Analysis Aufgabe 2

Die Abbildung zeigt den Längsschnitt des inneren Randes eines rotationssymmetrischen Glases. Eine Einheit entspricht einem Zentimeter in der Wirklichkeit.
Die obere Begrenzung des Längsschnittes des inneren Randes des Glases kann durch den Graphen einer ganzrationalen Funktion $f$ mit $f(x)=0,0025x^3-0,05x^2+0,5x+2,5$ im Intervall $[0;8]$ beschrieben werden.

Graphische Darstellung eines Diagramms auf einem karierten Hintergrund.

Abb. 1

Die obere Begrenzung des Längsschnittes des äußeren Randes des Glases soll durch den Graphen einer Funktion $g$ mit $g(x)=a\cdot\;\mathrm{e}^{b\cdot\;x}+c$ im Intervall $[-1;8]$ beschrieben werden. Der Graph verläuft durch die Punkte $(0\;|\;2,8)$ , $(4\;|\;4,16)$ und $(8\;|\;4,88)$ .

Bestimme eine Funktionsgleichung von $g$ .

Rechne im Folgenden mit $g(x)=-2,89\cdot\;\mathrm{e}^{-0,16\cdot\;x}+5,69$ .

Skizziere den Graphen der Funktion $g$ in der obigen Abbildung.
Berechne die kleinste und die größte in $y$ -Richtung gemessene Dicke der Glaswand im Intervall $[0;8]$ .
Berechne das für die Herstellung des gesamten Glases benötigte Volumen des Glasmaterials. Der Boden ist durchgängig eben.

(14P)

Der Graph der Funktion $f$ hat einen Wendepunkt $W$ . Ein Auffüllen des aufrecht stehenden Glases bis zu diesem Punkt macht einen guten optischen Eindruck.

Gib die zugehörige Füllhöhe an.
Begründe, dass die Gleichung

$\pi\cdot\displaystyle\int_{0}^{h}\;\mathrm (f(x))^2 dx=350$

$[0;8]$

(6P)

Ausgehend von einem beliebigen Punkt $P(x\;|\;f(x))$ auf der Innenrandkurve soll die Dicke des Glases in Richtung der Normalen zum Graphen von $f$ , also senkrecht zur Tangente an der Stelle $x$ , gemessen werden.

Zeige, dass bei diesem Verfahren nie in $y$ -Richtung gemessen wird.
Berechne die Dicke der Glaswand ausgehend vom Punkt $(0\;|\;2,5)$

(9P)

In einem Labor mit der Raumtemperatur $19^{\circ}\text{C}$ wird ein Heißgetränk in das Glas gefüllt. $T(t)$ gibt die Temperatur des Heißgetränkes in $^{\circ}\text{C}$ an; dabei beschreibt $t$ die Zeit in Minuten nach Messbeginn.
Zu Beginn ( $t=0$ ) beträgt die Temperatur des Heißgetränkes $90^{\circ}\text{C}$ . Die momentane Änderungsrate der Temperatur $T$ ist durch

$T‘(t)=-0,71\cdot\;\mathrm{e}^{-0,01t}$

gegeben.

Berechne die Temperaturabnahme in den ersten 60 Minuten.
Bestimme $T(t)$ .
Begründe unter Verwendung der folgenden Abbildung, dass für jedes Zeitintervall $[t_1;t_2]$ mit $0\leq\;t_1\leq\;t_2$ die durchschnittliche Temperatur in diesem Intervall kleiner ist als der arithmetische Mittelwert der Temperaturen $T(t_1)$ und $T(t_2)$ .

Diagramm zeigt eine grafische Darstellung mit Achsen für y, T, p und t.

Abb. 2

(11P)

Bildnachweise [nach oben]

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[2]

$\blacktriangleright$ Funktionsgleichung von g bestimmen

Der äußere Rand eines Glases wird durch den Graphen einer Funktion $g$ mit $g(x)=a\cdot\;e^{b\cdot\;x}+c$ im Intervall $[-1;8]$ beschrieben. Der Graph verläuft durch die Punkte $(0\;|\;2,8)$ , $(4\;|\;4,16)$ und $(8\;|\;4,88)$ . Die Koordinaten der Punkte, die dir gegeben sind, kannst du verwenden, um ein Gleichungssystem aufzustellen, das du mit Hilfe des CAS lösen kannst. Du sollst die Funktionsgleichung $g$ bestimmen und kannst dazu das CAS als Hilfsmittel verwenden.

Du gibst zunächst die Funktionsgleichung $g(x)=a\cdot\;e^{b\cdot\;x}+c$ ein:

Mathematische Funktion in einem Software-Interface. Eingabefeld und Menü sichtbar.

