Aufgabe 2 — Vom Licht

2.1

Laserpointer sind eine häufig eingesetzte Lichtquelle im Physikunterricht. Die Leistung von Laserpointern, die in der Schule verwendet werden dürfen, ist begrenzt.

Begründe, warum mit diesen Lichtquellen besonders vorsichtig umgegangen werden muss.

2 BE

2.2

Für Interferenzexperimente werden zwei einfarbige Laserpointer verwendet. Einer strahlt grünes Licht der Wellenlänge $Formula: \lambda_{\mathrm{g}} = 532\;\mathrm{nm}$ $Formula: \lambda_{\mathrm{g}} = 532\;\mathrm{nm}$ und der andere rotes Licht der Wellenlänge $Formula: \lambda_{\mathrm{r}} = 650\;\mathrm{nm}$ $Formula: \lambda_{\mathrm{r}} = 650\;\mathrm{nm}$ ab. Mit beiden Farben wird ein optisches Gitter mit Formula: 300 Linien pro $Formula: \mathrm{mm}$ $Formula: \mathrm{mm}$ beleuchtet. Die Maxima 0. Ordnung beider Laser liegen deckungsgleich. Die Kleinwinkelnäherung kann vorausgesetzt werden.

2.2.1

Die Entfernung zum Auffangschirm beträgt $Formula: 2,00\;\mathrm{m}.$ $Formula: 2,00\;\mathrm{m}.$

Berechne den Abstand, den das Maximum 1. Ordnung des roten Lichts vom Maximum 1. Ordnung des grünen Lichts hat.

4 BE

2.2.2

Auf dem Schirm werden die Abstände der Interferenzmaxima gleicher Ordnung für grünes und rotes Licht mit demselben Gitter nacheinander vermessen.

Zeige, dass näherungsweise die folgende Beziehung gilt: $Formula: s_{\mathrm{g}} \cdot \lambda_{\mathrm{r}} = s_{\mathrm{r}} \cdot \lambda_{\mathrm{g}}$ $Formula: s_{\mathrm{g}} \cdot \lambda_{\mathrm{r}} = s_{\mathrm{r}} \cdot \lambda_{\mathrm{g}}$

( $Formula: s_{\mathrm{g}}$ $Formula: s_{\mathrm{g}}$ und $Formula: s_{\mathrm{r}}$ $Formula: s_{\mathrm{r}}$ bezeichnen die Abstände der Interferenzmaxima für grünes bzw. rotes Licht zum Maximum 0. Ordnung.)

4 BE

2.3

Trifft rotes Laserlicht auf einen Doppelspalt, so ist auf einem Schirm hinter dem Spalt die im nachfolgenden Bild dargestellte Helligkeitsverteilung zu beobachten.

Abstrakte Grafik mit fünf ovalen Formen auf grauem Hintergrund

Abbildung 2: Vereinfachte Skizze des Beugungsbildes am Doppelspalt

Beschreibe, welche Veränderungen auf dem Schirm zu erwarten sind, wenn ein schmales weißes Lichtbündel von einer Glühlampe auf den Doppelspalt gerichtet wird.

Erkläre deine Aussagen.

6 BE

2.4

Begründe folgende Aussagen für den Interferenzversuch mit Glühlampen:

1)	Mit zwei getrennten Lichtquellen, die monochromatisches Licht aussenden, können keine Interferenzerscheinungen beobachtet werden.
2)	Zum Nachweis der Interferenz von Licht muss der Gangunterschied der sich überlagernden Wellenzüge kleiner als die Kohärenzlänge des Lichts sein.

4 BE

2.1

Laserlicht besitzt eine sehr geringe Divergenz und lässt sich stark bündeln. Dadurch werden im Vergleich zu anderen Lichtquellen hohe Leistungsdichten erreicht. Trifft der Laserstrahl ins Auge, kann die Netzhaut geschädigt werden, im Extremfall kann es sogar zu Netzhautablösungen kommen. Daher muss mit Laserpointern besonders vorsichtig umgegangen werden.

