Aufgabe 3 — Wellenkanal

Für die Untersuchung verschiedener Eigenschaften und der Kraftverteilung einer Wasserwelle wurde im Forschungszentrum Küste in Hannover der Große Wellenkanal errichtet. Hier werden verschiedene Wellen mit einem tonnenschweren Wellenerreger am Rand eines Wellenbades erzeugt. Der Wellenerreger oszilliert in einem $Formula: 300\;\mathrm{m}$ $Formula: 300\;\mathrm{m}$ langen und $Formula: 7\;\mathrm{m}$ $Formula: 7\;\mathrm{m}$ tiefen Wellenbad harmonisch in vertikaler Richtung (siehe Abbildung 7 in Material 8). Dieser Vorgang erzeugt eine nahezu harmonische longitudinale Tiefenwelle.

3.1

Der Wellenerreger wird um $Formula: 70\;\mathrm{cm}$ $Formula: 70\;\mathrm{cm}$ in $Formula: y\text{-}$ $Formula: y\text{-}$ Richtung ausgelenkt und oszilliert harmonisch $Formula: 30\text{-}$ $Formula: 30\text{-}$ mal pro Minute.

3.1.1

Bestimme die Frequenz der Schwingung in Hertz sowie die Periodendauer.

Gib für diese Schwingung die Funktionsgleichung Formula: y(t) an.

4 BE

3.1.2

Die erste erzeugte Wellenfront trifft nach $Formula: 50\;\mathrm{s}$ $Formula: 50\;\mathrm{s}$ auf den hinteren Beckenrand.

Stelle die Welle in einem $Formula: y(x)\text{-}$ $Formula: y(x)\text{-}$ Diagramm für einen vollen Wellenzug dar und gib die spezifische Wellengleichung für die gesamte Welle an. Berechne die dafür notwendigen Größen.

9 BE

3.1.3

Erläutere die Begriffe Longitudinalwelle und Transversalwelle.

4 BE

3.1.4

Die Versuchsanlage erlaubt es, das Auftreffen der Wellen auf den Beckenrand als Reflexion am festen bzw. freien Ende zu simulieren.

Vergleiche die beiden Varianten bezüglich der Entstehung stehender Wellen.

Erläutere, wie im vorliegenden Experiment verhindert werden kann, dass stehende Wellen im Wellenkanal erzeugt werden. Gehe dabei insbesondere auf die mögliche Dämpfung der Welle ein.

6 BE

3.2

Für eine realistische Modellierung von Meereswellen, die aus verschiedenen Richtungen kommen, wurde am Forschungszentrum eine neue Wellenmaschine entwickelt, die zweidimensionale Wellen aussendet und verschiedene Hindernisse simulieren kann. Dabei wurde das Wellenmuster wie in Abbildung 8 in Material 8 abgebildet beobachtet.

3.2.1

Beschreibe die Beobachtung und erkläre die Entstehung des Wellenmusters.

5 BE

3.2.2

Bei einem derartigen Experiment trifft die Welle mit der Wellenlänge $Formula: 12\;\mathrm{m}$ $Formula: 12\;\mathrm{m}$ auf Brückenpfeiler, zwischen denen der Abstand $Formula: 64\;\mathrm{m}$ $Formula: 64\;\mathrm{m}$ beträgt. Auf einer $Formula: 120\;\mathrm{m}$ $Formula: 120\;\mathrm{m}$ entfernten Wand werden Bereiche maximaler Wellenverstärkung beobachtet.

Bestimme den Abstand zwischen den Maxima 0. und 1. Ordnung. Berücksichtige dabei die Anwendbarkeit der Kleinwinkelnäherung.

5 BE

3.3

Zur Untersuchung der Höhe der Wellen an verschiedenen Stellen werden Ultraschallsensoren verwendet. Aufbau und Funktionsweise eines Ultraschallsensors sind in Material 9 dargestellt.