Abb. 1: g(x) im CAS abspeichern

menu $\rightarrow$ $3$ : Algebra $\rightarrow$ $7$ : Gleichungssystem lösen $\rightarrow$ $1$ : Gleichungssystem lösen...

Du kannst nun eingeben, wie viele Gleichungen es gibt. Da du drei Punkte gegeben hast, kannst du als Anzahl auch drei Gleichungen eingeben. Im nächsten Schritt sollst du die Anzahl der Unbekannten eingeben. Wenn du die Funktion $g$ betrachtest, erkennst du, dass es drei Unbekannte, a,b und c gibt.

Um nun das Gleichungssystem zu lösen, gibst du deine Bedingungen in das CAS ein:

Mathematische Gleichungen und Berechnungen in einer Softwareanwendung.

Abb. 2: Gleichungssystem

Du erhältst die Werte:

$a=-2,89$

$b\approx -0,16$

$c=5,69$ .

Wenn du diese Werte einsetzt, ergibt sich als Funktionsgleichung $g(x)=-2,89\cdot\;e^{-0,16\cdot\;x}+5,69$ .

$\blacktriangleright$ Graphen der Funktion g skizzieren

Du sollst den Graphen der Funktion $g$ skizzieren. Dazu gibt es die Möglichkeiten einige Funktionswerte in der Wertetabelle abzulesen oder einen Graphen zeichnen zu lassen.

$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Wertetabelle

Du kannst einige Funktionswerte des Graphen $g$ mit deinem CAS bestimmen. Um einen Funktionswert zu erhalten, gibst du deine Funktionsgleichung mit verschiedenen $x$ -Werten in das CAS ein. Einige Beispiele kannst du in folgender Abbildung ablesen:

Mathematische Daten in einer Tabelle mit Berechnungen und Ergebnissen.

Abb. 3: verschiedene Funktionswerte des Graphen von $g$

$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Graph zeichnen

Du kannst als Alternative einen Graphen mit deinem CAS zeichnen lassen und einige Werte ablesen. Um den Graphen der Funktion $g$ zu zeichnen, gehst du nach folgenden Schritten vor:

$2$ :Graphs hinzufügen $\rightarrow$ Funktionsgleichung eingeben

Diagramm einer mathematischen Funktion mit Achsen und einer Kurve.

Abb. 4: Funktionswerte von $g$ ablesen

Wenn du die erhaltenen Werte in die vorgegebene Abbildung einträgst, erhältst du folgendes Schaubild:

Diagramm mit Kurven und Achsenbeschriftungen, das verschiedene Werte darstellt.

Abb. 5: Graph von $g$

$\blacktriangleright$ Kleinste und größte Dicke bestimmen

Es ist gefragt, was die größte und kleinste Dicke der Glaswand ist. Die Dicke sollst du in $y$ -Richtung messen und die Berechnung ist auf das Intervall $[-1;8]$ begrenzt.

Zunächst stellst du die Abstandsfunktion auf, deren Funktionsterm sich mit $g(x)$ - $f(x)$ berechnen lässt:

Gleichung anzeigen

Um nun den größten Abstand zu bestimmen, musst du das Maximum der Funktion berechnen. Um den kleinsten Abstand zu bestimmen, benötigst du das Minimum.

Du hast den Funktionsterm $d(x)$ berechnet und sollst nun deren Graph auf Extrempunkte untersuchen. Du gehst dazu in zwei Schritten vor:

1. Schritt: Maximum bestimmen

Um das Maximum zu bestimmen, kannst du deinen CAS zur Hilfe nehmen. Du kannst zuerst den Funktionsgraphen zeichnen lassen und dann das Maximum berechnen. Dazu benötigst du folgende Befehle:

$2$ : Graphs hinzufügen $\rightarrow$ Funktion eingeben $\rightarrow$ $6$ : Graph analysieren $\rightarrow$ $3$ : Maximum

Du erhältst folgendes Schaubild, auf dem du nun den $x$ - und $y$ -Wert des Maximums ablesen kannst:

Mathematische Grafik mit einer Funktion g(x) und einem Koordinatensystem.

Abb. 6: Maximum

Das Maximum befindet sich also im Punkt ( $0,35$ | $0,345$ ). Die Dicke der Glaswand sollst du in $y$ -Richtung bestimmen. Durch Ablesen des $y$ -Wertes ergibt sich für die größte Dicke der Glaswand $3,46\;\text{cm}$ .

