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Analysis 1

Aufgaben
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Gegeben ist die Funktion
$f:\quad x\mapsto -\frac{1}{10^6}x^4+\frac{4}{9.375}x^3-\frac{13}{250}x^2+\frac{8}{5}x+140$
$ f:\quad x\mapsto -\frac{1}{10^6}x^4+… $
mit Definitionsbereich $\mathbb{R}.$
a)
1)
Berechne die Koordinaten der Extrempunkte des Graphen von $f$ und bestimme die Art dieser Extrempunkte.
[Zur Kontrolle: Die Extremstellen sind $20,$ $100$ und $200.$]
(5 BE)
#extrempunkt
$\,$
2)
Gib die Koordinaten des Schnittpunkts des Graphen von $f$ mit der $y$-Achse an. Begründe ohne weitere Rechnung, dass $f$ genau zwei Nullstellen hat.
(4 BE)
#nullstelle
$\,$
3)
Für $50 < x < 130$ gibt es ein Paar von $x$-Werten, die sich um $60$ unterscheiden und für die die zugehörigen Funktionswerte übereinstimmen. Bestimme dieses Paar von $x$-Werten und gib den zugehörigen Funktionswert an.
(4 BE)
b)
Der Graph von $f$ schließt mit den Koordinatenachsen und der Geraden mit der Gleichung $x = 240$ ein Flächenstück ein.
$\,$
1)
Bestimme eine Gleichung der Geraden, die parallel zur $y$-Achse verläuft und dieses Flächenstück halbiert.
(4 BE)
$\,$
Für jedes $x$ mit $0\leq x\leq 240$ ist durch $A(0\mid 0),$ $B_x(x\mid 0)$ und $C_x(x\mid f(x))$ ein Dreieck $AB_xC_x$ gegeben.
Ferner sei die Funktion $d$ mit $d(x)=\frac{1}{2}\cdot x \cdot f(x)$ gegeben.
Die Gleichung $d'(x)=0$ hat genau eine Lösung $u$ mit $0< u\leq 240.$
2)
Berechne $d(u).$
(2 BE)
$\,$
3)
Erläutere die geometrische Bedeutung der Funktionswerte $d(x).$
Untersuche die besondere Bedeutung des Wertes $d(u)$ in diesem Zusammenhang.
(4 BE)
c)
1)
Hohe Glukosewerte über längere Zeit gelten als Risikofaktor. Ermittle anhand der Grafik für den betrachteten Zeitraum, wie lange Glukosewerte über $170\,\frac{\text{mg}}{\text{dl}}$ gemessen wurden.
(3 BE)
$\,$
2)
Berechne für $0\leq x\leq 240$ denjenigen Zeitpunkt, zu dem der Glukosewert am stärksten ansteigt.
(4 BE)
$\,$
3)
Ermittle rechnerisch für $0\leq x\leq 240$, wie lange die momentane Änderungsrate des Glukosewerts insgesamt zwischen $-0,3\,\frac{\text{mg}}{\text{dl}}$ pro Minute und $+0,3\,\frac{\text{mg}}{\text{dl}}$ pro Minute lag.
(4 BE)
d)
Zum Zeitpunkt $240$ Minuten nach Beobachtungsbeginn nimmt der Patient Traubenzucker zu sich. Die anschließende Entwicklung des Glukosewerts soll im Modell mithilfe einer Funktion $g$ beschrieben werden, die folgende Bedingung erfüllt:
Die beiden Werte, die das Modell zum Zeitpunkt $240$ Minuten nach Beobachtungsbeginn für den Glukosewert und für dessen momentane Änderungsrate liefert, sollen unabhängig davon sein, ob sie mithilfe der Funktion $f$ oder mithilfe der Funktion $g$ ermittelt werden.
Zur Bestimmung eines Funktionsterms von $g$ sollen zunächst die in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen
$h_k:\quad x\mapsto 50-50\cdot (k\cdot x+1)^2 \cdot \mathrm e^{-k\cdot x}$
$ h_k:\quad x\mapsto 50- … $
mit $k>0$ betrachtet werden.
$\,$
1)
Bestimme den Wert von $k$ so, dass die momentane Änderungsrate, die sich unter Verwendung von $h_k$ für den Zeitpunkt $0$ ergibt, mit der momentanen Änderungsrate übereinstimmt, die $f$ für den Zeitpunkt $240$ Minuten nach Beobachtungsbeginn liefert.
