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Hilfsmittelfreier Teil

Aufgaben
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HMF 1 - Analysis (Pool 1)

Die Abbildung zeigt den Graphen der auf $ℝ$ definierten Funktion $f$.
#zentraleraufgabenpool
1.1
Bestimme mithilfe der Abbildung einen Näherungswert für $\displaystyle\int_{3}^{5}\;\mathrm f(x)\; dx$.
(2P)
#integral#graph
Die Funktion $F$ ist die auf $ℝ$ definierte Stammfunktion von $f$ mit $F(3)=0$.

1.2
Gib mithilfe der Abbildung einen Näherungswert für die Ableitung von $F$ an der Stelle 2 an.
(1P)
#ableitung#stammfunktion
1.3
Zeige, dass $F(b)=\displaystyle\int_{3}^{b}\;\mathrm f(x)\; dx$ mit $b\inℝ$ gilt.
(2P)
#integral

HMF 2 - Analysis (Pool 1)

Gegeben ist die Funktion $f$ durch $f(x)=x^2\cdot\; \mathrm e^{2-x}$.
2.1
Zeige, dass $f'(3)=-\dfrac{3}{\mathrm e}$ gilt.
(2P)
#ableitung
2.2
Bestimme eine Gleichung der Tangente $t$ an den Graphen der Funktion $f$ an der Stelle 3.
(3P)
#tangente

HMF 3 - Analytische Geometrie (Pool 1)

Betrachtet wird der abgebildete Würfel $ABCDEFGH$. Die Eckpunkte $D$, $E$, $F$ und $H$ dieses Würfels besitzen in einem kartesischen Koordinatensystem die folgenden Koordinaten:
$D(0\;|\;0\;|\;-2)$, $E(2\;|\;0\;|\;0)$, $F(2\;|\;2\;|\;0)$ und $H(0\;|\;0\;|\;0)$

#zentraleraufgabenpool
3.1
Zeichne in die Abbildung die Koordinatenachsen ein und bezeichne diese. Gib die Koordinaten des Punktes $A$ an.
(2P)
#koordinaten#würfel
3.2
Der Punkt $P$ liegt auf der Kante $\overline{FB}$ des Würfels und hat vom Punkt $H$ den Abstand $3$. Berechne die Koordinaten des Punktes $P$.
(3P)
#würfel#koordinaten

HMF 4 - Analytische Geometrie (Pool 1)

Gegeben sind die Ebene $E: 2x_1+x_2+2x_3=6$ sowie die Punkte $P(1\;|\;0\;|\;2)$ und $Q(5\;|\;2\;|\;6)$.
#zentraleraufgabenpool
4.1
Zeige, dass die Gerade durch die Punkte $P$ und $Q$ senkrecht zur Ebene $E$ verläuft.
(2P)
#orthogonal#ebenengleichung
4.2
Die Punkte $P$ und $Q$ liegen symmetrisch zu einer Ebene $F$. Ermittle eine Gleichung von $F$.
(3P)
#symmetrie#ebenengleichung

HMF 5 - Analytische Geometrie (Pool 2)

Gegeben sind die Punkte $A(-2\;|\;1\;|\;4)$ und $B(-4\;|\;0\;|\;6)$.
#zentraleraufgabenpool
5.1
Bestimme die Koordinaten des Punktes $C$ so, dass gilt: $\overrightarrow{CA}=2\cdot\overrightarrow{AB}$.
(2P)
#koordinaten
5.2
Durch die Punkte $A$ und $B$ verläuft die Gerade $g$. Betrachtet werden Geraden, für welche die Bedingungen I und II gelten:
    I: Jede dieser Geraden schneidet die Gerade $g$ orthogonal.
    II: Der Abstand jeder dieser Geraden vom Punkt $A$ beträgt $3$.
Ermittle eine Gleichung für eine dieser Geraden.
(3P)
#geradengleichung

HMF 6 - Stochastik (Pool 1)

Anna und Björn leben in einer Wohngemeinschaft. Sie bestellen regelmäßig Waren über das Internet. Für einen Zustellversuch eines Paketboten werden die folgenden Ereignisse betrachtet:
    $A$: Bei dem Zustellversuch des Paketboten ist Anna zu Hause.
    $B$: Bei dem Zustellversuch des Paketboten ist Björn zu Hause.
Gegeben ist die folgende Vierfeldertafel:

$B$$\overline{B}$
$A$$0,1$$x$
$\overline{A}$$0,7$
$0,6$$1$
6.1
Bestimme den Wert von $x$ und gib das zugehörige Ereignis sowohl in der Mengenschreibweise als auch in Worten an.
(3P)
#ereignis
6.2
Berechne die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass Björn zu Hause ist, wenn Anna nicht zu Hause ist.
(2P)
#wahrscheinlichkeit

HMF 7 - Stochastik (Pool 1)

Bei einem Zufallsexperiment wird eine ideale Münze so lange geworfen, bis zum zweiten Mal Zahl ($Z$) oder zum zweiten Mal Wappen ($W$) oben liegt.
Als Ergebnismenge wird {$ZZ; WW; ZWZ; ZWW; WZZ; WZW$} festgelegt.
#zentraleraufgabenpool
7.1
Begründe, dass dieses Zufallsexperiment kein Laplace-Experiment ist.
(2P)
#laplaceexperiment#zufallsexperiment
7.2
Die Zufallsgröße $X$ ordnet jedem Ergebnis die Anzahl der entsprechenden Münzwürfe zu. Berechne den Erwartungswert von $X$.
(3P)
#erwartungswert

HMF 8 - Stochastik (Pool 2)

Eine Zufallsgröße $X$ ist binomialverteilt mit der Erfolgswahrscheinlichkeit $p$ und dem Stichprobenumfang $n=2$.
8.1
Berechne für $p=0,4$ die Wahrscheinlichkeit $P(X\leq1)$.
(2P)
8.2
Zeige, dass für jeden Wert von $p$

