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Analysis Aufgabe 1

Aufgaben
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In einem Park überspannt eine Steinbrücke einen Kanal. Die folgende Abbildung zeigt die achsensymmetrische Seitenansicht, also den Längsschnitt der Brücke.
Die Bodenlinie $AB$ liegt $2,5\,\text{m}$ unter dem höchsten Punkt $E$ der Brücke und $3,5\,\text{m}$ über dem Wasserspiegel $\overline{CD}$. Die Länge der Strecke $\overline{AB}$ beträgt $30\,\text{m}$. Die horizontalen Zufahrtswege schließen in den Punkten $A$ und $B$ knickfrei an den Brückenbogen an.

Das zur Beschreibung verwendete Koordinatensystem hat seinen Ursprung im Mittelpunkt der Strecke $\overline{AB}$. Eine Längeneinheit entspricht einem Meter in der Wirklichkeit.
a)
Der obere Rand des Brückenbogens verläuft von $A$ über $E$ nach $B$. Er kann zwischen $A$ und $B$ durch eine ganzrationale Funktion $f$ vierten Grades beschrieben werden.
  • Bestimme einen Funktionsterm von $f$.
  • [Kontrolle: $f(x)=\dfrac{1}{20.250}\cdot\;x^4-\dfrac{1}{45}\cdot\;x^2+\dfrac{5}{2}$]
  • Berechne die Steigung des Graphen $f$ an der Stelle $-3,5$.
  • Berechne die größte Steigung des Graphen von $f$ im Intervall [-15;15].
(10P)
#steigung#ganzrationalefunktion
b)
In der Seitenansicht der Brücke verläuft die Böschung des Kanals geradlinig von $A$ nach $C$ sowie von $D$ nach $B$. Die Öffnung der Brücke ist ein Halbkreis mit dem Durchmesser $\overline{CD}$ und wird durch den Graphen der Funktion $k$ mit

$k(x)=\sqrt{5,5^2-x^2}-3,5$

beschrieben.

Die Bodenlinie teilt die oben abgebildeten Seitenfläche der Brücke in zwei Teilflächen.
Berechne die Inhalte dieser Teilflächen.
(10P)
#graph
c)
Für Besichtigungstouren stehen den Besuchern Elektrofahrzeuge zur Verfügung. Diese Fahrzeuge können eine maximale Steigung von $20\,\%$ überwinden.

Die vorgegebene Route überquert die Brücke von $A$ nach $B$. Um eine Überfahrt zu ermöglichen, soll auf der linken Brückenseite eine geradlinige Rampe verlegt werden, die auf Höhe der Bodenlinie im Punkt $L$ genau $18\,\text{m}$ vor der Mitte der Brücke beginnt und in einem Punkt $T$ tangential an den Brückenbogen anschließt.
  • Zeichne den Verlauf der Rampe in die folgende maßstabsgetreue Abbildung ein und ermittle mit Hilfe dieser Zeichnung die ungefähre Steigung der Rampe.
  • Berechne die Koordinaten des Punktes $T$, ohne die zeichnerisch ermittelten Werte zu verwenden.
  • Eine ältere Planung sah eine steilere Rampe vor, die im Punkt $S(-5\;|\;f(-5))$ an den Brückenbogen tangential anschließen sollte.
    Zeige, dass diese Rampe zum Punkt $A$ geführt hätte und dass die Forderung nach einer maximalen Steigung von weniger als $20\,\%$ auf dem gesamten Weg von $A$ nach $E$ erfüllt worden wäre.
(12P)
#tangente#steigung#koordinaten
d)
Ein Kabel soll vom Punkt $P\left(\sqrt{10}\;|\;k\left(\sqrt{10}\right)\right)$ am unteren Rand der Brücke zu einem Punkt $Q$ am oberen Rand der Brücke verlegt werden (siehe Abbildung 1).
  • Berechne die Länge der Strecke $\overline{PQ}$ bei vertikalem Verlauf des Borlochs.
  • Bestimme bei unveränderter Lage des Punktes $P$ die Stelle im Intervall $[3;4]$, an der der Punkt $Q$ liegen muss, damit das Bohrloch möglichst kurz wird. Gib dessen Länge an.
(8P)
#koordinaten
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Tipps
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a)
$\blacktriangleright$  Funktionsterm von $\boldsymbol{f}$ bestimmen
Du solltst den Funktionsterm von $f$ bestimmen, der den oberen Rand des Brückenbogens beschreibt. Anstatt alle gegebenen Informationen direkt in den Taschenrechner einzugeben, kannst du dir etwas Tipparbeit sparen, indem du dir über die Funktion $f$ kurz Gedanken machst.
Ganzrationale Funktionen vierten Grades haben die Form
$f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e.$
$f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e.$
Die Variablen stehen dabei für ganzrationale Zahlen.
Das Koordinatensystem soll seinen Ursprung in der Mitte der Strecke $\overline{AB}$ haben, d.h. $2,5$ Einheiten unter dem Punkt $E$, der auf der Funktion $f$ liegt. Somit ist
$f(0) = e = 2,5.$
Weiterhin ist die Funktion nach Voraussetzung symmetrisch zur $y$-Achse, d.h. es handelt sich um eine gerade Funktion. Folglich sind die ungeradzahligen Koeffizienten gleich null, d.h. in diesem Fall $b=d=0.$
Somit hat die gesuchte Funktion $f$ die Form $f(x) = ax^4 + bx^2 + 2,5.$
Definiere dir diese Funktion und deren Ableitung.
