Pflichtbereich

In den Teilaufgaben 1.1 bis 1.5 ist von den jeweils fünf Auswahlmöglichkeiten genau eine Antwort richtig. Kreuze das jeweilige Feld an.

1.1

Gegeben ist das Parallelogramm Formula: ABCD mit $Formula: A(0\mid0\mid0),$ $Formula: A(0\mid0\mid0),$ $Formula: B(-2\mid-7\mid2)$ $Formula: B(-2\mid-7\mid2)$ und $Formula: C(2\mid-3\mid0).$ $Formula: C(2\mid-3\mid0).$

Der Punkt Formula: D besitzt die Koordinaten:

	$Formula: D(4\mid4\mid-2)$ $Formula: D(4\mid4\mid-2)$
	$Formula: D(1\mid-1,5\mid0)$ $Formula: D(1\mid-1,5\mid0)$
	$Formula: D(0\mid-10\mid2)$ $Formula: D(0\mid-10\mid2)$
	$Formula: D(-1\mid-3,5\mid1)$ $Formula: D(-1\mid-3,5\mid1)$
	$Formula: D(-4\mid-4\mid2)$ $Formula: D(-4\mid-4\mid2)$

1.2

Bei Spiegelung des Punkts $Formula: (1\mid2\mid3)$ $Formula: (1\mid2\mid3)$ an der Formula: y - Formula: z -Ebene entsteht der Bildpunkt mit den Koordinaten:

	$Formula: (1\mid0\mid0)$ $Formula: (1\mid0\mid0)$
	$Formula: (1\mid-2\mid-3)$ $Formula: (1\mid-2\mid-3)$
	$Formula: (0\mid-2\mid-3)$ $Formula: (0\mid-2\mid-3)$
	$Formula: (-1\mid2\mid3)$ $Formula: (-1\mid2\mid3)$
	$Formula: (-1\mid0\mid0)$ $Formula: (-1\mid0\mid0)$

1.3

Die Gerade $Formula: g:\overrightarrow{x}=\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}$ $Formula: g:\overrightarrow{x}=\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}$ $Formula: (t\in\mathbb{R})$ $Formula: (t\in\mathbb{R})$ verläuft:

	parallel zur -Achse
	parallel zur --Ebene
	senkrecht zur -Achse
	senkrecht zur --Ebene
	durch den Koordinatenursprung

1.4

Welche der folgenden Ebenen besitzt mit der Formula: z -Achse genau einen gemeinsamen Punkt?







1.5

Das Volumen eines Kreiskegels mit dem Grundkreisradius von Formula: 2 und der Höhe von Formula: 6 berechnet sich mit:

	$Formula: 8\cdot\pi^2$ $Formula: 8\cdot\pi^2$
	$Formula: 12\cdot\pi^2$ $Formula: 12\cdot\pi^2$
	$Formula: 8\cdot\pi$ $Formula: 8\cdot\pi$
	$Formula: 12\cdot\pi$ $Formula: 12\cdot\pi$
	$Formula: 24\cdot\pi$ $Formula: 24\cdot\pi$

5 BE

Betrachtet wird die in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierte Funktion Formula: f mit Formula: f(x)=x^3+x^2-2x.

Die Nullstellen von Formula: f sind Formula: -2, Formula: 0 und Formula: 1.

Die Abbildung zeigt den Graphen von Formula: f.

2.1

Berechne den Wert des Integrals $Formula: \displaystyle\int_{-1}^0 f(x)\;\mathrm d x.$ $Formula: \displaystyle\int_{-1}^0 f(x)\;\mathrm d x.$

3 BE

2.2

Der Graph von Formula: f und die Formula: x -Achse schließen eine Fläche ein, die aus zwei Flächenstücken besteht.

Beurteile, ob der Wert des Terms $Formula: \displaystyle\int_{-2}^0 f(x)\;\mathrm d x+\displaystyle\int_0^1 f(x)\;\mathrm d x$ $Formula: \displaystyle\int_{-2}^0 f(x)\;\mathrm d x+\displaystyle\int_0^1 f(x)\;\mathrm d x$ dem Inhalt dieser Fläche entspricht.

2 BE

Gitter-Koordinatensystem mit x- und y-Achse und einer glatten, kubischen Kurve mit Hoch- und Tiefpunkt

Die Abbildung zeigt Werte der Wahrscheinlichkeitsverteilung einer binomialverteilten Zufallsgröße Formula: X mit den Parametern Formula: n=20 und Formula: p . Der Erwartungswert von ist ganzzahlig.

Graues Balkendiagramm: diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung für k=0–12, höchste Balken bei k=3–5, Achsenbeschriftung P(X=k) und k.

3.1

Ermittle den Wert von Formula: p.

