Aufgabe 1 — Fallbewegungen
Der Fallturm in Bremen wurde 1990 fertiggestellt und wird vom Zentrum für angewandte Raumfahrttechnologie und Mikrogravitation der Universität Bremen betrieben. Er ist in Europa einzigartig und ermöglicht erdgebundene Experimente unter kurzzeitiger Schwerelosigkeit.
Der Fallturm hat eine 
hohe, evakuierte Fallröhre, in der eine Fallkapsel aus einer Höhe von 
frei fällt. In der Fallkapsel herrscht während des Falls Schwerelosigkeit. Berechne die Fallzeit der Kapsel und ihre maximale Geschwindigkeit.
Der Abbremsvorgang findet entlang eines Weges von 
in einem Auffangbehälter statt, der mit Schaumstyroporkugeln gefüllt ist.
Berechne die durchschnittliche Bremsbeschleunigung, wenn die maximale Geschwindigkeit mit 
angenommen wird.
Abb. 1: Fallturm in Bremen
Um die Zeitdauer der Schwerelosigkeit zu verlängern, wurde 2004 eine Katapultanlage im Keller des Gebäudes in Betrieb genommen. Damit wird die Kapsel auf eine Anfangsgeschwindigkeit von 
beschleunigt und in den evakuierten Fallturm von unten geschossen. In der Kapsel herrscht dann bis zur Landung wiederum Schwerelosigkeit.
Ermittle die Zeitdauer der Schwerelosigkeit bei Verwendung der Katapultanlage. Zeichne das 
-Diagramm für die Bewegung der Kapsel vom Abschuss bis zum Auftreffen im Auffangbehälter.
Außerhalb des Fallturms greifen an jedem Körper, der zur Erde fällt, zusätzlich Luftwiderstandskräfte an. Dabei nimmt die Luftwiderstandskraft mit zunehmender Geschwindigkeit des Körpers zu.
Ein Körper fällt nahe der Erdoberfläche zu Boden. Diese Bewegung ist ungleichmäßig beschleunigt, bis die Luftwiderstandskraft und seine Gewichtskraft gleich groß sind.
Skizziere die auf den Körper wirkenden Kräfte vor Erreichen der Gleichgewichtssituation.
Zeige, dass die Beschleunigung unter diesen Bedingungen mit der folgenden Gleichung berechnet wird:
Luftwiderstandskraft, 
Gewichtskraft, 
Fallbeschleunigung
Gib die maximale und die minimale Beschleunigung an. Begründe kurz.
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Fallzeit berechnen
![Formula: \begin{array}[t]{rll} s & = & \dfrac{g}{2} t^2 & \quad\scriptsize\mid\;\cdot \dfrac{2}{g} \\[5pt] \dfrac{2s}{g} & = & t^2 & \quad\scriptsize\mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] \sqrt{\dfrac{2s}{g}} & = & t \\[5pt] \sqrt{\dfrac{2\cdot110\;\text{m}}{9,81\;\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}}} & = & t \\[5pt] 4,735\;\mathrm{s} & \approx & t \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/55c3c37c757325585122efa8b8bcac23d2189ac8c46667adc82d2aded43fa0e8_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rll} s & = & \dfrac{g}{2} t^2 & \quad\scriptsize\mid\;\cdot \dfrac{2}{g} \\[5pt] \dfrac{2s}{g} & = & t^2 & \quad\scriptsize\mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] \sqrt{\dfrac{2s}{g}} & = & t \\[5pt] \sqrt{\dfrac{2\cdot110\;\text{m}}{9,81\;\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}}} & = & t \\[5pt] 4,735\;\mathrm{s} & \approx & t \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/55c3c37c757325585122efa8b8bcac23d2189ac8c46667adc82d2aded43fa0e8_dark.svg)
Maximale Geschwindigkeit berechnen
![Formula: \begin{array}[t]{rll} v & = & g \cdot t \\[5pt] & \approx & 9,81\;\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 4,7\;\text{s} \\[5pt] & \approx & 46,5\;\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/19d9090fe29aed24f9f3d911e8919df88b35d8303b9f58cf35c411f0b6437873_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rll} v & = & g \cdot t \\[5pt] & \approx & 9,81\;\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 4,7\;\text{s} \\[5pt] & \approx & 46,5\;\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/19d9090fe29aed24f9f3d911e8919df88b35d8303b9f58cf35c411f0b6437873_dark.svg)
