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Analysis Aufgabe 1

Aufgaben
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Aufgabe 1: Analysis-CAS

Gegeben ist die Schar der Funktionen $f_a$ mit $f_a(x)=x^2 \cdot \mathrm{e}^{-a \cdot x}$, $a>0.$
Die Graphen von $f_a$ werden mit $G_a$ bezeichnet.
a)
a1)
Skizziere $G_{0,2}$ für $0\leq x \leq 40.$
$\,$
a2)
Berechne denjenigen Wert von $a$, für den der Punkt $\left(1 \mid \frac{1}{2}\right)$ auf $G_a$ liegt.
$\,$
a3)
Bestimme die Koordinaten und die Art der Extrempunkte von $G_a$ in Abhängigkeit von $a.$
$\big[$Zur Kontrolle: Die Extremstellen von $f_a$ sind $0$ und $\frac{2}{a}.\big]$
#extrempunkt
$\,$
a4)
Zeige, dass die Extrempunkte von $G_a$ für alle Werte von $a$ auf dem Graphen der Funktion mit der Gleichung $y=\dfrac{x^2}{\mathrm{e}^2}$ liegen.
(12 P)
#extrempunkt
b)
Für jeden Wert von $b$ mit $b>0$ sind die Punkte $A(0 \mid 0)$ und $B(b \mid 0)$ sowie der Punkt $C(b \mid f_{0,2}(b))$ gegeben.
b1)
Skizziere ein mögliches Dreieck $ABC$ in deiner Skizze aus Teilaufgabe a).
#dreieck
$\,$
b2)
Bestimme denjenigen Wert von $b$, für den der Flächeninhalt des Dreiecks $ABC$ maximal ist, und gebe den zugehörigen Flächeninhalt an.
#flächeninhalt
$\,$
Der Graph $G_{0,2}$, die $x$-Achse und die Gerade mit der Gleichung $x=p$ mit $p>0$ schließen im ersten Quadranten ein Flächenstück ein.
b3)
Zeige, dass der Inhalt dieses Flächenstücks für alle Werte von $p$ kleiner als $250$ ist.
(11 P)
Die Abbildung zeigt schematisch den Längsschnitt eines Schiffs, dessen Deck horizontal liegt.
Analysis Aufgabe 1
Abb. 1: Längsschnitt
Analysis Aufgabe 1
Abb. 1: Längsschnitt
Bei Verwendung eines Koordinatensystems, dessen Ursprung an der Bugspitze liegt und dessen $x$-Achse entlang der Decklinie verläuft, beschreibt die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $k$ mit
$k(x)=-0,3 \cdot x^2 \cdot e^{-0,2 \cdot x}$
für $0\leq x \leq 20$ modellhaft die Kiellinie. Dabei entspricht eine Längeneinheit einem Meter in der Wirklichkeit.
$c)$
c1)
Es gilt $k(x)=-\frac{3}{10}\cdot f_{0,2}(x).$ Beschreibe, wie der Graph von $k$ aus dem Graphen von $f_{0,2}$ hervorgeht.
$\,$
c2)
Der Kiel hat in einem Punkt seinen größten Neigungswinkel gegen die Horizontale. Bestimme die Größe dieses Neigungswinkels.
#neigungswinkel
$\,$
Der horizontal liegende Boden der Kajüte liegt $2,20\,\text{m}$ unterhalb des Decks. Der parallel dazu verlaufende Boden des Stauraums unterhalb der Kajüte hat in Längsrichtung des Schiffs eine Länge von $6\;\text{m}$.
c3)
Berechne die Länge des Bodens in Längsrichtung des Schiffs.
$\,$
c4)
Ermittle rechnerisch, wie weit der Boden des Stauraums unterhalb des Bodens der Kajüte liegt.
