Aufgabe 1 — Energie / Radtour
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Ein Radfahrer (Gesamtmasse Fahrrad und Fahrer Für den Radfahrer soll das Modell Massepunkt gelten. Für die Berechnungen der Aufgaben 1.1 bis 1.3 werden alle Reibungsvorgänge vernachlässigt. |
Abbildung 1: Fahrradcomputer |
Die Bewegung des Radfahrers soll für einen Abschnitt am Salzhaff betrachtet werden.
Er startet zunächst bei einer Höhe von 
über Null mit einer Geschwindigkeit von 
und fährt den Scharberg hinauf. Dieser steigt gleichmäßig an und der höchste Punkt liegt 
über Null. Hier besitzt der Radfahrer noch eine Geschwindigkeit von 
Berechne die Gesamtenergie des Radfahrers beim Start und am höchsten Punkt.
Begründe kurz den Unterschied der Gesamtenergien.
Der Radfahrer benötigt für den in Aufgabe 1.1 betrachteten Anstieg eine Zeit von 
Minuten. Dafür ist eine Energie von 
notwendig.
Bestimme die Leistung des Radfahrers für den Anstieg.
Vom Scharberg lässt sich der Radfahrer bis zu einer Höhe von 
über dem Meeresspiegel rollen.
Bestimme seine Geschwindigkeit am Ende der Strecke.
Berechne den Anteil der Reibungsarbeit bei der Fahrt vom Scharberg, wenn seine theoretische Geschwindigkeit am Ende 
betrug.
Zunächst werden die Geschwindigkeiten in die Einheit 
umgerechnet:
Beim Start in einer Höhe von 
gilt:
![Formula: \begin{array}[t]{rll} E_{\mathrm{kin}}(0) & = & \dfrac{1}{2} \cdot m \cdot v_0^2 \\[5pt] & = & \dfrac{1}{2} \cdot 80\;\mathrm{kg} \cdot \left(6,94\;\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\right)^2 \\[5pt] & \approx & 1\,929\;\mathrm{J} \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/34c0461f9d2c5580312e320d5599d800a3540b82336a948b06c75ed8639ef99e_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rll} E_{\mathrm{kin}}(0) & = & \dfrac{1}{2} \cdot m \cdot v_0^2 \\[5pt] & = & \dfrac{1}{2} \cdot 80\;\mathrm{kg} \cdot \left(6,94\;\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\right)^2 \\[5pt] & \approx & 1\,929\;\mathrm{J} \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/34c0461f9d2c5580312e320d5599d800a3540b82336a948b06c75ed8639ef99e_dark.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rll} E_{\mathrm{pot}}(0) & = & m \cdot g \cdot h_0 \\[5pt] & = & 80\;\mathrm{kg} \cdot 9,81\;\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} \cdot 25\;\mathrm{m} \\[5pt] & = & 19\,620\;\mathrm{J} \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/6ecefe5452b9330b9a5e5102dd0d5993261da99138798d4f0825c7b29cb8f7e8_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rll} E_{\mathrm{pot}}(0) & = & m \cdot g \cdot h_0 \\[5pt] & = & 80\;\mathrm{kg} \cdot 9,81\;\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} \cdot 25\;\mathrm{m} \\[5pt] & = & 19\,620\;\mathrm{J} \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/6ecefe5452b9330b9a5e5102dd0d5993261da99138798d4f0825c7b29cb8f7e8_dark.svg)
Daraus ergibt sich:
Am höchsten Punkt in einer Höhe von 
ergibt sich:
![Formula: \begin{array}[t]{rll} E_{\mathrm{kin}}(h) & = & \dfrac{1}{2} \cdot m \cdot v_1^2 \\[5pt] & = & \dfrac{1}{2} \cdot 80\;\mathrm{kg} \cdot \left(3,33\;\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\right)^2 \\[5pt] & \approx & 444\;\mathrm{J} \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/ff32026b25367f7df33d579d773f3e2e33c0d148b9eceb4602ebc180b54574af_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rll} E_{\mathrm{kin}}(h) & = & \dfrac{1}{2} \cdot m \cdot v_1^2 \\[5pt] & = & \dfrac{1}{2} \cdot 80\;\mathrm{kg} \cdot \left(3,33\;\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\right)^2 \\[5pt] & \approx & 444\;\mathrm{J} \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/ff32026b25367f7df33d579d773f3e2e33c0d148b9eceb4602ebc180b54574af_dark.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rll} E_{\mathrm{pot}}(h) & = & m \cdot g \cdot h_1 \\[5pt] & = & 80\;\mathrm{kg} \cdot 9,81\;\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} \cdot 52\;\mathrm{m} \\[5pt] & \approx & 40\,810\;\mathrm{J} \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/6fe57b22a3b1710c4a2d1464446bb8dbdd16b764255398149eea4ff4b6bfc6e2_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rll} E_{\mathrm{pot}}(h) & = & m \cdot g \cdot h_1 \\[5pt] & = & 80\;\mathrm{kg} \cdot 9,81\;\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} \cdot 52\;\mathrm{m} \\[5pt] & \approx & 40\,810\;\mathrm{J} \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/6fe57b22a3b1710c4a2d1464446bb8dbdd16b764255398149eea4ff4b6bfc6e2_dark.svg)
Daraus folgt:
Damit beträgt der Unterschied der Gesamtenergien:
Während der Auffahrt wird ein Teil der kinetischen Energie des Radfahrers in potentielle Energie umgewandelt. Da die Zunahme der potentiellen Energie größer als die Abnahme der kinetischen Energie ist, muss der Radfahrer zusätzlich Hubarbeit (mechanische Arbeit) verrichten. Diese Arbeit führt zur Zunahme der Gesamtenergie.