$P(X\neq0)+P(X\neq1)+P(X\neq2)=2$ gilt.
(3P)
#wahrscheinlichkeit
Bildnachweise [nach oben]
[1]
© 2016 – SchulLV.
[2]
© 2016 – SchulLV.
#hilfsmittelfreieaufgaben
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Tipps
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HMF 1 - Analysis

1.1
$\blacktriangleright$  Näherungswert für Integral bestimmen (1. Möglichkeit)
Du sollst in diesem Aufgabenteil das Integral mit der unteren Integralgrenze $3$ und der oberen Integralgrenze $5$ näherungsweise mithilfe der Abbildung bestimmen. Das Integral ist gerade der Flächeninhalt der zwischen dem Graphen der Funktion $f$ und der $x$-Achse zwischen $3$ und $5$ eingeschlossen wird. Zähle also die Kästchen die sich in diesem Bereich befinden.
$\blacktriangleright$  Näherungswert für Integral bestimmen (2. Möglichkeit)
Anstatt die Kästchen im Bereich zwischen $3$ und $5$ zu zählen, kannst du das Integral auch mithilfe eines Trapezes annähern. Der Flächeninhalt $A_{Trapez}$ ist durch folgende Formel gegeben:
$A_{Trapez} = \dfrac{a+c}{2} \cdot h.$
$A_{Trapez} = \dfrac{a+c}{2} \cdot h.$
$a$ und $c$ bezeichnen die Längen der gegenüberliegenden Seiten und $h$ die Höhe des Trapezes.
1.2
$\blacktriangleright$  Ableitung von $\boldsymbol{F}$ an der Stelle 2 angeben
$F$ ist eine Stammfunktion der Funktion $f$, d.h. der Wert von $f$ an der Stelle $x$ gibt gerade die Ableitung von $F$ an der Stelle $x$ an. Du musst also einfach nur den Wert $f(2)$ in der Abbildung ablesen.
1.3
$\blacktriangleright$  Wert des $\boldsymbol{\displaystyle \int_3^b f(x)}$ dx berechnen
Wenn du ein Integral \displaystyle $\displaystyle \int_a^b f(x) \mathrm dx$ gegeben hast, gilt nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
$\displaystyle \int_a^b f(x) \,\mathrm dx = F(b) - F(a).$
$\displaystyle \int_a^b f(x) \,\mathrm dx = F(b) - F(a).$
$F$ bezeichnet dabei eine Stammfunktion von $f$.

HMF 2 - Analysis

2.1
$\blacktriangleright$  Ableitung an der Stelle $\boldsymbol{3}$ bestimmen
Gegeben hast du die Funktion $f(x) = x^2 \cdot \mathrm e^{2-x}$. Als erstes bestimmt du die allgemeine Ableitung $f'(x)$ mithilfe der Produktregel. Hast du eine Funktion der Form $f(x) = u(x) \cdot v(x)$ gegeben, so besagt die Produktregel, dass die Ableitung der Funktion durch
$f'(x)= u'(x)\cdot v(x) + u(x)\cdot v'(x).$
$f'(x)= u'(x)\cdot v(x) + u(x)\cdot v'(x).$
gegeben ist.
2.2
$\blacktriangleright$  Gleichung der Tangente $\boldsymbol{t}$ an der Stelle $\boldsymbol{3}$ bestimmen
Die Tangente $t$ ist eine Gerade, d.h. sie besitzt die Form
$t:$ $y = mx + c.$
$t:$ $y = mx + c.$
Dabei ist $m$ die Steigung der Tangente und $c$ der Ordinatenabschnitt, also der Wert, an dem die Tangente die $y$-Achse schneidet.
Du hast die Steigung $m$ an der Stelle $3$ in der ersten Teilaufgabe bestimmt. Weiterhin weißt du, dass der Punkt $(3 \mid\ f(3))$ auf der Geraden liegen muss. Somit ist die einzig gesuchte Größe der Ordinatenabschnitt $c$. Du formst also die obere Gleichung nach $c$ um und setzt die bekannten Werte ein.

HMF 3 - Analytische Geometrie

3.1
$\blacktriangleright$ Koordinatenachsen zeichnen
Der Punkt $H$ hat die Koordinaten $(0 \mid 0 \mid 0)$, d.h. der Ursprung des Koordinatensystems liegt in $H$. Da der Punkt $E$ als erste Koordinate eine positive Zahl hat und die restlichen Koordinaten gleich Null sind, ist die $x$-Achse die Gerade $EH$. Die Richtung der $x$-Achse ist dabei die Richtung des Vektors $\overrightarrow{HE}$. Das Vorgehen bei der $y$-Achse ist analog. Da der Punkt $G$ als zweite Koordinate eine positive Zahl hat und die restlichen Koordinaten gleich Null sind, ist die $y$-Achse die Gerade $GH$. Die Richtung der $y$-Achse ist dabei die Richtung des Vektors $\overrightarrow{HG}$. Der Punkt $D$ hat als letzte Koordinate eine negative Zahl (die restlichen Koordinaten sind gleich Null), das bedeutet, dass die $z$-Achse die Gerade $DH$ ist. Die Richtung ist dieses Mal allerdings die Richtung des Vektors $\overrightarrow{DH}$.
3.2
$\blacktriangleright$ Punkt $\boldsymbol{P}$ bestimmen
Sind zwei Punkte $P_1(x_1 \mid y_1 \mid z_1)$ und $P_2(x_2 \mid y_2 \mid z_2)$ gegeben, so ist der Abstand $\boldsymbol{d}$ der beiden Punkte definiert als
$\boldsymbol{d = \sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2 + (z_1 - z_2)^2}}.$
$\boldsymbol{d = \sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2 + (z_1 - z_2)^2}}.$
Der Punkt $P$ soll auf der Kante $\overline{FB}$ des Würfels liegen und soll zum Punkt $H$ (dem Ursprung des Koordinatensystems) den Abstand $3$ haben, d.h. $d=3$. Die Koordinaten des zweiten Punkts $H$ sind gegeben. Die Koordinaten des ersten Punkts $P$ kannst du mithilfe des Ortvektors von $F$ und dem Vektor $\overrightarrow{FB}$ umschreiben.
$P = \overrightarrow{OF} + \lambda \cdot \overrightarrow{FB} = \pmatrix{2 \\ 2 \\ 0} + \lambda \cdot \pmatrix{0 \\ 0 \\ -2}$ mit $0 \leq \lambda \leq 1.$
Setze nun die Koordinaten der Punkte in die Formel für den Abstand mit $d=3$ ein und löse die Gleichung nach $\lambda$ auf.

