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Aufgaben
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HMF 1 - Analytische Geometrie (Pool 1)

Gegeben sind die Punkte $A(0\mid0\mid4), B(2\mid2\mid2)$ und $C(0\mid3\mid1)$
1.1
Ermittle die Koordinaten des Punktes $D$, so dass das Viereck $ABCD$ ein Parallelogramm mit einer Beschriftung der Eckpunkte im üblichen Umlaufsinn ist.
(2 BE)
1.2
Zeige, dass der Innenwinkel des Vierecks $ABCD$ bei Punkt $B$ ein rechter Winkel ist.
(2 BE)
1.3
Überprüfe, ob es sich bei dem Viereck $ABCD$ um ein Quadrat handelt.
(1 BE)
#parallelogramm

HMF 2 - Analytische Geometrie (Pool 1)

Die Gerade $g : \overrightarrow{x} \pmatrix{0\\2\\0} + r \cdot \pmatrix{2\\4\\1}$ mit $r \in \mathbb{R}$ und in Ebene $E : x_1 + 2x_2 - 2x_3 = 2$ schneiden sich im Punkt $S$
2.1
Berechne die Koordinate von $S$.
(3 BE)
2.2
Der Punkt $P_1$ liegt auf $g$, aber nicht in $E$.
Die Abbildung zeigt die Ebene $E$, die Gerade $g$ sowie einen Repräsentanten des Vektors $\overrightarrow{SP_1}$.
Für den Punkt $P_2$ gilt $\overrightarrow{OP_2} = \overrightarrow{OP_1} - 4 \cdot \overrightarrow{SP_1}$ wobei $O$ den Koordinatenursprung bezeichnet.
Zeichne die Punkte $S,P_1$ und $P_2$ in die Abbildung ein.
(2 BE)
#zentraleraufgabenpool

HMF 3 - Analytische Geometrie (Pool 2)

3.1
Die Ebene $E : 3x_1 + 2x_2 + 2x_3 = 6$ enthält einen Punkt, dessen drei Koordinaten übereinstimmen.
Bestimme diese Koordinaten.
(2 BE)
3.2
Begründe, dass folgende Aussage richtig ist:
„Es gibt unendlich viele Ebenen, die keinen Punkt enthalten, dessen drei Koordinaten übereinstimmen.“
(3 BE)
#zentraleraufgabenpool

HMF 4 - Stochastik (Pool 1)

Ein Glücksrad besteht aus fünf gleich großen Sektoren. Einer der Sektoren ist mit $0$ beschriftet, einer mit $1$ und einer mit $2$, die anderen beiden Sektoren sind mit $9$ beschriftet.
4.1
Ein Glücksrad wird viermal gedreht. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zahlen $2,0,1$ und $9$ in der angegebenen Reihenfolge erziehlt werden.
(2 BE)
4.2
Das Glücksrad wird zweimal gedreht. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Summe der erziehlten Zahlen mindestens $11$ ist.
(3 BE)
#zentraleraufgabenpool

HMF 5 - Stochastik (Pool 1)

In einem Fitness-Studio wurde eine Umfrage unter den weiblichen und männlichen Kunden durchgeführt, ob sie mit der Sauberkeit der Umkleideräume zufrieden sind. Unter allen abgegebenen Fragebögen wird ein Bogen zufällig ausgewählt. In der folgenden Vierfeldertafel sind einige Wahrscheinlcihkeiten bereits eingetragen. Dabei sind $M$: „Die Person ist männlich.“ und $Z$: „Die Person ist mit der Sauberkeit zufrieden.“
5.1
Ergänze die übrigen Einträge der Vierfeldertafel.
(2 BE)
5.2
Beschreibe die Bedeutung des grau hinterlegten Feldes im Sachzusammenhang.
(1 BE)
5.3
Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Frau mit der Sauberkeit der Umkleideräume nicht zufrieden ist.
(2 BE)
#vierfeldertafel

HMF 6 - Analysis (Pool 1)

