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Stochastik

Aufgaben
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Eine Firma stellt Flachbildschirme her. Im Mittel ist einer von fünf hergestellten Bildschirmen fehlerhaft.
a)
Es soll angenommen werden, dass die Anzahl fehlerhafter Geräte unter zufällig ausgewählten Bildschirmen durch eine binomialverteilte Zufallsgröße beschrieben werden kann.
Berechne die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:
„Von $50$ zufällig ausgewählten Bildschirmen sind höchstens $8$ fehlerhaft.“
„Von $200$ zufällig ausgewählten Bildschirmen sind mehr als $15\,\%$ und weniger als $25\,\%$ fehlerhaft.“
„Von $10$ zufällig ausgewählten Bildschirmen sind genauso viele fehlerhaft, wie zu erwarten ist.“
(8 BE)
#binomialverteilung
b)
Fehler der Bildschirme treten am häufigsten in Form eines defekten Displays sowie in Form eines defekten Netzteils auf. Für einen zufällig ausgewählten Bildschirm beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass
  • das Display defekt ist, $10,7\,\%,$
  • das Display und das Netzteil defekt sind, $1\,\%,$
  • weder das Display noch das Netzteil defekt ist, $87,3\,\%.$
$\,$
1)
Stelle den Sachverhalt in einer vollständig ausgefüllten Vierfeldertafel dar.
(4 BE)
#vierfeldertafel
$\,$
2)
Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass entweder das Display oder das Netzteil defekt ist.
(2 BE)
$\,$
3)
Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Bildschirm mit einem defekten Netzteil ein nicht-defektes Display hat.
(2 BE)
$\,$
4)
Untersuche, ob die beiden betrachteten Defekte unabhängig voneinander auftreten.
(3 BE)
#stochastischeunabhängigkeit
c)
Ein Mitarbeiter der Firma bezweifelt, dass im Mittel einer von fünf Bildschirmen fehlerhaft ist. Um einen Schätzwert für den Anteil fehlerhafter Geräte zu ermitteln, zieht er eine Stichprobe vom Umfang $180.$ In der Stichprobe sind $27$ Bildschirme fehlerhaft.
$\,$
1)
Zeige, dass der Mitarbeiter bei diesem Testergebnis die Hypothese „Im Mittel ist einer von fünf Bildschrimen fehlerhaft“ auf einem Signifikanzniveau von $5\,\%$ nicht verwerfen kann.
Entscheide, ob die Zweifel des Mitarbeiters damit ausgeräumt sind.
(9 BE)
#hypothesentest
$\,$
Bei hinreichend großem Stichprobenumfang $n$ kann aus der relativen Häufigkeit $h,$ die sich bei der Durchführung des Tests ergibt, die Obergrenze $p_{max}$ bzw. Untergrenze $p_{min}$ des $95\,\%$-Konfidenzintervalls folgendermaßen näherungsweise berechnet werden:
$p_{max} \approx h+1,96\cdot \sqrt{\dfrac{h\cdot (1-h)}{n}}\, ;\quad$ $p_{min}\approx h-1,96 \cdot \sqrt{\dfrac{h\cdot (1-h)}{n}}$
$p_{max} \approx h+1,96\cdot \sqrt{\dfrac{h\cdot (1-h)}{n}}\, ;\quad$ $p_{min}\approx h-1,96 \cdot \sqrt{\dfrac{h\cdot (1-h)}{n}}$
$\,$
2)
Bestimme damit das zu dem Testergebnis $27$ gehörende $95\,\%$-Konfidenzintervall.
(3 BE)
$\,$
3)
Zeige mit Hilfe der oben genannten Näherungsformeln allgemein, dass sich die Länge eines $95\,\%$-Konfidenzintervalls bei Verdopplung des Stichprobenumfangs $n$ und gleicher relativer Häufigkeit $h$ verkleinert, aber nicht halbiert.
(4 BE)
d)
Tatsächlich sind $20\,\%$ aller Bildschirme fehlerhaft.
Bei einer abschließenden Prüfung werden alle fehlerfreien Bildschirme auch als fehlerfrei eingestuft. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein fehlerhafter Bildschirm als fehlerhaft eingestuft wird, wird mit $x$ bezeichnet. Ein im Rahmen der Prüfung als fehlerfrei eingestufter Bildschirm wird zufällig ausgewählt. Bestimme den kleinstmöglichen Wert von $x,$ für den die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dieser Bildschirm fehlerhaft ist, höchstens $5\,\%$ beträgt.