HMF 4 - Analytische Geometrie

4.1
$\blacktriangleright$ Nachweisen, dass die Gerade orthogonal zur Ebene ist
Du musst in dieser Aufgabe zeigen, dass die Gerade, die durch die Punkte $P$ und $Q$ geht, orthogonal zur Ebene $E$ ist. Da die Ebenengleichung in Koordinatenform angegeben ist, ist die einfachste Möglichkeit, den Normalenvektor an der Koordinatenform abzulesen und zu zeigen, dass dieser Vektor und der Vektor $\overrightarrow{PQ}$ linear abhängig sind.
4.2
$\blacktriangleright$ Gleichung der Ebene $\boldsymbol{F}$ ermitteln
Die Punkte $P$ und $Q$ liegen symmetrisch zur Ebene $F$, d.h. der Vektor $\overrightarrow{PQ}$ ist ein Normalenvektor der Ebene $F$. Somit lautet die Koordinatenform der Ebene $F:$ $4x_1 + 2x_2 + 4x_3 = d$.
Um nun das fehlende $d$ zu bestimmen, musst du die Koordinaten eines Punkt der Ebene $F$ in die Koordinatenform einsetzen.

HMF 5 - Analytische Geometrie

5.1
$\blacktriangleright$ Koordinaten von $\boldsymbol{C}$ bestimmen
Gesucht ist ein Punkt $C$, der die Bedingung $\overrightarrow{CA} = 2 \cdot \overrightarrow{AB}$ erfüllt. Du berechnest also zuerst den Vektor
$\overrightarrow{AB} = \pmatrix{-4 \\ 0 \\ 6} - \pmatrix{-2 \\ 1 \\ 4} = \pmatrix{-2 \\ -1 \\ 2}$,
um ihn anschließend in die Gleichung einzusetzen.
5.2
$\blacktriangleright$ Gerade $\boldsymbol{h}$ bestimmen
Gesucht ist eine Gerade $h$, die die zwei Bedingungen $I$ und $II$ erfüllt. Bestimme also zuerst einen Vektor $\vec{t}$, der die Bedingung $I$ erfüllt, um anschließend einen Aufpunkt $P$ für die Gerade $h$ auf der Geraden $g$ zu finden, der den Abstand $3$ zum Punkt $A$ hat.

HMF 6 - Stochastik

6.1
$\blacktriangleright$ Wert für $\boldsymbol{x}$ bestimmen
Die Variable $x$ beschreibt das Ereignis „$A \cap \overline{B}$“, also dass Anna zu Hause ist (Ereignis $A$) und dass Björn nicht zu Hause ist (Ereignis $\overline{B}$).
Um die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, vervollständigst du die letzte Spalte der Vierfeldertafel, sodass du eine Gleichung bekommst, die du nach $x$ auflösen kannst.
6.2
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen
Nun wird vorausgesetzt, dass Anna nicht zu Hause ist. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter dieser Bedingung Björn zu Hause ist, d.h. $P(B \mid\ \overline{A})$ muss berechnet werden.
Sind zwei Ereignisse $C$ und $D$ gegeben, so ist die bedingte Wahrscheinlichkeit von $C$, dabei wird $D$ vorausgesetzt, gegeben durch
$P(C \mid\ D) = \dfrac{P(C \cap D)}{P(D)}.$
$P(C \mid\ D) = \dfrac{P(C \cap D)}{P(D)}.$

HMF 7 - Stochastik

7.1
$\blacktriangleright$ Begründen des Zufallsexperiments
In dieser Teilaufgabe musst du begründen, dass es sich nicht um ein Laplace-Experiment handelt.
Bei einem Laplace-Experiment müssen alle Ausprängungen, also die möglichen Ergebnisse, mit gleicher Wahrscheinlichkeit auftreten.
7.2
$\blacktriangleright$ Erwartungswert von $\boldsymbol{X}$ berechnen
Sei $X$ eine Zufallsvariable, die die Werte $X = x_{i}$ für $i=1, \dots n$ annehmen kann und $P(X = x_i)$ die dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten. Dann gilt für den Erwartungswert von $X$
$E(X) = x_1 \cdot P(X=x_1) + x_2 \cdot P(X=x_2) + \dots + x_n \cdot P(X=x_n).$
$E(X) = x_1 \cdot P(X=x_1) + x_2 \cdot P(X=x_2) + \dots + x_n \cdot P(X=x_n).$
In dieser Teilaufgabe beschreibt $X$ die Anzahl der Würfe, d.h. $X$ kann nur die Werte $2$ oder $3$ annehmen.

