Aufgabe 5 — Kondensatorentladung und Schwingkreis

Es wird die elektrische Schaltung in Abbildung 5 betrachtet.

Im 1. Experiment wird der aufgeladene Kondensator nach dem Umlegen des Schalters über den ohmschen Widerstand von $Formula: 500\;\Omega$ $Formula: 500\;\Omega$ entladen.

Im 2. Experiment wird der ohmsche Widerstand durch die abgebildete Spule ersetzt. Der Schalter befindet sich zu Beginn wieder in der abgebildeten Ausgangsstellung, sodass der Kondensator aufgeladen wird. Anschließend wird er wiederum umgelegt, sodass sich der Kondensator über die Spule entlädt. Die Schaltung ist mit einem Computermessplatz verbunden, sodass automatisch der zeitliche Verlauf von Spannung oder Stromstärke aufgezeichnet sowie Messwerte tabelliert werden.

Schaltplan mit Spannungsquelle, Umschalter, Kondensator, Widerstand und Spule

Abbildung 5: Schaltplan

5.1

Für das 1. Experiment sind in der folgenden Tabelle einige Messwerte enthalten.

$Formula: \boldsymbol{t}$ $Formula: \boldsymbol{t}$ in $Formula: \boldsymbol{\mathrm{ms}}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{ms}}$
$Formula: \boldsymbol{I}$ $Formula: \boldsymbol{I}$ in $Formula: \boldsymbol{\mathrm{mA}}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{mA}}$

Tabelle 2: Messwerte zum 1. Experiment

Berechne die anliegende Spannung zum Zeitpunkt $Formula: t = 0\;\mathrm{s}.$ $Formula: t = 0\;\mathrm{s}.$

Beschreibe zwei Möglichkeiten zur Bestimmung der Kapazität des Kondensators aus den Messwerten.

Ermittle mit einer der beiden Möglichkeiten die Kapazität des Kondensators.

10 BE

5.2

Für das 2. Experiment ist in Abbildung 6 der zeitliche Verlauf der Spannung dargestellt.

Erläutere die Vorgänge, die zu diesem Verlauf führen.

Gib die Schwingungsdauer an.

Ermittle damit die Induktivität der Spule, wenn für die Kapazität des Kondensators $Formula: 20\;\mu\mathrm{F}$ $Formula: 20\;\mu\mathrm{F}$ angegeben werden.

5 BE

5.3

Die Abbildung 6 zeigt das Bild einer gedämpften elektromagnetischen Schwingung, bei der die Abnahme der Amplituden $Formula: \hat{y}_n$ $Formula: \hat{y}_n$ durch die Gleichung $Formula: \hat{y}_n = \hat{y}_0 \cdot \mathrm{e}^{-k \cdot n \cdot T}$ $Formula: \hat{y}_n = \hat{y}_0 \cdot \mathrm{e}^{-k \cdot n \cdot T}$ beschrieben werden kann.

( $Formula: \hat{y}_0$ $Formula: \hat{y}_0$ ist die Ausgangsamplitude, $Formula: \hat{y}_n$ $Formula: \hat{y}_n$ ist die Amplitude nach Formula: n abgelaufenen Schwingungen mit der Schwingungsdauer Formula: T. )

Bestimme mithilfe des $Formula: U(t)\text{-}$ $Formula: U(t)\text{-}$ Diagrammes einen Mittelwert für die Dämpfungskonstante Formula: k.