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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Lösungen TI
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a1)
$\blacktriangleright$  Graph skizzieren
Für den Graph der Funktion $f_{0,2}$ ergibt sich für $0 \leq x\leq40$ die folgende Darstellung:
Analysis Aufgabe 1
Abb. 1: Graph der Funktion $f_{0,2}$
Analysis Aufgabe 1
Abb. 1: Graph der Funktion $f_{0,2}$
a2)
$\blacktriangleright$  Wert von $\boldsymbol{a}$ berechnen
Es soll gelten $f(1)=\frac{1}{2}$
$\begin{array}[t]{rll} f(1)&=&\frac{1}{2} &\quad \scriptsize \\[5pt] 1^2\cdot e^{-a\cdot 1}&=&\frac{1}{2} &\quad \scriptsize \\[5pt] e^{-a}&=&\frac{1}{2} &\quad \scriptsize \mid\;\text{ln} \\[5pt] -a&=&\text {ln}\left(\frac{1}{2}\right) &\quad \scriptsize \\[5pt] -a&=&\text {ln}(1)-\text {ln}(2) &\quad \scriptsize \mid\; \text{ln}(1)=0 \\[5pt] a&=&\text {ln}(2) &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Für $a=\text{ln}(2)$ liegt der Punkt $\left(1 \mid \frac{1}{2} \right)$ auf dem Graphen von $f_a$.
a3)
$\blacktriangleright$  Lage und Art der Extrempunkte bestimmen
Analysis Aufgabe 1
Abb. 2: menu $\to$ 4: Analysis $\to$ 1: Ableitung
Analysis Aufgabe 1
Abb. 2: menu $\to$ 4: Analysis $\to$ 1: Ableitung
Analysis Aufgabe 1
Abb. 3: Berechnung mit dem CAS
Analysis Aufgabe 1
Abb. 3: Berechnung mit dem CAS
$\begin{array}[t]{rll} f_a\left(0\right)&=& 0 \\[5pt] f_a\left(\dfrac{2}{a}\right)&=& \dfrac{4\cdot \mathrm e^{-2}}{a^2} \\[5pt] \end{array}$
Der Graph von $f_a$ besitzt für jedes $a\in \mathbb{R}^+$ einen Hochpunkt mit den Koordinaten $H_a\left(\dfrac{2}{a} \,\Bigg| \dfrac{4\cdot \mathrm e^{-2}}{a^2} \right)$ und einen Tiefpunkt mit den Koordinaten $T(0\mid 0).$
a4)
$\blacktriangleright$  Lage der Extrempunkte überprüfen
Für den Hochpunkt $H_a\left(\frac{2}{a} \big| \frac{4 \cdot \mathrm{e}^{-2}}{a^2}\right)$ folgt durch Einsetzen in die gegebene Funktionsgleichung:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{4 \cdot \mathrm{e}^{-2}}{a^2}&=& \dfrac{ \left( \frac{2}{a} \right)^2}{\mathrm{e}^2}\\[5pt] \dfrac{4 \cdot \mathrm{e}^{-2}}{a^2}&=& \dfrac{\frac{4}{a^2} }{\mathrm{e}^2}\\[5pt] \dfrac{4 \cdot \mathrm{e}^{-2}}{a^2}&=& \dfrac{4 \cdot \mathrm{e}^{-2}}{a^2}\\[5pt] \end{array}$
Für den Tiefpunkt $T(0 \mid 0)$ folgt entsprechend:
$\begin{array}[t]{rll} 0&=& \dfrac{0^2}{\mathrm{e}^2}\\[5pt] 0&=& 0\\[5pt] \end{array}$
Somit sind die Punktproben für alle $a>0$ erfüllt und damit liegen die Extrempunkte auf dem Graphen der gegebenen Funktion.