Jetzt überlegst du dir welche Informationen du noch nicht verwendet hast, um den Funktionsterm zu bestimmen. Zum einen geht die Funktion durch den Punkt $B$, d.h. es gilt $f(15) = 0$. Zum anderen, ist die Ableitung bei $B$ gleich null, da der Graph knickfrei in die Horizontale übergeht, d.h. $f'(15)=0.$
$\blacktriangleright$  Steigung an der Stelle $\boldsymbol{x = -3,5}$ berechnen
Definiere dir die errechnete Funktion $f$ und setze $-3,5$ in die Ableitung dieser Funktion ein.
$\blacktriangleright$  Größte Steigung von $\boldsymbol{f}$ berechnen
Im Invervall $[-15; 15]$ musst du die größte Steigung berechnen. Bestimme also mit dem fMax()-Befehl das Maximum der Ableitung von $f$. Gebe dabei als untere $-15$ und obere Intervallgrenze $15$ ein.
b)
$\blacktriangleright$  Berechne den Flächeninhalt der Teilflächen $\boldsymbol{A_1}$ und $\boldsymbol{A_2}$
Abb. 1: Teilflächen $A_1$ und $A_2$
Abb. 1: Teilflächen $A_1$ und $A_2$
$\blacktriangleright$ Berechne den Flächeninhalt der Teilfläche $\boldsymbol{A_1}$
Der Flächeninhalt der Fläche $A_1$ ist gerade das Integral von $f$ mit der unteren Grenze $-15$ und der oberen Grenze $15$ minus der Flächeninhalt von $B_1.$
1.Schritt: Berechne den Flächeninhalt $\boldsymbol{B_1}$
$B_1$ ist das Integral von $k(x)$ mit den Nullstellen der Funktion $k(x)$ als Integralgrenzen. Bestimme also zuerst die Nullstellen der Funktion, um sie anschließend als untere und obere Grenzen einzugeben.
2.Schritt: Integral der Funktion $\boldsymbol{f}$ berechnen
Du musst das Integral der Funktion $f$ im Intervall $[15; -15]$ bestimmen.
3.Schritt: Differenz bilden
$\blacktriangleright$ Flächeninhalt der Teilfläche $\boldsymbol{A_2}$ berechnen
Du musst den Flächeninhalt der Teilfläche $A_2$ bestimmen.
Dabei bestimmst du den Flächeninhalt des Trapezes $ACDB$ und ziehst davon die Fläche $B_2$ ab.
1.Schritt: Berechne den Flächeninhalt des Trapezes $\boldsymbol{ACDB}$
Der Flächinhalt $A$ eines Trapezes ist durch folgende Formel gegeben
$A=\dfrac{a+c}{2} \cdot h.$
$A=\dfrac{a+c}{2} \cdot h.$
Dabei sind $a$ und $c$ die Längen der beiden parallelen Seiten und $h$ die Höhe des Trapezes.
2.Schritt: Berechne den Flächeninhalt $\boldsymbol{B_2}$
Im ersten Schritt dieser Teilaufgabe hast du den Flächeninhalt $B_1$ berechnet. Um nun den Flächeninhalt $B_2$ zu bestimmen, berechnest du den Flächeninhalt des Halbkreises mit dem Durchmesser $\overline{CD}$ und ziehst davon $B_1$ ab.
Für den Flächeninhalt $A_{\text{Kreis}}$ eines Kreises mit Radius $r$ gilt
$A_{\text{Kreis}} = \pi \cdot r^2.$
$A_{\text{Kreis}} = \pi \cdot r^2.$
3.Schritt: Bilde die Differenz zwischen $\boldsymbol{A_{\text{ACDB}}}$ und $\boldsymbol{B_2}$
Der gesuchte Flächeninhalt von $A_2$ ist die Differenz zwischen dem errechneten Flächeninhalt des Trapezes $ACDB$ und der Fläche $B_2.$
c)
$\blacktriangleright$  Verlauf der Rampe zeichnen und Steigung bestimmen
Beachte beim Zeichnen der Rampe, dass die Rampe die Funktion im Tangentialpunkt $T$ nicht schneidet, sondern berührt.
Wenn du die Steigung einer Geraden anhand einer Zeichnung bestimmen musst, wählst du dir zwei Punkte und zählst um wie viele Kästchen sich die Punkte in der $x$- und $y$-Koordinate unterscheiden. In diesem Fall wählst du als ersten Punkt $L$ und als zweiten $T$.
$\blacktriangleright$  Koordinaten von $\boldsymbol{T}$ berechnen
Nun musst die Koordinaten des Tangentialpunktes $T$ bestimmen.
Du weißt, dass die Steigung $m$ einer Geraden definiert ist als
$m = \dfrac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1},$
$m = \dfrac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1},$
wobei die Punkte $(x_1 \mid f(x_1))$ und $(x_2 \mid f(x_2))$ auf der Geraden liegen.
Schreibe die Steigung $m$ also in dieser Form auf wobei du dafür die beiden Punkt $L(-18 \mid 0)$ und $T(x \mid f(x))$ wählst.
$\begin{array}[t]{rll} m &=& \dfrac{0 - f(x)}{-18 - x} \\[5pt] &=& \dfrac{f(x)}{18 + x}. \end{array}$
Löse als nächstes die Gleichung $m = f'(x)$.
$\blacktriangleright$  Maximale Steigung berechnen
Bestimme die Gleichung der Tangenten und setze die Koordinaten von $A$ in die Gleichung ein, um nachzuweisen, dass $A$ auf der Tangente liegt.