2. Schritt: Minimum bestimmen

Um den minimalen Abstand der beiden Graphen zu erhalten und somit die dünnste Stelle des Glases, musst du nun das Minimum der Funktion $d$ bestimmen. Du kannst nach dem gleichen Prinzip vorgehen wie bei der Bestimmung des Maximums. Der Befehl für den CAS unterscheidet sich nur in der Eingabe des Minimums:

$6$ : Graph analysieren $\rightarrow$ $2$ : Minimum

Grafische Darstellung einer mathematischen Funktion in einem Koordinatensystem.

Abb. 7: Minimum

Du kannt nun für das Minimum den Punkt ( $1,67$ | $0,27$ ) ablesen. Durch Ablesen des $y$ -Wertes ergibt sich für die kleinste Dicke der Glaswand $2,7\;\text{cm}$ .

$\blacktriangleright$ Benötigtes Volumen des Glasmaterials berechnen

Du sollst das für die Herstellung des gesamten Glases benötigte Volumen an Glasmaterial ausrechnen. Du kannst davon ausgehen, dass der Boden durchgängig eben ist.

Die Aufgabe lässt sich lösen, indem du von zwei Rotationskörpern ausgehst. Ein Rotationskörper lässt sich allgemein durch die Formel:

$V$ = $\displaystyle\int_{a}^{b} \pi (f(x))^2 \;\mathrm dx$

beschreiben. Für diesen Fall erhältst du die Gleichungen:

$V_g$ = $\displaystyle\int_{-1}^{8} \pi (g(x))^2 \;\mathrm dx$ und $V_f$ = $\displaystyle\int_{0}^{8} \pi (f(x))^2 \;\mathrm dx$

Der Graph dieser Funktionen gibt das Volumen an, das bis zur $x$ -Achse eingeschlossen wird. Da nur nach der Glasmenge gefragt ist, brauchst du nur die Fläche zwischen den beiden Graphen der Funktionen betrachten. Du kannst deswegen das Volumen $V_f$ von $V_g$ abziehen.

$V_g$ - $V_f$ :

$\displaystyle\int_{-1}^{8} \pi (g(x))^2 \;\mathrm dx$ - $\displaystyle\int_{0}^{8} \pi (f(x))^2 \;\mathrm dx$

Du kannst diese Berechnung mit deinem CAS ausführen. Gebe dazu die Rechnung in dein CAS ein.

Mathematische Gleichungen und Integrale in einer Softwareanwendung dargestellt.

Abb. 8: Volumen des benötigten Glases

In der Aufgabenstellung wird angegeben, dass eine Einheit im Koordinatensystem einem Zentimeter in der Wirklichkeit entspricht. Man benötigt also ca. $81,45$ $\text{cm}^3$ Glasmaterial zur Herstellung.

$\blacktriangleright$ Füllhöhe des Glases angeben

Da das Auffüllen des Glases bis zum Wendepunkt $W$ einen optisch guten Eindruck macht, sollst du diesen Punkt bestimmen. Die Füllhöhe, die du angeben sollst entspricht dann der $x$ -Komponente. Du kannst zur Berechnung der Wendestelle deinen CAS verwenden. Gehe dazu nach folgenden Schritten vor:

$2$ : Graphs hinzufügen $\rightarrow$ Funktion eingeben $\rightarrow$ $6$ : Graph analysieren $\rightarrow$ $5$ : Wendestelle

Grafik einer mathematischen Funktion mit einer Kurve und Koordinaten.

Abb. 9: Wendestelle

Der erhaltene $x$ -Wert entspricht der optimalen Füllhöhe des Glases und liegt bei $6,67\text{cm}$ .

$\blacktriangleright$ Einzige Lösung der Gleichung begründen

Dir ist die Gleichung:

$V(h)$ = $\pi \cdot \displaystyle\int_{0}^{h} (f(x))^2 \;\mathrm dx=350$

gegeben. Du sollst begründen, dass es nur eine Lösung für die Gleichung gibt. Wenn du dir den Graphen von $V(h)$ anschaust, siehst du, dass die Funktion monoton steigend ist. Da der Wert von $h(x)$ positiv ist und die Funktion $f$ quadriert wird, also nur positve Werte annehmen kann, gibt es also nur eine einzige Lösung für die Gleichung.

$\blacktriangleright$ Zeigen, dass nie in y-Richtung gemessen wird

Das angegebene Verfahren geht davon aus, dass die Dicke des Glases in Richtung der Normalen gemessen wird. Die Normale ist immer senkrecht zum Graphen der Funktion $f$ . Damit die Normale also nie genau in $y$ -Richtung steht, darf die Steigung der Funktion $f$ niemals null sein. Die Steigung wird durch die Ableitung angegeben. Du musst also zeigen, dass $f‘(x)\neq 0$ gilt.