3.3.1

Entscheide begründet, ob Ultraschallsensoren geeignet sind, die Wellenhöhe zu vermessen.

3 BE

3.3.2

Beurteile, ob der Unterschied in der Zeitverzögerung von $Formula: 0,01\;\mathrm{ms}$ $Formula: 0,01\;\mathrm{ms}$ vom microsonic-Sensor aufgelöst werden kann.

4 BE

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3.1.1

Der Wellenerreger führt in $Formula: 60\;\mathrm{s}$ $Formula: 60\;\mathrm{s}$ insgesamt Formula: 30 Schwingungen aus. Daraus folgt:

$Formula: f= \dfrac{n}{t}= \dfrac{30}{60\;\mathrm{s}} = 0,5\;\mathrm{Hz}$ $Formula: f= \dfrac{n}{t}= \dfrac{30}{60\;\mathrm{s}} = 0,5\;\mathrm{Hz}$

Die Periodendauer ist der Kehrwert der Frequenz:

$Formula: T = \dfrac{1}{f}= \dfrac{1}{0,5\;\mathrm{Hz}} = 2\;\mathrm{s}$ $Formula: T = \dfrac{1}{f}= \dfrac{1}{0,5\;\mathrm{Hz}} = 2\;\mathrm{s}$

Die Frequenz der Schwingung beträgt somit $Formula: f = 0,5\;\mathrm{Hz},$ $Formula: f = 0,5\;\mathrm{Hz},$ die Periodendauer beträgt $Formula: T = 2\;\mathrm{s}.$ $Formula: T = 2\;\mathrm{s}.$

Für eine harmonische Schwingung gilt:

$Formula: y(t) = A \cdot \sin\left(2\pi \cdot f\cdot t\right)$ $Formula: y(t) = A \cdot \sin\left(2\pi \cdot f\cdot t\right)$

Mit der Amplitude $Formula: A = 70\;\mathrm{cm}$ $Formula: A = 70\;\mathrm{cm}$ ergibt sich:

$Formula: y(t) = 70\;\mathrm{cm} \cdot \sin\left(2\pi \cdot 0,5\;\mathrm{Hz} \cdot t\right)$ $Formula: y(t) = 70\;\mathrm{cm} \cdot \sin\left(2\pi \cdot 0,5\;\mathrm{Hz} \cdot t\right)$

3.1.2

Berechnen der notwendigen Größen

Die erste Wellenfront legt innerhalb von $Formula: 50\;\mathrm{s}$ $Formula: 50\;\mathrm{s}$ die Länge des $Formula: 300\;\mathrm{m}$ $Formula: 300\;\mathrm{m}$ langen Wellenkanals zurück. Daraus folgt:

$Formula: c = \dfrac{\Delta s}{\Delta t}= \dfrac{300\;\mathrm{m}}{50\;\mathrm{s}} = 6\;\mathrm{\dfrac{m}{s}}$ $Formula: c = \dfrac{\Delta s}{\Delta t}= \dfrac{300\;\mathrm{m}}{50\;\mathrm{s}} = 6\;\mathrm{\dfrac{m}{s}}$

Die Welle breitet sich somit mit $Formula: c = 6\;\mathrm{\tfrac{m}{s}}$ $Formula: c = 6\;\mathrm{\tfrac{m}{s}}$ aus.

Für die Wellenlänge folgt daraus:

$Formula: \lambda = c \cdot T = 6\;\mathrm{\dfrac{m}{s}} \cdot 2\;\mathrm{s} = 12\;\mathrm{m}$ $Formula: \lambda = c \cdot T = 6\;\mathrm{\dfrac{m}{s}} \cdot 2\;\mathrm{s} = 12\;\mathrm{m}$

Darstellen eines vollständigen Wellenzugs

Sinuskurve in einem Koordinatensystem mit x- und y-Achse.