b1)
$\blacktriangleright$  Dreieck skizzieren
Ein mögliches Dreieck $ABC$ in der Skizze aus Teilaufgabe $a$ sieht folgendermaßen aus:
Analysis Aufgabe 1
Abb. 4: Dreieck $ABC$
Analysis Aufgabe 1
Abb. 4: Dreieck $ABC$
b2)
$\blacktriangleright$  Wert von $\boldsymbol{b}$ bestimmen
1. Schritt: Funktion aufstellen
Die Grundseite des Rechtecks lässt sich über die $x$-Koordinate und die Höhe über den zugehörigen Funktionswert berechnen. Der Flächeninhalt kann also über folgende Funktion beschrieben werden:
$\begin{array}[t]{rll} A(b)&=& a\cdot b \cdot 0,5&\quad \scriptsize \\[5pt] A(b)&=& b\cdot f_{0,2}(b)\cdot 0,5&\quad \scriptsize \\[5pt] A(b)&=& b\cdot b^2\cdot e^{-\frac{1}{5}\cdot b}\cdot 0,5 \end{array}$
2. Schritt: Maximum bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} A(b)&=& b^3\cdot e^{-\frac{1}{5}\cdot b}\cdot 0,5 &\quad \scriptsize \mid\;\text{CAS} \\[5pt] A'(b)&=&\frac{3}{2}b^2\cdot e^{-\frac{1}{2}b}-\frac{1}{20}b^3\cdot e^{-\frac{1}{5}b}&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Notwendiges Kriterium für Extremstellen anwenden:
$\begin{array}[t]{rll} A'(b)&=&0 &\quad \scriptsize \mid\; \text{CAS}\\[5pt] b_1&=&0 &\quad \scriptsize \\[5pt] b_2&=&15 \end{array}$
Mit der Bedingung $b > 0$ folgt, dass nur die Lösung $b_2=15$ möglich ist.
Hinreichendes Kriterium für Extremstellen anwenden:
$A''(15)\approx -32,55 < 0 \;\;\; \rightarrow \;H$
Somit besitzt der Graph der Funktion $A(b)$ an der Stelle $b=15$ einen Hochpunkt.
3. Schritt: Flächeninhalt berechnen
$\begin{array}[t]{rll} A&=& b\cdot f_{\frac{1}{5}}(x)\cdot 0,5\\[5pt] &=& 15^3\cdot e^{-\frac{1}{5}\cdot 15}\cdot 0,5\\[5pt] &=& \dfrac{3.375}{2e^3} \\[5pt] &\approx& 84,02 \end{array}$
Der maximale Flächeninhalt beträgt etwa $84,02\;\text{FE}$.
b3)
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt berechnen
Für den gesuchten Flächeninhalt im ersten Quadranten folgt mit den Grenzen $0$ und $p$ und dem CAS:
$\begin{array}[t]{rll} A_p &=& \displaystyle\int_{0}^{p}f_{0,2}(x)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \displaystyle\int_{0}^{p}\left(x^2\cdot\mathrm e^{-0,2x}\right)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& 250-5\cdot\left(p^2+10\cdot p+50\right)\cdot \mathrm e^{-\frac{p}{5}}\\[5pt] \end{array}$
Analysis Aufgabe 1
Abb. 5: menu $\to$ 4: Analysis $\to$ 3: Integral
Analysis Aufgabe 1
Abb. 5: menu $\to$ 4: Analysis $\to$ 3: Integral
Die Größe des Flächenstücks beträgt
$A_p=-250-5\cdot\left(p^2+10\cdot p+50\right)\cdot \mathrm e^{-\frac{p}{5}}$.
Dieser besteht aus zwei Summanden, von denen nur einer, $250,$ positiv ist. Der andere ist wegen des negativen Vorzeichens und weil $p> 0$ und $\mathrm e^{-\frac{p}{5}} > 0$ gilt, negativ. Daraus folgt, dass der Wert des Terms und damit der Flächeninhalt immer kleiner als $250$ $\text{ FE}$ ist.
c1)
$\blacktriangleright$  Zusammenhang der Graphen beschreiben
Der Funktionsterm von $k$ entsteht durch Multiplikation des Funktionsterms von $f_{0,2}$ mit dem Faktor $-0,3.$ Durch das negative Vorzeichen wird der Graph von $f_{0,2}$ an der $x$-Achse gespiegelt. Durch den Faktor $0,3$ wird der Graph entlang der $y$-Achse gestaucht.
