Aufgabe 1 — Schwingender Hängesessel

Ein Hängesessel, der mit einer Schraubenfeder an einem festen Punkt angebracht ist, kann in vertikale Schwingungen versetzt werden (siehe Material 1).

1.1

Ein wichtiger Parameter eines Hängesessels ist die Periodendauer Formula: T, mit der er schwingt.

In einem Modellexperiment, bei dem ein schwingender Hängesessel vereinfachend als Federschwinger betrachtet wird, soll die Periodendauer auf zwei unterschiedlichen Wegen bestimmt werden.

Beachte die Hinweise zum Experiment in Material 1.

1.1.1

Experiment 1: Ermittle experimentell die Längenänderung Formula: s einer vertikal aufgehängten Schraubenfeder, wenn an deren unteren Ende ein Massestück der Masse Formula: m angehängt wird.

Berechne mithilfe deiner Messdaten die Federhärte Formula: D und daraus die Periodendauer Formula: T des Federschwingers.

Dokumentiere deine Messwerte und Berechnungen in einer aus dem Unterricht bekannten Weise.

Hinweis: Sollte dir das Erfassen der Messwerte nicht gelingen, so kannst du Ersatzmesswerte von der Lehrkraft anfordern. In diesem Fall werden 2 BE nicht erteilt.

6 BE

1.1.2

Experiment 2: Ermittle die Periodendauer desselben Federschwingers in einem zweiten Experiment erneut, indem du die Zeit für Formula: 10 Schwingungen misst.

Hinweis: Sollte dir die Messung nicht gelingen, so kannst du Ersatzmesswerte von der Lehrkraft anfordern. In diesem Fall werden 2 BE nicht erteilt.

3 BE

1.1.3

„Wird die Periodendauer mithilfe der Zeit für Formula: 10 Schwingungen ermittelt, so wie in Aufgabe 1.1.2, dann ist die Messunsicherheit der Periodendauer kleiner als in dem Fall, in dem die Periodendauer aus der Zeit für Schwingung ermittelt wird.“

Beurteile die Gültigkeit dieser Aussage unter Verwendung von Material 2.

5 BE

1.2

In einem Physikkurs wurden die Eigenschaften der Schraubenfeder eines Hängesessels untersucht, siehe Material 3.

1.2.1

Begründe unter Verwendung von Abbildung 2 in Material 3, dass für den Bereich $Formula: 19\;\mathrm{mm} \le s \le 54\;\mathrm{mm}$ $Formula: 19\;\mathrm{mm} \le s \le 54\;\mathrm{mm}$ die Federhärte der Schraubenfeder des Hängesessels näherungsweise $Formula: 14\;\mathrm{\tfrac{N}{mm}}$ $Formula: 14\;\mathrm{\tfrac{N}{mm}}$ beträgt.

4 BE

1.2.2

Die Schülergruppe hat in einer weiteren Messung für eine angehängte Masse von $Formula: 25,0\;\mathrm{kg}$ $Formula: 25,0\;\mathrm{kg}$ eine Länge der Schraubenfeder von $Formula: 184\;\mathrm{mm}$ $Formula: 184\;\mathrm{mm}$ ermittelt.

Ergänze im Diagramm in Abbildung 2 in Material 3 den Punkt, der diese Messdaten repräsentiert.

3 BE

1.2.3

Beschreibe qualitativ unter Bezug auf Abbildung 2 in Material 3 die Änderung der Federhärte Formula: D der Schraubenfeder, wenn die Masse der angehängten Massestücke immer weiter verringert wird.

Begründe deine Aussage.

6 BE

1.2.4

In der Bedienungsanleitung des Hängesessels wird darauf hingewiesen, dass der Hängesessel so anzubringen ist, dass seine Sitzfläche in einer Höhe von Formula: 40 bis $Formula: 50\;\mathrm{cm}$ $Formula: 50\;\mathrm{cm}$ über dem Erdboden aufzuhängen ist.

Beurteile anhand eines Aspekts, ob dieser Hinweis sicherheitsrelevant ist.

3 BE

1.3

Die Periodendauer Formula: T des schwingenden Hängesessels soll vergrößert werden. Dazu wird die ursprüngliche Schraubenfeder durch zwei Schraubenfedern ersetzt, welche die Bedingungen in Material 4 erfüllen.