Die Zeit von 
entspricht 
Mit der in Aufgabe 1.1 bestimmten Energie folgt für die mittlere Leistung:
Da Reibungsvorgänge vernachlässigt werden, bleibt die mechanische Energie erhalten. Für den höchsten Punkt 1 und den Endpunkt 2 gilt daher:
![Formula: \begin{array}[t]{rll} E_{\mathrm{kin},1} + E_{\mathrm{pot},1} & = & E_{\mathrm{kin},2} + E_{\mathrm{pot},2} \\[5pt] \dfrac{1}{2} \cdot m \cdot v_1^2 + m \cdot g \cdot h_1 & = & \dfrac{1}{2} \cdot m \cdot v_2^2 + m \cdot g \cdot h_2 &\scriptsize\mid\,-m \cdot g \cdot h_2 \\[5pt] \dfrac{1}{2} \cdot m \cdot v_1^2 + m \cdot g \cdot \left(h_1-h_2\right) & = & \dfrac{1}{2} \cdot m \cdot v_2^2 &\scriptsize\mid\,\cdot\dfrac{2}{m} \\[5pt] v_1^2 + 2 \cdot g \cdot \left(h_1-h_2\right) & = & v_2^2 &\scriptsize\mid\,\sqrt{\;} \\[5pt] v_2 & = & \sqrt{v_1^2 + 2 \cdot g \cdot \left(h_1-h_2\right)} \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/08dd72a876f698186ae65de20476abb1d836dc60839b004bab1ff87a3a57c945_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rll} E_{\mathrm{kin},1} + E_{\mathrm{pot},1} & = & E_{\mathrm{kin},2} + E_{\mathrm{pot},2} \\[5pt] \dfrac{1}{2} \cdot m \cdot v_1^2 + m \cdot g \cdot h_1 & = & \dfrac{1}{2} \cdot m \cdot v_2^2 + m \cdot g \cdot h_2 &\scriptsize\mid\,-m \cdot g \cdot h_2 \\[5pt] \dfrac{1}{2} \cdot m \cdot v_1^2 + m \cdot g \cdot \left(h_1-h_2\right) & = & \dfrac{1}{2} \cdot m \cdot v_2^2 &\scriptsize\mid\,\cdot\dfrac{2}{m} \\[5pt] v_1^2 + 2 \cdot g \cdot \left(h_1-h_2\right) & = & v_2^2 &\scriptsize\mid\,\sqrt{\;} \\[5pt] v_2 & = & \sqrt{v_1^2 + 2 \cdot g \cdot \left(h_1-h_2\right)} \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/08dd72a876f698186ae65de20476abb1d836dc60839b004bab1ff87a3a57c945_dark.svg)
Und daraus folgt:
Einsetzen der Werte ergibt:
![Formula: \begin{array}[t]{rll} v_2 & = & \sqrt{\left(3,33\right)^2 + 2 \cdot 9,81 \cdot \left(52-37\right)}\;\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \\[5pt] & \approx & 17,5\;\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \\[5pt] & \approx & 62,9\;\dfrac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/18d70fa10115522c1f83c22ee581ceab75a4b60541bf28d811555722515ca941_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rll} v_2 & = & \sqrt{\left(3,33\right)^2 + 2 \cdot 9,81 \cdot \left(52-37\right)}\;\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \\[5pt] & \approx & 17,5\;\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \\[5pt] & \approx & 62,9\;\dfrac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/18d70fa10115522c1f83c22ee581ceab75a4b60541bf28d811555722515ca941_dark.svg)
Der Fahrradcomputer zeigt eine tatsächliche Maximalgeschwindigkeit von 
an. Die theoretische Maximalgeschwindigkeit ohne Reibung beträgt 
Zunächst werden beide Geschwindigkeiten in die Einheit umgerechnet:
Der Betrag der Reibungsarbeit entspricht der Differenz der kinetischen Energien:
![Formula: \begin{array}[t]{rll} W_{\mathrm{R}} & = & \Delta E_{\mathrm{kin}} \\[5pt] & = & \dfrac{1}{2} \cdot m \cdot \left(v_{\mathrm{theo}}^2-v_{\mathrm{real}}^2\right) \\[5pt] & = & \dfrac{1}{2} \cdot 80\;\mathrm{kg} \cdot \left[\left(17,47\;\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\right)^2-\left(14,03\;\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\right)^2\right] \\[5pt] & \approx & 4\,333,8\;\mathrm{J} \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/8e0d591a78d9db286388be67d7f22f0d0eeacf208adc09b7488b1c1abb1c806e_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rll} W_{\mathrm{R}} & = & \Delta E_{\mathrm{kin}} \\[5pt] & = & \dfrac{1}{2} \cdot m \cdot \left(v_{\mathrm{theo}}^2-v_{\mathrm{real}}^2\right) \\[5pt] & = & \dfrac{1}{2} \cdot 80\;\mathrm{kg} \cdot \left[\left(17,47\;\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\right)^2-\left(14,03\;\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\right)^2\right] \\[5pt] & \approx & 4\,333,8\;\mathrm{J} \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/8e0d591a78d9db286388be67d7f22f0d0eeacf208adc09b7488b1c1abb1c806e_dark.svg)
Damit beträgt die Reibungsarbeit etwa 