Der Graph von $k$ geht also aus dem Graphen von $f_{0,2}$ durch Stauchung um den Faktor $0,3$ entlang der $y$-Achse und Spiegelung an der $x$-Achse hervor.
c2)
$\blacktriangleright$  Betrag des größten Neigungswinkels berechnen
1. Schritt: Stelle mit der größten Steigung berechnen
Die Stellen mit der größten Steigung des Graphen von $k$, sind die Extremstellen von $k'$. Mit dem notwendigen Kriterium für eine Extremstelle folgt:
$\begin{array}[t]{rll} k''(x)&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;\text{CAS} \\[5pt] x_1&=& -5\cdot \sqrt{2}+10 &\quad \scriptsize \\[5pt] x_2&=& 5\cdot \sqrt{2}+10 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$x_{1,2}=\dotsc$
Die Überprüfung mit dem hinreichenden Kriterium ergibt:
$\begin{array}[t]{rll} k'''\left(-5\cdot \sqrt{2}+10\right)&\approx& 0,09 \neq 0 \\[5pt] k'''\left(5\cdot \sqrt{2}+10\right)&\approx& -5,58 \neq 0 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} &k'''\left(-5\cdot \sqrt{2}+10\right)\\[5pt] \approx& 0,09 \neq 0 \\[10pt] &k'''\left(5\cdot \sqrt{2}+10\right)\\[5pt] \approx& -5,58 \neq 0 \\[10pt] \end{array}$
An beiden Stellen besitzt der Graph von $k'$ also einen Extrempunkt. Für die Steigung des Graphen von $k$ an diesen Stellen folgt:
$\begin{array}[t]{rll} k'\left(-5\cdot \sqrt{2}+10\right)&\approx& -0,69 \\[5pt] k'\left(5\cdot \sqrt{2}+10\right)&\approx& 0,24 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} &k'\left(-5\cdot \sqrt{2}+10\right)\\[5pt] \approx& -0,69 \\[10pt] &k'\left(5\cdot \sqrt{2}+10\right)\\[5pt] \approx& 0,24 \\[5pt] \end{array}$
Die betragsmäßig größte Steigung hat der Graph von $k$ also an der Stelle $x_s = -5\cdot \sqrt{2}+10$ mit $k'(x_s)\approx -0,69.$
2. Schritt: Größe des Winkels berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \tan (\alpha)&=& k'(x_s) \\[5pt] \tan (\alpha)&\approx& -0,69 &\quad \scriptsize \mid\;\tan^{-1} \\[5pt] \alpha&\approx& -34,61^{\circ} \end{array}$
$ \alpha \approx -34,61^{\circ}$
Der Betrag des betragsmäßig größten Neigungswinkels des Kiels gegenüber der Horizontalen beträgt ca. $34,61^{\circ}.$
c3)
$\blacktriangleright$  Länge des Bodens der Kajüte bestimmen
Da der Boden der Kajüte $2,20 \,\text{m}$ unterhalb des Decks liegt, müssen die Stellen $x_1$ und $x_2$ bestimmt werden, für welche $k(x_1)=k(x_2)=-2,20$ gilt. Mit dem Solve-Befehl deines CAS folgt:
$x_1 \approx 4,0617$ und $x_2 \approx 19,99$
Damit folgt für die Länge $l_K$ des Bodens der Kajüte:
$\begin{array}[t]{rll} l_K&\approx& 19,99 - 4,0617 \\[5pt] &\approx & 15,92 \end{array}$
Damit beträgt die Länge des Bodens der Kajüte in Längsrichtung des Schiffs etwa $15,92 \,\text{m}$.
c4)
$\blacktriangleright$  Lage des Stauraums berechnen
Stelle mit dem Solve-Befehl des CAS suchen, an der gilt:
$k(x)=k(x+6)$
Es ergibt sich $x\approx 7,3$. Der zugehörige $y$-Wert ist $k(7,3)\approx -3,7$.
Die Kajüte liegt $2,2\;\text{m}$ unterhalb des Decks. Somit ergibt sich:
$3,7-2,2=1,5$
Der Boden des Stauraums liegt ungefähr $1,5\;\text{m}$ unterhalb des Bodens der Kajüte.