Der abgebildete Graph stellt eine Funktion $f$ dar.
6.1
Einer der folgenden Graphen $\text{I}, \text{II}, \text{III}$ gehört zusammen zur ersten Ableitungsfunktion von $f$. Gib diesen Graphen an und begründe, dass die beiden anderen Graphen dafür nicht infrage kommen.
(3 BE)
6.2
Die Funktion $F$ ist eine Stammfunktion von $f$. Gib das Monotonieverhalten von $F$ in Intervall $[1;3]$ an. Begründe deine Angabe.
(2 BE)
#stammfunktion#ableitung#zentraleraufgabenpool#monotonie

HMF 7 - Analysis (Pool 1)

Gegeben ist die in $\mathbb{R} \setminus \{ 0\}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = 1 - \dfrac{1}{x^2}$, die die Nullstellen $-1$ und $1$ hat.
Die Abbildung zeigt den Graphen von $f$, der symetrisch bezüglich der $y$-Achse ist.
Weiterhin ist die Gerade $g$ mit der Gleichung $y = -3$ gegeben.
7.1
Zeige, dass einer der Punkte, in denen $g$ den Graphen von $f$ schneidet, die $x$-Koordinate $\dfrac{1}{2}$ hat.
(1 BE)
7.2
Bestimme rechnerisch den Inhalt der Fläche, die der Graph von $f$, die $x$-Achse und die Gerade $g$ einschließt.
(4 BE)
#zentraleraufgabenpool

HMF 8 - Analysis (Pool 2)

Für jede reelle Zahl $a$ ist die Funktion $f_a(x) = x^2 + a \cdot (3-4x) + a^2$ gegeben.
8.1
Sei zunächst $a = 1$. Bestimme alle Nullstellen der Funktion $f_1$.
(2 BE)
8.2
Untersuche, ob der Punkt $P\left(1\mid\frac{3}{4}\right)$ Tiefpunkt ds Graphen einer der Funktionen $f_a$ ist.
(3 BE)
#funktionenschar#extrempunkt#nullstelle
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Lösungen
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HMF 1 - Analytische Geometrie

1.1
$\blacktriangleright$  Koordinaten ermitteln
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OD} &=& \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{BC} \\[5pt] &=& \pmatrix{0\\0\\4} + \pmatrix{-2\\1\\-1} \\[5pt] &=& \pmatrix{-2\\1\\3} \\[5pt] \end{array}$
$ \overrightarrow{OD} = \pmatrix{-2\\1\\3} $
Die Koordinaten lauten $D(-2\mid 1\mid 3).$
1.2
$\blacktriangleright$  Rechten Winkel zeigen
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{BA} \circ \overrightarrow{BC} &=& \pmatrix{-2\\-2\\2}\circ \pmatrix{-2\\1\\-1} \\[5pt] &=& (-2)\cdot(-2) + (-2) \cdot 1 + 2\cdot (-1) \\[5pt] &=& 0 \end{array}$
$ \overrightarrow{BA} \circ \overrightarrow{BC} = 0 $
Die Vektoren $\overrightarrow{BA}$ und $\overrightarrow{BC}$ stehen also senkrecht aufeinander. Das Viereck $ABCD$ besitzt bei $B$ also einen rechten Winkel.
1.3
$\blacktriangleright$  Quadratform überprüfen
Durch 1.1 handelt es sich bei $ABCD$ bereits um ein Parallelogramm. Durch 1.2 ist mindestens ein Innenwinkel ein rechter Winkel. Durch die Kombination der Parallelität und des rechten Winkels handelt es sich bereits um ein Rechteck. Zu zeigen bleibt also nur noch, dass alle Seiten gleich lang sind:
$\begin{array}[t]{rll} \left|\overrightarrow{AB}\right| &=& \left| \pmatrix{2\\2\\-2}\right| \\[5pt] &=& \sqrt{2^2 +2^2 +(-2)^2} \\[5pt] &=& \sqrt{12} \\[10pt] \left|\overrightarrow{AD}\right| &=& \left| \pmatrix{-2\\1\\-1}\right| \\[5pt] &=& \sqrt{(-2)^2 +1^2 +(-1)^2} \\[5pt] &=& \sqrt{6} \\[10pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \left|\overrightarrow{AB}\right| &= \sqrt{12} \\[10pt] \left|\overrightarrow{AD}\right| &= \sqrt{6} \\[10pt] \end{array}$
Die Seiten $\overline{AB}$ und $\overline{AD}$ sind nicht gleich lang. Bei dem Viereck $ABCD$ handelt es sich also nicht um ein Quadrat.
#vektorbetrag#skalarprodukt