Um die maximale Steigung zu berechnen, kannst du ausnutzen, dass die Tangente eine positive Steigung hat und an einem Wendepunkt anschließt.
d)
$\blacktriangleright$  Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{PQ}}$ berechnen
Du musst die Länge der Strecke $\overline{PQ}$ berechnen. Da die Strecke vertikal verläuft, ist die Länge dieser Strecke gerade die Differenz von $f(\sqrt{10})$ und $k(\sqrt{10}).$
Die Länge der Strecke $\overline{PQ}$ beträgt also ca. $1,28$ m.
$\blacktriangleright$  Länge der modifizierten Strecke $\boldsymbol{\overline{PQ}}$ berechnen
Der Punkt $Q$ liegt immer noch auf dem Graphen der Funktion $f$, hat aber jetzt den kleinstmöglichen Abstand zu $P.$ Der Abstand $d$ zweier Punkte $P_1(x_1 \mid y_1)$ und $P_2(x_2 \mid y_2)$ ist definiert als
$d = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}.$
$d = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}.$
Bezeichne die Koordinaten von $Q$ mit $(x_0 \mid f(x_0)).$ So ist der Abstand $d$ von $Q$ zu $P$ gleich
$\begin{array}[t]{rll} d(x_0) &=& \sqrt{(x_0 - \sqrt{10})^2 + (f(x_0) - k(\sqrt{10}))^2}. \\[5pt] \end{array}$
Berechne also das Minimum der Funktion $d(x_0)$ im Intervall $[3, 4].$
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a)
$\blacktriangleright$  Funktionsterm von $\boldsymbol{f}$ bestimmen
Du solltst den Funktionsterm von $f$ bestimmen, der den oberen Rand des Brückenbogens beschreibt. Anstatt alle gegebenen Informationen direkt in den Taschenrechner einzugeben, kannst du dir etwas Tipparbeit sparen, indem du dir über die Funktion $f$ kurz Gedanken machst.
Ganzrationale Funktionen vierten Grades haben die Form
$f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e.$
$f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e.$
Die Variablen stehen dabei für ganzrationale Zahlen.
Das Koordinatensystem soll seinen Ursprung in der Mitte der Strecke $\overline{AB}$ haben, d.h. $2,5$ Einheiten unter dem Punkt $E$, der auf der Funktion $f$ liegt. Somit ist
$f(0) = e = 2,5.$
Weiterhin ist die Funktion nach Voraussetzung symmetrisch zur $y$-Achse, d.h. es handelt sich um eine gerade Funktion. Folglich sind die ungeradzahligen Koeffizienten gleich null, d.h. in diesem Fall $b=d=0.$
Somit hat die gesuchte Funktion $f$ die Form $f(x) = ax^4 + bx^2 + 2,5.$
Definiere dir diese Funktion und deren Ableitung mithilfe der Befehlsfolge
menu $\to$ 4: Analysis $\to$ 1: Ableitung.
menu $\to$ 4: Analysis $\to$ 1: Ableitung.
Jetzt überlegst du dir welche Informationen du noch nicht verwendet hast, um den Funktionsterm zu bestimmen. Zum einen geht die Funktion durch den Punkt $B$, d.h. es gilt $f(15) = 0$. Zum anderen, ist die Ableitung bei $B$ gleich null, da der Graph knickfrei in die Horizontale übergeht, d.h. $f'(15)=0.$ Somit kannst du die gesuchten Variablen $a$ und $c$ mithilfe der Befehlsfolge
menu $\to$ 3: Alegbra $\to$ 7: Gleichungssystem lösen
menu $\to$ 4: Analysis $\to$ 1: Ableitung.
bestimmen.
Somit lautet der gesuchte Funktionsterm $f(x) = 0,000049 x^4 - 0,02222 x^2 + 2,5.$
$\blacktriangleright$  Steigung an der Stelle $\boldsymbol{x = -3,5}$ berechnen
Rechne mit der Kontrollfunktion weiter, um einen exakten Wert für die Ableitung an der Stelle $-3,5$ zu erhalten. Definiere dir die Funktion $f$ und setze $-3,5$ in die Ableitung dieser Funktion ein.
Die Steigung an der Stelle $-3,5$ ist ungefähr $0,147.$
$\blacktriangleright$  Größte Steigung von $\boldsymbol{f}$ berechnen
Im Invervall $[-15; 15]$ musst du die größte Steigung berechnen. Definiere dir die Ableitung als Funktion und berechne das Maximum mit Hilfe folgender Befehlsfolge
menu $\to$ 4: Analysis $\to$ 8: Funktionsmaximum.
menu $\to$ 4: Analysis $\to$ 8: Funktionsmaximum.
Gebe dabei als untere $-15$ und obere Intervallgrenze $15$ ein.
Demnach ist die größte Steigung im Intervall $[-15; 15]$ bei $x=-5 \sqrt{3}.$ Setze diese Stelle in die Ableitung der Funktion $f$ ein, um die Steigung an dieser Stelle zu erhalten.
$f'(-5 \sqrt{3}) \approx 0,257$.