2 BE

3.2

Gib die natürlichen Zahlen Formula: v und Formula: w an, für die gilt:

$Formula: P(X=v)\approx0,175$ $Formula: P(X=v)\approx0,175$
$Formula: 0,15\lt P(X \leq w)\lt0,25$ $Formula: 0,15\lt P(X \leq w)\lt0,25$

3 BE

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1.1

	$Formula: D(4\mid4\mid-2)$ $Formula: D(4\mid4\mid-2)$
	$Formula: D(1\mid-1,5\mid0)$ $Formula: D(1\mid-1,5\mid0)$
	$Formula: D(0\mid-10\mid2)$ $Formula: D(0\mid-10\mid2)$
	$Formula: D(-1\mid-3,5\mid1)$ $Formula: D(-1\mid-3,5\mid1)$
	$Formula: D(-4\mid-4\mid2)$ $Formula: D(-4\mid-4\mid2)$

1.2

	$Formula: (1\mid0\mid0)$ $Formula: (1\mid0\mid0)$
	$Formula: (1\mid-2\mid-3)$ $Formula: (1\mid-2\mid-3)$
	$Formula: (0\mid-2\mid-3)$ $Formula: (0\mid-2\mid-3)$
	$Formula: (-1\mid2\mid3)$ $Formula: (-1\mid2\mid3)$
	$Formula: (-1\mid0\mid0)$ $Formula: (-1\mid0\mid0)$

1.3

	parallel zur -Achse
	parallel zur --Ebene
	senkrecht zur -Achse
	senkrecht zur --Ebene
	durch den Koordinatenursprung

1.4







1.5

	$Formula: 8\cdot\pi^2$ $Formula: 8\cdot\pi^2$
	$Formula: 12\cdot\pi^2$ $Formula: 12\cdot\pi^2$
	$Formula: 8\cdot\pi$ $Formula: 8\cdot\pi$
	$Formula: 12\cdot\pi$ $Formula: 12\cdot\pi$
	$Formula: 24\cdot\pi$ $Formula: 24\cdot\pi$

2.1

$Formula: \begin{array}{rcll} \displaystyle \int_{-1}^{0} f(x)\;\mathrm dx &=& \left[\dfrac{1}{4}x^4+\dfrac{1}{3}x^3-x^2\right]_{-1}^{0} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{4} \cdot 0^4+\dfrac{1}{3} \cdot 0^3- 0^2 - \left( \dfrac{1}{4} \cdot \left(-1\right)^4+\dfrac{1}{3} \cdot \left( -1 \right)^3- \left( -1 \right)^2\right) \\[5pt] &=& 0-\left(\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{3}-1\right) \\[5pt] &=& \dfrac{13}{12} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} \displaystyle \int_{-1}^{0} f(x)\;\mathrm dx &=& \left[\dfrac{1}{4}x^4+\dfrac{1}{3}x^3-x^2\right]_{-1}^{0} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{4} \cdot 0^4+\dfrac{1}{3} \cdot 0^3- 0^2 - \left( \dfrac{1}{4} \cdot \left(-1\right)^4+\dfrac{1}{3} \cdot \left( -1 \right)^3- \left( -1 \right)^2\right) \\[5pt] &=& 0-\left(\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{3}-1\right) \\[5pt] &=& \dfrac{13}{12} \end{array}$

2.2

Der angegebene Term entspricht nicht dem Inhalt der eingeschlossenen Fläche.

Im Intervall Formula: [0;2] liegt der Graph von Formula: f oberhalb der $Formula: x\text{-}$ $Formula: x\text{-}$ Achse. Daher beschreibt $Formula: \textstyle \int_{-2}^{0} f(x)\;\mathrm dx$ $Formula: \textstyle \int_{-2}^{0} f(x)\;\mathrm dx$ den Inhalt des linken Flächenstücks.

Im Intervall Formula: [0;1] liegt der Graph von Formula: f jedoch unterhalb der $Formula: x\text{-}$ $Formula: x\text{-}$ Achse. Deshalb ist $Formula: \textstyle \int_{0}^1 f(x)\;\mathrm dx$ $Formula: \textstyle \int_{0}^1 f(x)\;\mathrm dx$ negativ und entspricht nicht dem Flächeninhalt des rechten Flächenstücks, sondern dem negativen Wert davon.

Damit gibt die Summe der beiden Integrale nicht den Flächeninhalt an.

3.1

Für den Erwartungswert $Formula: \mu$ $Formula: \mu$ einer binomialverteilten Zufallsgröße gilt $Formula: \mu = n \cdot p.$ $Formula: \mu = n \cdot p.$

Hier ist Formula: n = 20. Aus der Abbildung lässt sich entnehmen, dass der Erwartungswert ganzzahlig ist und bei $Formula: \mu = 4$ $Formula: \mu = 4$ liegt. Damit gilt:

$Formula: \begin{array}{rcll} 20 \cdot p &=& 4 &\quad \mid : 20 \\[5pt] p &=& 0{,}2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} 20 \cdot p &=& 4 &\quad \mid : 20 \\[5pt] p &=& 0{,}2 \end{array}$

Somit beträgt die Trefferwahrscheinlichkeit $Formula: 20 \, \%.$ $Formula: 20 \, \%.$

3.2

Der Abbildung lässt sich entnehmen, dass der Balken zu Formula: x = 5 ungefähr die Höhe Formula: 0{,}175 besitzt. Daher gilt $Formula: P(X = 5) \approx 0{,}175$ $Formula: P(X = 5) \approx 0{,}175$ , also ist Formula: v = 5.

Zur Bestimmung von Formula: w werden die Wahrscheinlichkeiten bis zu einem geeigneten Wert aufsummiert. Aus der Abbildung ergibt sich näherungsweise:

$Formula: \begin{array}{rcll} P (X \leq 2) &=& P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) \\[5pt] &\approx& 0{,}01 + 0{,}06 + 0{,}14 \\[5pt] &=& 0{,}21 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} P (X \leq 2) &=& P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) \\[5pt] &\approx& 0{,}01 + 0{,}06 + 0{,}14 \\[5pt] &=& 0{,}21 \end{array}$

Damit gilt $Formula: 0{,}15 < P(X \leq 2) < 0{,}25,$ $Formula: 0{,}15 < P(X \leq 2) < 0{,}25,$ also ist Formula: w=2.

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