Bestimme zuerst die Ableitung der Funktion $f$ :

Gleichungen anzeigen

Diese Ableitungsfunktion kannst du nun in dein CAS eingeben. Du kannst dort direkt am Graphen erkennen, dass es keine Nullstelle gibt. Alternativ kannst du versuchen, den Nullstellenbefehl in das CAS einzugeben und erhältst dafür eine Fehlermeldung. Du kannst zur Berechnung folgende Anweisung befolgen:

$2$ : Graphs hinzufügen $\rightarrow$ Funktion eingeben $\rightarrow$ $6$ : Graph analysieren $\rightarrow$ $1$ : Nullstelle

Graph einer Funktion mit der Gleichung f(x) = 0.008x² - 0.1x + 0.5 in einem Koordinatensystem.

Abb. 10: Dicke des Glases

Es gibt also keine Stelle an der die Normale in $y$ - Richtung zeigt und somit keine Stelle, an der in $y$ -Achse gemessen wird.

$\blacktriangleright$ Dicke der Glaswand ausgehend vom Punkt $\boldsymbol{P(0 \mid 2,5)}$ bestimmen

Die Dicke der Glaswand soll im Punkt P ( $0$ | $2,5$ ) bestimmt werden. Gehe dazu nach folgenden Schritten vor: Bestimme zuerst die Normalengleichung $n$ zur Funktion $f$ die durch den Punkt P geht. Ermittle dann den Schnittpunkt von der Normalen $n$ und der Funktion $g$ , die die Außenwand des Glases darstellt. Du kannst nun den Abstand dieses Schnittpunktes $S$ vom Punkt P bestimmen. Der Abstand lässt sich mit der Abstandsfunktion berechnen.

1. Normalengleichung im Punkt $\boldsymbol{P(0 \mid 2,5)}$ aufstellen.

Die allgemeine Formel der Normalengleichung lautet:

$y=mx+c$

Die Steigung der Normalen $n$ , kannst du durch folgende Formel bestimmen:

$m_n=-\dfrac{1}{m_t}=-\dfrac{1}{f‘(x_1)}$ Berechne also $f‘(x_1)$ an der gegebenen Stelle. Du kannst am Punkt $P$ den Wert $x=0$ ablesen. Um nun die Steigung an der Stelle $x=0$ zu bestimmen, kannst du das CAS benutzen. Du hast im Aufgabenteil c) bereits die Ableitung von $f(x)$ bestimmt. Gebe diese Ableitungsfunktion nun in den CAS ein und rufe mit der Wertetabelle den zugehörigen $y$ -Wert an der Stelle $x=0$ auf. Du kannst folgenden Befehl verwenden:

$2$ : Graphs hinzufügen $\rightarrow$ Ableitungsfunktion eingeben $\rightarrow$ $9$ : Tabelle $\rightarrow$ $1$ : Tabelle mit geteiltem Bildschirm

Du kannst die Steigung $f‘(0)=\frac{1}{2}$ ablesen.

Es gilt $m_n=-\dfrac{1}{f‘(x_1)}$ . Somit ist die Steigung der Normalen $m_n=-2$ .

Graph einer Funktion mit Achsen und Werteanzeige in einem mathematischen Programm.

Abb. 11: Funktionswert bei $x=0$ ablesen

Die Steigung $m_n$ kannst du nun in die allgemeine Normalengleichung einsetzen. Im nächsten Schritt musst du noch die Konstante $c$ bestimmen, indem du die Koordinaten des gegebenen Punkts P( $0$ | $2,5$ ) ebenfalls einsetzt:

$\begin{array}[t]{rll} y&=& mx+c &\quad \scriptsize \\[5pt] 2,5&=& -2\cdot 0 +c&\quad \scriptsize \\[5pt] 2,5&=& 0 +c&\quad \scriptsize \\[5pt] c&=& 2,5& \end{array}$

Du erhältst eine Normalengleichung im Punkt P( $0$ | $2,5$ ) mit $n(x)=-2\cdot x+ 2,5$ .

2. Schnittpunkt $\boldsymbol{S}$ der Normalen $\boldsymbol{n}$ mit $\boldsymbol{g}$ bestimmen.

Um die Dicke des Glases im Punkt $P ( 0 \; | \;2,5 )$ zu bestimmen, musst du nun den Schnittpunkt der Normalengleichung mit der Funktion $g$ bestimmen. Die Normalengleichung $n$ steht senkrecht zum Graphen der Funktion $f$ , die die Innenwand des Glases darstellt und $g$ beschreibt die Außenwand. Die Schnittstelle erhältst du durch Gleichsetzen der beiden Funktionsterme:

$\begin{array}[t]{rll} n(x)&=& g(x) &\quad \scriptsize \\[5pt] -2\cdot x+ 2,5&=& -2,89\cdot\;e^{-0,16\cdot\;x}+5,69 \quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

Du kannst dafür dein CAS verwenden:

Mathematische Gleichung in einem Softwarefenster mit Berechnungsergebnis.