Somit ist $0,257$ die größte Steigung von $f$ im Intervall $[-15, 15].$
#steigung#symmetrie#gleichungssystem#ganzrationalefunktion
b)
$\blacktriangleright$  Berechne den Flächeninhalt der Teilflächen $\boldsymbol{A_1}$ und $\boldsymbol{A_2}$
Abb. 4: Teilflächen $A_1$ und $A_2$
Abb. 4: Teilflächen $A_1$ und $A_2$
$\blacktriangleright$ Berechne den Flächeninhalt der Teilfläche $\boldsymbol{A_1}$
Der Flächeninhalt der Fläche $A_1$ ist gerade das Integral von $f$ mit der unteren Grenze $-15$ und der oberen Grenze $15$ minus der Flächeninhalt von $B_1.$
1.Schritt: Berechne den Flächeninhalt $\boldsymbol{B_1}$
$B_1$ ist das Integral von $k(x)$ mit den Nullstellen der Funktion $k(x)$ als Integralgrenzen. Bestimme also zuerst die Nullstellen der Funktion, um sie anschließend als untere und obere Grenzen einzugeben. Die Befehlsfolge für das Berechnen des Integrals ist dabei
menu $\to$ 4: Analysis $\to$ 3: Integral.
menu $\to$ 4: Analysis $\to$ 3: Integral.
Somit beträgt der Flächeninhalt von $B_1$ ca. $11,80$ m$^2$.
2.Schritt: Integral der Funktion $\boldsymbol{f}$ berechnen
Du musst das Integral der Funktion $f$ im Intervall $[15; -15]$ bestimmen.
Das Integral von $f$ im Intervall $[-15; 15]$ beträgt $40$ m$^2.$
3.Schritt: Differenz bilden
Folglich gilt für die gesuchte Fläche
$\begin{array}[t]{rll} A_1&=& \int_{-15}^{15} f(x) \text{ dx} - B_1 \\[5pt] &=& 40 - 11,8 \\[5pt] &=& 28,2. \end{array}$
Die Fläche $A_1$ beträgt demnach $28,2 \text{ m}^2.$
$\blacktriangleright$ Flächeninhalt der Teilfläche $\boldsymbol{A_2}$ berechnen
Du musst den Flächeninhalt der Teilfläche $A_2$ bestimmen.
Dabei bestimmst du den Flächeninhalt des Trapezes $ACDB$ und ziehst davon die Fläche $B_2$ ab.
1.Schritt: Berechne den Flächeninhalt des Trapezes $\boldsymbol{ACDB}$
Der Flächinhalt $A$ eines Trapezes ist durch folgende Formel gegeben
$A=\dfrac{a+c}{2} \cdot h.$
$A=\dfrac{a+c}{2} \cdot h.$
Dabei sind $a$ und $c$ die Längen der beiden parallelen Seiten und $h$ die Höhe des Trapezes.
$a$ ist in diesem Fall $30$ und $c$ ist $11$. Die Höhe $h$ ist durch $3,5$ m gegeben. Somit gilt für den Flächeninhalt $A_\text{ACDB}$ des Trapezes $ACDB$
$\begin{array}[t]{rll} A_{\text{ACDB}} &=& \dfrac{30 +11}{2} \cdot 3,5 \\[5pt] &=& 71,75. \end{array}$
Der Flächeninhalt des Trapezes ist demnach $71,75$ m$^2$.
2.Schritt: Berechne den Flächeninhalt $\boldsymbol{B_2}$
Im ersten Schritt dieser Teilaufgabe hast du den Flächeninhalt $B_1$ berechnet. Um nun den Flächeninhalt $B_2$ zu bestimmen, berechnest du den Flächeninhalt des Halbkreises mit dem Durchmesser $\overline{CD}$ und ziehst davon $B_1$ ab.
Für den Flächeninhalt $A_{\text{Kreis}}$ eines Kreises mit Radius $r$ gilt
$A_{\text{Kreis}} = \pi \cdot r^2.$
$A_{\text{Kreis}} = \pi \cdot r^2.$
Der Radius des Halbkreises beträgt $5,5$ m. Somit gilt für den gesuchten Flächeninhalt des Halbkreises
$\begin{array}[t]{rll} A_{\text{Halbkreis}}&=& \dfrac{A_{\text{Kreis}}}{2} \\[5pt] &=& \dfrac{\pi \cdot 5,5^2 }{2} \\[5pt] &\approx& \dfrac{95,03 }{2} \\[5pt] &=& 47,515. \end{array}$
Um nun den Flächeninhalt der gesuchten Fläche $A_2$ zu erhalten, ziehst du $B_1$ von $A_{\text{Halbkreis}}$ ab.
$\begin{array}[t]{rll} B_2 &=& A_{\text{Halbkreis}} - B_1 \\[5pt] &=& 47,515 - 11,8017 \\[5pt] &=& 35,7133 \end{array}$
Der Flächeninhalt $B_2$ ist also $35,71$ m$^2.$
3.Schritt: Bilde die Differenz zwischen $\boldsymbol{A_{\text{ACDB}}}$ und $\boldsymbol{B_2}$
Der gesuchte Flächeninhalt von $A_2$ ist die Differenz zwischen dem errechneten Flächeninhalt des Trapezes $ACDB$ und der Fläche $B_2.$
$\begin{array}[t]{rll} A_2 &=& A_{\text{ACDB}} - B_2 \\[5pt] &=& 71,75 - 35,7133 \\[5pt] &=& 36,0367. \end{array}$
Der Flächeninhalt der zweiten Teilfläche $A_2$ ist somit ca. $36$ m$^2.$
Eine andere Möglichkeit ist, das Integral von $k$ in den Intervallen $[-4,24264; -5,5]$ und $[4,24264; 5,5]$ zu bestimmen und den Flächeninhalt der Dreiecke $ACP_1$ und $DBP_2$ mit $P_1(-5,5 \mid 0)$ bzw. $P_2(5,5 \mid 0)$ dazu zu addieren.