Zeige, dass sich die veränderte Periodendauer mit der Gleichung $Formula: T^{*} = \sqrt{2} \cdot T$ $Formula: T^{*} = \sqrt{2} \cdot T$ berechnen lässt.

Dabei ist $Formula: T^{*}$ $Formula: T^{*}$ die Periodendauer bei zwei Schraubenfedern in Reihe und die Periodendauer einer dieser beiden Schraubenfedern.

4 BE

1.4

Für den Hängesessel soll ein in Material 5 beschriebenes Schraubenfedersystem eingesetzt werden.

Begründe, dass Abbildung 5 in Material 5 den Zusammenhang zwischen Kraft und Längenänderung dieses Schraubenfedersystems richtig wiedergibt.

Beziehe dabei die im Material gegebenen Federhärten der beiden Federn 1 und 2 ein.

6 BE

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Material 1: Schwingender Hängesessel als vertikaler Federschwinger

Ein vertikal schwingender Hängesessel besteht aus einer Schraubenfeder, an deren unterem Ende der Hängesessel befestigt ist (siehe Abbildung 1). Die schwingende Masse dieses schwingungsfähigen Systems (Oszillator) entspricht der Summe der Masse des Hängesessels und der Masse des Menschen, der sich darin befindet.

Hinweise zu den Experimenten:

Die Versuchsaufbauten für die Experimente 1 und 2 werden vollständig aufgebaut zur Verfügung gestellt.
Eine Stoppuhr und ein Maßband oder Lineal werden bereitgestellt.
Die Masse des Massestücks wird von der Lehrkraft mitgeteilt.

Abbildung 1: Hängesessel mit Schraubenfeder, siehe vergrößerter Bildausschnitt

Material 2: Messunsicherheiten beim Bestimmen der Periodendauer

Bei der Bestimmung der Periodendauer Formula: T enthält die gemessene Zeit eine Messunsicherheit $Formula: \Delta T.$ $Formula: \Delta T.$ Sie entsteht vor allem dadurch, dass bei der Durchführung des Experiments der Beginn und das Ende einer Periodendauer nicht exakt bestimmt werden können.

Wird angenommen, dass beim Starten und beim Stoppen der Stoppuhr die Messunsicherheit jeweils $Formula: 0,2\;\mathrm{s}$ $Formula: 0,2\;\mathrm{s}$ beträgt, dann ist die Messunsicherheit der Periodendauer im vorliegenden Fall insgesamt $Formula: \Delta T = 0,4\;\mathrm{s}.$ $Formula: \Delta T = 0,4\;\mathrm{s}.$ Diese Abweichung wird in der Praxis häufig abgeschätzt, wobei von einer größtmöglichen Abweichung ausgegangen wird.

Material 3: Messdaten der Schraubenfeder des Hängesessels

Die Lernenden eines Physikkurses haben folgenden Versuch durchgeführt:

An die Schraubenfeder des Hängesessels wurden mit Unterstützung des Hausmeisters nacheinander Massestücke der Masse $Formula: 50\;\mathrm{kg},$ $Formula: 50\;\mathrm{kg},$ $Formula: 75\;\mathrm{kg}$ $Formula: 75\;\mathrm{kg}$ und $Formula: 100\;\mathrm{kg}$ $Formula: 100\;\mathrm{kg}$ angehängt und jeweils die dazugehörigen Längen Formula: L der Schraubenfeder gemessen.

In Abbildung 2 ist die an der Schraubenfeder angreifende Kraft Formula: F, die jeweils der Gewichtskraft des angehängten Massestücks entspricht, in Abhängigkeit von der jeweiligen Längenänderung Formula: s der Schraubenfeder dargestellt.

Abbildung 2: Zusammenhang von Formula: F und Formula: s

Die unbelastete Schraubenfeder besitzt eine Länge von $Formula: 180\;\mathrm{mm}.$ $Formula: 180\;\mathrm{mm}.$

Hinweis: Ändert sich bei einer Schraubenfeder die Federhärte Formula: D mit zunehmender Dehnung Formula: s, so kann für einen Bereich $Formula: \Delta s$ $Formula: \Delta s$ näherungsweise mithilfe der folgenden Gleichung berechnet werden: $Formula: D = \tfrac{\Delta F}{\Delta s}.$ $Formula: D = \tfrac{\Delta F}{\Delta s}.$