(5 BE)
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a)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeiten berechnenStochastik
Betrachte die Zufallsgröße $X_{n},$ die die Anzahl fehlerhafter Geräte unter $n$ zufällig ausgewählten Bildschirmen beschreibt. Diese kann laut Aufgabenstellung als binomialverteilt mit $n$ und $p=\frac{1}{5}=0,2$ angenommen werden.
Die Wahrscheinlichkeiten kannst du mithilfe deines CAS berechnen:
$\blacktriangleright$ Casio Classpad II
Interaktiv $\to$ Verteilungsfunktionen $\to$ Diskret $\to$ binomial CDf
Interaktiv $\to$ Verteilungsfunktionen $\to$ Diskret $\to$ binomial CDf
$\begin{array}[t]{rll} P(A)&=& P(X_{50} \leq 8) &\quad \scriptsize \mid\; CAS\\[5pt] &\approx& 0,3073 \\[5pt] &=& 30,73\,\% \\[10pt] P(B)&=& P(0,15\cdot 200< X_{200}< 0,25\cdot 200 ) \\[5pt] &=& P(30< X_{200}< 50 ) \\[5pt] &=& P(X_{200}\leq 49 ) - P( X_{200}\leq 30)&\quad \scriptsize \mid\;CAS\\[5pt] &\approx& 0,9506- 0,0430\\[5pt] &=& 0,9076 \\[5pt] &=& 90,76\,\% \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P(A)&\approx& 30,73\,\% \\[10pt] P(B)&\approx& 90,76\,\% \\[5pt] \end{array}$
Für Ereignis $C$ wird die Zufallsgröße $X_{10}$ betrachtet. Für den Erwartungswert gilt mithilfe der Binomialverteilung:
$\mu_{10} = 10\cdot 0,2 = 2$
Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt daher mithilfe der Formel für die Binomialverteilung:
$\begin{array}[t]{rll} P(C)&=& P(X_{10} = 2) \\[5pt] &=& \binom{10}{2}\cdot 0,2^2\cdot 0,8^8 \\[5pt] &=& 0,3020 \\[5pt] &=& 30,20\,\% \end{array}$
$ P(C)\approx 30,20\,\% $
b)
1)
$\blacktriangleright$  Vierfeldertafel erstellen
Bezeichne mit $D$ das Ereignis, dass ein Displayfehler vorliegt und mit $N$ das Ereignis, dass bei einem Gerät ein Netzteil defekt ist. Dann ergibt sich mit den angegebenen Wahrscheinlichkeiten:
$D$$\overline{D}$Gesamt
$N$$\color{#87c800}{0,01}$$0,02$$0,03$
$\overline{N}$$0,097$$\color{#87c800}{0,873}$$0,97$
Gesamt$\color{#87c800}{0,107}$$0,893$$1$
$\,$
2)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
$\begin{array}[t]{rll} P(D\cap \overline{N}) + P(N\cap \overline{D})&=& 9,7\,\% + 2\,\% \\[5pt] &=& 11,7\,\% \\[5pt] \end{array}$
$ …=11,7\,\% $
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $11,7\,\%$ ist entweder das Display oder das Netzteil defekt.
$\,$
3)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
Mit der Formel für bedingte Wahrscheinlichkeiten folgt:
$\begin{array}[t]{rll} P_N(\overline{D})&=& \dfrac{P(N\cap \overline{D})}{P(N)} \\[5pt] &=& \dfrac{0,02}{0,03} \\[5pt] &=& \frac{2}{3} \\[5pt] &\approx& 66,67\,\% \end{array}$
$ P_N(\overline{D})\approx 66,67\,\% $
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $66,67\,\%$ besitzt ein Bildschirm mit einem defekten Netzteil ein nicht-defektes Display.
#bedingtewahrscheinlichkeit
$\,$
4)
$\blacktriangleright$  Uabhängigkeit untersuchen
Die beiden Defekte treten unabhängig voneinander auf, wenn die beiden Ereignisse $D$ und $N$ stochastisch unabhängig sind. Dafür muss gelten $P(N)\cdot P(D)=P(N\cap D).$
$\begin{array}[t]{rll} P(N) \cdot P(D)&=& 0,03\cdot 0,107 \\[5pt] &=& 0,00321 \end{array}$
$ P(N) \cdot P(D)= 0,00321 $
Es ist $P(N\cap D) = 0,01$ und damit $P(N)\cdot P(D)\neq P(N\cap D).$ Die beiden Defekte treten also nicht unabhängig voneinander auf.
c)
1)
$\blacktriangleright$  Zeigen, dass die Hypothese nicht verworfen werden kann
Bestimme einen Annahmebereich $A$ um den Erwartungswert. Liegt das Ergebnis der Stichprobe in diesem Intervall, so kann die angegebene Hypothese nicht verworfen werden.