#kreis#trapez#integral
c)
$\blacktriangleright$  Verlauf der Rampe zeichnen und Steigung bestimmen
Beachte beim Zeichnen der Rampe, dass die Rampe die Funktion im Tangentialpunkt $T$ nicht schneidet, sondern berührt.
Abb. 7: Rampe im Tangentialpunkt $T$
Abb. 7: Rampe im Tangentialpunkt $T$
Wenn du die Steigung einer Geraden anhand einer Zeichnung bestimmen musst, wählst du dir zwei Punkte und zählst um wie viele Kästchen sich die Punkte in der $x$- und $y$-Koordinate unterscheiden. In diesem Fall wählst du als ersten Punkt $L$ und als zweiten $T$. Dabei liegen die Punkte $\Delta x \approx 7 $ $x$-Einheiten und $\Delta y \approx 1,1$ $y$-Koordinaten auseinander.
Für die Steigung gilt
$m = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} \approx 0,16. $
Somit ist die Steigung der Rampe ungefähr $0,16.$
$\blacktriangleright$  Koordinaten von $\boldsymbol{T}$ berechnen
Nun musst die Koordinaten des Tangentialpunktes $T$ bestimmen.
Du weißt, dass die Steigung $m$ einer Geraden definiert ist als
$m = \dfrac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1},$
$m = \dfrac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1},$
wobei die Punkte $(x_1 \mid f(x_1))$ und $(x_2 \mid f(x_2))$ auf der Geraden liegen.
Schreibe die Steigung $m$ also in dieser Form auf wobei du dafür die beiden Punkt $L(-18 \mid 0)$ und $T(x \mid f(x))$ wählst.
$\begin{array}[t]{rll} m &=& \dfrac{0 - f(x)}{-18 - x} \\[5pt] &=& \dfrac{f(x)}{18 + x}. \end{array}$
Setzt du diese Gleichung mit $m = f'(x)$ gleich, so erhälst du
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{0 - f(x)}{-18 - x} &=& f'(x) \\[5pt] f(x)&=& f'(x)(18 + x). \end{array}$
Löse dieses Gleichung mithilfe des solve()-Befehls.
Als mögliche Lösungen kommen somit $x_1 = -\sqrt{69} - 12$, $x_2 = -15,$ $x_3 = \sqrt{69}-12$ und $x_4 = 15$ infrage. Da aber nur $x_3$ im Intervall $(-15, 0)$ liegt, ist die einzige Lösung $\sqrt{69}-12.$
Setze diese Lösung in die Funktion $f$ ein, um die $y$-Koordinate von $T$ zu erhalten.
$f(\sqrt{69}-12) \approx 2,21.$
Demnach sind die Koordinaten von $T$ $(\sqrt{69}-12 \mid 2,21).$
$\blacktriangleright$  Maximale Steigung berechnen
Bevor du nachweist, dass die Strecke für die Autos überall eine Steigung kleiner als $20 \%$ hat, musst du zeigen, dass die Rampe zum Punkt $A$ führt.
Die Rampe wird durch die Gleichung der Tangente, die $f$ im Punkt $S(-5 \mid f(-5))$ berührt, beschrieben. D.h. die Steigung $m$ der Tangente beträgt $m=f'(-5).$
Die Steigung der Tangente ist also $m = \dfrac{16}{81}.$
Außerdem geht die Tangente durch den Punkt $S$, sodass für den Ordinatenabschnitt $c$ gilt
$\begin{array}[t]{rll} y &=& \dfrac{16}{81}x + c \\[5pt] c &=& f(-5) - \dfrac{16}{81} \cdot (-5) &\quad \scriptsize \mid\;\text{ setze die Koordinaten von $S$ ein} \\[5pt] c &=& \dfrac{160}{81} + \dfrac{80}{81} \\[5pt] c &=& \dfrac{240}{81} \end{array}$
Um nun zu prüfen, ob $A$ auf dieser Geraden liegt, musst du die Koordinaten von $A$ in die Gleichung einsetzen und prüfen, ob die Gleichung erfüllt ist.
$\begin{array}[t]{rll} 0 &=& \dfrac{16}{81} \cdot -15 + \dfrac{240}{81} \\[5pt] 0 &=& 0 \\[5pt] \end{array}$
Die Gleichung ist erfüllt, sodass der Punkt $A$ auf der Geraden liegt.
Nun musst du zeigen, dass die Steigung von $A$ nach $E$ kleiner als $0,2$ ist.
Von $A$ nach $T$ ist die Steigung konstant $\dfrac{16}{81} < 0,2.$
Zeige, dass zwischen $-5$ und $0$ die Steigung kleiner als $0,2$.
Dafür leitest du die Funktion $f$ und bestimmst das Maximum im Intervall $[-5;0]$
Das Maximum der Ableitung liegt bei $-5$ und ist folglich $\dfrac{16}{81}$ und demnach kleiner als $20 \%.$
Auf der Gesamtstrecke ist die Steigung somit kleiner als $20 \%.$
Alternativ kannst du auch begründen, dass die Rampe am Wendepunkt der Funktion anschließt und folglich an dieser Stelle auch die maximale Steigung der Funktion im Intervall $[-15; 15]$ ist, die kleiner als $20 \%$ ist.
#tangente#koordinaten#ableitung#steigung#wendepunkt
d)
$\blacktriangleright$  Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{PQ}}$ berechnen
Du musst die Länge der Strecke $\overline{PQ}$ berechnen. Da die Strecke vertikal verläuft, ist die Länge dieser Strecke gerade die Differenz von $f(\sqrt{10})$ und $k(\sqrt{10}).$
Die Länge der Strecke $\overline{PQ}$ beträgt also ca. $1,28$ m.