Abb. 12: Schnittstelle bestimmen

Du erhältst als Lösung $x_s=-0,12$ .

3. Abstand der Punkte $\boldsymbol{S}$ und $\boldsymbol{P}$ bestimmen

Die Dicke des Glases entspricht dem Abstand des Schnittpunkts $S$ zum Punkt $P$ . Um diesen Abstand zu berechnen, kannst du die Formel für den Abstand zwischen zwei Punkten verwenden:

$d= \sqrt{(x_p-x_s)^2 + (y_p-g(x_s))^2}$

$\begin{array}[t]{rll} d&=& \sqrt{(x_p-x_s)^2 + (y_p-g(x_s))^2} &\quad \scriptsize \\[5pt] d&=&\sqrt{(0-(-0,12))^2 + (2,5-g(-0,12))^2} \end{array}$

Du kannst diese Gleichung in das CAS eingeben und erhältst als Lösung $d\approx0,27$ .

Mathematische Berechnung in einer Softwareanwendung mit einer Funktion und einem Ergebnis.

Abb. 13: Dicke des Glases im Punkt $P$ bestimmen

Das bedeutet, dass die Dicke des Glases im Punkt $P ( 0 \; | \;2,5 )$ ca. $2,7 \;\text{mm}$ beträgt.

$\blacktriangleright$ Temperaturabnahme in den ersten $\boldsymbol{60} \text{min}$ berechnen

Die momentane Änderungsrate der Temperatur $T$ ist durch folgende Gleichung gegeben:

$T‘(t)=-0,71\cdot\;e^{-0,01t}$

Du sollst die Temperaturabnahme in den ersten $60$ Minuten berechnen. Da die Änderung der Temperatur durch $T‘(t)$ gegeben ist, wird die Temperaturabnahme durch das Integral von $T‘(t)$ in den Grenzen [ $0;60$ ] beschrieben.

$\displaystyle\int_{0}^{60}\; T‘(t)\;\mathrm dt=-0,71\displaystyle\int_{0}^{60}\;e^{-0,01t}\;\mathrm dt$

Du kannst das CAS zur Hilfe nehmen, um dieses Integral zu berechnen. Gebe dazu folgenden Befehl ein:

$2$ : Graphs hinzufügen $\rightarrow$ Funktion eingeben $\rightarrow$ $6$ : Graph analysieren $\rightarrow$ $1$ : Nullstelle

Mathematische Berechnung mit Integral und Funktion in einer Software-Oberfläche.

Abb. 14: Temperaturänderung

Es ergibt sich ein Temperaturabfall von $32°C$ .

$\blacktriangleright$ $\boldsymbol{T(t)}$ bestimmen

Es ist nach $T(t)$ gefragt, dass heißt du sollst die Stammfunktion von $T‘(t)$ bestimmen, die die vorgegebenen Bedingungen erfüllt. Stelle zunächst die allgemeine Schar der Stammfunktionen auf und bestimme anschließend die Konstante $C$ .

$\begin{array}[t]{rll} T‘(t)&=& -0,71\;\cdot\;e^{-0,01t} &\quad \scriptsize \\[5pt] T(t)&=& \frac{-0,71}{-0,01}\;\cdot\;e^{-0,01t}+C\quad \scriptsize \\[5pt] T(t)&=& 71\;\cdot\;e^{-0,01t}+C\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

In der Aufgabenstellung ist angegeben, dass zum Zeitpunkt $t=0$ die Temperatur $90°C$ beträgt. Du kannst das in die Gleichung einsetzen und somit $C$ bestimmen.

$\begin{array}[t]{rll} T(t)&=& 71\;\cdot\;e^{-0,01t}+C\quad \scriptsize \\[5pt] T(0)&=& 71\;\cdot\;e^{-0,01 \cdot 0}+C = 90\quad \scriptsize \\[5pt] 90&=& 71+C\quad \mid\;-71\scriptsize \\[5pt] C&=& 19\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

Die Funktion $T(t)$ wird also durch $T(t)= 71\;\cdot\;e^{-0,01t}+19$ beschrieben.