Material 4: Hängesessel mit zwei in Reihe angeordneten Schraubenfedern gleicher Federhärte

Die Abbildung 3 zeigt zwei in Reihe angeordnete Schraubenfedern, für die folgende vereinfachende Annahmen gelten:

Beide Schraubenfedern haben dieselbe Federhärte
Für beide Schraubenfedern gilt jeweils $Formula: F = D \cdot s.$ $Formula: F = D \cdot s.$
Die Gewichtskraft die nach unten wirkt, erzeugt in beiden Federn jeweils gleich große Rückstellkräfte $Formula: F_{1}$ $Formula: F_{1}$ und $Formula: F_{2},$ $Formula: F_{2},$ die jeweils nach oben gerichtet sind. Für die Beträge der Kräfte gilt: $Formula: F = F_{1} = F_{2}.$ $Formula: F = F_{1} = F_{2}.$
Die Massen beider Schraubenfedern sind zu vernachlässigen.

Abbildung 3: zwei in Reihe angeordnete Schraubenfedern

Material 5: Hängesessel mit zwei in Reihe angeordneten Schraubenfedern unterschiedlicher Federhärte

Für einen Hängesessel soll ein Schraubenfedersystem gemäß Abbildung 4 eingesetzt werden, das folgende Eigenschaften hat:

Federhärte der Feder 1: $Formula: D_{1} = 15\;\mathrm{\tfrac{N}{mm}}$ $Formula: D_{1} = 15\;\mathrm{\tfrac{N}{mm}}$
Federhärte der Feder 2: $Formula: D_{2} = 30\;\mathrm{\tfrac{N}{mm}}$ $Formula: D_{2} = 30\;\mathrm{\tfrac{N}{mm}}$

Das Schraubenfedersystem ist so beschaffen, dass ab einer bestimmten Belastung die Metallplatte an den unteren Teil des starren Rahmens stößt. Hierbei erreicht die Länge von Feder 1 ihren Maximalwert $Formula: L_{\mathrm{max}}$ $Formula: L_{\mathrm{max}}$ (siehe Abbildung 4).

Abbildung 4: Zwei in Reihe angeordnete Federn unterschiedlicher Federhärte.

Links: unbelasteter Fall. Rechts: belasteter Fall.

Die Darstellung in Abbildung 5 gibt die Abhängigkeit der Kraft von der Längenänderung für dieses Schraubenfedersystem korrekt wieder. Für die Darstellung gilt, dass die Längenänderung des Schraubenfedersystems der Summe der Längenänderungen der einzelnen Federn entspricht.

Diagramm mit Kraft in N über Weg in mm als ansteigende Linie.

Abbildung 5: Kraft in Abhängigkeit von der Längenänderung

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1.1.1

Ermitteln der Längenänderung

Zunächst wird die Länge der unbelasteten Feder bestimmt. Anschließend wird ein Massestück angehängt und die neue Federlänge gemessen. Daraus ergeben sich beispielsweise folgende Werte:

Messgröße	Messwert
Masse des Massestücks	$Formula: 100\;\mathrm{g} = 0,100\;\mathrm{kg}$ $Formula: 100\;\mathrm{g} = 0,100\;\mathrm{kg}$
Länge der unbelasteten Feder	$Formula: 8,5\;\mathrm{cm}$ $Formula: 8,5\;\mathrm{cm}$
Länge der belasteten Feder	$Formula: 23,0\;\mathrm{cm}$ $Formula: 23,0\;\mathrm{cm}$

Die Längenänderung der Schraubenfeder beträgt somit:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} s & = & L_1 - L_0 \\[5pt] & = & 23,0\;\mathrm{cm} - 8,5\;\mathrm{cm} \\[5pt] & = & 14,5\;\mathrm{cm} \\[5pt] & = & 0,145\;\mathrm{m} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} s & = & L_1 - L_0 \\[5pt] & = & 23,0\;\mathrm{cm} - 8,5\;\mathrm{cm} \\[5pt] & = & 14,5\;\mathrm{cm} \\[5pt] & = & 0,145\;\mathrm{m} \end{array}$

Berechnen der Federhärte und Periodendauer

In der Gleichgewichtslage ist der Betrag der Federkraft genauso groß wie der Betrag der Gewichtskraft:

$Formula: F_{\mathrm{Feder}} = F_{\mathrm{G}}$ $Formula: F_{\mathrm{Feder}} = F_{\mathrm{G}}$