$\blacktriangleright$  Länge der modifizierten Strecke $\boldsymbol{\overline{PQ}}$ berechnen
Der Punkt $Q$ liegt immer noch auf dem Graphen der Funktion $f$, hat aber jetzt den kleinstmöglichen Abstand zu $P.$ Der Abstand $d$ zweier Punkte $P_1(x_1 \mid y_1)$ und $P_2(x_2 \mid y_2)$ ist definiert als
$d = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}.$
$d = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}.$
Bezeichne die Koordinaten von $Q$ mit $(x_0 \mid f(x_0)).$ So ist der Abstand $d$ von $Q$ zu $P$ gleich
$\begin{array}[t]{rll} d(x_0) &=& \sqrt{(x_0 - \sqrt{10})^2 + (f(x_0) - k(\sqrt{10}))^2}. \\[5pt] \end{array}$
Berechne also das Minimum der Funktion $d(x_0)$ im Intervall $[3, 4].$
Somit sind Koordinaten von $Q$ durch $(3,34 \mid f(3,34))$ gegeben und der Abstand zu $P$ beträgt $d(3,33979) \approx 1,27$ m.
#koordinaten#abstand
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Lösungen Casio
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a)
$\blacktriangleright$  Funktionsterm von $\boldsymbol{f}$ bestimmen
Du solltst den Funktionsterm von $f$ bestimmen, der den oberen Rand des Brückenbogens beschreibt. Anstatt alle gegebenen Informationen direkt in den Taschenrechner einzugeben, kannst du dir etwas Tipparbeit sparen, indem du dir über die Funktion $f$ kurz Gedanken machst.
Ganzrationale Funktionen vierten Grades haben die Form
$f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e.$
$f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e.$
Die Variablen stehen dabei für ganzrationale Zahlen.
Das Koordinatensystem soll seinen Ursprung in der Mitte der Strecke $\overline{AB}$ haben, d.h. $2,5$ Einheiten unter dem Punkt $E$, der auf der Funktion $f$ liegt. Somit ist
$f(0) = e = 2,5.$
Weiterhin ist die Funktion nach Voraussetzung symmetrisch zur $y$-Achse, d.h. es handelt sich um eine gerade Funktion. Folglich sind die ungeradzahligen Koeffizienten gleich null, d.h. in diesem Fall $b=d=0.$
Somit hat die gesuchte Funktion $f$ die Form $f(x) = ax^4 + bx^2 + 2,5.$
Definiere dir diese Funktion und deren Ableitung mithilfe des Define-Befehls.
Jetzt überlegst du dir welche Informationen du noch nicht verwendet hast, um den Funktionsterm zu bestimmen. Zum einen geht die Funktion durch den Punkt $B$, d.h. es gilt $f(15) = 0$. Zum anderen, ist die Ableitung bei $B$ gleich null, da der Graph knickfrei in die Horizontale übergeht, d.h. $f'(15)=0.$ Somit kannst du die gesuchten Variablen $a$ und $c$ mithilfe des solve()-Befehls bestimmen.
Somit lautet der gesuchte Funktionsterm $f(x) = \dfrac{1}{20250} x^4 - \dfrac{1}{45} x^2 + 2,5.$
$\blacktriangleright$  Steigung an der Stelle $\boldsymbol{x = -3,5}$ berechnen
Definiere dir die errechnete Funktion $f$ und setze $-3,5$ in die Ableitung dieser Funktion ein.
Die Steigung an der Stelle $-3,5$ ist ungefähr $0,147.$
$\blacktriangleright$  Größte Steigung von $\boldsymbol{f}$ berechnen
Im Invervall $[-15; 15]$ musst du die größte Steigung berechnen. Bestimme also mit dem fMax()-Befehl das Maximum der Ableitung von $f$. Gebe dabei als untere $-15$ und obere Intervallgrenze $15$ ein.
Demnach ist die größte Steigung im Intervall $[-15; 15]$ ungefähr $0,257$ an der Stelle $x=-5 \sqrt{3}.$
#symmetrie#ganzrationalefunktion#ableitung#steigung
b)
$\blacktriangleright$  Berechne den Flächeninhalt der Teilflächen $\boldsymbol{A_1}$ und $\boldsymbol{A_2}$
Abb. 4: Teilflächen $A_1$ und $A_2$
Abb. 4: Teilflächen $A_1$ und $A_2$
$\blacktriangleright$ Berechne den Flächeninhalt der Teilfläche $\boldsymbol{A_1}$
Der Flächeninhalt der Fläche $A_1$ ist gerade das Integral von $f$ mit der unteren Grenze $-15$ und der oberen Grenze $15$ minus der Flächeninhalt von $B_1.$
1.Schritt: Berechne den Flächeninhalt $\boldsymbol{B_1}$
$B_1$ ist das Integral von $k(x)$ mit den Nullstellen der Funktion $k(x)$ als Integralgrenzen. Bestimme also zuerst die Nullstellen der Funktion, um sie anschließend als untere und obere Grenzen einzugeben.
Somit beträgt der Flächeninhalt von $B_1$ ca. $11,80$ m$^2$.
2.Schritt: Integral der Funktion $\boldsymbol{f}$ berechnen
Du musst das Integral der Funktion $f$ im Intervall $[15; -15]$ bestimmen.