HMF 8 - Stochastik

8.1
$\blacktriangleright$ Wahrschenlichkeit $\boldsymbol{P(X \leq 1)}$ berechnen
In diesem Aufgabenteil benötigst du die Binomialverteilung . Die Formel für $n$ Versuche, $k$ Erfolge und der Wahrscheinlichkeit $p$ bei einem Versuch einen Erfolg zu erzielen lautet
$B_{n,p}(k) = \binom{n}{k}\cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}.$
$B_{n,p}(k) $=$ \binom{n}{k}\cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}.$
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dafür, bei zwei Versuchen und der Erfolgswahrscheinlichkeit $p = 0,4$ höchstens einen Erfolg zu erzielen, also entweder $X = 0$ oder $X = 1.$ Setze also die entsprechenden Werte in die Formel für die Binomialverteilung ein, um $P(X \leq 1)$ zu bestimmen.
8.2
$\blacktriangleright$ Gleichung für beliebiges $\boldsymbol{p}$ zeigen
Du musst nun zeigen, dass für ein beliebiges $0 \leq p \leq 1$ die Gleichung
$P(X \neq 0) + P(X \neq 1) + P(X \neq 2) = 2$
erfüllt ist.
Schreibe $P(X \neq 0)$, $P(X \neq 1)$ und $P(X \neq 2)$ um und fasse anschließend zusammen.
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HMF 1 - Analysis

1.1
$\blacktriangleright$  Näherungswert für Integral bestimmen (1. Möglichkeit)
Du sollst in diesem Aufgabenteil das Integral mit der unteren Integralgrenze $3$ und der oberen Integralgrenze $5$ näherungsweise mithilfe der Abbildung bestimmen. Das Integral ist gerade der Flächeninhalt der zwischen der Funktion $f$ und der $x$-Achse zwischen $3$ und $5$ eingeschlossen wird. Zähle also die Kästchen die sich in diesem Bereich befinden. Dabei entspricht ein Kästchen $0,25$ Flächeneinheiten.
Im Bereich zwischen $3$ und $5$ befinden sich ungefähr $9$ Kästchen. Um nun den Wert des Integral zu bestimmen, musst du $9$ mit $0,25$ multiplizieren, um den Wert des Integrals angeben zu können.
$9 \cdot 0,25 = 2,25.$
Somit hat das Integral $\displaystyle \int_3^5 f(x) \,\mathrm dx$ ungefähr den Wert $2,25.$
$\blacktriangleright$  Näherungswert für Integral bestimmen (2. Möglichkeit)
Anstatt die Kästchen im Bereich zwischen $3$ und $5$ zu zählen, kannst du das Integral auch mithilfe eines Trapezes annähern. Der Flächeninhalt $A_{Trapez}$ ist durch folgende Formel gegeben:
$A_{Trapez} = \dfrac{a+c}{2} \cdot h.$
$A_{Trapez} = \dfrac{a+c}{2} \cdot h.$
$a$ und $c$ bezeichnen die Längen der Seiten und $h$ die Höhe des Trapezes.
Folglich gilt für das gesuchte Integral $I$
$\begin{array}[t]{rll} I &=& \dfrac{f(3)+f(5)}{2} \cdot 2 \\[5pt] &\approx& \dfrac{0,7 + 1,7}{2} \cdot 2 \\[5pt] &=& 2,4. \end{array}$
Somit hat das Integral $\displaystyle \int_3^5 f(x) \,\mathrm dx$ mit der Näherung durch ein Trapez ungefähr den Wert $2,4.$
#trapez#integral
1.2
$\blacktriangleright$  Ableitung von $\boldsymbol{F}$ an der Stelle 2 angeben
$F$ ist eine Stammfunktion der Funktion $f$, d.h. der Wert von $f$ an der Stelle $x$ gibt gerade die Ableitung von $F$ an der Stelle $x$ an. Du musst also den Wert $f(2)$ in der Abbildung ablesen.
$f(2) \approx 0,5.$
Demnach ist die Ableitung der Funktion $F$ an der Stelle $2$ ungefähr $0,5$.
#stammfunktion
1.3
$\blacktriangleright$  Wert des $\boldsymbol{\displaystyle \int_3^b f(x)}$ dx berechnen
Wenn du ein Integral $\displaystyle \int_a^b f(x) \,\mathrm dx$ gegeben hast, gilt nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
$\displaystyle \int_a^b f(x) \,\mathrm dx = F(b) - F(a)$
$\displaystyle \int_a^b f(x) \,\mathrm dx = F(b) - F(a).$
$F$ bezeichnet dabei die Stammfunktion von $f$.
Nach Voraussetzung ist $F(3) = 0$, sodass für das Integral $\displaystyle \int_3^b f(x) \,\mathrm dx$ gilt:
$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle \int_3^b f(x) \,\mathrm dx &=& F(b) - F(3) \\[5pt] &=& F(b) - 0 \\[5pt] &=& F(b). \end{array}$
Demnach ist der Wert des Integrals $\displaystyle \int_3^b f(x) \,\mathrm dx$ für beliebige $b > 3$ gleich $F(b)$.
#stammfunktion#integral