2.2.1

Aus der Anzahl der Gitterlinien ergibt sich zunächst die Gitterkonstante:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} g & = & \dfrac{1}{300\;\mathrm{mm}^{-1}} \\[5pt] & = & 3,33 \cdot 10^{-3}\;\mathrm{mm} \\[5pt] & = & 3,33 \cdot 10^{-6}\;\mathrm{m} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} g & = & \dfrac{1}{300\;\mathrm{mm}^{-1}} \\[5pt] & = & 3,33 \cdot 10^{-3}\;\mathrm{mm} \\[5pt] & = & 3,33 \cdot 10^{-6}\;\mathrm{m} \end{array}$

Mit der Kleinwinkelnäherung gilt für die Maxima am Gitter:

$Formula: \dfrac{n \cdot \lambda}{g} \approx \dfrac{s_n}{e}$ $Formula: \dfrac{n \cdot \lambda}{g} \approx \dfrac{s_n}{e}$

Für das Maximum 1. Ordnung des grünen Lichts folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} s_{\mathrm{g}} & = & \dfrac{n \cdot \lambda_{\mathrm{g}} \cdot e}{g} \\[5pt] & = & \dfrac{1 \cdot 532 \cdot 10^{-9}\;\mathrm{m} \cdot 2,00\;\mathrm{m}}{3,33 \cdot 10^{-6}\;\mathrm{m}} \\[5pt] & \approx & 0,32\;\mathrm{m} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} s_{\mathrm{g}} & = & \dfrac{n \cdot \lambda_{\mathrm{g}} \cdot e}{g} \\[5pt] & = & \dfrac{1 \cdot 532 \cdot 10^{-9}\;\mathrm{m} \cdot 2,00\;\mathrm{m}}{3,33 \cdot 10^{-6}\;\mathrm{m}} \\[5pt] & \approx & 0,32\;\mathrm{m} \end{array}$

Für das Maximum 1. Ordnung des roten Lichts gilt entsprechend:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} s_{\mathrm{r}} & = & \dfrac{n \cdot \lambda_{\mathrm{r}} \cdot e}{g} \\[5pt] & = & \dfrac{1 \cdot 650 \cdot 10^{-9}\;\mathrm{m} \cdot 2,00\;\mathrm{m}}{3,33 \cdot 10^{-6}\;\mathrm{m}} \\[5pt] & \approx & 0,39\;\mathrm{m} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} s_{\mathrm{r}} & = & \dfrac{n \cdot \lambda_{\mathrm{r}} \cdot e}{g} \\[5pt] & = & \dfrac{1 \cdot 650 \cdot 10^{-9}\;\mathrm{m} \cdot 2,00\;\mathrm{m}}{3,33 \cdot 10^{-6}\;\mathrm{m}} \\[5pt] & \approx & 0,39\;\mathrm{m} \end{array}$

Daraus ergibt sich für den gesuchten Abstand:

$Formula: \Delta s = s_{\mathrm{r}} - s_{\mathrm{g}} \approx 0,39\;\mathrm{m} - 0,32\;\mathrm{m} = 0,07\;\mathrm{m}$ $Formula: \Delta s = s_{\mathrm{r}} - s_{\mathrm{g}} \approx 0,39\;\mathrm{m} - 0,32\;\mathrm{m} = 0,07\;\mathrm{m}$

2.2.2

Für die Maxima gleicher Ordnung gilt mit der Kleinwinkelnäherung $Formula: \tfrac{n \cdot \lambda}{g} \approx \tfrac{s_n}{e}.$ $Formula: \tfrac{n \cdot \lambda}{g} \approx \tfrac{s_n}{e}.$ Nach der Gitterkonstante umgestellt folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} \dfrac{n \cdot \lambda}{g} & \approx & \dfrac{s_n}{e} &\quad\scriptsize\mid\,\cdot g \cdot e \\[5pt] n \cdot \lambda \cdot e & \approx & g \cdot s_n &\quad\scriptsize\mid\,\cdot \dfrac{1}{s_n} \\[5pt] g & \approx & \dfrac{n \cdot \lambda \cdot e}{s_n} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} \dfrac{n \cdot \lambda}{g} & \approx & \dfrac{s_n}{e} &\quad\scriptsize\mid\,\cdot g \cdot e \\[5pt] n \cdot \lambda \cdot e & \approx & g \cdot s_n &\quad\scriptsize\mid\,\cdot \dfrac{1}{s_n} \\[5pt] g & \approx & \dfrac{n \cdot \lambda \cdot e}{s_n} \end{array}$

Für grünes und rotes Licht gilt damit:

$Formula: g \approx \dfrac{n \cdot \lambda_{\mathrm{g}} \cdot e}{s_{\mathrm{g}}}$ $Formula: g \approx \dfrac{n \cdot \lambda_{\mathrm{g}} \cdot e}{s_{\mathrm{g}}}$