Das Integral von $f$ im Intervall $[-15; 15]$ beträgt $40$ m$^2.$
3.Schritt: Differenz bilden
Folglich gilt für die gesuchte Fläche
$\begin{array}[t]{rll} A_1&=& \int_{-15}^{15} f(x) \text{ dx} - B_1 \\[5pt] &=& 40 - 11,8 \\[5pt] &=& 28,2. \end{array}$
Die Fläche $A_1$ beträgt demnach $28,2 \text{ m}^2.$
$\blacktriangleright$ Flächeninhalt der Teilfläche $\boldsymbol{A_2}$ berechnen
Du musst den Flächeninhalt der Teilfläche $A_2$ bestimmen.
Dabei bestimmst du den Flächeninhalt des Trapezes $ACDB$ und ziehst davon die Fläche $B_2$ ab.
1.Schritt: Berechne den Flächeninhalt des Trapezes $\boldsymbol{ACDB}$
Der Flächinhalt $A$ eines Trapezes ist durch folgende Formel gegeben
$A=\dfrac{a+c}{2} \cdot h.$
$A=\dfrac{a+c}{2} \cdot h.$
Dabei sind $a$ und $c$ die Längen der beiden parallelen Seiten und $h$ die Höhe des Trapezes.
$a$ ist in diesem Fall $30$ und $c$ ist $11$. Die Höhe $h$ ist durch $3,5$ m gegeben. Somit gilt für den Flächeninhalt $A_\text{ACDB}$ des Trapezes $ACDB$
$\begin{array}[t]{rll} A_{\text{ACDB}} &=& \dfrac{30 +11}{2} \cdot 3,5 \\[5pt] &=& 71,75. \end{array}$
Der Flächeninhalt des Trapezes ist demnach $71,75$ m$^2$.
2.Schritt: Berechne den Flächeninhalt $\boldsymbol{B_2}$
Im ersten Schritt dieser Teilaufgabe hast du den Flächeninhalt $B_1$ berechnet. Um nun den Flächeninhalt $B_2$ zu bestimmen, berechnest du den Flächeninhalt des Halbkreises mit dem Durchmesser $\overline{CD}$ und ziehst davon $B_1$ ab.
Für den Flächeninhalt $A_{\text{Kreis}}$ eines Kreises mit Radius $r$ gilt
$A_{\text{Kreis}} = \pi \cdot r^2.$
$A_{\text{Kreis}} = \pi \cdot r^2.$
Der Radius des Halbkreises beträgt $5,5$ m. Somit gilt für den gesuchten Flächeninhalt des Halbkreises
$\begin{array}[t]{rll} A_{\text{Halbkreis}}&=& \dfrac{A_{\text{Kreis}}}{2} \\[5pt] &=& \dfrac{\pi \cdot 5,5^2 }{2} \\[5pt] &\approx& \dfrac{95,03 }{2} \\[5pt] &=& 47,515. \end{array}$
Um nun den Flächeninhalt der gesuchten Fläche $A_2$ zu erhalten, ziehst du $B_1$ von $A_{\text{Halbkreis}}$ ab.
$\begin{array}[t]{rll} B_2 &=& A_{\text{Halbkreis}} - B_1 \\[5pt] &=& 47,515 - 11,8017 \\[5pt] &=& 35,7133 \end{array}$
Der Flächeninhalt $B_2$ ist also $35,71$ m$^2.$
3.Schritt: Bilde die Differenz zwischen $\boldsymbol{A_{\text{ACDB}}}$ und $\boldsymbol{B_2}$
Der gesuchte Flächeninhalt von $A_2$ ist die Differenz zwischen dem errechneten Flächeninhalt des Trapezes $ACDB$ und der Fläche $B_2.$
$\begin{array}[t]{rll} A_2 &=& A_{\text{ACDB}} - B_2 \\[5pt] &=& 71,75 - 35,7133 \\[5pt] &=& 36,0367. \end{array}$
Der Flächeninhalt der zweiten Teilfläche $A_2$ ist somit ca. $36$ m$^2.$
Eine andere Möglichkeit ist, das Integral von $k$ in den Intervallen $[-4,24264; -5,5]$ und $[4,24264; 5,5]$ zu bestimmen und den Flächeninhalt der Dreiecke $ACP_1$ und $DBP_2$ mit $P_1(-5,5 \mid 0)$ bzw. $P_2(5,5 \mid 0)$ dazu zu addieren.
#integral#kreis#trapez
c)
$\blacktriangleright$  Verlauf der Rampe zeichnen und Steigung bestimmen
Beachte beim Zeichnen der Rampe, dass die Rampe die Funktion im Tangentialpunkt $T$ nicht schneidet, sondern berührt.
Abb. 7: Rampe im Tangentialpunkt $T$
Abb. 7: Rampe im Tangentialpunkt $T$
Wenn du die Steigung einer Geraden anhand einer Zeichnung bestimmen musst, wählst du dir zwei Punkte und zählst um wie viele Kästchen sich die Punkte in der $x$- und $y$-Koordinate unterscheiden. In diesem Fall wählst du als ersten Punkt $L$ und als zweiten $T$. Dabei liegen die Punkte $\Delta x \approx 7 $ $x$-Einheiten und $\Delta y \approx 1,1$ $y$-Koordinaten auseinander.
Für die Steigung gilt
$m = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} \approx 0,16. $
Somit ist die Steigung der Rampe ungefähr $0,16.$
$\blacktriangleright$  Koordinaten von $\boldsymbol{T}$ berechnen
Nun musst die Koordinaten des Tangentialpunktes $T$ bestimmen.