HMF 2 - Analysis

2.1
$\blacktriangleright$  Ableitung an der Stelle $\boldsymbol{3}$ bestimmen
Gegeben hast du die Funktion $f(x) = x^2 \cdot \mathrm e^{2-x}$. Als erstes bestimmt du die allgemeine Ableitung $f'(x)$ mithilfe der Produktregel. Hast du eine Funktion der Form $f(x) = u(x) \cdot v(x)$ gegeben, so besagt die Produktregel, dass die Ableitung der Funktion durch
$f'(x)= u'(x)\cdot v(x) + u(x)\cdot v'(x).$
$f'(x)= u'(x)\cdot v(x) + u(x)\cdot v'(x).$
gegeben ist.
In diesem Fall ist $u(x) = x^2$ und $v(x) = \mathrm e^{2-x}.$ Demnach lautet die Ableitung
$\begin{array}[t]{rll} f'(x) &=& 2x \cdot \mathrm e^{2-x} + x^2 \cdot (-\mathrm e^{2-x}) \\[5pt] &=& \mathrm e^{2-x} \cdot (2x - x^2). \end{array}$
Setze nun die entsprechenden Stelle in die Ableitung ein, um den Wert der Ableitung an dieser Stelle zu erhalten.
$\begin{array}[t]{rll} f'(3) &=& \mathrm e^{2-3} \cdot (2 \cdot 3 - 3^2) \\[5pt] &=& \mathrm e^{-1} \cdot (6-9) \\[5pt] &=& \dfrac{-3}{\mathrm e} \end{array}$
Die Ableitung an der Stelle $3$ ist also gleich $\dfrac{-3}{\mathrm e}$.
#produktregel#ableitung
2.2
$\blacktriangleright$  Gleichung der Tangente $\boldsymbol{t}$ an der Stelle $\boldsymbol{3}$ bestimmen
Die Tangente $t$ ist eine Gerade, d.h. sie besitzt die Form
$t:$ $y = mx + c.$
$t:$ $y = mx + c.$
Dabei ist $m$ die Steigung der Tangente und $c$ der Ordinatenabschnitt, also der Wert an dem die Tangente die $y$-Achse schneidet.
Du hast die Steigung $m$ an der Stelle $3$ in der ersten Teilaufgabe bestimmt. Weiterhin weißt du, dass der Punkt $(3 \mid\ f(3))$ auf der Geraden liegen muss. Somit ist die einzig gesuchte Größe der Ordinatenabschnitt $c$. Du formst also die obere Gleichung nach $c$ um und setzt die bekannten Werte ein.
$\begin{array}[t]{rll} y &=& mx + c &\quad \scriptsize \mid\; -mx \\[5pt] c &=& y - mx \\[5pt] &=& f(3) + \dfrac{3}{\mathrm e} \cdot 3 \\[5pt] &=& 3^2 \cdot \mathrm e^{2-3} + \dfrac{9}{\mathrm e} \\[5pt] &=& \dfrac{18}{\mathrm e} \end{array}$
Der gesuchte Ordintenabschnitt ist somit $c=\dfrac{18}{\mathrm e}$. Die Gleichung der Tangente $t$ lautet demnach
$y = \dfrac{-3}{\mathrm e} x + \dfrac{18}{\mathrm e}.$
#geradengleichung#tangente

HMF 3 - Analytische Geometrie

3.1
$\blacktriangleright$ Koordinatenachsen zeichnen
Der Punkt $H$ hat die Koordinaten $(0 \mid 0 \mid 0)$, d.h. der Ursprung des Koordinatensystems liegt in $H$. Da der Punkt $E$ als erste Koordinate eine positive Zahl hat und die restlichen Koordinaten gleich Null sind, ist die $x$-Achse die Gerade $EH$. Die Richtung der $x$-Achse ist dabei die Richtung des Vektors $\overrightarrow{HE}$. Das Vorgehen bei der $y$-Achse ist analog. Da der Punkt $G$ als zweite Koordinate eine positive Zahl hat und die restlichen Koordinaten gleich Null sind, ist die $y$-Achse die Gerade $GH$. Die Richtung der $y$-Achse ist dabei die Richtung des Vektors $\overrightarrow{HG}$. Der Punkt $D$ hat als letzte Koordinate eine negative Zahl (die restlichen Koordinaten sind gleich Null), das bedeutet, dass die $z$-Achse die Gerade $DH$ ist. Die Richtung ist dieses Mal allerdings die Richtung des Vektors $\overrightarrow{DH}$.
Somit ergibt sich folgendes Koordinatensystem:
Hilfsmittelfreier Teil
Abb. 1: Würfel im Koordinatensystem
Hilfsmittelfreier Teil
Abb. 1: Würfel im Koordinatensystem
Der Punkt $A$ hat demnach die Koordinaten $(2 \mid 0 \mid -2).$
#würfel#koordinaten#vektoren
3.2
$\blacktriangleright$ Punkt $\boldsymbol{P}$ bestimmen
Sind zwei Punkte $P_1(x_1 \mid y_1 \mid z_1)$ und $P_2(x_2 \mid y_2 \mid z_2)$ gegeben, so ist der Abstand $\boldsymbol{d}$ der beiden Punkte definiert als
$\boldsymbol{d = \sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2 + (z_1 - z_2)^2}}.$
$\boldsymbol{d = \sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2 + (z_1 - z_2)^2}}.$
Der Punkt $P$ soll auf der Kante $\overline{FB}$ des Würfels liegen und soll zum Punkt $H$ (dem Ursprung des Koordinatensystems) den Abstand $3$ haben, d.h. $d=3$. Die Koordinaten des zweiten Punkts $H$ sind gegeben. Die Koordinaten des ersten Punkts $P$ kannst du mithilfe des Ortvektors von $F$ und dem Vektor $\overrightarrow{FB}$ umschreiben.
$P = \overrightarrow{OF} + \lambda \cdot \overrightarrow{FB} = \pmatrix{2 \\ 2 \\ 0} + \lambda \cdot \pmatrix{0 \\ 0 \\ -2}$ mit $0 \leq \lambda \leq 1.$
Setze nun die Koordinaten der Punkte in die Formel für den Abstand mit $d=3$ ein und löse die Gleichung nach $\lambda$ auf
$\begin{array}[t]{rll} 3 &=& \sqrt{(2 + 0 \cdot \lambda - 0)^2 + (2 + 0 \cdot \lambda - 0)^2 + (0 - 2 \lambda - 0)^2} \\[5pt] &=& \sqrt{4 + 4 + 4 \lambda^2} &\quad \scriptsize \mid\ ^2 \\[5pt] 9 &=& 4 + 4 + 4 \lambda^2 &\quad \scriptsize \mid\ -8 \\[5pt] 1 &=& 4 \lambda^2 &\quad \scriptsize \mid\ :4 \\[5pt] \lambda^2 &=& \dfrac{1}{4} &\quad \scriptsize \mid\ \sqrt{\,} \\[5pt] \lambda &=& \pm \dfrac{1}{2} \end{array}$
Da für $\lambda = -\dfrac{1}{2}$ der Punkt $P$ nicht auf der Kante $\overline{FB}$ liegen würde, muss $\lambda = \dfrac{1}{2}$ sein. Für $\overrightarrow{OP}$ gilt somit
$\overrightarrow{OP} = \pmatrix{2 \\ 2 \\ 0} + \dfrac{1}{2} \cdot \pmatrix{0 \\ 0 \\ -2} = \pmatrix{2 \\ 2 \\ -1}.$
Somit sind die Koordinaten von $P(2 \mid 2 \mid -1).$
#koordinaten#vektoren#würfel

