Aufgabe 3 — Elektronen als Quantenobjekte

Louis de Broglie stellte 1924 die Hypothese auf, dass auch alle massebehafteten Teilchen Welleneigenschaften haben. Seine Überlegungen wurden 1927 von Davisson und Germer durch die Beugung von Elektronen experimentell bestätigt.

Mit einer Elektronenbeugungsröhre kann dieser Versuch nachvollzogen werden. Die Elektronen werden von einer Glühkathode emittiert und durch das Anlegen einer festen Beschleunigungsspannung auf eine definierte Geschwindigkeit beschleunigt.

Grün leuchtende Kugel mit konzentrischen Lichtkreisen

Abbildung 3: Beugungsbild einer Elektronenbeugungsröhre

3.1

Berechne nichtrelativistisch die Geschwindigkeit der Elektronen und die De-Broglie-Wellenlänge aus der Beschleunigungsspannung $Formula: 4,5\;\mathrm{kV}.$ $Formula: 4,5\;\mathrm{kV}.$

Leite dazu die Gleichung $Formula: \lambda = \tfrac{h}{\sqrt{2 \cdot m_{\mathrm{e}} \cdot e \cdot U}}$ $Formula: \lambda = \tfrac{h}{\sqrt{2 \cdot m_{\mathrm{e}} \cdot e \cdot U}}$ her.

7 BE

3.2

Der Elektronenstrahl trifft auf eine dünne Folie aus Graphit. Die Graphitatome bilden das Beugungsgitter für die Elektronen mit der De-Broglie-Wellenlänge $Formula: 18,3\;\mathrm{pm}.$ $Formula: 18,3\;\mathrm{pm}.$

Für die folgende Aufgabe wird vereinfachend angenommen, dass die Interferenzbetrachtungen analog zu einem optischen Gitter vorgenommen werden können. Auf dem Fluoreszenzschirm erscheint ein Beugungsbild, das aus konzentrischen Ringen besteht, die den Interferenzmaxima $Formula: n\text{-}$ $Formula: n\text{-}$ ter Ordnung entsprechen. Der Radius des $Formula: n\text{-}$ $Formula: n\text{-}$ ten Ringes entspricht dann dem Abstand des Maximums $Formula: n\text{-}$ $Formula: n\text{-}$ ter Ordnung vom Maximum 0. Ordnung. Der Abstand Gitter-Bildschirm beträgt $Formula: 13,5\;\mathrm{cm}.$ $Formula: 13,5\;\mathrm{cm}.$ Der Radius des 1. Ringes wird mit $Formula: 0,8\;\mathrm{cm}$ $Formula: 0,8\;\mathrm{cm}$ abgelesen.

3.2.1

Ermittle daraus den Winkel, unter dem das Maximum 1. Ordnung erscheint, und die Gitterkonstante.

4 BE

3.2.2

In einem Beugungsbild sind drei konzentrische Ringe zu erkennen, deren Intensität Formula: I mit wachsendem Radius Formula: r abnimmt.

Stelle den Sachverhalt qualitativ mit einer Intensitätsverteilung in einem $Formula: I(r)\text{-}$ $Formula: I(r)\text{-}$ Diagramm dar.

Erläutere die Darstellung quantentheoretisch.

4 BE

3.3

Nach Angaben des Herstellers kann beim Betrieb der Elektronenbeugungsröhre mit Hochspannungen ab $Formula: 5\;\mathrm{kV}$ $Formula: 5\;\mathrm{kV}$ Röntgenstrahlung erzeugt werden.

Berechne die Grenzwellenlänge, die als Röntgenstrahlung bei einer Spannung von $Formula: 5\;\mathrm{kV}$ $Formula: 5\;\mathrm{kV}$ emittiert werden könnte.

Erläutere die Notwendigkeit eines Sicherheitshinweises beim Betrieb der Röhre.

5 BE

3.1

Die elektrische Energie, die ein Elektron beim Durchlaufen der Beschleunigungsspannung aufnimmt, wird vollständig in kinetische Energie umgewandelt. Damit gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} e \cdot U & = & \dfrac{1}{2} \cdot m_{\mathrm{e}} \cdot v^2 &\quad\scriptsize\mid\,\cdot \dfrac{2}{m_{\mathrm{e}}} \\[5pt] \dfrac{2 \cdot e \cdot U}{m_{\mathrm{e}}} & = & v^2 &\quad\scriptsize\mid\,\sqrt{\;} \\[5pt] v & = & \sqrt{\dfrac{2 \cdot e \cdot U}{m_{\mathrm{e}}}} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} e \cdot U & = & \dfrac{1}{2} \cdot m_{\mathrm{e}} \cdot v^2 &\quad\scriptsize\mid\,\cdot \dfrac{2}{m_{\mathrm{e}}} \\[5pt] \dfrac{2 \cdot e \cdot U}{m_{\mathrm{e}}} & = & v^2 &\quad\scriptsize\mid\,\sqrt{\;} \\[5pt] v & = & \sqrt{\dfrac{2 \cdot e \cdot U}{m_{\mathrm{e}}}} \end{array}$