Für die Gewichtskraft gilt $Formula: F_{\mathrm{G}} = m \cdot g.$ $Formula: F_{\mathrm{G}} = m \cdot g.$ Für die Federkraft gilt $Formula: F_{\mathrm{Feder}} = D \cdot s.$ $Formula: F_{\mathrm{Feder}} = D \cdot s.$

Damit ergibt sich für die Federhärte:

$Formula: \begin{array}[t]{rll}F_{\mathrm{Feder}} & = & F_{\mathrm{G}} \\[5pt] D \cdot s & = & m \cdot g & \quad\scriptsize\mid\, \cdot \dfrac{1}{s} \\[5pt] D & = & \dfrac{m \cdot g}{s}\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}F_{\mathrm{Feder}} & = & F_{\mathrm{G}} \\[5pt] D \cdot s & = & m \cdot g & \quad\scriptsize\mid\, \cdot \dfrac{1}{s} \\[5pt] D & = & \dfrac{m \cdot g}{s}\end{array}$

Einsetzen ergibt:

$Formula: D = \dfrac{0,100\;\mathrm{kg} \cdot 9,81\;\mathrm{\tfrac{m}{s^2}}}{0,145\;\mathrm{m}} \approx 6,77\;\mathrm{\dfrac{N}{m}}$ $Formula: D = \dfrac{0,100\;\mathrm{kg} \cdot 9,81\;\mathrm{\tfrac{m}{s^2}}}{0,145\;\mathrm{m}} \approx 6,77\;\mathrm{\dfrac{N}{m}}$

Die Periodendauer eines Federschwingers berechnet sich mit:

$Formula: T = 2\pi \sqrt{\dfrac{m}{D}}$ $Formula: T = 2\pi \sqrt{\dfrac{m}{D}}$

Einsetzen der Werte liefert:

$Formula: T = 2\pi \sqrt{\dfrac{0,100\;\mathrm{kg}}{6,77\;\mathrm{\tfrac{N}{m}}}} \approx 0,76\;\mathrm{s}$ $Formula: T = 2\pi \sqrt{\dfrac{0,100\;\mathrm{kg}}{6,77\;\mathrm{\tfrac{N}{m}}}} \approx 0,76\;\mathrm{s}$

Die auf diesem Weg bestimmte Periodendauer beträgt somit $Formula: T \approx 0,76\;\mathrm{s}.$ $Formula: T \approx 0,76\;\mathrm{s}.$

1.1.2

Das Massestück wird aus seiner Gleichgewichtslage vertikal ausgelenkt und anschließend losgelassen. Gemessen wird die Zeit für zehn vollständige Schwingungen.

Für zehn Schwingungen ergibt sich beispielsweise $Formula: t_{10} = 8,0\;\mathrm{s}.$ $Formula: t_{10} = 8,0\;\mathrm{s}.$

Daraus folgt für die Periodendauer:

$Formula: T = \dfrac{t_{10}}{10} = \dfrac{8,0\;\mathrm{s}}{10} = 0,80\;\mathrm{s}$ $Formula: T = \dfrac{t_{10}}{10} = \dfrac{8,0\;\mathrm{s}}{10} = 0,80\;\mathrm{s}$

Damit beträgt die experimentell bestimmte Periodendauer $Formula: T = 0,80\;\mathrm{s}.$ $Formula: T = 0,80\;\mathrm{s}.$

1.1.3

Beim Starten und Stoppen der Stoppuhr beträgt die Messunsicherheit jeweils $Formula: 0,2\;\mathrm{s}.$ $Formula: 0,2\;\mathrm{s}.$ Für eine vollständige Zeitmessung ergibt sich daher insgesamt $Formula: \Delta t = 0,4\;\mathrm{s}.$ $Formula: \Delta t = 0,4\;\mathrm{s}.$

Wird nur eine Schwingung gemessen, entspricht diese Unsicherheit unmittelbar der Unsicherheit der Periodendauer $Formula: \Delta T_1 = 0,4\;\mathrm{s}.$ $Formula: \Delta T_1 = 0,4\;\mathrm{s}.$

Bei der Messung von zehn Schwingungen besitzt die gesamte gemessene Zeit ebenfalls die Unsicherheit $Formula: \Delta t_{10} = 0,4\;\mathrm{s}.$ $Formula: \Delta t_{10} = 0,4\;\mathrm{s}.$