Bildnachweise [nach oben]
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a1)
$\blacktriangleright$  Graph skizzieren
Für den Graph der Funktion $f_{0,2}$ ergibt sich für $0 \leq x\leq40$ die folgende Darstellung:
Analysis Aufgabe 1
Abb. 1: Graph der Funktion $f_{0,2}$
Analysis Aufgabe 1
Abb. 1: Graph der Funktion $f_{0,2}$
a2)
$\blacktriangleright$  Wert von $\boldsymbol{a}$ berechnen
Es soll gelten $f(1)=\frac{1}{2}$
$\begin{array}[t]{rll} f(1)&=&\frac{1}{2} &\quad \scriptsize \\[5pt] 1^2\cdot e^{-a\cdot 1}&=&\frac{1}{2} &\quad \scriptsize \\[5pt] e^{-a}&=&\frac{1}{2} &\quad \scriptsize \mid\;\text{ln} \\[5pt] -a&=&\text {ln}\left(\frac{1}{2}\right) &\quad \scriptsize \\[5pt] -a&=&\text {ln}(1)-\text {ln}(2) &\quad \scriptsize \mid\; \text{ln}(1)=0 \\[5pt] a&=&\text {ln}(2) &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Für $a=\text{ln}(2)$ liegt der Punkt $\left(1 \mid \frac{1}{2} \right)$ auf dem Graphen von $f_a$.
#punktprobe
a3)
$\blacktriangleright$  Lage und Art der Extrempunkte bestimmen
Mit dem notwendigen Kriterium $f'(x)=0$ für lokale Extremstellen und dem CAS ergibt sich:
Analysis Aufgabe 1
Abb. 2: keyboard $\to$ Math2
Analysis Aufgabe 1
Abb. 2: keyboard $\to$ Math2
Analysis Aufgabe 1
Abb. 3: solve-Befehl
Analysis Aufgabe 1
Abb. 3: solve-Befehl
Analysis Aufgabe 1
Abb. 4: Funktionswerte der zweiten Ableitung berechnen
Analysis Aufgabe 1
Abb. 4: Funktionswerte der zweiten Ableitung berechnen
#notwendigeskriteriumfürextrema#hinreichendeskriteriumfürextrema
a4)
$\blacktriangleright$  Lage der Extrempunkte überprüfen
Für den Hochpunkt $H_a\left(\frac{2}{a} \big| \frac{4 \cdot \mathrm{e}^{-2}}{a^2}\right)$ folgt durch Einsetzen in die gegebene Funktionsgleichung:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{4 \cdot \mathrm{e}^{-2}}{a^2}&=& \dfrac{ \left( \frac{2}{a} \right)^2}{\mathrm{e}^2}\\[5pt] \dfrac{4 \cdot \mathrm{e}^{-2}}{a^2}&=& \dfrac{\frac{4}{a^2} }{\mathrm{e}^2}\\[5pt] \dfrac{4 \cdot \mathrm{e}^{-2}}{a^2}&=& \dfrac{4 \cdot \mathrm{e}^{-2}}{a^2}\\[5pt] \end{array}$
Für den Tiefpunkt $T(0 \mid 0)$ folgt entsprechend:
$\begin{array}[t]{rll} 0&=& \dfrac{0^2}{\mathrm{e}^2}\\[5pt] 0&=& 0\\[5pt] \end{array}$
Somit sind die Punktproben für alle $a>0$ erfüllt und damit liegen die Extrempunkte auf dem Graphen der gegebenen Funktion.