(2 BE)
#änderungsrate
$\,$
2)
Die für die Funktion $g$ angegebene Bedingung lässt sich erfüllen, wenn der Graph von $g$ durch eine geeignete Verschiebung aus dem Graphen von $h_k$ für $k= \frac{308}{3.125}$ hervorgeht. Beschreibe diese Verschiebung und gib einen Funktionsterm von $g$ an.
(4 BE)
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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Lösungen
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a)
1)
$\blacktriangleright$  Koordinaten der Extrempunkte bestimmenAnalysis 1
Mit dem CAS kannst du die Ableitungen definieren:
$\blacktriangleright$ Casio Classpad II
keyboard $\to$ Math2 $\to$ $\frac{\text{d}}{\text{d}\Box}$
$\blacktriangleright$ Casio Classpad II
keyboard $\to$ Math2 $\to$ $\frac{\text{d}}{\text{d}\Box}$
Mit dem solve-Befehl und dem Ableitungsbefehl des CAS folgt für das notwendige Kriterium für Extremstellen:
$\begin{array}[t]{rll} f'(x)&=& 0 \\[5pt] x_3&=& 20 \\[5pt] x_4&=& 100 \\[5pt] x_5&=& 200 \end{array}$
Für das hinreichende Kriterium folgt ebenfalls mit dem CAS:
$\begin{array}[t]{rll} f''(x_3)&=& f''(20) \\[5pt] &=& -\frac{36}{625} < 0\\[10pt] f''(x_4)&=& f''(100) \\[5pt] &=& \frac{4}{125} > 0 \\[10pt] f''(x_5)&=& f''(200) \\[5pt] &=& -\frac{9}{125} < 0 \\[10pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f''(x_3)& < 0\\[10pt] f''(x_4)& > 0 \\[10pt] f''(x_5)& < 0 \\[10pt] \end{array}$
An der Stelle $x_3$ und $x_5$ besitzt der Graph von $f$ also jeweils einen Hochpunkt und an der Stelle $x_4$ einen Tiefpunkt. Für die $y$-Koordinaten folgt:
$\begin{array}[t]{rll} f(x_3)&=& f(20) \\[5pt] &=& \frac{11.584}{75} \\[10pt] f(x_4)&=& f(100) \\[5pt] &=& \frac{320}{3} \\[10pt] f(x_5)&=& f(200) \\[5pt] &=& \frac{580}{3} \\[10pt] \end{array}$
Der Graph von $f$ besitzt zwei Hochpunkte $H_1\left(20\mid \frac{11.584}{75}\right)$ und $H_2\left(200\mid \frac{580}{3}\right)$ und einen Tiefpunkt $T\left(100\mid \frac{320}{3}\right).$
$\,$
2)
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Schnittpunkts angeben
$\begin{array}[t]{rll} f(0)&=&-\frac{1}{10^6}\cdot 0^4+\frac{4}{9.375}\cdot 0^3-\frac{13}{250}\cdot 0^2+\frac{8}{5}\cdot 0+140 \\[5pt] &=& 140 \\[5pt] \end{array}$
$ f(0)=140 $
Der Graph von $f$ schneidet die $y$-Achse im Punkt $S_y(0\mid 140).$
$\blacktriangleright$  Anzahl der Nullstellen begründen
Die drei Extrempunkte des Graphen von $f$ liegen oberhalb der $x$-Achse. Im Intervall $[20;200]$ kann $f$ daher keine Nullstellen besitzen, da sonst der Tiefpunkt eine negative $y$-Koordinate haben müsste.
Da $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x) = -\infty$ und $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x) = -\infty$ gilt, muss der Graph von $f$ aber für $x < 20$ genau einmal die $x$-Achse schneiden. Würde er sie zweimal schneiden, gäbe es für $x< 20$ noch einen weiteren Tiefpunkt. Gleiches gilt für $x> 200.$ Insgesamt besitzt $f$ daher genau zwei Nullstellen.
$\,$
3)
$\blacktriangleright$  Wertepaar bestimmen
Es ist $x$ gesucht mit $f(x)=f(x+60)$ und $50< x< 130.$ Mit dem solve-Befehl des CAS folgt:
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& f(x+60) &\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] x &=& 69,1528 \end{array}$
$ x = 69,1528 $
Die übrigen Lösungen der Gleichung liegen außerhalb des geforderten Bereichs.