HMF 2 - Analytische Geometrie

2.1
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Schnittpunkts berechnen
Für die Punkte auf der Geraden $g$ gilt:
$\overrightarrow{OP} = \pmatrix{0\\2\\0} + r\cdot \pmatrix{2\\4\\1} = \pmatrix{2r \\ 2+4r \\ r}$
$ \overrightarrow{OP} = \pmatrix{2r \\ 2+4r \\ r} $
Setze diese Koordinaten in die Ebenengleichung ein:
$\begin{array}[t]{rll} x_1+2x_2-2x_3 &=& 2 &\quad \scriptsize \mid\;\left(2r \mid 2+4r \mid r\right) \\[5pt] 2r + 2\cdot (2+4r) -2\cdot r &=& 2 \\[5pt] 2r +4 +8r -2r &=& 2 \\[5pt] 8r +4 &=& 2 &\quad \scriptsize \mid\; -4 \\[5pt] 8r &=& -2 &\quad \scriptsize \mid\; :8 \\[5pt] r &=& -\frac{1}{4} \end{array}$
$ r=-\frac{1}{4} $
Einsetzen in die Geradengleichung liefert:
$\overrightarrow{OS} = \pmatrix{0\\2\\0} -\frac{1}{4}\cdot \pmatrix{2\\4\\1} = \pmatrix{-\frac{1}{2} \\ 1 \\ -\frac{1}{4}}$
$ \overrightarrow{OS} = \pmatrix{-\frac{1}{2} \\ 1 \\ -\frac{1}{4}} $
Die Koordinaten des Schnittpunkts von $g$ und $E$ lauten also $S\left( -\frac{1}{2} \mid 1 \mid -\frac{1}{4}\right).$
2.2
$\blacktriangleright$  Punkte einzeichnen
$S$ ist der Schnittpunkt der Gerade und der Ebene. Zeichne diesen zuerst ein. $P_1$ erhältst du dann, indem du den eingezeichneten Vektor $\overrightarrow{SP_1}$ an $S$ anlegst. Anschließend erhältst du $P_2,$ indem du ausgehend von $P_1$ viermal den entgegengesetzten Vektor $\overrightarrow{SP_1}$ anlegst.
Schnittpunkt
Abb. 1: Einzeichnen der Punkte
Schnittpunkt
Abb. 1: Einzeichnen der Punkte

HMF 3 - Analytische Geometrie

3.1
$\blacktriangleright$  Koordinaten bestimmen
Der gesuchte Punkt besitzt Koordinaten der Form $(t\mid t\mid t).$ Setzt du dies in die Ebenengleichung ein, so erhältst du:
$\begin{array}[t]{rll} 3x_1 +2x_2 +2x_3 &=& 6 \\[5pt] 3t+2t+2t &=& 6 \\[5pt] 7t &=& 6 &\quad \scriptsize \mid\; :7 \\[5pt] t &=& \frac{6}{7} \end{array}$
$ t = \frac{6}{7} $
Die Koordinaten des gesuchten Punkts der Ebene $E$ mit drei übereinstimmenden Koordinaten lauten $\left(\frac{6}{7}\mid \frac{6}{7}\mid \frac{6}{7}\right).$
3.2
$\blacktriangleright$  Aussage begründen
Alle Punkte, deren drei Koordinaten übereinstimmen, liegen auf der Geraden $g$ mit der Gleichung $\overrightarrow{x} = t\cdot \pmatrix{1\\1\\1}.$
Alle Ebenen, die zu dieser Geraden parallel verlaufen, diese aber nicht enthalten, haben keine gemeinsamen Punkte mit ihr und daher keinen Punkt, dessen drei Koordinaten übereinstimmen. Zu jeder Geraden gibt es unendlich viele Ebenen, die zu dieser parallel verlaufen und diese nicht enthalten. Auch zu $g$ gibt es daher unendlich viele parallele Ebenen, die $g$ nicht enthalten, die also keinen Punkt mit drei identischen Koordinaten besitzen.