Für die kleinste bzw. größte mögliche Periodendauer gilt:

$Formula: T_{\mathrm{min}} = \dfrac{t_{10} - 0,4\;\mathrm{s}}{10} = \dfrac{t_{10}}{10} - 0,04\;\mathrm{s}$ $Formula: T_{\mathrm{min}} = \dfrac{t_{10} - 0,4\;\mathrm{s}}{10} = \dfrac{t_{10}}{10} - 0,04\;\mathrm{s}$

$Formula: T_{\mathrm{max}} = \dfrac{t_{10} + 0,4\;\mathrm{s}}{10} = \dfrac{t_{10}}{10} + 0,04\;\mathrm{s}$ $Formula: T_{\mathrm{max}} = \dfrac{t_{10} + 0,4\;\mathrm{s}}{10} = \dfrac{t_{10}}{10} + 0,04\;\mathrm{s}$

Die Messunsicherheit der Periodendauer beträgt bei zehn Schwingungen somit:

$Formula: \Delta T_{10} = \dfrac{0,4\;\mathrm{s}}{10} = 0,04\;\mathrm{s}$ $Formula: \Delta T_{10} = \dfrac{0,4\;\mathrm{s}}{10} = 0,04\;\mathrm{s}$

Damit gilt $Formula: \Delta T_{10} < \Delta T_1.$ $Formula: \Delta T_{10} < \Delta T_1.$

Die Aussage ist somit gültig. Durch die Messung der Zeit für zehn Schwingungen wird die Messunsicherheit der Periodendauer gegenüber der Messung einer einzelnen Schwingung verringert.

1.2.1

Im Bereich von $Formula: 19\;\mathrm{mm} \leq s \leq 54\;\mathrm{mm}$ $Formula: 19\;\mathrm{mm} \leq s \leq 54\;\mathrm{mm}$ liegen die Messpunkte in Abbildung 2 näherungsweise auf einer Geraden.

Die Steigung dieser Geraden entspricht der Federhärte Formula: D der Schraubenfeder:

$Formula: D = \dfrac{\Delta F}{\Delta s}$ $Formula: D = \dfrac{\Delta F}{\Delta s}$

Aus dem Diagramm lassen sich ungefähr die Punkte $Formula: (19\;\mathrm{mm}\,|\,490\;\mathrm{N})$ $Formula: (19\;\mathrm{mm}\,|\,490\;\mathrm{N})$ und $Formula: (54\;\mathrm{mm}\,|\,980\;\mathrm{N})$ $Formula: (54\;\mathrm{mm}\,|\,980\;\mathrm{N})$ ablesen.

Damit ergibt sich:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} D & = & \dfrac{980\;\mathrm{N} - 490\;\mathrm{N}}{54\;\mathrm{mm} - 19\;\mathrm{mm}} \\[5pt] & = & \dfrac{490\;\mathrm{N}}{35\;\mathrm{mm}} \\[5pt] & = & 14\;\dfrac{\mathrm{N}}{\mathrm{mm}} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} D & = & \dfrac{980\;\mathrm{N} - 490\;\mathrm{N}}{54\;\mathrm{mm} - 19\;\mathrm{mm}} \\[5pt] & = & \dfrac{490\;\mathrm{N}}{35\;\mathrm{mm}} \\[5pt] & = & 14\;\dfrac{\mathrm{N}}{\mathrm{mm}} \end{array}$

Die Federhärte der Schraubenfeder beträgt in diesem Bereich somit näherungsweise $Formula: D \approx 14\;\tfrac{\mathrm{N}}{\mathrm{mm}}.$ $Formula: D \approx 14\;\tfrac{\mathrm{N}}{\mathrm{mm}}.$

1.2.2

Die Längenänderung der Schraubenfeder beträgt:

$Formula: s = L - L_0= 184\;\mathrm{mm} - 180\;\mathrm{mm} = 4\;\mathrm{mm}$ $Formula: s = L - L_0= 184\;\mathrm{mm} - 180\;\mathrm{mm} = 4\;\mathrm{mm}$

Die an der Schraubenfeder wirkende Kraft entspricht der Gewichtskraft des Massestücks:

$Formula: F = F_{\mathrm{G}} = m \cdot g= 25,0\;\mathrm{kg} \cdot 9,81\;\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} \approx 245\;\mathrm{N}$ $Formula: F = F_{\mathrm{G}} = m \cdot g= 25,0\;\mathrm{kg} \cdot 9,81\;\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} \approx 245\;\mathrm{N}$

Es muss also der Punkt $Formula: (4\;\mathrm{mm}\,|\,245\;\mathrm{N})$ $Formula: (4\;\mathrm{mm}\,|\,245\;\mathrm{N})$ im Diagramm eingetragen werden:

Diagramm mit Messpunkten und ansteigender Linie in einem Koordinatensystem.