$Formula: g \approx \dfrac{n \cdot \lambda_{\mathrm{r}} \cdot e}{s_{\mathrm{r}}}$ $Formula: g \approx \dfrac{n \cdot \lambda_{\mathrm{r}} \cdot e}{s_{\mathrm{r}}}$

Da dasselbe Gitter, dieselbe Ordnung und derselbe Schirmabstand verwendet werden, können beide Ausdrücke gleichgesetzt und zur gesuchten Beziehung umgestellt werden:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} \dfrac{n \cdot \lambda_{\mathrm{g}} \cdot e}{s_{\mathrm{g}}} & = & \dfrac{n \cdot \lambda_{\mathrm{r}} \cdot e}{s_{\mathrm{r}}} &\quad\scriptsize\mid\,\cdot \dfrac{s_{\mathrm{g}} \cdot s_{\mathrm{r}}}{n \cdot e} \\[5pt] \lambda_{\mathrm{g}} \cdot s_{\mathrm{r}} & = & \lambda_{\mathrm{r}} \cdot s_{\mathrm{g}} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} \dfrac{n \cdot \lambda_{\mathrm{g}} \cdot e}{s_{\mathrm{g}}} & = & \dfrac{n \cdot \lambda_{\mathrm{r}} \cdot e}{s_{\mathrm{r}}} &\quad\scriptsize\mid\,\cdot \dfrac{s_{\mathrm{g}} \cdot s_{\mathrm{r}}}{n \cdot e} \\[5pt] \lambda_{\mathrm{g}} \cdot s_{\mathrm{r}} & = & \lambda_{\mathrm{r}} \cdot s_{\mathrm{g}} \end{array}$

2.3

Beschreiben der Veränderungen

Das Interferenzbild eines roten Laserpointers sind rote Punkte, die in der Helligkeit nach außen abnehmen. Der hellste rote Punkt ist in der Mitte zu beobachten und stellt das Maximum 0. Ordnung dar.

Bei Beleuchtung mit weißem Licht erscheint das Maximum 0. Ordnung jedoch weiß. Die Maxima höherer Ordnung bilden auf beiden Seiten kontinuierliche Spektren. Dabei liegt der violette beziehungsweise blaue Rand jeweils näher am Maximum 0. Ordnung, der rote Rand weiter außen. Außerdem entstehen statt der runden Lichtflecken des Laserpointers eher schmale Streifen.

Erklären der Veränderungen

Weißes Licht einer Glühlampe enthält Licht vieler verschiedener Wellenlängen. Mit dem Spaltmittenabstand Formula: d gilt für die Interferenzmaxima:

$Formula: d \cdot \sin\left(\alpha_n\right) = n \cdot \lambda$ $Formula: d \cdot \sin\left(\alpha_n\right) = n \cdot \lambda$

Mit zunehmender Wellenlänge wird der Beugungswinkel folglich größer. Daher liegt rotes Licht weiter außen als violettes beziehungsweise blaues Licht. Beim Maximum 0. Ordnung ist der Gangunterschied null, sodass sich alle Wellenlängen ohne räumliche Aufspaltung zu weißem Licht überlagern. Die schmale Streifenform entsteht durch den gegenüber dem Laserpointer veränderten Querschnitt des Lichtbündels.

2.4

Begründung Aussage 1:

Monochromatisches Licht ist Licht einer bestimmten Frequenz. Das Licht zweier getrennter Quellen kann zwar dieselbe Frequenz haben, die Phasendifferenz zwischen den ausgesandten Wellenzügen ist jedoch nicht zeitlich konstant. Die Quellen sind somit inkohärent, sodass kein stationäres Interferenzbild entsteht.

Begründung Aussage 2:

Lichtwellenzüge werden vom Atom nicht stetig abgegeben, sondern es werden in sehr kurzen Zeiten Wellenzüge von begrenzter Länge (Kohärenzlänge) ausgesandt. Zwei Wellenzüge des Lichts müssen gleichzeitig vom gleichen Punkt der Lichtquelle ausgehen, dann verschiedene Wege durchlaufen und an einem vorgegebenen Punkt zur Überlagerung kommen. Falls sich die Wege um mehr als die Länge eines Wellenzugs unterscheiden, kommen sie nicht auf einem bestimmten Punkt auf dem Schirm zur Überlagerung. Sie können nicht interferieren. Demnach muss der Gangunterschied kleiner als die Kohärenzlänge des Lichts sein.