Aufstellen der Wellengleichung

Es gilt:

$Formula: y(x,t) = A \cdot \sin\left(2\pi \left(\dfrac{t}{T} - \dfrac{x}{\lambda}\right)\right)$ $Formula: y(x,t) = A \cdot \sin\left(2\pi \left(\dfrac{t}{T} - \dfrac{x}{\lambda}\right)\right)$

Einsetzen der bestimmten Größen liefert:

$Formula: y(x,t) = 70\;\mathrm{cm} \cdot \sin\left(2\pi \left(\dfrac{t}{2\;\mathrm{s}} - \dfrac{x}{12\;\mathrm{m}}\right)\right)$ $Formula: y(x,t) = 70\;\mathrm{cm} \cdot \sin\left(2\pi \left(\dfrac{t}{2\;\mathrm{s}} - \dfrac{x}{12\;\mathrm{m}}\right)\right)$

3.1.3

Bei einer Transversalwelle schwingen die einzelnen Teilchen (Oszillatoren) senkrecht zur Ausbreitungsrichtung der Welle. Eine Transversalwelle wird daher auch als Querwelle bezeichnet.
Bei einer Longitudinalwelle stimmen die Schwingungsrichtung der Teilchen und die Ausbreitungsrichtung der Welle überein. Dabei entstehen abwechselnd Verdichtungen und Verdünnungen. Eine Longitudinalwelle wird auch als Längswelle bezeichnet.

3.1.4

Vergleichen der beiden Reflexionsarten

Gemeinsamkeiten:

Bei der Reflexion am festen und am freien Ende können stehende Wellen entstehen. Voraussetzung ist die Überlagerung der hinlaufenden Welle mit einer reflektierten Welle gleicher Frequenz und Wellenlänge.

Unterschiede bei stehenden Wellen:

Bei der Reflexion am festen Ende erfolgt ein Phasensprung um $Formula: \pi.$ $Formula: \pi.$ Direkt am festen Ende entsteht daher ein Schwingungsknoten. Die Auslenkung ist dort zu jedem Zeitpunkt null.
Bei der Reflexion am freien Ende erfolgt kein Phasensprung. Direkt am freien Ende entsteht daher ein Schwingungsbauch.

Beide Reflexionsarten ermöglichen somit die Entstehung stehender Wellen. Die Positionen der Knoten und Bäuche unterscheiden sich jedoch.

Verhindern stehender Wellen

Stehende Wellen lassen sich verhindern, indem die Reflexion am hinteren Ende des Wellenkanals möglichst stark abgeschwächt wird. Dazu kann am Ende des Kanals beispielsweise ein flach ansteigender, rauer oder mit absorbierenden Gegenständen versehener Bereich eingerichtet werden.

Durch die erhöhte Reibung wird mechanische Energie der Wasserwelle in thermische Energie umgewandelt. Dadurch nimmt die Amplitude der Welle ab. Die reflektierte Welle besitzt dann eine wesentlich kleinere Amplitude als die hinlaufende Welle.

Bei hinreichend starker Dämpfung kann dadurch eine ausgeprägte stehende Welle verhindert werden.

3.2.1

Entlang der roten Geraden in Abbildung 8 sind abwechselnd Bereiche mit deutlich erkennbaren Wellenbergen und Wellentälern zu beobachten. Diese Bereiche liegen symmetrisch zur Mitte des Wellenmusters. Dazwischen befinden sich Bereiche, in denen nahezu keine Wellenberge oder Wellentäler auftreten.

Nach dem Huygensschen Prinzip kann jeder Punkt einer Wellenfront als Ausgangspunkt einer kreisförmigen Elementarwelle angesehen werden. Die Zwischenräume zwischen den Brückenpfeilern wirken dabei ähnlich wie die Spalte eines Mehrfachspalts. Hinter den Brückenpfeilern breiten sich Elementarwellen aus und überlagern sich.

Treffen Wellenberge auf Wellenberge beziehungsweise Wellentäler auf Wellentäler, tritt konstruktive Interferenz auf. Die Amplitude wird vergrößert, sodass Bereiche mit deutlich ausgeprägten Wellenbergen und Wellentälern entstehen.