HMF 4 - Analytische Geometrie

4.1
$\blacktriangleright$ Nachweisen, dass die Gerade orthogonal zur Ebene ist
Du musst in dieser Aufgabe zeigen, dass die Gerade, die durch die Punkte $P$ und $Q$ geht, orthogonal zur Ebene $E$ ist. Da die Ebenengleichung in Koordinatenform angegeben ist, ist die einfachste Möglichkeit, den Normalenvektor an der Koordinatenform abzulesen und zeigen, dass dieser Vektor mit dem Vektor $\overrightarrow{PQ}$ linear abhängig ist.
Wenn du eine Ebene mit der Koordinatenform $ax_1 + bx_2 + cx_3 = d$ gegeben hast, lautet der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$
$\overrightarrow{n} = \pmatrix{a \\ b \\ c}.$
$\overrightarrow{n} = \pmatrix{a \\ b \\ c}.$
Folglich lautet der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gegebenen Ebene $\overrightarrow{n} = \pmatrix{2 \\ 1 \\ 2}.$
Im nächsten Schritt berechnest du den Vektor $\overrightarrow{PQ}.$
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{PQ} &=& \overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OP} \\[5pt] &=& \pmatrix{5 \\ 2 \\ 6} - \pmatrix{1 \\ 0 \\ 2} \\[5pt] &=& \pmatrix{4 \\ 2 \\ 4}. \end{array}$
Die beiden Vektoren $\overrightarrow{n}$ und $\overrightarrow{PQ}$ sind linear abhängig, da $2 \cdot \pmatrix{2 \\ 1 \\ 2} = \pmatrix{4 \\ 2 \\ 4}$.
Somit steht die Ebene $E$ senkrecht zur Geraden $PQ$.
#lineareabhängigkeit#normalenvektor#orthogonal#koordinatenform
4.2
$\blacktriangleright$ Gleichung der Ebene $\boldsymbol{F}$ ermitteln
Die Punkte $P$ und $Q$ liegen symmetrisch zur Ebene $F$, d.h. der Vektor $\overrightarrow{PQ}$ ist ein Normalenvektor der Ebene $F$. Somit lautet die Koordinatenform der Ebene $F:$ $4x_1 + 2x_2 + 4x_3 = d$.
Um nun das fehlende $d$ zu bestimmen, musst du die Koordinaten eines Punkt der Ebene $F$ in die Koordinatenform einsetzen.
Da $P$ und $Q$ symmetrisch zur Ebene $F$ sind, liegt der Mittelpunkt $M$ der Strecke $\overline{PQ}$ in der Ebene $F$. Der Ortsvektor von $M$ ist demnach.
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OM} &=& \overrightarrow{OP} + \dfrac{1}{2} \cdot \overrightarrow{PQ} \\[5pt] &=& \pmatrix{1 \\ 0 \\ 2} + \dfrac{1}{2} \cdot \pmatrix{4 \\ 2 \\ 4} \\[5pt] &=& \pmatrix{3 \\ 1 \\ 4}. \end{array}$
Der Punkt $M$ hat also die Koordinaten $(3 \mid\ 1 \mid\ 4).$ Setzte diese in die Koordinatenform, um das gesuchte $d$ zu bekommen.
$\begin{array}[t]{rll} d &=& 4 \cdot 3 + 2 \cdot 1 + 4 \cdot 4 \\[5pt] &=& 30. \\[5pt] \end{array}$
Die Koordinatenform der Ebene $F$ lautet also $4x_1 + 2x_2 + 4x_3 = 30$ bzw. $2x_1 + x_2 + 2x_3 = 15$, wenn man die Gleichung durch $2$ teilt.
#normalenvektor#vektoren#symmetrie#koordinatenform#ebenengleichung