$\blacktriangleright$ Durchschnittstemperaturen anhand der Abbildung begründen

Die Abbildung 2 auf dem Aufgabenblatt zeigt zum einen den Temperaturverlauf, der mit der Funktion $T(t)$ beschrieben wird. Zum anderen wird eine Gerade zwischen zwei Punkten $t_1$ und $t_2$ dargestellt, die zur Berechnung des arithmetischen Mittelwerts gebraucht wird. Es ist zu sehen, dass der Graph der Funktion $T(t)$ immer unter der Geraden verläuft, somit muss auch die Fläche, die durch den Graph der Funktion $T(t)$ und der $x$ -Achse eingeschlossen wird, an jeder Stelle kleiner sein als die der Geraden. Dies ist nun zu zeigen:

Die Fläche unter dem Graphen der Funktion $T(t)$ , kann mit folgender Formel berechnet werden:

$\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}T(t)\;\mathrm dt$ .

Um die Fläche, die unter der Geraden dargestellt wird zu berechnen, kannst du anhand der Abbildung 2 folgende Gleichung aufstellen:

$\frac{1}{2}(T(t_1)+T(t_2))\cdot (t_2-t_1)$

Du kannst folgende Ungleichung aufstellen und umformen:

$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_{t_1}^{t_2}T(t)\;\mathrm dt& \lt &\frac{1}{2}(T(t_1)+T(t_2))\cdot (t_2-t_1) &\quad \scriptsize \;\mid :(t_2-t_1) \\[5pt] \frac{1}{(t_2-t_1)}\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}T(t)\;\mathrm dt& \lt &\frac{1}{2}(T(t_1)+T(t_2)) \end{array}$

Die erhaltene Gleichung beschreibt die Durchschnittstemperaturen.

$\frac{1}{(t_2-t_1)}\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}T(t)\;\mathrm dt$ beschreibt die durchschnittliche Temperatur, $\frac{1}{2}(T(t_1)+T(t_2))$ beschreibt den arithmetischen Mittelwert. Du hast somit gezeigt, dass die durchschnittliche Temperatur im Zeitintervall [ $t_1;t_2$ ], kleiner ist als der arithmetische Mittelwert.

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$\blacktriangleright$ Funktionsgleichung von g bestimmen

Du gibst zunächst die Funktionsgleichung $g(x)=a\cdot\;e^{b\cdot\;x}+c$ ein:

Mathematische Gleichung zur Definition einer Funktion g(x) mit Variablen und Exponentialausdrücken.

Abb. 1: g(x) im CAS abspeichern

Keyboard $\rightarrow$ Math1

Um nun das Gleichungssystem zu lösen, gibst du deine Bedingungen in das CAS ein:

Mathematische Gleichungen und Funktionen mit Variablen a, b, c und Werten für g(0), g(4) und g(8).

Abb. 2: Gleichungssystem

Du erhältst die Werte:

$a=-2,89$

$b\approx -0,16$

$c=5,69$ .

Wenn du diese Werte einsetzt, ergibt sich als Funktionsgleichung $g(x)=-2,89\cdot\;e^{-0,16\cdot\;x}+5,69$ .

$\blacktriangleright$ Graphen der Funktion g skizzieren

Du sollst den Graphen der Funktion $g$ skizzieren. Dazu gibt es die Möglichkeiten einige Funktionswerte in der Wertetabelle abzulesen oder einen Graphen zeichnen zu lassen.

$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Wertetabelle

Mathematische Werte in einer Tabelle, die verschiedene Funktionsausgaben darstellen.

Abb. 3: verschiedene Funktionswerte des Graphen von $g$

$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Graph zeichnen

Du kannst als Alternative einen Graphen mit deinem CAS zeichnen lassen und einige Werte ablesen.

Graph einer Funktion mit Koordinatensystem und farbigen Checkboxen zur Auswahl von Funktionen.

Abb. 4: Funktionswerte von $g$ ablesen

Wenn du die erhaltenen Werte in die vorgegebene Abbildung einträgst, erhältst du folgendes Schaubild:

Abb. 5: Graph von $g$

$\blacktriangleright$ Kleinste und größte Dicke bestimmen

Es ist gefragt, was die größte und kleinste Dicke der Glaswand ist. Die Dicke sollst du in $y$ -Richtung messen und die Berechnung ist auf das Intervall $[-1;8]$ begrenzt.

Zunächst stellst du die Abstandsfunktion auf, deren Funktionsterm sich mit $g(x)$ - $f(x)$ berechnen lässt:

$\begin{array}[t]{rll} d(x)&=& -2,89\cdot\;e^{-0,16\cdot\;x}+5,69-0,0025x^3-0,05x^2+0,5x+2,5 &\quad \scriptsize \\[5pt] d(x)&=& -2,89\cdot\;e^{-0,16\cdot\;x}-0,0025x^3+0,05x^2-0,5x+3,19 \end{array}$

Um nun den größten Abstand zu bestimmen, musst du das Maximum der Funktion berechnen. Um den kleinsten Abstand zu bestimmen, benötigst du das Minimum.