Das gesuchte Paar von $x$-Werten ist also $x_1= 69,1528$ und $x_2= 129,1528.$ Diese haben einen Abstand von $60$ und den gemeinsamen Funktionswert $f(69,1528)=120,203.$
b)
1)
$\blacktriangleright$  Geradengleichung bestimmen
Gesucht ist eine Gerade $x=b$ mit:
$\frac{1}{2}\displaystyle\int_{0}^{240}f(x)\;\mathrm dx$ $= \displaystyle\int_{0}^{b}f(x)\;\mathrm dx$
Mit dem solve-Befehl des CAS erhält man drei Lösungen für $b.$ Da die Gerade die Fläche halbieren soll, muss $b\in [0;240]$ sein. Die einzige passende Lösung ist $b\approx 135,461.$
Eine Gleichung der Geraden, die parallel zur $y$-Achse verläuft und das Flächenstück halbiert, lautet $x = 135,461.$
#integral
$\,$
2)
$\blacktriangleright$  Funktionswert berechnen
Bestimme mithilfe des Ableitungs- und des solve-Befehls deines CAS zunächst die Stelle $u:$
$\begin{array}[t]{rll} d'(x)&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] x_1&=& 210,627\\[5pt] x_2&=& -19,9266 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_1&=& 210,627\\[5pt] x_2&=& -19,9266 \end{array}$
Es ist also $u=x_1=210,627.$ Für den Funktionswert folgt:
$d(u)\approx 19.883,9$
$\,$
3)
$\blacktriangleright$  Geometrische Bedeutung erläutern
Die Funktionswerte $d(x)$ geben in Abhängigkeit von $x$ den Flächeninhalt der Dreiecke $AB_xC_x$ an.
Da $d'$ an der Stelle $x=u$ eine Nullstelle besitzt, ist an dieser Stelle das notwendige Kriterium für Extremstellen erfüllt. Dies deutet darauf hin, dass der Graph von $d$ an dieser Stelle einen Extrempunkt besitzt.
Für das hinreichende Kriterium für Extremstellen folgt mithilfe des CAS:
$d''(u)\approx -11 < 0 $
Der Graph von $d$ besitzt also an der Stelle $u$ einen Hochpunkt. Da $d'$ laut Aufgabenstellung im betrachteten Bereich keine weitere Nullstelle besitzt, bleibt dies der einzige Extrempunkt und damit ist $d(u)$ der größte Funktionswert von $d$ im betrachteten Bereich.
$d(u)$ ist insgesamt also der größtmögliche Flächeninhalt, den ein Dreieck $AB_xC_x$ haben kann.
#extrempunkt
c)
1)
$\blacktriangleright$  Länge des Zeitraums ermitteln
Aus der Grafik kannst du ablesen, dass in etwa gilt:
$f(170)\approx 170$ und $f(225)\approx 170$
Dazwischen verläuft der Graph von $f$ oberhalb der Geraden mit $y=170.$
Es werden also ca. $55$ Minuten lang Glukosewerte über $170\,\frac{\text{mg}}{\text{dl}}$ gemessen.
$\,$
2)
$\blacktriangleright$  Zeitpunkt mit dem stärksten Anstieg berechnen
Der Zeitpunkt mit dem stärksten Anstieg ist der Zeitpunkt, zu dem $f'$ ihr Maximum annimmt. Untersuche also wie in Teilaufgabe a1) den Graphen von $f'$ auf Extrempunkte. Überprüfe anschließend die Intervallränder auf mögliche Randextrema.
Für das notwendige Kriterium für Extremstellen folgt mit dem solve-Befehl des CAS:
$\begin{array}[t]{rll} f''(x)&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] x_1&=& \dfrac{-20\cdot \left(\sqrt{61}-16 \right)}{3} \\[5pt] x_2&=& \dfrac{20\cdot \left(\sqrt{61}+16 \right)}{3} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_1&=&… \\[5pt] x_2&=& … \end{array}$
Für das hinreichende Kriterium für Extremstellen folgt ebenfalls mit dem CAS:
$\begin{array}[t]{rll} f'''(x_1)&=& \dfrac{\sqrt{61}}{6.250} > 0\\[5pt] f'''(x_2)&=& - \dfrac{\sqrt{61}}{6.250} < 0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f'''(x_1)& > 0\\[5pt] f'''(x_2)& < 0 \end{array}$
Der Graph von $f'$ besitzt also an der Stelle $x_2$ einen Hochpunkt.