HMF 5 - Analytische Geometrie

5.1
$\blacktriangleright$ Koordinaten von $\boldsymbol{C}$ bestimmen
Gesucht ist ein Punkt $C$, der die Bedingung $\overrightarrow{CA} = 2 \cdot \overrightarrow{AB}$ erfüllt. Du berechnest also zuerst den Vektor
$\overrightarrow{AB} = \pmatrix{-4 \\ 0 \\ 6} - \pmatrix{-2 \\ 1 \\ 4} = \pmatrix{-2 \\ -1 \\ 2}$,
um ihn anschließend in die Gleichung einzusetzen.
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{-2 - c_1 \\ 1 - c_2 \\ 4 - c_3} &=& 2 \cdot \pmatrix{-2 \\ -1 \\ 2} \\[5pt] &=& \pmatrix{-4 \\ -2 \\ 4} \end{array}$
Somit folgt $c_1 = 2$, $c_2 = 3$ und $c_3 = 0$. Der gesuchte Punkt $C$ hat also die Koordinaten $(2 \mid 3 \mid 0).$
#vektoren#gleichung
5.2
$\blacktriangleright$ Gerade $\boldsymbol{h}$ bestimmen
Gesucht ist eine Gerade $h$, die die zwei Bedingungen $I$ und $II$ erfüllt. Bestimme also zuerst einen Vektor $\vec{t}$, der die Bedingung $I$ erfüllt, um anschließend einen Aufpunkt $P$ für die Gerade $h$ auf der Geraden $g$ zu finden, der den Abstand $3$ zum Punkt $A$ hat.
1.Schritt: Vektor $\boldsymbol{\vec{t}}$ bestimmen
Der Vektor $\vec{t}$ muss orthogonal zu $\overrightarrow{AB}$ liegen, d.h. das Skalarprodukt dieser beiden Vektoren muss null sein.
$\begin{array}[t]{rll} 0 &=& \overrightarrow{AB} \circ \vec{t} \\[5pt] &=& -2t_1 - t_2 + 2t_3 \end{array}$
Wähle $t_1 = 1$ und $t_2=0$, sodass für $t_3$ automatisch $t_3 = 1$ folgt.
Somit ist $\vec{t} = \pmatrix{1 \\ 0 \\ 1}$ und orthogonal zu $\overrightarrow{AB}$.
2.Schritt: Aufpunkt für die Gerade $\boldsymbol{h}$ finden
Der Aufpunkt $P$ der gesuchten Gerade $h$ muss auf der Geraden $g$ liegen und den Abstand $3$ zum Punkt $A$ haben. Somit gibt es zwei mögliche Kandidaten für den Punkt $P$, denn die Kugel mit dem Mittelpunkt $A$ und dem Radius $3$ schneidet $g$ in zwei Punkten.
Folglich muss der Richtungsvektor $\pmatrix{-2 \\ -1 \\ 2}$ vom Punkt $A$ aus $3$ Einheiten lang sein.
$\begin{array}[t]{rll} 3 &=& \left| \lambda \cdot \pmatrix{-2 \\ -1 \\ 2} \right| \\[5pt] &=& \sqrt{(-2\lambda)^2 + (-\lambda)^2 + (2\lambda)^2} \\[5pt] &=& \sqrt{9 \lambda^2} \\[5pt] &=& \pm 3 \lambda \end{array}$
Somit kann $\lambda$ entweder $1$ oder $-1$ sein.
Wähle $\lambda = 1$ und bestimme die Koordinaten von $P$.
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OP}&=& \overrightarrow{OA} + 1 \cdot \pmatrix{-2 \\ -1 \\ 2} \\[5pt] &=& \pmatrix{-2 \\ 1 \\ 4} + 1 \cdot \pmatrix{-2 \\ -1 \\ 2} \\[5pt] &=& \pmatrix{-4 \\ 0 \\ 6}. \end{array}$
Demnach hat $P$ die gleichen Koordinaten wie der Punkt $B$.
3.Schritt: Geradengleichung aufstellen
Nun hast du alle notwendigen Informationen berechnet, um die Geradengleichung von $h$ aufzustellen. Du benutzt als Aufpunkt den Punkt $P$ und als Richtungsvektor $\overrightarrow{t}$.
$h:$ $ \pmatrix{-4 \\ 0 \\ 6}+ \lambda \cdot \pmatrix{1 \\ 0 \\ 1}$
Bemerkung: Beachte, dass es hier unendlich viele Lösungen gibt. Du kannst den Richtungsvektor der Gerade $h$ auch anders wählen und für den Aufpunkt $P$ gibt es zwei Möglichkeiten.
#geradengleichung#skalarprodukt#koordinaten#orthogonal#vektoren

HMF 6 - Stochastik

6.1
$\blacktriangleright$ Wert für $\boldsymbol{x}$ bestimmen
Die Variable $x$ beschreibt, dass Ereignis „$A \cap \overline{B}$“, also dass Anna zu Hause ist (Ereignis $A$) und das Björn nicht zu Hause ist (Ereignis $\overline{B}$).
Um diesen Wert zu bestimmen, vervollständigst du die letzt Spalte der Vierfeldertafel, sodass du eine Gleichung bekommst, die du nach $x$ auflösen kannst.
Die gesuchte Zahl, die im leeren Feld der letzten Spalte stehen soll, muss mit $0,7$ $1$ ergeben. Somit steht im ersten Feld der letzten Spalte $0,3$.
Die Addition von $0,1$ und $x$ muss $0,3$ ergeben.
$0,1 + x = 0,3.$
Demzufolge ist $x = 0,2$.
$B$$\overline{B}$
$A$$0,1$$0,2$$0,3$
$\overline{A}$$0,7$
$0,6$$1$
6.2
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen
Nun wird vorausgesetzt, dass Anna nicht zu Hause ist. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter dieser Bedigung Björn zu Hause ist, d.h. $P(B \mid\ \overline{A})$ muss berechnet werden.
Sind zwei Ereignisse $C$ und $D$ gegeben, so ist die bedingte Wahrscheinlichkeit von $C$, dabei wird $D$ vorausgesetzt, gegeben durch
$P(C \mid\ D) = \dfrac{P(C \cap D)}{P(D)}.$
$P(C \mid\ D) = \dfrac{P(C \cap D)}{P(D)}.$
Die Wahrscheinlichkeit, dass Björn zu Hause ist unter der Bedingung, dass es Anna nicht ist, beträgt also:
$\begin{array}[t]{rll} P(B \mid\ \overline{A}) &=& \dfrac{P(B \cap \overline{A})}{P(\overline{A})} \\[5pt] &=& \dfrac{P(B \cap \overline{A})}{0,7} \end{array}$
$P(B \cap \overline{A})$ kannst du mithilfe der Vierfeldertafel bestimmen.
$\begin{array}[t]{rll} P(B \cap \overline{A}) &=& 0,6 - 0,1 \\[5pt] &=& 0,5. \end{array}$
Demnach ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit
$\begin{array}[t]{rll} P(B \mid\ \overline{A}) &=& \dfrac{0,5}{0,7} \\[5pt] &=& \dfrac{5}{7}. \end{array}$
Björn ist also mit einer Wahrscheinlichkeit von $P(B \mid\ \overline{A}) = \dfrac{5}{7}$ zu Hause, unter der Voraussetzung, dass Anna nicht zu Hause ist.
#bedingtewahrscheinlichkeit