Du hast den Funktionsterm $d(x)$ berechnet und sollst nun deren Graph auf Extrempunkte untersuchen. Du gehst dazu in zwei Schritten vor:

1. Schritt: Maximum bestimmen

Um das Maximum zu bestimmen, kannst du deinen CAS zur Hilfe nehmen. Du kannst zuerst den Funktionsgraphen zeichnen lassen und dann das Maximum berechnen. Dazu benötigst du folgende Befehle:

Analyse $\rightarrow$ Graphische Lösung $\rightarrow$ Maximum

Du erhältst folgendes Schaubild, auf dem du nun den $x$ - und $y$ -Wert des Maximums ablesen kannst:

Grafik einer mathematischen Funktion mit Achsen und einem Maximumspunkt.

Abb. 6: Maximum

2. Schritt: Minimum bestimmen

Analyse $\rightarrow$ Graphische Lösung $\rightarrow$ Minimum

Graf einer Funktion mit einem Minimum und einem Gitterhintergrund.

Abb. 7: Minimum

Du kannt nun für das Minimum den Punkt ( $1,67$ | $0,27$ ) ablesen. Durch Ablesen des $y$ -Wertes ergibt sich für die kleinste Dicke der Glaswand $2,7\;\text{cm}$ .

$\blacktriangleright$ Benötigtes Volumen des Glasmaterials berechnen

Du sollst das für die Herstellung des gesamten Glases benötigte Volumen an Glasmaterial ausrechnen. Du kannst davon ausgehen, dass der Boden durchgängig eben ist.

Die Aufgabe lässt sich lösen, indem du von zwei Rotationskörpern ausgehst. Ein Rotationskörper lässt sich allgemein durch die Formel:

$V$ = $\displaystyle\int_{a}^{b} \pi (f(x))^2 \;\mathrm dx$

beschreiben. Für diesen Fall erhältst du die Gleichungen:

$V_g$ = $\displaystyle\int_{-1}^{8} \pi (g(x))^2 \;\mathrm dx$ und $V_f$ = $\displaystyle\int_{0}^{8} \pi (f(x))^2 \;\mathrm dx$

$V_g$ - $V_f$ :

$\displaystyle\int_{-1}^{8} \pi (g(x))^2 \;\mathrm dx$ - $\displaystyle\int_{0}^{8} \pi (f(x))^2 \;\mathrm dx$

Du kannst diese Berechnung mit deinem CAS ausführen. Gebe dazu die Rechnung in dein CAS ein.

Mathematische Gleichungen und Berechnungen mit Funktionen g(x) und f(x) sowie Integralen.

Abb. 8: Volumen des benötigten Glases

$\blacktriangleright$ Füllhöhe des Glases angeben

Analyse $\rightarrow$ Graphische Lösung $\rightarrow$ Wendepunkt

Graf einer Funktion mit Wendepunkt, dargestellt in einem Koordinatensystem.

Abb. 9: Wendestelle

Der erhaltene $x$ -Wert entspricht der optimalen Füllhöhe des Glases und liegt bei $6,67\text{cm}$ .

$\blacktriangleright$ Einzige Lösung der Gleichung begründen

Dir ist die Gleichung:

$V(h)$ = $\pi \cdot \displaystyle\int_{0}^{h} (f(x))^2 \;\mathrm dx=350$

$\blacktriangleright$ Zeigen, dass nie in y-Richtung gemessen wird

Bestimme zuerst die Ableitung der Funktion $f$ :

$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& 0,0025x^3-0,05x^2+0,5x+2,5 &\quad \scriptsize \\[5pt] f‘(x)&=& 0,0075x^2-0,1x+0,5 \end{array}$

Analyse $\rightarrow$ Graphische Lösung $\rightarrow$ Nullstelle

Grafische Darstellung einer mathematischen Funktion mit Achsen und Legende.

Abb. 10: Dicke des Glases

Es gibt also keine Stelle an der die Normale in $y$ - Richtung zeigt und somit keine Stelle, an der in $y$ -Achse gemessen wird.

$\blacktriangleright$ Dicke der Glaswand ausgehend vom Punkt $\boldsymbol{P(0 \mid 2,5)}$ bestimmen

1. Normalengleichung im Punkt $\boldsymbol{P(0 \mid 2,5)}$ aufstellen.

Die allgemeine Formel der Normalengleichung lautet:

$y=mx+c$

Die Steigung der Normalen $n$ , kannst du durch folgende Formel bestimmen:

Du kannst die Steigung $f‘(0)=\frac{1}{2}$ ablesen.

