-}$ Ionen, ergeben sich folgende Messwerte:

Ion	$Formula: {}^{2}_{1}\mathrm{H}^{+}$ $Formula: {}^{2}_{1}\mathrm{H}^{+}$
$Formula: \boldsymbol{U_{\mathrm{a}}}$ $Formula: \boldsymbol{U_{\mathrm{a}}}$ in $Formula: \boldsymbol{\mathrm{V}}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{V}}$
$Formula: \boldsymbol{U_{\mathrm{k}}}$ $Formula: \boldsymbol{U_{\mathrm{k}}}$ in $Formula: \boldsymbol{\mathrm{V}}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{V}}$
$Formula: \boldsymbol{B_1}$ $Formula: \boldsymbol{B_1}$ in $Formula: \boldsymbol{\mathrm{T}}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{T}}$
$Formula: \boldsymbol{B_2}$ $Formula: \boldsymbol{B_2}$ in $Formula: \boldsymbol{\mathrm{T}}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{T}}$
$Formula: \boldsymbol{r}$ $Formula: \boldsymbol{r}$ in $Formula: \boldsymbol{\mathrm{m}}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{m}}$

Im Geschwindigkeitsfilter heben sich elektrische Kraft und Lorentzkraft gegenseitig auf. Daher gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} F_{\mathrm{el}} & = & F_{\mathrm{L}} \\[5pt] e \cdot E & = & e \cdot v \cdot B_1 &\quad\scriptsize\mid\,\cdot \dfrac{1}{e} \\[5pt] E & = & v \cdot B_1 &\quad\scriptsize\mid\,E = \dfrac{U_{\mathrm{k}}}{d} \\[5pt] \dfrac{U_{\mathrm{k}}}{d} & = & v \cdot B_1 &\quad\scriptsize\mid\,\cdot \dfrac{1}{B_1} \\[5pt] v & = & \dfrac{U_{\mathrm{k}}}{B_1 \cdot d} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} F_{\mathrm{el}} & = & F_{\mathrm{L}} \\[5pt] e \cdot E & = & e \cdot v \cdot B_1 &\quad\scriptsize\mid\,\cdot \dfrac{1}{e} \\[5pt] E & = & v \cdot B_1 &\quad\scriptsize\mid\,E = \dfrac{U_{\mathrm{k}}}{d} \\[5pt] \dfrac{U_{\mathrm{k}}}{d} & = & v \cdot B_1 &\quad\scriptsize\mid\,\cdot \dfrac{1}{B_1} \\[5pt] v & = & \dfrac{U_{\mathrm{k}}}{B_1 \cdot d} \end{array}$

Mit $Formula: d = 6,0\;\mathrm{cm}$ $Formula: d = 6,0\;\mathrm{cm}$ ergibt sich für die Geschwindigkeit:

$Formula: v = \dfrac{U_{\mathrm{k}}}{B_1 \cdot d} = 238436\;\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \approx 238000\;\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ $Formula: v = \dfrac{U_{\mathrm{k}}}{B_1 \cdot d} = 238436\;\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \approx 238000\;\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

Im Ablenkfeld wirkt die Lorentzkraft als Radialkraft:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} F_{\mathrm{L}} & = & F_{\mathrm{R}} \\[5pt] e \cdot v \cdot B_2 & = & \dfrac{m \cdot v^2}{r} &\quad\scriptsize\mid\,\cdot \dfrac{r}{v^2} \\[5pt] m & = & \dfrac{e \cdot B_2 \cdot r}{v} &\quad\scriptsize\mid\,v = \dfrac{U_{\mathrm{k}}}{B_1 \cdot d} \\[5pt] m & = & \dfrac{e \cdot B_1 \cdot B_2 \cdot r \cdot d}{U_{\mathrm{k}}} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} F_{\mathrm{L}} & = & F_{\mathrm{R}} \\[5pt] e \cdot v \cdot B_2 & = & \dfrac{m \cdot v^2}{r} &\quad\scriptsize\mid\,\cdot \dfrac{r}{v^2} \\[5pt] m & = & \dfrac{e \cdot B_2 \cdot r}{v} &\quad\scriptsize\mid\,v = \dfrac{U_{\mathrm{k}}}{B_1 \cdot d} \\[5pt] m & = & \dfrac{e \cdot B_1 \cdot B_2 \cdot r \cdot d}{U_{\mathrm{k}}} \end{array}$

Einsetzen der Messwerte ergibt:

$Formula: m \approx 3,41914 \cdot 10^{-27}\;\mathrm{kg}$ $Formula: m \approx 3,41914 \cdot 10^{-27}\;\mathrm{kg}$

4.3

Mit der in Teilaufgabe 4.2.2 hergeleiteten Gleichung ergibt sich:

Ion	$Formula: \boldsymbol{U_{\mathrm{a}}}$ $Formula: \boldsymbol{U_{\mathrm{a}}}$ in $Formula: \boldsymbol{\mathrm{V}}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{V}}$	$Formula: \boldsymbol{U_{\mathrm{k}}}$ $Formula: \boldsymbol{U_{\mathrm{k}}}$ in $Formula: \boldsymbol{\mathrm{V}}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{V}}$	$Formula: \boldsymbol{B_1}$ $Formula: \boldsymbol{B_1}$ in $Formula: \boldsymbol{\mathrm{T}}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{T}}$	$Formula: \boldsymbol{B_2}$ $Formula: \boldsymbol{B_2}$ in $Formula: \boldsymbol{\mathrm{T}}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{T}}$	$Formula: \boldsymbol{r}$ $Formula: \boldsymbol{r}$ in $Formula: \boldsymbol{\mathrm{m}}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{m}}$	$Formula: \boldsymbol{m}$ $Formula: \boldsymbol{m}$ in $Formula: \boldsymbol{\mathrm{kg}}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{kg}}$
$Formula: {}^{1}_{1}\mathrm{H}^{+}$ $Formula: {}^{1}_{1}\mathrm{H}^{+}$						$Formula: 1,70022 \cdot 10^{-27}$ $Formula: 1,70022 \cdot 10^{-27}$
$Formula: {}^{3}_{1}\mathrm{H}^{+}$ $Formula: {}^{3}_{1}\mathrm{H}^{+}$						$Formula: 5,134 \cdot 10^{-27}$ $Formula: 5,134 \cdot 10^{-27}$

Hier wird eine mögliche Lösung beschrieben, abhängig von der Einstellung und Auflösung des Monitors.

4.4

Ein Näherungswert für die Neutronenmasse ergibt sich aus der Massendifferenz eines $Formula: \text{H-}2\text{-}$ $Formula: \text{H-}2\text{-}$ Ions und eines $Formula: \text{H-}1\text{-}$ $Formula: \text{H-}1\text{-}$ Ions:

$Formula: \Delta m = m_2 - m_1 = 1,674927 \cdot 10^{-27}\;\mathrm{kg}$ $Formula: \Delta m = m_2 - m_1 = 1,674927 \cdot 10^{-27}\;\mathrm{kg}$

Bei der Entstehung von Deuterium beziehungsweise Tritium tritt ein Massendefekt auf. Die Masse des gebundenen Nuklids ist daher kleiner als die Summe der Einzelmassen seiner Nukleonen. Dieser Massendefekt wird bei der einfachen Differenzbildung nicht berücksichtigt. Deshalb lässt sich die Neutronenmasse auf diese Weise nur näherungsweise bestimmen.