Treffen dagegen Wellenberge auf Wellentäler, tritt destruktive Interferenz auf. Die Wellen schwächen sich gegenseitig ab oder löschen sich nahezu aus. Dadurch entstehen die Bereiche ohne deutlich erkennbare Wellenberge und Wellentäler.

Die geradlinige und symmetrische Anordnung der Verstärkungs- und Auslöschungsbereiche entspricht damit einem Interferenzmuster, wie es auch hinter einem optischen Gitter auftritt.

3.2.2

Aus der Aufgabenstellung sind folgende Werte bekannt:

$Formula: \lambda = 12\;\mathrm{m}$ $Formula: \lambda = 12\;\mathrm{m}$

$Formula: d = 64\;\mathrm{m}$ $Formula: d = 64\;\mathrm{m}$

$Formula: e = 120\;\mathrm{m}$ $Formula: e = 120\;\mathrm{m}$

Für die Maxima beim Doppelspalt bzw. Gitter gilt bei Verwendung der Kleinwinkelnäherung:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} \dfrac{k \cdot \lambda}{d} & = & \dfrac{s_k}{e} &\quad\scriptsize\mid\,\cdot e \\[5pt] s_k & = & \dfrac{k \cdot \lambda \cdot e}{d} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} \dfrac{k \cdot \lambda}{d} & = & \dfrac{s_k}{e} &\quad\scriptsize\mid\,\cdot e \\[5pt] s_k & = & \dfrac{k \cdot \lambda \cdot e}{d} \end{array}$

Für das Maximum 1. Ordnung gilt Formula: k = 1. Einsetzen der Werte liefert:

$Formula: s_1 = \dfrac{1 \cdot 12\;\mathrm{m} \cdot 120\;\mathrm{m}}{64\;\mathrm{m}} = 22,5\;\mathrm{m}$ $Formula: s_1 = \dfrac{1 \cdot 12\;\mathrm{m} \cdot 120\;\mathrm{m}}{64\;\mathrm{m}} = 22,5\;\mathrm{m}$

Der Abstand zwischen den Maxima 0. und 1. Ordnung beträgt damit näherungsweise $Formula: 22,5\;\mathrm{m}.$ $Formula: 22,5\;\mathrm{m}.$

Der zugehörige Winkel ergibt sich aus der Geometrie des Versuchsaufbaus:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} \tan\left(\alpha_1\right) & = & \dfrac{s_1}{e} &\quad\scriptsize\mid\,\arctan\left(\;\right) \\[5pt] \alpha_1 & = & \arctan\left(\dfrac{s_1}{e}\right) \\[5pt] & = & \arctan\left(\dfrac{22,5\;\mathrm{m}}{120\;\mathrm{m}}\right) \\[5pt] & \approx & 11^{\circ} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} \tan\left(\alpha_1\right) & = & \dfrac{s_1}{e} &\quad\scriptsize\mid\,\arctan\left(\;\right) \\[5pt] \alpha_1 & = & \arctan\left(\dfrac{s_1}{e}\right) \\[5pt] & = & \arctan\left(\dfrac{22,5\;\mathrm{m}}{120\;\mathrm{m}}\right) \\[5pt] & \approx & 11^{\circ} \end{array}$

Der Winkel ist hinreichend klein. Die Kleinwinkelnäherung ist daher anwendbar.

3.3.1

Der Ultraschallsensor wird oberhalb der Wasseroberfläche angebracht. Er sendet einen kurzen Schallimpuls aus, der an der Wasseroberfläche reflektiert wird. Aus der Laufzeit des Echos bestimmt der Sensor den Abstand zur Wasseroberfläche.

Da die Position des Sensors unverändert bleibt, entspricht eine Änderung des gemessenen Abstands einer Änderung der Wasserhöhe. Bei einem Wellenberg verkürzt sich der Abstand, bei einem Wellental vergrößert er sich. Dadurch kann der zeitliche Verlauf der Wellenhöhe erfasst werden.