#punktprobe
b1)
$\blacktriangleright$  Dreieck skizzieren
Ein mögliches Dreieck $ABC$ in der Skizze aus Teilaufgabe $a$ sieht folgendermaßen aus:
Analysis Aufgabe 1
Abb. 5: Dreieck $ABC$
Analysis Aufgabe 1
Abb. 5: Dreieck $ABC$
b2)
$\blacktriangleright$  Wert von $\boldsymbol{b}$ bestimmen
1. Schritt: Funktion aufstellen
Die Grundseite des Rechtecks lässt sich über die $x$-Koordinate und die Höhe über den zugehörigen Funktionswert berechnen. Der Flächeninhalt kann also über folgende Funktion beschrieben werden:
$\begin{array}[t]{rll} A(b)&=& a\cdot b \cdot 0,5&\quad \scriptsize \\[5pt] A(b)&=& b\cdot f_{0,2}(b)\cdot 0,5&\quad \scriptsize \\[5pt] A(b)&=& b\cdot b^2\cdot e^{-\frac{1}{5}\cdot b}\cdot 0,5 \end{array}$
2. Schritt: Maximum bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} A(b)&=& b^3\cdot e^{-\frac{1}{5}\cdot b}\cdot 0,5 &\quad \scriptsize \mid\;\text{CAS} \\[5pt] A'(b)&=&\frac{3}{2}b^2\cdot e^{-\frac{1}{2}b}-\frac{1}{20}b^3\cdot e^{-\frac{1}{5}b}&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Notwendiges Kriterium für Extremstellen anwenden:
$\begin{array}[t]{rll} A'(b)&=&0 &\quad \scriptsize \mid\; \text{CAS}\\[5pt] b_1&=&0 &\quad \scriptsize \\[5pt] b_2&=&15 \end{array}$
Mit der Bedingung $b > 0$ folgt, dass nur die Lösung $b_2=15$ möglich ist.
Hinreichendes Kriterium für Extremstellen anwenden:
$A''(15)\approx -32,55 < 0 \;\;\; \rightarrow \;H$
Somit besitzt der Graph der Funktion $A(b)$ an der Stelle $b=15$ einen Hochpunkt.
3. Schritt: Flächeninhalt berechnen
$\begin{array}[t]{rll} A&=& b\cdot f_{\frac{1}{5}}(x)\cdot 0,5\\[5pt] &=& 15^3\cdot e^{-\frac{1}{5}\cdot 15}\cdot 0,5\\[5pt] &=& \dfrac{3.375}{2e^3} \\[5pt] &\approx& 84,02 \end{array}$
Der maximale Flächeninhalt beträgt etwa $84,02\;\text{FE}$.
#notwendigeskriteriumfürextrema#hinreichendeskriteriumfürextrema
b3)
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt berechnen
Für den gesuchten Flächeninhalt im ersten Quadranten folgt mit den Grenzen $0$ und $p$ und dem CAS:
$\begin{array}[t]{rll} A_p &=& \displaystyle\int_{0}^{p}f_{0,2}(x)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \displaystyle\int_{0}^{p}\left(x^2\cdot\mathrm e^{-0,2x}\right)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& -5\cdot p^2 \cdot \mathrm e^{-\frac{p}{5}} -50\cdot p \cdot \mathrm e^{-\frac{p}{5}} -250\cdot \mathrm e^{-\frac{p}{5}} +250 \\[5pt] \end{array}$
Analysis Aufgabe 1
Abb. 6: Flächeninhalt
Analysis Aufgabe 1
Abb. 6: Flächeninhalt
Die Größe des Flächenstücks beträgt
$A_p=-5\cdot p^2 \cdot \mathrm e^{-\frac{p}{5}} -50\cdot p \cdot \mathrm e^{-\frac{p}{5}} -250\cdot \mathrm e^{-\frac{p}{5}} +250$.
Dieser besteht aus vier Summanden, von denen nur einer, $250,$ positiv ist. Die übrigen drei sind wegen des negativen Vorzeichens und weil $p> 0$ und $\mathrm e^{-\frac{p}{5}} > 0$ gilt, negativ. Daraus folgt, dass der Wert des Terms und damit der Flächeninhalt immer kleiner als $250$ $\text{ FE}$ ist.
#integral
c1)
$\blacktriangleright$  Zusammenhang der Graphen beschreiben
Der Funktionsterm von $k$ entsteht durch Multiplikation des Funktionsterms von $f_{0,2}$ mit dem Faktor $-0,3.$ Durch das negative Vorzeichen wird der Graph von $f_{0,2}$ an der $x$-Achse gespiegelt. Durch den Faktor $0,3$ wird der Graph entlang der $y$-Achse gestaucht.
Der Graph von $k$ geht also aus dem Graphen von $f_{0,2}$ durch Stauchung um den Faktor $0,3$ entlang der $y$-Achse und Spiegelung an der $x$-Achse hervor.