1.2.3

Aus dem Diagramm oben ergibt sich, dass für den gesamten dargestellten Bereich keine direkte Proportionalität zwischen der Kraft Formula: F und der Längenänderung Formula: s besteht. Die Steigung des Graphen hat für kleine größere Werte als für große Formula: s.

Da bei der Belastung $Formula: 0\; \text{N}$ $Formula: 0\; \text{N}$ der Schraubenfeder keine Längenänderung auftritt, verläuft der Graph für den Zusammenhang Formula: F=f(s) durch den Koordinatenursprung. Aus der graphischen Darstellung (Abbildung 2 in Material 3) ist zudem ersichtlich, dass die Punkte nicht auf einer Ursprungsgeraden liegen. Das bedeutet, dass keine Proportionalität vorliegt und die Steigung des Zusammenhangs nicht konstant ist.

Je kleiner die Masse des angehängten Massestücks ist, desto größer ist die Steigung der Kurve und damit die Federhärte der Schraubenfeder $Formula: {D}=\tfrac{\Delta {F}}{\Delta {s}}.$ $Formula: {D}=\tfrac{\Delta {F}}{\Delta {s}}.$

1.2.4

Ja, der Hinweis zur Höhe der Sitzfläche ist sicherheitsrelevant.

Eine große Masse führt zu einer starken Vordehnung der Schraubenfeder. Während der Schwingung wird die Feder zusätzlich gedehnt, sodass sich die Sitzfläche weiter nach unten bewegt.

Bei einer zu niedrigen Aufhängung kann die Sitzfläche den Erdboden berühren. Ebenso können die Füße der sitzenden Person auf dem Boden aufschlagen. Dadurch besteht Verletzungsgefahr.

Die vorgegebene Höhe von $Formula: 40\;\mathrm{cm}$ $Formula: 40\;\mathrm{cm}$ bis $Formula: 50\;\mathrm{cm}$ $Formula: 50\;\mathrm{cm}$ stellt daher einen ausreichenden Abstand zum Erdboden sicher.

1.3

Periodendauer bei zwei Schraubenfedern in Reihe

Beide Schraubenfedern besitzen die gleiche Federhärte Formula: D. Außerdem wirkt auf beide Federn jeweils eine gleich große Kraft Formula: F.

Nach dem Hooke’schen Gesetz gilt für die Längenänderungen der beiden Federn $Formula: F = D \cdot s_1$ $Formula: F = D \cdot s_1$ und $Formula: F = D \cdot s_2.$ $Formula: F = D \cdot s_2.$

Da beide Federn die gleiche Federhärte besitzen und mit der gleichen Kraft belastet werden, gilt:

$Formula: s_1 = s_2 = \dfrac{F}{D}$ $Formula: s_1 = s_2 = \dfrac{F}{D}$

Die gesamte Längenänderung Formula: s^* des Schraubenfedersystems entspricht der Summe der beiden einzelnen Längenänderungen Formula: s^* = s_1 + s_2.

Damit folgt:

$Formula: s^* = \dfrac{F}{D} + \dfrac{F}{D} = \dfrac{2F}{D}$ $Formula: s^* = \dfrac{F}{D} + \dfrac{F}{D} = \dfrac{2F}{D}$

Für die Federhärte Formula: D^* des gesamten Schraubenfedersystems gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} F & = & D^* \cdot s^* & \quad\scriptsize\mid\, \cdot \dfrac{1}{s^*} \\[5pt] D^* & = & \dfrac{F}{s^*} & \quad\scriptsize\mid\, \text{Einsetzen} \\[5pt] D^* & = & \dfrac{F}{\tfrac{2F}{D}} \\[5pt] & = & \dfrac{D}{2} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} F & = & D^* \cdot s^* & \quad\scriptsize\mid\, \cdot \dfrac{1}{s^*} \\[5pt] D^* & = & \dfrac{F}{s^*} & \quad\scriptsize\mid\, \text{Einsetzen} \\[5pt] D^* & = & \dfrac{F}{\tfrac{2F}{D}} \\[5pt] & = & \dfrac{D}{2} \end{array}$

Die Federhärte des Schraubenfedersystems ist somit halb so groß wie die Federhärte einer einzelnen Schraubenfeder.