Gesucht ist das um den Erwartungswert von $X_{180}$ symmetrische Intervall $A,$ sodass die Wahrscheinlichkeit $P(X_{180}\in A)$ mindestens $95\,\%$ beträgt.
Für den Erwartungswert und die Standardabweichung von $X_{180}$ gilt:
$\begin{array}[t]{rll} \mu_{180}&=& 180\cdot 0,2 \\[5pt] &=& 36 \\[10pt] \sigma_{180}&=& \sqrt{180\cdot 0,2\cdot 0,8} \\[5pt] &=& \sqrt{28,8} \\[5pt] \end{array}$
Da $\sigma_{180}> 3$ ist kannst du die Sigma-Intervalle verwenden und findest:
$P(\mu_{180} -1,96\cdot \sigma_{180} \leq X_{180} \leq \mu_{180} +1,96\cdot \sigma_{180}) \approx 0,95$
$ P(…)\approx 0,95 $
Einsetzen der berechneten Werte liefert:
$\begin{array}[t]{rll} P(36 -1,96\cdot \sqrt{28,8} \leq X_{180} \leq 36 +1,96\cdot \sqrt{28,8})& \approx& 0,95 \\[5pt] P(25,5 \leq X_{180} \leq 46,5 )&\approx& 0,95 \\[5pt] P(25 \leq X_{180}\leq 47)&\geq& 0,95 \end{array}$
$ P(25 \leq X_{180}\leq 47)\geq 0,95 $
Die angegebene Hypothese „Im Mittel ist einer von fünf Bildschirmen fehlerhaft“ könnte auf einem Signifikanzniveau von $5\,\%$ also nur verworfen werden, wenn weniger als $25$ oder mehr als $47$ fehlerhafte Bildschirme in der Stichprobe vorhanden wären.
$\blacktriangleright$  Zweifel bewerten
Zweifel können nur mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit ausgeräumt werden, wenn die Hypothese verworfen werden kann. Kann die Hypothese nicht verworfen werden, bedeutet dies keine Bestätigung der Nullhypothese und damit keinen Widerspruch der Gegenhypothese. Zudem gibt es immer noch die Möglichkeit, dass die Hypothese fälschlicherweise nicht verworfen wurde, obwohl eigentlich eine deutlich geringere oder höhere Fehlerwahrscheinlichkeit gilt.
Die Zweifel des Mitarbeiters sind daher nicht ausgeräumt.
$\,$
2)
$\blacktriangleright$  Konfidenzintervall bestimmen
Für die benötigten Parameter gilt:
$\begin{array}[t]{rll} n&=& 180 \\[5pt] h&=& \frac{27}{180} \\[5pt] &=& 0,15 \end{array}$
Einsetzen liefert:
$\begin{array}[t]{rll} p_{max}&=& h+1,96\cdot \sqrt{\dfrac{h\cdot(1-h)}{n}} \\[5pt] &=& 0,15+1,96\cdot \sqrt{\dfrac{0,15\cdot(1-0,15)}{180}} \\[5pt] &\approx& 0,1766 \\[10pt] p_{min}&=& h-1,96\cdot \sqrt{\dfrac{h\cdot(1-h)}{n}} \\[5pt] &=& 0,15-1,96\cdot \sqrt{\dfrac{0,15\cdot(1-0,15)}{180}} \\[5pt] &\approx& 0,1234 \\[10pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} p_{max}&\approx& 0,1766 \\[10pt] p_{min}&\approx& 0,1234 \\[10pt] \end{array}$
Das zu dem Testergebnis $27$ gehörende $25\,\%$-Konfidenzintervall ist $[0,1234\,;\,0,1766]$
$\,$
3)
$\blacktriangleright$  Länge des Konfidentintervalls vergleichen
Die Länge des Konfidenzintervalls beträgt allgemein:
$\begin{array}[t]{rll} l_n&=& p_{max}-p_{min} \\[5pt] &=& h+1,96\cdot \sqrt{\dfrac{h\cdot(1-h)}{n}}- \left(h-1,96\cdot \sqrt{\dfrac{h\cdot (1-h)}{n}} \right) \\[5pt] &=& 2\cdot 1,96\cdot \sqrt{\dfrac{h\cdot(1-h)}{n}} \end{array}$
$ l_n = 2\cdot 1,96\cdot \sqrt{\dfrac{h\cdot(1-h)}{n}} $