U-t-Diagramm einer gedämpften elektromagnetischen Schwingung mit abnehmender Amplitude

Abbildung 6: $Formula: U(t)\text{-}$ $Formula: U(t)\text{-}$ Diagramm der untersuchten gedämpften elektromagnetischen Schwingung

5 BE

5.1

Zum Zeitpunkt $Formula: t = 0\;\mathrm{s}$ $Formula: t = 0\;\mathrm{s}$ beträgt die Stromstärke $Formula: I_0 = 30\;\mathrm{mA}.$ $Formula: I_0 = 30\;\mathrm{mA}.$ Mit dem Widerstand $Formula: R = 500\;\Omega$ $Formula: R = 500\;\Omega$ ergibt sich:

$Formula: U = R \cdot I_0 = 500\;\Omega \cdot 30 \cdot 10^{-3}\;\mathrm{A} = 15\;\mathrm{V}$ $Formula: U = R \cdot I_0 = 500\;\Omega \cdot 30 \cdot 10^{-3}\;\mathrm{A} = 15\;\mathrm{V}$

1. Möglichkeit: Bestimmung über die Fläche unter der Kurve

Aus den Messwerten wird ein Formula: I(t) -Diagramm gezeichnet. Die Fläche unter der Kurve entspricht näherungsweise der während der Entladung geflossenen Ladung Formula: Q. Anschließend wird die Kapazität mit $Formula: C = \tfrac{Q}{U}$ $Formula: C = \tfrac{Q}{U}$ bestimmt. Alternativ kann die Fläche mit einem CAS berechnet werden.

I(t)-Diagramm der Kondensatorentladung mit Messpunkten und exponentiell abfallender Kurve

Durch Abzählen der Kästchen ergibt sich näherungsweise:

$Formula: Q \approx 11,5 \cdot 5\;\mathrm{ms} \cdot 5\;\mathrm{mA} = 0,0002875\;\mathrm{C}$ $Formula: Q \approx 11,5 \cdot 5\;\mathrm{ms} \cdot 5\;\mathrm{mA} = 0,0002875\;\mathrm{C}$

Daraus folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} C & = & \dfrac{Q}{U} \\[5pt] & = & \dfrac{0,0002875\;\mathrm{C}}{15\;\mathrm{V}} \\[5pt] & = & 1,91667 \cdot 10^{-5}\;\mathrm{F} \\[5pt] & \approx & 19\;\mu\mathrm{F} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} C & = & \dfrac{Q}{U} \\[5pt] & = & \dfrac{0,0002875\;\mathrm{C}}{15\;\mathrm{V}} \\[5pt] & = & 1,91667 \cdot 10^{-5}\;\mathrm{F} \\[5pt] & \approx & 19\;\mu\mathrm{F} \end{array}$

2. Möglichkeit: Bestimmung mit dem Entladungsgesetz

Für den zeitlichen Verlauf der Stromstärke gilt $Formula: I = I_0 \cdot \,\mathrm{e}^{-\tfrac{t}{R \cdot C}}.$ $Formula: I = I_0 \cdot \,\mathrm{e}^{-\tfrac{t}{R \cdot C}}.$ Nach der Kapazität umgestellt folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} I & = & I_0 \cdot \mathrm{e}^{-\tfrac{t}{R \cdot C}} &\quad\scriptsize\mid\, \cdot \dfrac{1}{I_0} \\[5pt] \dfrac{I}{I_0} & = & \mathrm{e}^{-\tfrac{t}{R \cdot C}} &\quad\scriptsize\mid\, \ln \\[5pt] \ln\left(\dfrac{I}{I_0}\right) & = & -\dfrac{t}{R \cdot C} &\quad\scriptsize\mid\, \cdot (-1) \\[5pt] -\ln\left(\dfrac{I}{I_0}\right) & = & \dfrac{t}{R \cdot C} \\[5pt] \ln\left(\dfrac{I_0}{I}\right) & = & \dfrac{t}{R \cdot C} &\quad\scriptsize\mid\, \cdot \dfrac{C}{\ln\left(\tfrac{I_0}{I}\right)} \\[5pt] C & = & \dfrac{t}{R \cdot \ln\left(\tfrac{I_0}{I}\right)} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} I & = & I_0 \cdot \mathrm{e}^{-\tfrac{t}{R \cdot C}} &\quad\scriptsize\mid\, \cdot \dfrac{1}{I_0} \\[5pt] \dfrac{I}{I_0} & = & \mathrm{e}^{-\tfrac{t}{R \cdot C}} &\quad\scriptsize\mid\, \ln \\[5pt] \ln\left(\dfrac{I}{I_0}\right) & = & -\dfrac{t}{R \cdot C} &\quad\scriptsize\mid\, \cdot (-1) \\[5pt] -\ln\left(\dfrac{I}{I_0}\right) & = & \dfrac{t}{R \cdot C} \\[5pt] \ln\left(\dfrac{I_0}{I}\right) & = & \dfrac{t}{R \cdot C} &\quad\scriptsize\mid\, \cdot \dfrac{C}{\ln\left(\tfrac{I_0}{I}\right)} \\[5pt] C & = & \dfrac{t}{R \cdot \ln\left(\tfrac{I_0}{I}\right)} \end{array}$