Der Messbereich der microsonic-Sensoren liegt zwischen $Formula: 20\;\mathrm{mm}$ $Formula: 20\;\mathrm{mm}$ und $Formula: 8\;\mathrm{m}.$ $Formula: 8\;\mathrm{m}.$ Dieser Bereich ist für den Wellenkanal geeignet, da der Sensor in einem Abstand von mehr als $Formula: 20\;\mathrm{mm}$ $Formula: 20\;\mathrm{mm}$ oberhalb der Wasseroberfläche angebracht werden kann und die Abstände deutlich unter $Formula: 8\;\mathrm{m}$ $Formula: 8\;\mathrm{m}$ liegen.

Die Sensoren besitzen außerdem eine Auflösung im Millimeterbereich. Die Amplitude der untersuchten Wasserwellen liegt dagegen im Dezimeterbereich. Die auftretenden Höhenänderungen sind somit deutlich größer als die kleinsten erfassbaren Abstandsänderungen.

Zusätzlich können Ultraschallsensoren transparente Oberflächen wie Wasser erfassen. Nebel, Spritzwasser und dünne Ablagerungen auf der Sensormembran beeinträchtigen die Messung laut Material 9 kaum. Auch die gute Hintergrundausblendung verringert den Einfluss anderer Objekte.

Die Ultraschallsensoren sind daher zur Vermessung der Wellenhöhe geeignet.

3.3.2

Die Zeitverzögerung beträgt $Formula: \Delta t = 0,01\;\mathrm{ms} = 1,0 \cdot 10^{-5}\;\mathrm{s}.$ $Formula: \Delta t = 0,01\;\mathrm{ms} = 1,0 \cdot 10^{-5}\;\mathrm{s}.$

Die Schallgeschwindigkeit in Luft beträgt näherungsweise $Formula: c = 340\;\mathrm{\tfrac{m}{s}}.$ $Formula: c = 340\;\mathrm{\tfrac{m}{s}}.$

Der Unterschied des während dieser Zeit zurückgelegten Schallwegs berechnet sich mit $Formula: \Delta s = c \cdot \Delta t.$ $Formula: \Delta s = c \cdot \Delta t.$

Einsetzen der Werte liefert:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} \Delta s & = & 340\;\mathrm{\dfrac{m}{s}} \cdot 1,0 \cdot 10^{-5}\;\mathrm{s} \\[5pt] & = & 3,4 \cdot 10^{-3}\;\mathrm{m} \\[5pt] & = & 3,4\;\mathrm{mm} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} \Delta s & = & 340\;\mathrm{\dfrac{m}{s}} \cdot 1,0 \cdot 10^{-5}\;\mathrm{s} \\[5pt] & = & 3,4 \cdot 10^{-3}\;\mathrm{m} \\[5pt] & = & 3,4\;\mathrm{mm} \end{array}$

Der Laufzeitunterschied von $Formula: 0,01\;\mathrm{ms}$ $Formula: 0,01\;\mathrm{ms}$ entspricht somit einem Unterschied des Schallwegs von $Formula: 3,4\;\mathrm{mm},$ $Formula: 3,4\;\mathrm{mm},$ was einem Höhenunterschied von $Formula: \Delta h=1,7\;\mathrm{mm}$ $Formula: \Delta h=1,7\;\mathrm{mm}$ entspricht. Da die microsonic-Sensoren Abstände mit einer Auflösung im Millimeterbereich erfassen und einige Modelle sogar eine Auflösung von $Formula: 0,025\;\mathrm{mm}$ $Formula: 0,025\;\mathrm{mm}$ besitzen, kann dieser Unterschied bei geeigneter Wahl des Sensors aufgelöst werden.

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Aufgabe 3 — Wellenkanal

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Material 8: Bilder des Wellenkanals

Material 9: Funktionsprinzip eines Ultraschallsensors

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