Für die Steigungswerte an diesem Hochpunkt und in den Intervallrändern gilt:
$\begin{array}[t]{rll} f'(x_2)&\approx& 1,345 \\[5pt] f'(0)&=& 1,6 \\[5pt] f'(240)&=& -4,928 \end{array}$
Der Zeitpunkt mit dem stärksten Anstieg des Glukosewertes liegt also direkt zu Beginn des Messzeitraums, bei $x=0.$
#extrempunkt
$\,$
3)
$\blacktriangleright$  Zeitraum ermitteln
Die momentane Änderungsrate des Glukosewertes wird durch die 1. Ableitung $f'$ von $f$ beschrieben. Gesucht sind also alle Werte von $x$ für die $-0,3 \leq f'(x) \leq 0,3$ ist. Mit dem solve-Befehl des CAS ergeben sich drei Intervalle:
  • $15,213\leq x \leq 25,8027,$ eine Dauer von ca. $10,59$ Minuten
  • $90,2735\leq x \leq 109,26,$ eine Dauer von ca. $18,99$ Minuten.
  • $195,527 \leq x\leq 203,924,$ eine Dauer von ca. $8,40$ Minuten.
Insgesamt ergibt sich also eine Dauer von ca. $38$ Minuten, in denen die momentane Änderungsrate des Glukosewertes zwischen $-0,3\,\frac{\text{mg}}{\text{dl}}$ pro Minute und $+0,3\,\frac{\text{mg}}{\text{dl}}$ pro Minute beträgt.
d)
1)
$\blacktriangleright$  Parameterwert bestimmen
Die momentane Änderungsrate wird jeweils durch die erste Ableitung beschrieben. Es soll also gelten $h_k'(0)=f'(240).$ Mit dem Ableitungs- und dem solve-Befehl des CAS folgt:
$k = \frac{308}{3.125}$
$\,$
2)
$\blacktriangleright$  Verschiebung beschreiben
Durch den angegebenen Wert von $k$ ist laut 3 e) bereits die geforderte momentane Änderungsrate für $h_k$ erfüllt. Damit dies erhalten bleibt, darf der Graph von $h_k$ nur in $y$-Richtung verschoben werden. Dies hat keinen Einfluss auf die momentane Änderungsrate, aber auf die Funktionswerte.
Es ist also:
$g(x)= h_{\frac{308}{3.125}}(x) + c = 50-50\cdot \left(\frac{308}{3.125}\cdot x +1\right)^2 \cdot \mathrm e^{-\frac{308}{3.125}\cdot x} + c $
$ g(x)= … $
$c$ muss nun so gewählt werden, dass $g(0)=f(240)$ ist. Mit dem solve-Befehl des CAS ergibt sich:
$c=\frac{2.732}{25}$
Insgesamt ergibt sich für $g$ folgender Funktionsterm:
$\begin{array}[t]{rll} g(x)&=&50-50\cdot \left(\frac{308}{3.125}\cdot x +1\right)^2 \cdot \mathrm e^{-\frac{308}{3.125}\cdot x}+ \frac{2.732}{25} \\[5pt] &=&\frac{3.982}{25}-50\cdot \left(\frac{308}{3.125}\cdot x +1\right)^2 \cdot \mathrm e^{-\frac{308}{3.125}\cdot x} \end{array}$
$ g(x)=… $
Der Graph von $h_k$ für $k = \frac{308}{3.125}$ muss um $ \frac{2.732}{25}$ Einheiten in positive $y$-Richtung verschoben werden, damit sowohl die momentane Änderungsrate als auch der Glukosewert mit der Modellierung durch die Funktion $f$ übereinstimmt. Ein Term der Funktion $g$ lautet:
$g(x)= \frac{3.982}{25}-50\cdot \left(\frac{308}{3.125}\cdot x +1\right)^2 \cdot \mathrm e^{-\frac{308}{3.125}\cdot x}$
$ g(x)=… $
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