HMF 4 - Stochastik

4.1
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
Mit der Pfadmultiplikationsregel folgt:
$\begin{array}[t]{rll} p &=& \frac{1}{5}\cdot \frac{1}{5}\cdot \frac{1}{5}\cdot \frac{2}{5}\\[5pt] &=& \frac{2}{625} \\[5pt] \end{array}$
$ p=\frac{2}{625} $
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $\frac{2}{625}$ werden die Zahlen $2,$ $0,$ $1$ und $9$ genau in der angegebenen Reihenfolge erzielt.
4.2
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit bestimmen
Die Summe der beiden erzielten Zahlen kann nur dann mindestens $11$ betragen, wenn es sich bei den erzielten Zahlen um eine $9$ und eine $2$ oder um eine $9$ und eine $9$ handelt. Mit den Pfadregeln folgt:
$\begin{array}[t]{rll} p &=& \frac{2}{5}\cdot \frac{1}{5} + \frac{1}{5}\cdot \frac{2}{5} + \frac{2}{5}\cdot \frac{2}{5}\\[5pt] &=& \frac{8}{25} \\[5pt] \end{array}$
$ p=\frac{8}{25} $
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $\frac{8}{25}$ beträgt die Summe der beiden erzielten Zahlen mindestens $11.$
#pfadregeln

HMF 5 - Stochastik

5.1
$\blacktriangleright$  Vierfeldertafel ergänzen
$M$$\overline{M}$Gesamt
$Z$$\frac{7}{16}$$\frac{1}{8}$$\frac{9}{16}$
$\overline{Z}$$\frac{3}{16}$$\frac{1}{4}$$\frac{7}{16}$
Gesamt$\frac{5}{8}$$\frac{3}{8}$$1$
5.2
$\blacktriangleright$  Bedeutung im Sachzusammenhang beschreiben
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $\frac{1}{4}$ ist ein zufällig ausgewählter ausgefüllter Fragebogen von einem weiblichen Kunden, der mit der Sauberkeit nicht zufrieden ist.
5.3
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
$\begin{array}[t]{rll} P_{\overline{M}}(\overline{Z}) &=& \dfrac{P(\overline{Z}\cap \overline{M})}{P(\overline{M})} \\[5pt] &=& \dfrac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{8}} \\[5pt] &=& \frac{2}{3} \end{array}$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $\frac{2}{3}$ ist eine zufällig ausgewählte Frau mit der Sauberkeit der Umkleideräume nicht zufrieden.
#bedingtewahrscheinlichkeit