Mit den Messwerten ergibt sich:

$Formula: \boldsymbol{t}$ $Formula: \boldsymbol{t}$ in $Formula: \boldsymbol{\mathrm{ms}}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{ms}}$	$Formula: \boldsymbol{I}$ $Formula: \boldsymbol{I}$ in $Formula: \boldsymbol{\mathrm{mA}}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{mA}}$	$Formula: \boldsymbol{C}$ $Formula: \boldsymbol{C}$ in $Formula: \boldsymbol{\mu\mathrm{F}}$ $Formula: \boldsymbol{\mu\mathrm{F}}$
		-

Der Mittelwert beträgt:

$Formula: \overline{C} = 19,65\;\mu\mathrm{F} \approx 20\;\mu\mathrm{F}$ $Formula: \overline{C} = 19,65\;\mu\mathrm{F} \approx 20\;\mu\mathrm{F}$

5.2

Zu Beginn ist der Kondensator vollständig aufgeladen und hat elektrische Feldenergie gespeichert. Die Spannung ist maximal, während noch kein Strom fließt, also $Formula: U = U_{\mathrm{max}}$ $Formula: U = U_{\mathrm{max}}$ und Formula: I = 0.

Nach dem Umlegen des Schalters entlädt sich der Kondensator über die Spule. Dabei wird die elektrische Feldenergie allmählich in magnetische Feldenergie umgewandelt. Die Selbstinduktion der Spule hemmt die Änderung der Stromstärke. Wenn der Kondensator vollständig entladen ist, ist die Stromstärke maximal und die Energie des Schwingkreises ist vollständig in magnetischer Feldenergie gespeichert, also $Formula: I = I_{\mathrm{max}}$ $Formula: I = I_{\mathrm{max}}$ und Formula: U = 0.

Aufgrund der Selbstinduktion der Spule fließt der Strom in derselben Richtung weiter und lädt den Kondensator mit umgekehrter Polarität wieder auf. Anschließend wiederholen sich diese Vorgänge periodisch.

Es entsteht eine gedämpfte Schwingung, weil ein Teil der Energie durch Wirbelströme, Leitungserwärmung und sich ausbreitende Felder in andere Energieformen umgewandelt wird.

Aus dem Diagramm wird die Schwingungsdauer $Formula: T = 0,01\;\mathrm{s}$ $Formula: T = 0,01\;\mathrm{s}$ abgelesen. Mit der Kapazität $Formula: C = 20\;\mu\mathrm{F}$ $Formula: C = 20\;\mu\mathrm{F}$ gilt für einen idealen Schwingkreis:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} T & = & 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{L \cdot C} &\quad\scriptsize\mid\,\cdot \dfrac{1}{2 \cdot \pi} \\[5pt] \dfrac{T}{2 \cdot \pi} & = & \sqrt{L \cdot C} &\quad\scriptsize\mid\,(\; )^2 \\[5pt] \dfrac{T^2}{4 \cdot \pi^2} & = & L \cdot C &\quad\scriptsize\mid\,\cdot \dfrac{1}{C} \\[5pt] L & = & \dfrac{T^2}{4 \cdot \pi^2 \cdot C} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} T & = & 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{L \cdot C} &\quad\scriptsize\mid\,\cdot \dfrac{1}{2 \cdot \pi} \\[5pt] \dfrac{T}{2 \cdot \pi} & = & \sqrt{L \cdot C} &\quad\scriptsize\mid\,(\; )^2 \\[5pt] \dfrac{T^2}{4 \cdot \pi^2} & = & L \cdot C &\quad\scriptsize\mid\,\cdot \dfrac{1}{C} \\[5pt] L & = & \dfrac{T^2}{4 \cdot \pi^2 \cdot C} \end{array}$