Es gilt $m_n=-\dfrac{1}{f‘(x_1)}$ . Somit ist die Steigung der Normalen $m_n=-2$ .

Graf einer mathematischen Funktion mit Achsen und Kurven.

Abb. 11: Funktionswert bei $x=0$ ablesen

$\begin{array}[t]{rll} y&=& mx+c &\quad \scriptsize \\[5pt] 2,5&=& -2\cdot 0 +c&\quad \scriptsize \\[5pt] 2,5&=& 0 +c&\quad \scriptsize \\[5pt] c&=& 2,5& \end{array}$

Du erhältst eine Normalengleichung im Punkt P( $0$ | $2,5$ ) mit $n(x)=-2\cdot x+ 2,5$ .

2. Schnittpunkt $\boldsymbol{S}$ der Normalen $\boldsymbol{n}$ mit $\boldsymbol{g}$ bestimmen.

$\begin{array}[t]{rll} n(x)&=& g(x) &\quad \scriptsize \\[5pt] -2\cdot x+ 2,5&=& -2,89\cdot\;e^{-0,16\cdot\;x}+5,69 \quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

Du kannst dafür dein CAS verwenden:

Mathematische Gleichungslösung mit Ergebnis für x.

Abb. 12: Schnittstelle bestimmen

Du erhältst als Lösung $x_s=-0,12$ .

3. Abstand der Punkte $\boldsymbol{S}$ und $\boldsymbol{P}$ bestimmen

Die Dicke des Glases entspricht dem Abstand des Schnittpunkts $S$ zum Punkt $P$ . Um diesen Abstand zu berechnen, kannst du die Formel für den Abstand zwischen zwei Punkten verwenden:

$d= \sqrt{(x_p-x_s)^2 + (y_p-g(x_s))^2}$

$\begin{array}[t]{rll} d&=& \sqrt{(x_p-x_s)^2 + (y_p-g(x_s))^2} &\quad \scriptsize \\[5pt] d&=&\sqrt{(0-(-0,12))^2 + (2,5-g(-0,12))^2} \end{array}$

Du kannst diese Gleichung in das CAS eingeben und erhältst als Lösung $d\approx0,27$ .

Mathematische Gleichung mit Wurzeln und Variablen. Ergebnisse in Dezimalform.

Abb. 13: Dicke des Glases im Punkt $P$ bestimmen

Das bedeutet, dass die Dicke des Glases im Punkt $P ( 0 \; | \;2,5 )$ ca. $2,7 \;\text{mm}$ beträgt.

$\blacktriangleright$ Temperaturabnahme in den ersten $\boldsymbol{60} \text{min}$ berechnen

Die momentane Änderungsrate der Temperatur $T$ ist durch folgende Gleichung gegeben:

$T‘(t)=-0,71\cdot\;e^{-0,01t}$

$\displaystyle\int_{0}^{60}\; T‘(t)\;\mathrm dt=-0,71\displaystyle\int_{0}^{60}\;e^{-0,01t}\;\mathrm dt$

Du kannst das CAS zur Hilfe nehmen, um dieses Integral zu berechnen. Gebe dazu folgenden Befehl ein:

Analyse $\rightarrow$ Graphische Lösung $\rightarrow$ Nullstelle

Mathematische Formel mit Integral und Ergebnis.

Abb. 14: Temperaturänderung

Es ergibt sich ein Temperaturabfall von $32°C$ .

$\blacktriangleright$ $\boldsymbol{T(t)}$ bestimmen

In der Aufgabenstellung ist angegeben, dass zum Zeitpunkt $t=0$ die Temperatur $90°C$ beträgt. Du kannst das in die Gleichung einsetzen und somit $C$ bestimmen.

Die Funktion $T(t)$ wird also durch $T(t)= 71\;\cdot\;e^{-0,01t}+19$ beschrieben.

$\blacktriangleright$ Durchschnittstemperaturen anhand der Abbildung begründen

Die Fläche unter dem Graphen der Funktion $T(t)$ , kann mit folgender Formel berechnet werden:

$\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}T(t)\;\mathrm dt$ .

Um die Fläche, die unter der Geraden dargestellt wird zu berechnen, kannst du anhand der Abbildung 2 folgende Gleichung aufstellen:

$\frac{1}{2}(T(t_1)+T(t_2))\cdot (t_2-t_1)$

Du kannst folgende Ungleichung aufstellen und umformen:

Die erhaltene Gleichung beschreibt die Durchschnittstemperaturen.

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