HMF 6 - Analysis

6.1
$\blacktriangleright$  Graphen zuordnen
Die erste Ableitungsfunktion beschreibt die Steigung des Graphen der Ausgangsfunktion $f.$
Gehe also nacheinander die Graphen $\text{I}$ bis $\text{III}$ durch und überprüfe, ob markante Funktionswerte zu der Steigung des Graphen von $f$ passen.
  • Graph $\text{I}$ schneidet die $x$-Achse an den Stellen $x_1 = -2$ und $x_2 = 2.$ Der Graph von $f$ muss an diesen Stellen also die Steigung $0$ haben. Dies trifft zu, da der Graph von $f$ an diesen Stellen offensichtlich Extrempunkte besitzt.
    Weiterhin kannst du ablesen, dass Graph $\text{I}$ die $y$-Achse ca. im Punkt $(0\mid -0,8)$ schneidet. An der Stelle $x=0$ muss der Graph von $f$ also die Steigung $-0,8$ besitzen. Zeichnest du eine Tangente an den Graphen von $f$ an der Stelle $x=0$ in Abbildung 2 ein, so kannst du abschätzen, dass diese in etwa die Steigung $-0,8$ besitzt.
    Du kannst also davon ausgehen, dass diese beiden Bedingungen dafür sprechen, dass Graph $\text{I}$ zur Ableitungsfunktion von $f$ gehört.
  • Graph $\text{II}$ schneidet die $x$-Achse an den Stellen $x_1 \approx -3,5$ und $x_2\approx 3,5.$ An diesen Stellen müsste der Graph von $f$ also die Steigung $0$ haben. Dies ist aber nicht der Fall. Graph $\text{II}$ kann also nicht zur Ableitungsfunktion $f'$ von $f$ gehören.
  • Graph $\text{III}$ besitzt zwar die gleichen Schnittpunkte mit der $x$-Achse wie Graph $\text{I}$ und passt in diesem Kriterium daher zur gesuchten Ableitungsfunktion, schneidet die $y$-Achse aber im Punkt $(0\mid -2).$ Der Graph von $f$ müsste daher an der Stelle $x=0$ die Steigung $-2$ besitzen. Oben haben wir aber bereits abgelesen, dass die Steigung an dieser Stelle ca. $-0,8$ beträgt. Graph $\text{III}$ kann daher nicht zur gesuchten Ableitungsfunktion von $f$ gehören.
Graph $\text{I}$ gehört zur ersten Ableitungsfunktion von $f.$
6.2
$\blacktriangleright$  Monotonieverhalten angeben
Im Intervall $[1;3]$ liegt der Graph von $f$ unterhalb der $x$-Achse. $f$ besitzt daher negative Funktionswerte auf dem gesamten Intervall. Da $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist, ist $f$ die erste Ableitungsfunktion von $F$ und beschreibt demnach die Steigung des Graphen von $F.$
Da die Funktionswerte von $f$ auf dem Intervall $[1;3]$ negativ sind, ist die Steigung des Graphen von $F$ auf diesem Intervlal negativ. Die Funktion $F$ fällt also streng monoton auf dem Intervall $[1;3].$

HMF 7 - Analysis

7.1
$\blacktriangleright$  Schnittstelle zeigen
Damit sich die Graphen von $f$ und $g$ an der Stelle $x$ schneiden, muss $f(x) = -3$ gelten:
$\begin{array}[t]{rll} -3 &=& f(x) \\[5pt] -3 &=& 1-\frac{1}{x^2} &\quad \scriptsize \mid\; -1 \\[5pt] -4 &=& -\frac{1}{x^2} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \left(-x^2\right) \\[5pt] 4x^2&=& 1 &\quad \scriptsize \mid\; :4 \\[5pt] x^2 &=& \frac{1}{4} \\[5pt] x_1 &=& -\frac{1}{2} \\[5pt] x_2 &=& \frac{1}{2} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_1 &=& -\frac{1}{2} \\[5pt] x_2 &=& \frac{1}{2} \end{array}$
Der Graph von $f$ und die Gerade $g$ schneiden sich also in zwei Punkten, einer von ihnen besitzt die $x$-Koordinate $\frac{1}{2}.$
7.2
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt rechnerisch bestimmen
Anhand der Skizze in Abbildung 1 kannst du die betrachtete Fläche in drei Teilstücke aufteilen. Wegen der Symmetrie des Graphen von $f$ zur $y$-Achse sind die beiden grünen Flächen gleichgroß.
Fläche
Abb. 1: Skizze
Fläche
Abb. 1: Skizze
Sowohl die Nullstellen von $f$ als auch die Schnittstellen von $f$ und $g$ sind dir bekannt. Du kannst also den Inhalt $A_1$ der rechten grünen Fläche mit einem Integral über $f$ in den Grenzen $a=0,5$ und $b=1$ berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} A_1 &=& \left|\displaystyle\int_{0,5}^{1}f(x)\;\mathrm dx \right| \\[5pt] &=& \left|\displaystyle\int_{0,5}^{1}\left(1-\frac{1}{x^2} \right)\;\mathrm dx \right| \\[5pt] &=& \left| \left[x+\frac{1}{x} \right]_{0,5}^1 \right| \\[5pt] &=& 1+\frac{1}{1} - \left(0,5+\frac{1}{0,5} \right)\\[5pt] &=& 0,5 \end{array}$
$ A_1 = 0,5 $
Bei der schraffierten Fläche handelt es sich um ein Rechteck mit den Seitenlängen $1$ und $3.$ Der zugehörige Flächeninhalt ist also:
$\begin{array}[t]{rll} A_2 &=& 1\cdot 3 \\[5pt] &=& 3 \end{array}$
Der gesamte Flächeninhalt ergibt sich zu:
$A = 2\cdot A_1 +A_2 = 2\cdot 0,5 + 3 = 4$
Die Fläche, die der Graph von $f,$ die Gerade $g$ und die $x$-Achse einschließen, besitzt einen Flächeninhalt von $4$ Flächeneinheiten.
#integral