Für die Periodendauer einer einzelnen Schraubenfeder gilt $Formula: T = 2\pi \sqrt{\tfrac{m}{D}}.$ $Formula: T = 2\pi \sqrt{\tfrac{m}{D}}.$

Die Periodendauer Formula: T^* des Schraubenfedersystems berechnet sich mit:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} T^* & = & 2\pi \sqrt{\dfrac{m}{D^*}} & \quad\scriptsize\mid\, \text{Einsetzen} \\[5pt] & = & 2\pi \sqrt{\dfrac{m}{\tfrac{D}{2}}} \\[5pt] & = & 2\pi \sqrt{\dfrac{2m}{D}} \\[5pt] & = & \sqrt{2} \cdot 2\pi \sqrt{\dfrac{m}{D}} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} T^* & = & 2\pi \sqrt{\dfrac{m}{D^*}} & \quad\scriptsize\mid\, \text{Einsetzen} \\[5pt] & = & 2\pi \sqrt{\dfrac{m}{\tfrac{D}{2}}} \\[5pt] & = & 2\pi \sqrt{\dfrac{2m}{D}} \\[5pt] & = & \sqrt{2} \cdot 2\pi \sqrt{\dfrac{m}{D}} \end{array}$

Mit $Formula: T = 2\pi \sqrt{\tfrac{m}{D}}$ $Formula: T = 2\pi \sqrt{\tfrac{m}{D}}$ folgt schließlich:

$Formula: T^* = \sqrt{2} \cdot T$ $Formula: T^* = \sqrt{2} \cdot T$

Die Periodendauer wird durch die Reihenschaltung der beiden gleichen Schraubenfedern somit um den Faktor $Formula: \sqrt{2}$ $Formula: \sqrt{2}$ vergrößert.

1.4

Der Graph in Abbildung 5 besteht aus zwei geradlinigen Abschnitten. Die Steigung eines Abschnitts entspricht jeweils der Federhärte des belasteten Schraubenfedersystems:

$Formula: D = \dfrac{\Delta F}{\Delta s}$ $Formula: D = \dfrac{\Delta F}{\Delta s}$

Erster Abschnitt:

Im Bereich von $Formula: 0\;\mathrm{N} \leq F \leq 400\;\mathrm{N}$ $Formula: 0\;\mathrm{N} \leq F \leq 400\;\mathrm{N}$ verlängern sich beide in Reihe angeordneten Federn.

Aus Abbildung 5 ergibt sich für die Federhärte des gesamten Schraubenfedersystems:

$Formula: D_{\mathrm{Ges}} = \dfrac{400\;\mathrm{N} - 0\;\mathrm{N}}{40\;\mathrm{mm} - 0\;\mathrm{mm}}= 10\;\mathrm{\dfrac{N}{mm}}$ $Formula: D_{\mathrm{Ges}} = \dfrac{400\;\mathrm{N} - 0\;\mathrm{N}}{40\;\mathrm{mm} - 0\;\mathrm{mm}}= 10\;\mathrm{\dfrac{N}{mm}}$

Bei der Reihenschaltung wirkt auf beide Federn dieselbe Kraft Formula: F. Die gesamte Längenänderung ist die Summe der Längenänderungen beider Federn $Formula: s_{\mathrm{Ges}} = s_1 + s_2.$ $Formula: s_{\mathrm{Ges}} = s_1 + s_2.$

Nach dem Hooke’schen Gesetz gilt:

$Formula: s_{\mathrm{Ges}} = \dfrac{F}{D_{\mathrm{Ges}}},$ $Formula: s_{\mathrm{Ges}} = \dfrac{F}{D_{\mathrm{Ges}}},$ $Formula: s_1 = \dfrac{F}{D_1}$ $Formula: s_1 = \dfrac{F}{D_1}$ und $Formula: s_2 = \dfrac{F}{D_2}.$ $Formula: s_2 = \dfrac{F}{D_2}.$

