Aufgabe 2 — Induktion

2.1

Zwei Spulen befinden sich hintereinander auf einem langen Eisenkern. Die erste Spule ist mit einer regelbaren Gleichstromquelle verbunden, die zweite nur mit einem Spannungsmesser.

Erkläre zwei Möglichkeiten, wie mit dieser Anordnung in der zweiten Spule eine Spannung induziert werden kann.

6 BE

2.2

In einem zweiten Versuch werden zwei andere Spulen ohne Eisenkern verwendet.

Die Spule 1 ist $Formula: 30\;\mathrm{cm}$ $Formula: 30\;\mathrm{cm}$ lang, hat Formula: 4500 Windungen und ist mit Luft gefüllt. In ihr befindet sich die ebenfalls mit Luft gefüllte Spule 2 mit Formula: 60 Windungen und der Querschnittsfläche $Formula: 18\;\mathrm{cm^2}.$ $Formula: 18\;\mathrm{cm^2}.$ Die Längsachsen der Spulen liegen parallel zueinander.

Die Spule 1 ist an eine regelbare Gleichstromquelle angeschlossen und der durch sie fließende Strom kann gemessen werden. Über der Spule 2 wird die Induktionsspannung gemessen.

Der Strom durch Spule 1 ist im Formula: I(t)- Diagramm dargestellt.

Diagramm: Strom I (A) gegen Zeit t (s), steigt linear von 0 auf 3 A bis 4 s, bleibt anschließend konstant bei 3 A

Abbildung 2: $Formula: \small{I(t)-}$ $Formula: \small{I(t)-}$ Diagramm

Begründe, dass in den ersten Formula: 4 Sekunden eine konstante Spannung induziert wird.

Berechne den Betrag der Induktionsspannung.

8 BE

2.3

Im Straßenverkehr werden zur Steuerung von Ampeln häufig Induktionsschleifen verwendet. Die Induktionsschleife wirkt als Spule und ist aus Kupferdraht mit wenigen Windungen in die Fahrbahn eingelassen. Sie wird parallel zu einem Kondensator geschaltet und beide bilden einen Schwingkreis. Dieser Schwingkreis wird mit einem Steuergerät verbunden und kann so die Ampel schalten.

Eine solche Induktionsschleife hat ohne Fahrzeug eine Induktivität Formula: L von $Formula: 300\;\mu\mathrm{H};$ $Formula: 300\;\mu\mathrm{H};$ der Kondensator eine Kapazität Formula: C von $Formula: 55\;\mathrm{nF}.$ $Formula: 55\;\mathrm{nF}.$

Abbildung 3: Ampelsteuerung

Zur Steuerung der Ampel wird die sogenannte Verstimmung der Induktionsschleife gemessen. Die Verstimmung ist der Quotient aus der Änderung der Induktivität Formula: ΔL und der ursprünglichen Induktivität Formula: L. Die nachfolgende Tabelle enthält Beispiele für die Verstimmung einer Induktionsschleife nach Herstellerangaben.

Fahrzeug	Fahrrad	Motorrad	PKW
Verstimmung

Tabelle 2: Verstimmung einer Induktionsschleife

Berechne die Eigenfrequenz des Schwingkreises, wenn die Induktionsschleife von einem PKW überquert wird.

6 BE

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2.1

Wird der Eisenkern aus den Spulen entfernt, verändert sich die magnetische Permeabilität in den Spulen drastisch. Diese Veränderung der Permeabilität bewirkt eine Änderung der Magnetfeldstärke sowohl in der felderzeugenden Spule als auch in der Induktionsspule. Diese Magnetfeldänderung führt nach dem Induktionsgesetz zur Induktion einer Spannung in der zweiten Spule.
Durch das Hoch- oder Runterregeln der Stromstärke an der regelbaren Gleichstromquelle ändert sich die Stromstärke in der ersten Spule (Feldspule). Diese Stromänderung führt zu einer zeitlichen Änderung der Magnetfeldstärke sowohl in der felderzeugenden Spule als auch in der Induktionsspule. Infolgedessen wird in der zweiten Spule eine Spannung induziert.

2.2

Begründung der konstanten Induktionsspannung

Aus dem Formula: I(t)- Diagramm lässt sich ablesen, dass die Stromstärke in der Spule 1 in den ersten 4 Sekunden gleichmäßig ansteigt . Es liegt also ein konstanter Anstieg $Formula: \tfrac{\Delta I}{\Delta t}$ $Formula: \tfrac{\Delta I}{\Delta t}$ vor.

Da die magnetische Flussdichte Formula: B einer langen Spule direkt proportional zur Stromstärke ist, ändert sich folglich auch das Magnetfeld in dieser Zeitspanne mit einer konstanten Rate $Formula: \tfrac{\Delta B}{\Delta t}.$ $Formula: \tfrac{\Delta B}{\Delta t}.$

Nach dem Induktionsgesetz ist die induzierte Spannung proportional zur zeitlichen Änderung der magnetischen Flussdichte ( $Formula: U_\text{i} \sim \tfrac{\Delta B}{\Delta t}$ $Formula: U_\text{i} \sim \tfrac{\Delta B}{\Delta t}$ ). Aufgrund der gleichmäßigen Änderung des Magnetfeldes wird somit in der Spule 2 eine zeitlich konstante Spannung induziert.