Bei der Verdopplung des Stichprobenumfangs ergibt sich bei gleichbleibender relativer Häufigkeit:
$\begin{array}[t]{rll} l_{2n}&=& 2\cdot 1,96\cdot \sqrt{\dfrac{h\cdot(1-h)}{2n}} \\[5pt] &=& 2\cdot 1,96\cdot \sqrt{\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{h\cdot(1-h)}{n}} \\[5pt] &=& 2\cdot 1,96\cdot \sqrt{\dfrac{1}{2}}\cdot \sqrt{\dfrac{h\cdot(1-h)}{n}} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot2\cdot 1,96\cdot \sqrt{\dfrac{h\cdot(1-h)}{n}} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot l_n \\[5pt] \end{array}$
$ l_{2n}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot l_n $
$\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot l_n$ ist zwar kleiner als $l_n,$ aber nicht die Hälfte davon. Bei doppeltem Stichprobenumfang und gleichbleibender relativer Häufigkeit verkleinert sich also die Länge des $95\,\%$-Konfidenzintervalls, sie halbiert sich aber nicht.
d)
$\blacktriangleright$  Kleinstmöglichen Wert bestimmen
Bezeichne mit $F$ das Ereignis, dass ein Bildschirm fehlerfrei ist und mit $E$ das Ereignis, dass ein Bildschirm als fehlerfrei eingestuft wird. Dann sind folgende Wahrscheinlichkeiten und Forderungen gegeben:
  1. $P_E(\overline{F}) \leq 0,05$
  2. $P(\overline{F}) = 0,2$
  3. $P_F(E) = 1$
  4. $P_{\overline{F}}(\overline{E}) = x$
Mit dem Satz von Bayes gilt
$P_E(\overline{F}) = \dfrac{P_{\overline{F}}(E)\cdot P(\overline{F})}{P(E)}$
Es ist:
$\begin{array}[t]{rll} P_{\overline{F}}(E)&=& 1- P_{\overline{F}}(\overline{E}) &\quad \scriptsize \mid\; 4.\\[5pt] &=& 1-x \end{array}$
$ P_{\overline{F}}(E) = 1-x $
Weiterhin gilt mithilfe der Pfadregeln:
$\begin{array}[t]{rll} P(E)&=& P_F(E)\cdot P(F) + P_{\overline{F}}(E)\cdot P(\overline{F}) &\quad \scriptsize \mid\;3.\,,\,P(F)=1-P(\overline{F}) \\[5pt] &=& 1 \cdot 0,8 + (1-x)\cdot 0,2 \\[5pt] &=& 0,8 +0,2-0,2x \\[5pt] &=& 1-0,2x \end{array}$
$ P(E)=1-0,2x $
Einsetzen in 1. liefert eine Gleichung, die du auch mit dem solve-Befehl deines CAS lösen kannst:
$\begin{array}[t]{rll} P_E(\overline{F})&\leq& 0,05\\[5pt] \dfrac{P_{\overline{F}}(E)\cdot P(\overline{F})}{P(E)}&\leq& 0,05 \\[5pt] \dfrac{(1-x)\cdot 0,2}{1-0,2x}&\leq& 0,05 \\[5pt] \dfrac{0,2-0,2x}{1-0,2x}&\leq& 0,05 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot (1-0,2x) \\[5pt] 0,2-0,2x&\leq& 0,05-0,01x &\quad \scriptsize \mid\;+0,2x \\[5pt] 0,2&\leq& 0,05+0,19x &\quad \scriptsize \mid\;-0,05\\[5pt] 0,15&\leq& 0,19x &\quad \scriptsize \mid\;:0,19 \\[5pt] 0,7895&\leq& x \end{array}$
$ 0,7895\leq x $
Damit die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein als fehlerfrei eingestufter Bildschirm fehlerhaft ist, höchstens $5\,\%$ beträgt, muss ein fehlerhafter Bildschirm mindestens mit einer Wahrscheinlichkeit von $78,95\,\%$ als fehlerhaft eingestuft werden.
#satzvonbayes#pfadregeln
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