Du weißt, dass die Steigung $m$ einer Geraden definiert ist als
$m = \dfrac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1},$
$m = \dfrac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1},$
wobei die Punkte $(x_1 \mid f(x_1))$ und $(x_2 \mid f(x_2))$ auf der Geraden liegen.
Schreibe die Steigung $m$ also in dieser Form auf wobei du dafür die beiden Punkt $L(-18 \mid 0)$ und $T(x \mid f(x))$ wählst.
$\begin{array}[t]{rll} m &=& \dfrac{0 - f(x)}{-18 - x} \\[5pt] &=& \dfrac{f(x)}{18 + x}. \end{array}$
Setzt du diese Gleichung mit $m = f'(x)$ gleich, so erhälst du
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{0 - f(x)}{-18 - x} &=& f'(x) \\[5pt] f(x)&=& f'(x)(18 + x). \end{array}$
Löse dieses Gleichung mithilfe des solve()-Befehls.
Als mögliche Lösungen kommen somit $x_1 = -\sqrt{69} - 12$, $x_2 = -15,$ $x_3 = \sqrt{69}-12$ und $x_4 = 15$ infrage. Da aber nur $x_3$ im Intervall $(-15, 0)$ liegt, ist die einzige Lösung $\sqrt{69}-12.$
Setze diese Lösung in die Funktion $f$ ein, um die $y$-Koordinate von $T$ zu erhalten.
$f(\sqrt{69}-12) \approx 2,21.$
Demnach sind die Koordinaten von $T$ $(\sqrt{69}-12 \mid 2,21).$
$\blacktriangleright$  Maximale Steigung berechnen
Bevor du nachweist, dass die Strecke für die Autos überall eine Steigung kleiner als $20 \%$ hat, musst du zeigen, dass die Rampe zum Punkt $A$ führt.
Die Rampe wird durch die Gleichung der Tangente, die $f$ im Punkt $S(-5 \mid f(-5))$ berührt, beschrieben. D.h. die Steigung $m$ der Tangente beträgt $m=f'(-5).$
Die Steigung der Tangente ist also $m = \dfrac{16}{81}.$
Außerdem geht die Tangente durch den Punkt $S$, sodass für den Ordinatenabschnitt $c$ gilt
$\begin{array}[t]{rll} y &=& \dfrac{16}{81}x + c \\[5pt] c &=& f(-5) - \dfrac{16}{81} \cdot (-5) &\quad \scriptsize \mid\;\text{ setze die Koordinaten von $S$ ein} \\[5pt] c &=& \dfrac{160}{81} + \dfrac{80}{81} \\[5pt] c &=& \dfrac{240}{81} \end{array}$
Um nun zu prüfen, ob $A$ auf dieser Geraden liegt, musst du die Koordinaten von $A$ in die Gleichung einsetzen und prüfen, ob die Gleichung erfüllt ist.
$\begin{array}[t]{rll} 0 &=& \dfrac{16}{81} \cdot -15 + \dfrac{240}{81} \\[5pt] 0 &=& 0 \\[5pt] \end{array}$
Die Gleichung ist erfüllt, sodass der Punkt $A$ auf der Geraden liegt.
Nun musst du zeigen, dass die Steigung von $A$ nach $E$ kleiner als $0,2$ ist.
Von $A$ nach $T$ ist die Steigung konstant $\dfrac{16}{81} < 0,2.$
Zeige, dass zwischen $-5$ und $0$ die Steigung kleiner als $0,2$.
Dafür leitest du die Funktion $f$ und bestimmst das Maximum im Intervall $[-5;0]$
Das Maximum der Ableitung liegt bei $-5$ und ist folglich $\dfrac{16}{81}$ und demnach kleiner als $20 \%.$
Auf der Gesamtstrecke ist die Steigung somit kleiner als $20 \%.$
Alternativ kannst du auch begründen, dass die Rampe am Wendepunkt der Funktion anschließt und folglich an dieser Stelle auch die maximale Steigung der Funktion im Intervall $[-15; 15]$ ist, die kleiner als $20 \%$ ist.
#tangente#ableitung#koordinaten#wendepunkt#steigung
d)
$\blacktriangleright$  Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{PQ}}$ berechnen
Du musst die Länge der Strecke $\overline{PQ}$ berechnen. Da die Strecke vertikal verläuft, ist die Länge dieser Strecke gerade die Differenz von $f(\sqrt{10})$ und $k(\sqrt{10}).$
Die Länge der Strecke $\overline{PQ}$ beträgt also ca. $1,28$ m.
$\blacktriangleright$  Länge der modifizierten Strecke $\boldsymbol{\overline{PQ}}$ berechnen
Der Punkt $Q$ liegt immer noch auf dem Graphen der Funktion $f$, hat aber jetzt den kleinstmöglichen Abstand zu $P.$ Der Abstand $d$ zweier Punkte $P_1(x_1 \mid y_1)$ und $P_2(x_2 \mid y_2)$ ist definiert als
$d = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}.$
$d = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}.$
Bezeichne die Koordinaten von $Q$ mit $(x_0 \mid f(x_0)).$ So ist der Abstand $d$ von $Q$ zu $P$ gleich
$\begin{array}[t]{rll} d(x_0) &=& \sqrt{(x_0 - \sqrt{10})^2 + (f(x_0) - k(\sqrt{10}))^2}. \\[5pt] \end{array}$
Berechne also das Minimum der Funktion $d(x_0)$ im Intervall $[3, 4].$
Somit sind Koordinaten von $Q$ durch $(3,34 \mid f(3,34))$ gegeben und der Abstand zu $P$ beträgt $d(3,33979) \approx 1,27$ m.
#abstand#koordinaten
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