#spiegelung
c2)
$\blacktriangleright$  Betrag des größten Neigungswinkels berechnen
1. Schritt: Stelle mit der größten Steigung berechnen
Die Stellen mit der größten Steigung des Graphen von $k$, sind die Extremstellen von $k'$. Mit dem notwendigen Kriterium für eine Extremstelle folgt:
$\begin{array}[t]{rll} k''(x)&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;\text{CAS} \\[5pt] x_1&=& -5\cdot \sqrt{2}+10 &\quad \scriptsize \\[5pt] x_2&=& 5\cdot \sqrt{2}+10 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$x_{1,2}=\dotsc$
Die Überprüfung mit dem hinreichenden Kriterium ergibt:
$\begin{array}[t]{rll} k'''\left(-5\cdot \sqrt{2}+10\right)&\approx& 0,09 \neq 0 \\[5pt] k'''\left(5\cdot \sqrt{2}+10\right)&\approx& -5,58 \neq 0 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} &k'''\left(-5\cdot \sqrt{2}+10\right)\\[5pt] \approx& 0,09 \neq 0 \\[10pt] &k'''\left(5\cdot \sqrt{2}+10\right)\\[5pt] \approx& -5,58 \neq 0 \\[10pt] \end{array}$
An beiden Stellen besitzt der Graph von $k'$ also einen Extrempunkt. Für die Steigung des Graphen von $k$ an diesen Stellen folgt:
$\begin{array}[t]{rll} k'\left(-5\cdot \sqrt{2}+10\right)&\approx& -0,69 \\[5pt] k'\left(5\cdot \sqrt{2}+10\right)&\approx& 0,24 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} &k'\left(-5\cdot \sqrt{2}+10\right)\\[5pt] \approx& -0,69 \\[10pt] &k'\left(5\cdot \sqrt{2}+10\right)\\[5pt] \approx& 0,24 \\[5pt] \end{array}$
Die betragsmäßig größte Steigung hat der Graph von $k$ also an der Stelle $x_s = -5\cdot \sqrt{2}+10$ mit $k'(x_s)\approx -0,69.$
2. Schritt: Größe des Winkels berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \tan (\alpha)&=& k'(x_s) \\[5pt] \tan (\alpha)&\approx& -0,69 &\quad \scriptsize \mid\;\tan^{-1} \\[5pt] \alpha&\approx& -34,61^{\circ} \end{array}$
$ \alpha \approx -34,61^{\circ}$
Der Betrag des betragsmäßig größten Neigungswinkels des Kiels gegenüber der Horizontalen beträgt ca. $34,61^{\circ}.$
c3)
$\blacktriangleright$  Länge des Bodens der Kajüte bestimmen
Da der Boden der Kajüte $2,20 \,\text{m}$ unterhalb des Decks liegt, müssen die Stellen $x_1$ und $x_2$ bestimmt werden, für welche $k(x_1)=k(x_2)=-2,20$ gilt. Mit dem Solve-Befehl deines CAS folgt:
$x_1 \approx 4,0617$ und $x_2 \approx 19,99$
Damit folgt für die Länge $l_K$ des Bodens der Kajüte:
$\begin{array}[t]{rll} l_K&\approx& 19,99 - 4,0617 \\[5pt] &\approx & 15,92 \end{array}$
Damit beträgt die Länge des Bodens der Kajüte in Längsrichtung des Schiffs etwa $15,92 \,\text{m}$.
c4)
$\blacktriangleright$  Lage des Stauraums berechnen
Stelle mit dem Solve-Befehl des CAS suchen, an der gilt:
$k(x)=k(x+6)$
Es ergibt sich $x\approx 7,3$. Der zugehörige $y$-Wert ist $k(7,3)\approx -3,7$.
Die Kajüte liegt $2,2\;\text{m}$ unterhalb des Decks. Somit ergibt sich:
$3,7-2,2=1,5$
Der Boden des Stauraums liegt ungefähr $1,5\;\text{m}$ unterhalb des Bodens der Kajüte.
Bildnachweise [nach oben]
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© 2017 – SchulLV.
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