Aufgabe 5 — Trägheitsmoment

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Das Trägheitsmoment eines hantelförmigen Körpers, nachfolgend als Hantel (Abbildung 6) bezeichnet, soll theoretisch und experimentell durch unterschiedliche Verfahren bestimmt werden. Die Hantel besteht aus einem dünnen Aluminiumstab an dem zwei Körper der Masse $Formula: m_1=m_2=1\;\mathrm{kg}$ $Formula: m_1=m_2=1\;\mathrm{kg}$ befestigt sind. Deren Schwerpunkte (Mittelpunkte) sind jeweils $Formula: 10\;\text{cm}$ $Formula: 10\;\text{cm}$ von der Drehachse entfernt.

Schematische Apparatur: horizontale Stange mit zwei Kugelgewichten, drehbare Achse, Seilrolle mit hängender Masse.

Abb. 6. Versuchsaufbau zur Bestimmung des

Trägheitsmoments

5.1

Nenne die Grundannahmen des Modells starrer Körper.

2 BE

5.2

Berechne das theoretische Trägheitsmoment der Hantel, wobei der Aluminiumstab als masselos und die Kugeln als Massepunkte angenommen werden können.

3 BE

5.3

Das Trägheitsmoment der Hantel soll experimentell bestimmt werden. Die Hantel wird dazu in eine Vorrichtung eingebaut, in der sie durch die Gewichtskraft eines Hakenkörpers der Masse $Formula: m=10\;\mathrm{g}$ $Formula: m=10\;\mathrm{g}$ in eine Drehbewegung versetzt wird. Der Durchmesser der Antriebsrolle beträgt $Formula: d=30\;\mathrm{mm}.$ $Formula: d=30\;\mathrm{mm}.$ Für unterschiedliche Wege Formula: h , die der Hakenkörper zurücklegt, wird die dazugehörige Zeit Formula: t ermittelt.

$Formula: \boldsymbol{h}$ $Formula: \boldsymbol{h}$ in $Formula: \text{cm}$ $Formula: \text{cm}$	$Formula: \boldsymbol{t}$ $Formula: \boldsymbol{t}$ in $Formula: \text{s}$ $Formula: \text{s}$

5.3.1

Ermittle die Bahn- und Winkelgeschwindigkeiten der Hantelkugeln aus den angegebenen Daten für jeden angegebenen Zeitpunkt.

6 BE

5.3.2

Formuliere eine Energiebilanz für dieses Experiment und leite die Gleichung für das Trägheitsmoment Formula: J der Hantel her:

$Formula: J=\dfrac{m}{\omega^2} \cdot\left(2 \cdot g \cdot h-v^2\right)$ $Formula: J=\dfrac{m}{\omega^2} \cdot\left(2 \cdot g \cdot h-v^2\right)$

Dabei ist Formula: v die Geschwindigkeit des Hakenkörpers und $Formula: \omega$ $Formula: \omega$ die Winkelgeschwindigkeit der Hantel.

3 BE

5.3.3

Berechne das mittlere Trägheitsmoment der Hantel.

3 BE

5.4

Vergleiche die Ergebnisse aus den Aufgaben 5.2 und 5.3.3.

Begründe die Abweichungen. Gehe dabei auf die vorgenommenen Idealisierungen ein.

3 BE

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5.1

Ein starrer Körper ist ein Modell für einen realen Körper, bei dem der Körper als System von starr miteinander verbundenen Masseelementen betrachtet wird, wodurch Form und Volumen des Körpers unveränderlich sind.

5.2

$Formula: \begin{array}[t]{rll} J & = & m_{\mathrm{Ges}} \cdot r^2 \\[5pt] & = & (1\;\text{kg}+1\;\text{kg})\cdot(0,1\;\text{m})^2 \\[5pt] &= & 0,02\;\text{kg}\cdot\text{m}^2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} J & = & m_{\mathrm{Ges}} \cdot r^2 \\[5pt] & = & (1\;\text{kg}+1\;\text{kg})\cdot(0,1\;\text{m})^2 \\[5pt] &= & 0,02\;\text{kg}\cdot\text{m}^2 \end{array}$

5.3

5.3.1

Es gilt $Formula: h=\tfrac{a}{2} t^2$ $Formula: h=\tfrac{a}{2} t^2$ und somit $Formula: a=\tfrac{2h}{t^2}.$ $Formula: a=\tfrac{2h}{t^2}.$ Einsetzen in $Formula: v_{HK}=a \cdot t$ $Formula: v_{HK}=a \cdot t$ liefert somit für den Hakenkörper:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} v_{HK} & = & a \cdot t \\[5pt] & = & \dfrac{2h}{t^2} \cdot t \\[5pt] &= & \dfrac{2h}{t} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} v_{HK} & = & a \cdot t \\[5pt] & = & \dfrac{2h}{t^2} \cdot t \\[5pt] &= & \dfrac{2h}{t} \end{array}$

Für die Antriebsrolle gilt $Formula: v_{AR}=v_{HK}$ $Formula: v_{AR}=v_{HK}$ und somit ergibt sich:

$Formula: \begin{array}[t]{rll}\omega & = & \dfrac{v_{AR}}{\tfrac{d_{AR}}{2}} \\[5pt] & = & \dfrac{2 \cdot v_{HK}}{d_{AR}} \\[5pt] & = & \dfrac{4 \cdot h}{d_{AR} \cdot t}\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}\omega & = & \dfrac{v_{AR}}{\tfrac{d_{AR}}{2}} \\[5pt] & = & \dfrac{2 \cdot v_{HK}}{d_{AR}} \\[5pt] & = & \dfrac{4 \cdot h}{d_{AR} \cdot t}\end{array}$

Für die Hantel folgt damit:

$Formula: \begin{array}[t]{rll}v_{H} & = & \omega \cdot r_{H} \\[5pt] & = & \dfrac{4 \cdot h \cdot r_{H}}{d_{AR} \cdot t}\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}v_{H} & = & \omega \cdot r_{H} \\[5pt] & = & \dfrac{4 \cdot h \cdot r_{H}}{d_{AR} \cdot t}\end{array}$

Insgesamt ergibt sich:

$Formula: \boldsymbol{h}$ $Formula: \boldsymbol{h}$ in $Formula: \text{cm}$ $Formula: \text{cm}$	$Formula: \boldsymbol{t}$ $Formula: \boldsymbol{t}$ in $Formula: \text{s}$ $Formula: \text{s}$	$Formula: \boldsymbol{\omega}$ $Formula: \boldsymbol{\omega}$ in $Formula: \dfrac{\boldsymbol{1}}{\text{s}}$ $Formula: \dfrac{\boldsymbol{1}}{\text{s}}$	$Formula: \boldsymbol{v_H}$ $Formula: \boldsymbol{v_H}$ in $Formula: \dfrac{\text{cm}}{\text{s}}$ $Formula: \dfrac{\text{cm}}{\text{s}}$

5.3.2

Energiebilanz formulieren

Energiebilanz	$Formula: E_\text{pot}$ $Formula: E_\text{pot}$	$Formula: E_\text{kin}$ $Formula: E_\text{kin}$	$Formula: E_\text{rot}$ $Formula: E_\text{rot}$
Zu Beginn	$Formula: m\cdot g\cdot h$ $Formula: m\cdot g\cdot h$
Nach Ablassen		$Formula: \dfrac{m}{2}\cdot v^2$ $Formula: \dfrac{m}{2}\cdot v^2$	$Formula: \dfrac{J}{2}\cdot \omega^2$ $Formula: \dfrac{J}{2}\cdot \omega^2$

Gleichung herleiten

$Formula: \begin{array}[t]{rll} m \cdot g \cdot h & = & \dfrac{m}{2} \cdot v^2 + \dfrac{J}{2} \cdot \omega^2 &\quad\scriptsize\mid\, - \dfrac{m}{2} \cdot v^2 \\[5pt] m \cdot g \cdot h - \dfrac{m}{2} \cdot v^2 & = & \dfrac{J}{2} \cdot \omega^2 &\quad\scriptsize\mid\, \cdot \dfrac{2}{\omega^2} \\[5pt] J & = & \dfrac{m}{\omega^2} \cdot (2 \cdot g \cdot h - v^2)\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} m \cdot g \cdot h & = & \dfrac{m}{2} \cdot v^2 + \dfrac{J}{2} \cdot \omega^2 &\quad\scriptsize\mid\, - \dfrac{m}{2} \cdot v^2 \\[5pt] m \cdot g \cdot h - \dfrac{m}{2} \cdot v^2 & = & \dfrac{J}{2} \cdot \omega^2 &\quad\scriptsize\mid\, \cdot \dfrac{2}{\omega^2} \\[5pt] J & = & \dfrac{m}{\omega^2} \cdot (2 \cdot g \cdot h - v^2)\end{array}$

5.3.3

Für den Mittelwert der Trägheitsmomente folgt somit:

$Formula: \begin{array}[t]{rll}\overline{J} & = & \dfrac{0,0227+0,0232+0,0230+0,0234+0,0230}{5} \\[5pt] & \approx & 0,0231\;\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}\overline{J} & = & \dfrac{0,0227+0,0232+0,0230+0,0234+0,0230}{5} \\[5pt] & \approx & 0,0231\;\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^2 \end{array}$

5.4

Die Abweichung beträgt ca. $Formula: 0,0031\;\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^2.$ $Formula: 0,0031\;\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^2.$

Einerseits wurde der Beitrag von Gestänge und Antriebs- sowie Umlenkrolle zum Trägheitsmoment vernachlässigt, andererseits der Energieverlust durch Reibung. Beides trägt dazu bei, in 5.3 systematisch höhere Werte zu messen als in 5.2 berechnet wurden.

$Formula: \boldsymbol{h}$ $Formula: \boldsymbol{h}$ in $Formula: \text{cm}$ $Formula: \text{cm}$

$Formula: \boldsymbol{t}$ $Formula: \boldsymbol{t}$ in $Formula: \text{s}$ $Formula: \text{s}$

$Formula: \boldsymbol{\omega}$ $Formula: \boldsymbol{\omega}$ in $Formula: \dfrac{\boldsymbol{1}}{\text{s}}$ $Formula: \dfrac{\boldsymbol{1}}{\text{s}}$

$Formula: \boldsymbol{v_H}$ $Formula: \boldsymbol{v_H}$ in $Formula: \dfrac{\text{cm}}{\text{s}}$ $Formula: \dfrac{\text{cm}}{\text{s}}$

in $Formula: \text{kg}\cdot\text{m}^2$ $Formula: \text{kg}\cdot\text{m}^2$

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