Berechnung des Betrags der Induktionsspannung

Der Ansatz für den Betrag der Induktionsspannung lautet:

$Formula: |U_\text{i}| = N_2 \cdot A_2 \cdot \frac{\Delta B}{\Delta t}$ $Formula: |U_\text{i}| = N_2 \cdot A_2 \cdot \frac{\Delta B}{\Delta t}$

Die zeitliche Änderung der magnetischen Flussdichte $Formula: \Delta B$ $Formula: \Delta B$ der luftgefüllten Feldspule 1 berechnet sich mit:

$Formula: \Delta B = \mu_0 \cdot \frac{N_1 \cdot \Delta I}{l_1}$ $Formula: \Delta B = \mu_0 \cdot \frac{N_1 \cdot \Delta I}{l_1}$

Wird dies in die Formel für die Induktionsspannung eingesetzt, ergibt sich die Gesamtgleichung:

$Formula: |U_\text{i}| = N_2 \cdot A_2 \cdot \mu_0 \cdot \frac{N_1 \cdot \Delta I}{l_1 \cdot \Delta t}$ $Formula: |U_\text{i}| = N_2 \cdot A_2 \cdot \mu_0 \cdot \frac{N_1 \cdot \Delta I}{l_1 \cdot \Delta t}$

Nun werden die Werte eingesetzt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} |U_{\mathrm{i}}| & = & 60 \cdot 0,0018\;\mathrm{m}^{2} \\[5pt]&\phantom{=}& \cdot 1,257 \cdot 10^{-6}\;\dfrac{\mathrm{V} \cdot \mathrm{s}}{\mathrm{A} \cdot \mathrm{m}} \cdot \dfrac{4500 \cdot 3\;\mathrm{A}}{0,3\;\mathrm{m} \cdot 4\;\mathrm{s}}\\[5pt] & \approx & 0,00153\;\mathrm{V} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} |U_{\mathrm{i}}| & = & 60 \cdot 0,0018\;\mathrm{m}^{2} \\[5pt]&\phantom{=}& \cdot 1,257 \cdot 10^{-6}\;\dfrac{\mathrm{V} \cdot \mathrm{s}}{\mathrm{A} \cdot \mathrm{m}} \cdot \dfrac{4500 \cdot 3\;\mathrm{A}}{0,3\;\mathrm{m} \cdot 4\;\mathrm{s}}\\[5pt] & \approx & 0,00153\;\mathrm{V} \end{array}$

2.3

Laut Tabelle 2 beträgt die Verstimmung der Induktionsschleife beim Überqueren durch einen PKW $Formula: \frac{\Delta L}{L} = 0,06,$ $Formula: \frac{\Delta L}{L} = 0,06,$ außerdem gilt $Formula: \Delta L = L_1 - L.$ $Formula: \Delta L = L_1 - L.$ Daraus folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll}\dfrac{L_1 - L}{L} &=& 0,06 \\[5pt] \dfrac{L_1}{L} - 1 &=& 0,06 \quad&\mid +1 \\[5pt] \dfrac{L_1}{L} &=& 1,06 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}\dfrac{L_1 - L}{L} &=& 0,06 \\[5pt] \dfrac{L_1}{L} - 1 &=& 0,06 \quad&\mid +1 \\[5pt] \dfrac{L_1}{L} &=& 1,06 \end{array}$

Daraus folgt für die neue Induktivität $Formula: L_1\text{:}$ $Formula: L_1\text{:}$

$Formula: \begin{array}[t]{rll}L_1 &=& 1,06 \cdot L \\[5pt] &=& 1,06 \cdot 300 \cdot 10^{-6}\;\mathrm{H} = 318 \cdot 10^{-6}\;\mathrm{H}\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}L_1 &=& 1,06 \cdot L \\[5pt] &=& 1,06 \cdot 300 \cdot 10^{-6}\;\mathrm{H} = 318 \cdot 10^{-6}\;\mathrm{H}\end{array}$

Die Eigenfrequenz eines elektrischen Schwingkreises berechnet sich mit der Thomsonschen Schwingungsgleichung:

$Formula: f = \frac{1}{2 \cdot \pi \cdot \sqrt{L \cdot C}}$ $Formula: f = \frac{1}{2 \cdot \pi \cdot \sqrt{L \cdot C}}$

Daraus folgt für die Eigenfrequenz Formula: f_1 des Schwingkreises, wenn die Induktionsschleife von einem PKW überquert wird:

$Formula: \begin{array}[t]{rll}f_1 &=& \dfrac{1}{2 \cdot \pi \cdot \sqrt{L_1 \cdot C}} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2 \cdot \pi \cdot \sqrt{318 \cdot 10^{-6}\;\mathrm{H} \cdot 55 \cdot 10^{-9}\;\mathrm{F}}} \\[5pt] &\approx& 38056,2\;\mathrm{Hz}\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}f_1 &=& \dfrac{1}{2 \cdot \pi \cdot \sqrt{L_1 \cdot C}} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2 \cdot \pi \cdot \sqrt{318 \cdot 10^{-6}\;\mathrm{H} \cdot 55 \cdot 10^{-9}\;\mathrm{F}}} \\[5pt] &\approx& 38056,2\;\mathrm{Hz}\end{array}$

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