HMF 8 - Analysis

8.1
$\blacktriangleright$  Nullstellen bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} f_1(x) &=& 0 \\[5pt] x^2 +3-4x +1 &=& 0 \\[5pt] x^2 -4x +4 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; pq\text{-Formel} \\[5pt] x_{1/2} &=& -\frac{-4}{2}\pm \sqrt{\left( \frac{-4}{2}\right)^2 -4} \\[5pt] x_{1/2}&=& 2 \pm \sqrt{0} \\[5pt] x&=& 2 \end{array}$
$ x=2 $
$f_1$ besitzt genau eine Nullstelle, undzwar $x=2.$
8.2
$\blacktriangleright$  Tiefpunkt untersuchen
1. Schritt: Ableitungsfunktionen bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} f_a(x) &=& x^2 +a\cdot (3-4x) + a^2 \\[5pt] f_a'(x) &=& 2x -4a \\[5pt] f_a''(x) &=& 2 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f_a(x) &=& … \\[5pt] f_a'(x) &=& 2x -4a \\[5pt] f_a''(x) &=& 2 \end{array}$
2. Schritt: Notwendiges Kriterium für Extremstellen überprüfen
$\begin{array}[t]{rll} f_a'(1)&=& 0 \\[5pt] 2\cdot 1 -4a &=& 0 \\[5pt] 2 -4a &=& 0 &\quad \scriptsize\mid\; -2 \\[5pt] -4a &=& -2 &\quad \scriptsize\mid\; :(-4) \\[5pt] a &=& \frac{1}{2} \end{array}$
$ a = \frac{1}{2} $
Das notwendige Kriterium für Extremstellen ist an der Stelle $x=1$ lediglich für $a=\frac{1}{2}$ erfüllt. Das hinreichende Kriterium $f_a''(x)> 0 $ ist wegen $f_a''(x) = 2$ ebenfalls erfüllt.
3. Schritt: $y$-Koordinate überprüfen
$\begin{array}[t]{rll} f_{\frac{1}{2}}(1) &=& 1^2 +\frac{1}{2}\cdot (3-4\cdot 1) + \left(\frac{1}{2}\right)^2 \\[5pt] &=& \frac{3}{4} \end{array}$
$ f_{\frac{1}{2}}(1) = \frac{3}{4} $
Der Punkt $T\left(1\mid \frac{3}{4}\right)$ liegt also auf dem Graphen der Funktion $f_{\frac{1}{2}}$ und erfüllt zudem sowohl das notwendige Kriterium als auch das hinreichende Kriterium eines lokalen Tiefpunkts des Graphen von $f_{\frac{1}{2}}.$ $T$ ist also Tiefpunkt des Graphen von $f_{\frac{1}{2}}.$
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