Einsetzen der Werte ergibt:

$Formula: v = \sqrt{\dfrac{2 \cdot e \cdot 4,5 \cdot 10^3\;\mathrm{V}}{9,109 \cdot 10^{-31}\;\mathrm{kg}}} \approx 3,98 \cdot 10^7\;\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ $Formula: v = \sqrt{\dfrac{2 \cdot e \cdot 4,5 \cdot 10^3\;\mathrm{V}}{9,109 \cdot 10^{-31}\;\mathrm{kg}}} \approx 3,98 \cdot 10^7\;\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

Für die de Broglie Wellenlänge gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} \lambda & = & \dfrac{h}{p} &\quad\scriptsize\mid\,p = m_{\mathrm{e}} \cdot v \\[5pt] & = & \dfrac{h}{m_{\mathrm{e}} \cdot v} &\quad\scriptsize\mid\,v = \sqrt{\dfrac{2 \cdot e \cdot U}{m_{\mathrm{e}}}} \\[5pt] & = & \dfrac{h}{m_{\mathrm{e}} \cdot \sqrt{\tfrac{2 \cdot e \cdot U}{m_{\mathrm{e}}}}} &\quad\scriptsize\mid\,\text{vereinfachen} \\[5pt] \lambda & = & \dfrac{h}{\sqrt{2 \cdot m_{\mathrm{e}} \cdot e \cdot U}} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} \lambda & = & \dfrac{h}{p} &\quad\scriptsize\mid\,p = m_{\mathrm{e}} \cdot v \\[5pt] & = & \dfrac{h}{m_{\mathrm{e}} \cdot v} &\quad\scriptsize\mid\,v = \sqrt{\dfrac{2 \cdot e \cdot U}{m_{\mathrm{e}}}} \\[5pt] & = & \dfrac{h}{m_{\mathrm{e}} \cdot \sqrt{\tfrac{2 \cdot e \cdot U}{m_{\mathrm{e}}}}} &\quad\scriptsize\mid\,\text{vereinfachen} \\[5pt] \lambda & = & \dfrac{h}{\sqrt{2 \cdot m_{\mathrm{e}} \cdot e \cdot U}} \end{array}$

Einsetzen der Werte ergibt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} \lambda & = & \dfrac{6,626 \cdot 10^{-34}\;\mathrm{J} \cdot \mathrm{s}}{\sqrt{2 \cdot 9,109 \cdot 10^{-31}\;\mathrm{kg} \cdot e \cdot 4,5 \cdot 10^3\;\mathrm{V}}} \\[5pt] & \approx & 1,83 \cdot 10^{-11}\;\mathrm{m} \\[5pt] & = & 18,3\;\mathrm{pm} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} \lambda & = & \dfrac{6,626 \cdot 10^{-34}\;\mathrm{J} \cdot \mathrm{s}}{\sqrt{2 \cdot 9,109 \cdot 10^{-31}\;\mathrm{kg} \cdot e \cdot 4,5 \cdot 10^3\;\mathrm{V}}} \\[5pt] & \approx & 1,83 \cdot 10^{-11}\;\mathrm{m} \\[5pt] & = & 18,3\;\mathrm{pm} \end{array}$

3.2.1

Aus der Geometrie der Versuchsanordnung ergibt sich:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} \tan\left(\alpha\right) & = & \dfrac{s}{e} &\quad\scriptsize\mid\,\arctan \\[5pt] \alpha & = & \arctan\left(\dfrac{s}{e}\right) \\[5pt] & = & \arctan\left(\dfrac{0,8\;\mathrm{cm}}{13,5\;\mathrm{cm}}\right) \\[5pt] & \approx & 3,39^{\circ} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} \tan\left(\alpha\right) & = & \dfrac{s}{e} &\quad\scriptsize\mid\,\arctan \\[5pt] \alpha & = & \arctan\left(\dfrac{s}{e}\right) \\[5pt] & = & \arctan\left(\dfrac{0,8\;\mathrm{cm}}{13,5\;\mathrm{cm}}\right) \\[5pt] & \approx & 3,39^{\circ} \end{array}$

