SchulLV

Die folgende Abbildung stellt einen achsensymmetrischen Querschnitt des Rumpfes einer Segelyacht vereinfacht in einem Koordinatensystem dar. Die $x$ -Achse beschreibt die Lage der Wasseroberfläche und die $y$ -Achse verläuft entlang der Symmetrieachse. Dabei entspricht eine Längeneinheit einem Meter in der Wirklichkeit.

Die rechte Randlinie wird mithilfe der Funktion $f$ mit $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 4$ für $0 \leq x \leq 2,2$ modelliert.

a1)

Berechne die Breite des Querschnitts auf Höhe der Wasseroberfläche und zeige, dass die Deckslinie ca. $0,93 \;\text{m}$ über der Wasseroberfläche liegt.

(3 BE)

a2)

Weise nach, dass der Graph von $f$ im Intervall $[0 ; 2,2]$ eine Wendestelle besitzt, und gib die Koordinaten des Wendepunktes an.

(4 BE)

a3)

Berechne die Größe des Winkels, der sich aus der rechten und der linken Randlinie an der Kielspitze im Inneren des Querschnitts ergibt.

(4 BE)

a4)

Bestimme den Flächeninhalt des Querschnitts.

(4 BE)

Bei der Trainingsfahrt einer Rennyacht wird ihre Geschwindigkeit durch die Funktion $v$ mit $v(t) = 20 \cdot \left(1 - \mathrm{e}^{-0,004 \cdot t}\right)$ mit $t \geq 0$ beschrieben. Dabei gibt $t$ die Zeit in Sekunden $(s)$ nach Beginn der Zeitmessung an und $v(t)$ die Geschwindigkeit in Meter pro Sekunde $\left(\frac{\text{m}}{\text{s}}\right).$

b1)

Zeige, dass die mittlere Änderungsrate der Geschwindigkeit im Zeitraum von $2\;\text{s}$ bis $10\;\text{s}$ nach Beginn der Zeitmessung ungefähr gleich der momentanen Änderungsrate der Geschwindigkeit $6\;\text{s}$ nach Beginn der Zeitmessung ist.

(4 BE)

b2)

Begründe anhand des Funktionsterms von $v,$ dass die Geschwindigkeit der Yacht stets kleiner als $20\;\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$ ist.

(2 BE)

b3)

Der Wert des Terms $\displaystyle\int_0^T v(t)\;\mathrm{d}t$ gibt die Länge des zurückgelegten Weges in Metern innerhalb des Zeitraums von $0$ bis $T$ Sekunden an.

Bestimme den Wert für $T,$ so dass diese Länge $5000\;\text{m}$ beträgt.

(2 BE)

Gegeben ist die Schar der auf $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_k$ mit $f_k(x) = x^3 - kx^2 + 4x - 4$ und $k \gt 0.$

Der Graph jeder Funktion $f_k$ wird mit $G_k$ bezeichnet. Jeder Graph $G_k$ verläuft durch den Punkt $P(0 \mid -4).$ Die folgende Abbildung zeigt $G_3.$