HMF 7 - Stochastik

7.1
$\blacktriangleright$ Begründen des Zufallsexperiments
In dieser Teilaufgabe musst du begründen, dass es sich nicht um ein Laplace-Experiment handelt.
Bei einem Laplace-Experiment müssen alle Ausprängungen, also die möglichen Ergebnisse, mit gleicher Wahrscheinlichkeit auftreten.
Betrachtest du $P(\{ ZZ\}) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}$ und $P(\{ ZWZ\}) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{8}$, so stellt du fest, dass die Wahrscheinlichkeiten dieser zweier Ergebnisse verschieden sind.
Somit handelt es sich nicht um ein Laplace-Experiment.
#zufallsexperiment#laplaceexperiment
7.2
$\blacktriangleright$ Erwartungswert von $\boldsymbol{X}$ berechnen
Sei $X$ eine Zufallsvariable, die die Werte $X = x_{i}$ für $i=1, \dots n$ annehmen kann und $P(X = x_i)$ die dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten. Dann gilt für den Erwartungswert von $X$
$E(X) = x_1 \cdot P(X=x_1) + x_2 \cdot P(X=x_2) + \dots + x_n \cdot P(X=x_n).$
$E(X) = x_1 \cdot P(X=x_1) + x_2 \cdot P(X=x_2) + \dots + x_n \cdot P(X=x_n).$
In dieser Teilaufgabe beschreibt $X$ die Anzahl der Würfe, d.h. $X$ kann nur die Werte $2$ oder $3$ annehmen.
Berechne also die Wahrscheinlichkeiten für $X=2$ und $X=3.$
$\begin{array}[t]{rll} P(X=2)&=& P(\{ ZZ \}) + P(\{ WW \}) \\[5pt] &=& \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2}. \end{array}$
Da $X$ nur zwei Werte annehmen kann, folgt für $P(X=3)$ automatisch
$\begin{array}[t]{rll} P(X=3)&=& 1 - P(X=2) \\[5pt] &=& 1 - \dfrac{1}{2} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2}. \end{array}$
Jetzt kannst du alle Werte in die Formel für den Erwartungswert einsetzen
$\begin{array}[t]{rll} E(X)&=& 2 \cdot P(X=2) + 3 \cdot P(X=3) \\[5pt] &=& 2 \cdot \dfrac{1}{2} + 3 \cdot \dfrac{1}{2} \\[5pt] &=& 2,5. \end{array}$
Der Erwarungswert der Zufallsvariablen $X$ beträgt also $2,5$.
#wahrscheinlichkeit#erwartungswert

HMF 8 - Stochastik

8.1
$\blacktriangleright$ Wahrschenlichkeit $\boldsymbol{P(X \leq 1)}$ berechnen
In diesem Aufgabenteil benötigst du die Binomialverteilung . Die Formel für $n$ Versuche, $k$ Erfolge und der Wahrscheinlichkeit $p$ bei einem Versuch einen Erfolg zu erzielen lautet
$B_{n,p}(k) = \binom{n}{k}\cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}.$
$B_{n,p}(k) $=$ \binom{n}{k}\cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}.$
Gesucht ist Wahrscheinlichkeit dafür, bei zwei Versuchen und der Erfolgswahrscheinlichkeit $p = 0,4$ höchstens einen Erfolg zu erzielen, also entweder $X = 0$ oder $X = 1.$ Setzt also die entsprechenden Werte in die Formel für die Binomialverteilung ein, um $P(X \leq 1)$ zu bestimmen.
$\begin{array}[t]{rll} P(X \leq 1) &=& P(X = 0 ) + P(X = 1) \\[5pt] &=& \binom{2}{0}\cdot 0,4^0 \cdot (1-0,4)^{2-0} + \binom{2}{1}\cdot 0,4^1 \cdot (1-0,4)^{2-1} \\[5pt] &=& 0,36 + 0,48 \\[5pt] &=& 0,84 \\[5pt] &=& 0,84 \% \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit bei zwei Versuchen höchstens einen Erfolg zu erzielen, liegt bei $84 \%.$
#binomialverteilung#wahrscheinlichkeit
8.2
$\blacktriangleright$ Gleichung für beliebiges $\boldsymbol{p}$ zeigen
Du musst nun zeigen, dass für ein beliebiges $0 \leq p \leq 1$ die Gleichung
$P(X \neq 0) + P(X \neq 1) + P(X \neq 2) = 2$
erfüllt ist.
Schreibe $P(X \neq 0)$, $P(X \neq 1)$ und $P(X \neq 2)$ um und fasse anschließend zusammen.
$\begin{array}[t]{rll} P(X \neq 0) + P(X \neq 1) + P(X \neq 2) &=& (P(X = 1) + P(X = 2)) + (P(X = 0) + P(X = 2)) \\[5pt] & & + (P(X = 0) + P(X = 1)) \\[5pt] &=& 2 \cdot (P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)) \\[5pt] &=& 2 \cdot 1 \\[5pt] &=& 2. \end{array}$
Die vorgegebene Gleichung ist also für alle $p$ erfüllt.
Bildnachweise [nach oben]
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