Für das Maximum 1. Ordnung gilt am Gitter:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} \sin\left(\alpha\right) & = & \dfrac{n \cdot \lambda}{g} &\quad\scriptsize\mid\,\cdot \dfrac{g}{\sin\left(\alpha\right)} \\[5pt] g & = & \dfrac{n \cdot \lambda}{\sin\left(\alpha\right)} \\[5pt] & = & \dfrac{1 \cdot 18,3 \cdot 10^{-12}\;\mathrm{m}}{\sin\left(3,39^{\circ}\right)} \\[5pt] & \approx & 3,10 \cdot 10^{-10}\;\mathrm{m} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} \sin\left(\alpha\right) & = & \dfrac{n \cdot \lambda}{g} &\quad\scriptsize\mid\,\cdot \dfrac{g}{\sin\left(\alpha\right)} \\[5pt] g & = & \dfrac{n \cdot \lambda}{\sin\left(\alpha\right)} \\[5pt] & = & \dfrac{1 \cdot 18,3 \cdot 10^{-12}\;\mathrm{m}}{\sin\left(3,39^{\circ}\right)} \\[5pt] & \approx & 3,10 \cdot 10^{-10}\;\mathrm{m} \end{array}$

3.2.2

Die Intensitätsverteilung besitzt bei Formula: r = 0 ihr größtes Maximum. Auf beiden Seiten liegen jeweils drei weitere Maxima, deren Höhe mit wachsendem Betrag des Radius abnimmt.

Qualitatives I(r)-Diagramm mit zentralem Maximum und drei symmetrischen, nach außen abnehmenden Maxima auf jeder Seite.

Das beobachtete Beugungsbild kann als Häufigkeitsverteilung für das Auftreffen der Elektronen auf dem Fluoreszenzschirm gedeutet werden. Die Intensitätsverteilung entspricht damit einer Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Beobachtung von Elektronen auf dem Schirm.

Nach der Heisenbergschen Unschärferelation können Ort und Impuls bzw. Geschwindigkeit eines Elektrons nicht gleichzeitig mit beliebig hoher Genauigkeit bestimmt werden. Die Quantenphysik macht daher keine deterministische Aussage über den Auftreffort eines einzelnen Elektrons, sondern statistische Aussagen über eine Vielzahl gleichartig präparierter Elektronen.

3.3

Die maximale Energie eines Röntgenphotons entspricht der gesamten kinetischen Energie des Elektrons. Für die Grenzwellenlänge gilt deshalb:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} e \cdot U & = & h \cdot f \\[5pt] & = & h \cdot \dfrac{c}{\lambda_{\mathrm{g}}} &\quad\scriptsize\mid\,\cdot \dfrac{\lambda_{\mathrm{g}}}{e \cdot U} \\[5pt] \lambda_{\mathrm{g}} & = & \dfrac{h \cdot c}{e \cdot U} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} e \cdot U & = & h \cdot f \\[5pt] & = & h \cdot \dfrac{c}{\lambda_{\mathrm{g}}} &\quad\scriptsize\mid\,\cdot \dfrac{\lambda_{\mathrm{g}}}{e \cdot U} \\[5pt] \lambda_{\mathrm{g}} & = & \dfrac{h \cdot c}{e \cdot U} \end{array}$

Einsetzen der Werte ergibt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} \lambda_{\mathrm{g}} & = & \dfrac{6,626 \cdot 10^{-34}\;\mathrm{J} \cdot \mathrm{s} \cdot 2,998 \cdot 10^8\;\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}{1,602 \cdot 10^{-19}\;\mathrm{C} \cdot 5,0 \cdot 10^3\;\mathrm{V}} \\[5pt] & \approx & 2,48 \cdot 10^{-10}\;\mathrm{m} \\[5pt] & = & 0,248\;\mathrm{nm} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} \lambda_{\mathrm{g}} & = & \dfrac{6,626 \cdot 10^{-34}\;\mathrm{J} \cdot \mathrm{s} \cdot 2,998 \cdot 10^8\;\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}{1,602 \cdot 10^{-19}\;\mathrm{C} \cdot 5,0 \cdot 10^3\;\mathrm{V}} \\[5pt] & \approx & 2,48 \cdot 10^{-10}\;\mathrm{m} \\[5pt] & = & 0,248\;\mathrm{nm} \end{array}$

Röntgenstrahlung besitzt ein hohes Durchdringungs- und Ionisationsvermögen. Sie kann Zellen und Erbgut schädigen und damit gesundheitsschädlich wirken. Deshalb ist beim Betrieb der Elektronenbeugungsröhre mit Hochspannung ein Sicherheitshinweis erforderlich.