Einsetzen der Werte ergibt:

$Formula: L = \dfrac{\left(0,01\;\mathrm{s}\right)^2}{4 \cdot \pi^2 \cdot 20 \cdot 10^{-6}\;\mathrm{F}} \approx 0,1266\;\mathrm{H} \approx 0,13\;\mathrm{H}$ $Formula: L = \dfrac{\left(0,01\;\mathrm{s}\right)^2}{4 \cdot \pi^2 \cdot 20 \cdot 10^{-6}\;\mathrm{F}} \approx 0,1266\;\mathrm{H} \approx 0,13\;\mathrm{H}$

5.3

Für die Abnahme der Amplitude gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} \widehat{y}_n & = & \widehat{y}_0 \cdot \,\mathrm{e}^{-k \cdot n \cdot T} &\quad\scriptsize\mid\,\cdot \dfrac{1}{\widehat{y}_0} \\[5pt] \dfrac{\widehat{y}_n}{\widehat{y}_0} & = & \,\mathrm{e}^{-k \cdot n \cdot T} &\quad\scriptsize\mid\,\ln \\[5pt] \ln\left(\dfrac{\widehat{y}_n}{\widehat{y}_0}\right) & = & -k \cdot n \cdot T &\quad\scriptsize\mid\,\cdot \left(-\dfrac{1}{n \cdot T}\right) \\[5pt] k & = & \dfrac{\ln\left(\tfrac{\widehat{y}_0}{\widehat{y}_n}\right)}{n \cdot T} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} \widehat{y}_n & = & \widehat{y}_0 \cdot \,\mathrm{e}^{-k \cdot n \cdot T} &\quad\scriptsize\mid\,\cdot \dfrac{1}{\widehat{y}_0} \\[5pt] \dfrac{\widehat{y}_n}{\widehat{y}_0} & = & \,\mathrm{e}^{-k \cdot n \cdot T} &\quad\scriptsize\mid\,\ln \\[5pt] \ln\left(\dfrac{\widehat{y}_n}{\widehat{y}_0}\right) & = & -k \cdot n \cdot T &\quad\scriptsize\mid\,\cdot \left(-\dfrac{1}{n \cdot T}\right) \\[5pt] k & = & \dfrac{\ln\left(\tfrac{\widehat{y}_0}{\widehat{y}_n}\right)}{n \cdot T} \end{array}$

Mit $Formula: \widehat{y}_0 = 15\;\mathrm{V}$ $Formula: \widehat{y}_0 = 15\;\mathrm{V}$ und $Formula: T = 0,01\;\mathrm{s}$ $Formula: T = 0,01\;\mathrm{s}$ ergeben sich aus den Amplituden des Diagramms folgende Werte:

$Formula: \boldsymbol{n}$ $Formula: \boldsymbol{n}$	$Formula: \boldsymbol{\widehat{y}_{\mathrm{max}}}$ $Formula: \boldsymbol{\widehat{y}_{\mathrm{max}}}$	$Formula: \boldsymbol{k}$ $Formula: \boldsymbol{k}$ in $Formula: \boldsymbol{\mathrm{s}^{-1}}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{s}^{-1}}$
		-

Der Mittelwert der Dämpfungskonstante beträgt:

$Formula: \overline{k} = 67,39332\;\mathrm{s}^{-1} \approx 67\;\mathrm{s}^{-1}$ $Formula: \overline{k} = 67,39332\;\mathrm{s}^{-1} \approx 67\;\mathrm{s}^{-1}$