Damit folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} \dfrac{F}{D_{\mathrm{ges}}} & = & \dfrac{F}{D_1} + \dfrac{F}{D_2} & \quad\scriptsize\mid\, \cdot \dfrac{1}{F} \\[5pt] \dfrac{1}{D_{\mathrm{ges}}} & = & \dfrac{1}{D_1} + \dfrac{1}{D_2} & \quad\scriptsize\mid\, \text{Hauptnenner bilden} \\[5pt] \dfrac{1}{D_{\mathrm{ges}}} & = & \dfrac{D_2 + D_1}{D_1 \cdot D_2} & \quad\scriptsize\mid\, \text{Kehrwert bilden}\\[5pt] D_{\mathrm{ges}} & = & \dfrac{D_1 \cdot D_2}{D_1 + D_2} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} \dfrac{F}{D_{\mathrm{ges}}} & = & \dfrac{F}{D_1} + \dfrac{F}{D_2} & \quad\scriptsize\mid\, \cdot \dfrac{1}{F} \\[5pt] \dfrac{1}{D_{\mathrm{ges}}} & = & \dfrac{1}{D_1} + \dfrac{1}{D_2} & \quad\scriptsize\mid\, \text{Hauptnenner bilden} \\[5pt] \dfrac{1}{D_{\mathrm{ges}}} & = & \dfrac{D_2 + D_1}{D_1 \cdot D_2} & \quad\scriptsize\mid\, \text{Kehrwert bilden}\\[5pt] D_{\mathrm{ges}} & = & \dfrac{D_1 \cdot D_2}{D_1 + D_2} \end{array}$

Mit den in Material 5 angegebenen Federhärten ergibt sich:

$Formula: D_{\mathrm{Ges}} = \dfrac{15\;\mathrm{\tfrac{N}{mm}} \cdot 30\;\mathrm{\tfrac{N}{mm}}}{15\;\mathrm{\tfrac{N}{mm}} + 30\;\mathrm{\tfrac{N}{mm}}}= 10\;\mathrm{\dfrac{N}{mm}}$ $Formula: D_{\mathrm{Ges}} = \dfrac{15\;\mathrm{\tfrac{N}{mm}} \cdot 30\;\mathrm{\tfrac{N}{mm}}}{15\;\mathrm{\tfrac{N}{mm}} + 30\;\mathrm{\tfrac{N}{mm}}}= 10\;\mathrm{\dfrac{N}{mm}}$

Dieser Wert stimmt mit der Steigung des ersten Graphenabschnitts überein.

Zweiter Abschnitt:

Bei einer Kraft von $Formula: 400\;\mathrm{N}$ $Formula: 400\;\mathrm{N}$ erreicht Feder 1 ihre maximale Länge. Die Metallplatte stößt an den unteren Teil des starren Rahmens. Bei einer weiteren Erhöhung der Kraft kann sich Feder 1 daher nicht weiter verlängern.

Oberhalb von $Formula: 400\;\mathrm{N}$ $Formula: 400\;\mathrm{N}$ verlängert sich nur noch Feder 2. Deshalb muss die Steigung des zweiten Graphenabschnitts der Federhärte Formula: D_2 entsprechen.

Aus Abbildung 5 ergibt sich:

$Formula: D = \dfrac{1000\;\mathrm{N} - 400\;\mathrm{N}}{60\;\mathrm{mm} - 40\;\mathrm{mm}}= \dfrac{600\;\mathrm{N}}{20\;\mathrm{mm}} = 30\;\mathrm{\dfrac{N}{mm}}$ $Formula: D = \dfrac{1000\;\mathrm{N} - 400\;\mathrm{N}}{60\;\mathrm{mm} - 40\;\mathrm{mm}}= \dfrac{600\;\mathrm{N}}{20\;\mathrm{mm}} = 30\;\mathrm{\dfrac{N}{mm}}$

Dieser Wert stimmt mit der in Material 5 angegebenen Federhärte $Formula: D_2 = 30\;\mathrm{\tfrac{N}{mm}}$ $Formula: D_2 = 30\;\mathrm{\tfrac{N}{mm}}$ überein.

Damit gibt Abbildung 5 den Zusammenhang zwischen der Kraft und der Längenänderung des Schraubenfedersystems in beiden Belastungsbereichen richtig wieder.

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