Es gilt 
Am Ende des Abbremsvorgangs gilt 
Damit ergibt sich für 
![Formula: \begin{array}[t]{rll} 0 & = & a\cdot t+v_0 &\quad \scriptsize \mid\; -v_0 \\[5pt] -v_0 & = & a\cdot t &\quad \scriptsize \mid\;:a \\[5pt] -\dfrac{v_0}{a} & = & t \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/f3412c4234fce0be6ca2e8d651d0ea8c4da912f445e9b416e129653cb4448544_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rll} 0 & = & a\cdot t+v_0 &\quad \scriptsize \mid\; -v_0 \\[5pt] -v_0 & = & a\cdot t &\quad \scriptsize \mid\;:a \\[5pt] -\dfrac{v_0}{a} & = & t \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/f3412c4234fce0be6ca2e8d651d0ea8c4da912f445e9b416e129653cb4448544_dark.svg)
Einsetzen in 
liefert für 
![Formula: \begin{array}[t]{rll} s & = & \dfrac{a}{2} t^2+v_0 \cdot t \\[5pt] s & = & \dfrac{a}{2}\cdot\left(-\dfrac{v_0}{a}\right)^2+v_0\cdot\left(-\dfrac{v_0}{a}\right) \\[5pt] s & = & \dfrac{-v_0^2}{2a} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot a \\[5pt] as & = & \dfrac{-v_0^2}{2} &\quad \scriptsize \mid\;:s \\[5pt] a & = & \dfrac{-v_0^2}{2s} \\[5pt] a & = & \dfrac{-\left(46\;\tfrac{\text{m}}{\text{s}}\right)^2}{2\cdot8\;\text{m}} \\[5pt] a & \approx & -132\;\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/cb2913a4074a874b437da30fc9db1efa07b39c01df04055393071cbb76e86306_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rll} s & = & \dfrac{a}{2} t^2+v_0 \cdot t \\[5pt] s & = & \dfrac{a}{2}\cdot\left(-\dfrac{v_0}{a}\right)^2+v_0\cdot\left(-\dfrac{v_0}{a}\right) \\[5pt] s & = & \dfrac{-v_0^2}{2a} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot a \\[5pt] as & = & \dfrac{-v_0^2}{2} &\quad \scriptsize \mid\;:s \\[5pt] a & = & \dfrac{-v_0^2}{2s} \\[5pt] a & = & \dfrac{-\left(46\;\tfrac{\text{m}}{\text{s}}\right)^2}{2\cdot8\;\text{m}} \\[5pt] a & \approx & -132\;\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/cb2913a4074a874b437da30fc9db1efa07b39c01df04055393071cbb76e86306_dark.svg)
Zeitdauer ermitteln
Es handelt sich um einen senkrechten Wurf von unten mit 
Somit ergibt sich:
Diagramm zeichnen
Skizzieren der Kräfte
Gleichung herleiten
![Formula: \begin{array}[t]{rll} \Delta F & = & F_{G} - F_{L} \\[5pt] m \cdot a & = & F_{G} - F_{L} & \quad\scriptsize\mid:m \\[5pt] a & = & \dfrac{F_{G} - F_{L}}{m} \\[5pt] a & = & \dfrac{F_{G} - F_{L}}{\tfrac{F_{G}}{g}} \\[5pt] a & = & \left( 1 - \dfrac{F_{L}}{F_{G}} \right) \cdot g \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/38bf4e0b69d4719fe926bf280b33736112d044fb7485675f7f3e0ce70b6272aa_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rll} \Delta F & = & F_{G} - F_{L} \\[5pt] m \cdot a & = & F_{G} - F_{L} & \quad\scriptsize\mid:m \\[5pt] a & = & \dfrac{F_{G} - F_{L}}{m} \\[5pt] a & = & \dfrac{F_{G} - F_{L}}{\tfrac{F_{G}}{g}} \\[5pt] a & = & \left( 1 - \dfrac{F_{L}}{F_{G}} \right) \cdot g \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/38bf4e0b69d4719fe926bf280b33736112d044fb7485675f7f3e0ce70b6272aa_dark.svg)
Die maximale Beschleunigung wirkt zu Beginn. Da dann 
gilt, folgt 
und mit Hilfe der Gleichung aus Aufgabe 1.2.1 somit 
Die Luftwiderstandskraft nimmt mit zunehmender Geschwindigkeit des fallenden Körpers zu, bis Luftwiderstandskraft und Gewichtskraft vom Betrag her gleich groß sind. Das Minimum der Beschleunigung ergibt sich damit bei 
Mit der Gleichung aus Aufgabe 1.2.1 ergibt sich dann 
