Stochastik

Alle in deinen Lösungen verwendeten Zufallsgrößen müssen explizit eingeführt werden.
Mache auch Angaben über die Verteilung der jeweiligen Zufallsgrößen.

Ein Fahrradhändler hat festgestellt, dass es sich bei $40\,\%$ aller von ihm verkauften Fahrräder um Mountainbikes handelt. Es soll davon ausgegangen werden, dass in einer zufälligen Auswahl verkaufter Fahhräder die Anzahl der Mountainbikes binomialverteilt ist.

a1)

Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich in einer zufälligen Auswahl von $100$ verkauften Fahrrädern

genau $30$ Mountainbikes befinden;
mindestens $35$ und weniger als $45$ Mountainbikes befinden.

(5 P)

a2)

Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einer zufälligen Auswahl von $250$ verkauften Fahrrädern die Anzahl der Mountainbikes um mindestens $10\,\%$ größer ist als der Erwartungswert für diese Anzahl.

(3 P)

a3)

Beschreibe im Sachzusammenhang ein Zufallsexperiment, bei dem die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses mit dem Term

$1-0,6^{10}-10\cdot0,4\cdot0,6^9$

berechnet werden kann. Gib dieses Ereignis an.

(3 P)

a4)

Der Händler hat berechnet, dass er im September des Jahres 2020 mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als $96\,\%$ mehr als $800$ Mountainbikes verkaufen wird.
Ermittle, von welcher Anzahl verkaufter Fahrräder er bei seiner Berechnung mindestens ausgegangen ist.

(4 P)

Der Anteil der Mountainbikes unter allen verkauften Fahrrädern beträgt weiterhin $40\,\%.$ $20\,\%$ aller verkauften Fahrräder haben einen Rahmen aus Aluminium. $45\,\%$ aller verkauften Fahrräder sind weder Mountainbikes noch haben sie einen Rahmen aus Aluminium.
Bestimme den Anteil der Fahrräder mit einem Rahmen aus Aluminium unter den verkauften Mountainbikes.

(4 P)

Die Abbildung zeigt für einige Monate des Jahres 2019 jeweils den Anteil der Mountainbikes unter allen verkauften Fahrrädern.

Balkendiagramm zeigt Werte für die Monate April bis August in grüner Farbe.

c1)

Im April wurden $810$ Mountainbikes verkauft. Bestimme für diesen Monat die Anzahl aller verkauften Fahrräder.

(2 P)

c2)

Der Anteil der Mountainbikes lag im Mai und Juni insgesamt bei $46\,\%;$ im Juli war er größer als im Mai und im August größer als im Juni. Entscheide, ob es dennoch möglich ist, dass der Anteil der Mountainbikes im Juli und August insgesamt kleiner war als insgesamt im Mai und Juni. Begründe deine Entscheidung.

(3 P)

Der Händler verkauft $70\,\%$ der von ihm verkauften Fahrräder über sein Ladengeschäft $(L),$ den Rest über sein Onlineportal $(O).$ In beiden Fällen bietet er an, für das gekaufte Fahrrad eine Garantieverlängerung abzuschließen $(G).$

d1)

Vervollständige zu diesem Sachverhalt das Baumdiagramm.
Zeige, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass für ein zufällig ausgewähltes verkauftes Fahrrad eine Garantieverlängerung abgeschlossen wird, kleiner als $70\,\%$ ist.

Diagramm mit Zahlen und Buchstaben, das verschiedene Verzweigungen zeigt.

(5 P)

d2)

Nach einer Neugestaltung des Onlineportals vermutet der Händler, dass der Anteil der Fahrräder, für die beim Onlineverkauf eine Garantieverlängerung abgeschlossen wird, auf über $45\,\%$ gestiegen ist.
Erstelle einen Hypothesentest mit einer Stichprobengröße von $80$ Fahrrädern, der geeignet ist, die Vermutung des Händlers auf einem Signifikanzniveau von $5\,\%$ zu stützen. Gib auch die Entscheidungsregel an.

(8 P)

Betrachtet werden zwei Ereignisse $A$ und $B$ eines Zufallsexperiments, deren Wahrscheinlichkeit jeweils ungleich Null ist.
Beweise die folgende Aussage:

Wenn $P(A)\cdot P(\overline{B})=P(A\cap\overline{B})$ ist, dann ist auch $P(A)\cdot P(B)=P(A\cap B).$

(3 P)

a1)

Bezeichne mit $X$ die Zufallsgröße, welche die zufällige Anzahl an verkauften Mountainbikes in der Stichprobe beschreibt. Laut Aufgabenstellung soll $X$ als binomialverteilt angenommen werden. Die zugehörigen Parameter sind $n=100$ und $p=0,4.$

$\begin{array}[t]{rll} P(X=30)&=& B_{100;0,4}(30) &\quad \scriptsize \\[5pt] &\approx& 0,0100 &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 1\,\% \end{array}$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von $1\,\%$ sind genau 30 der verkauften Fahrräder Mountainbikes.

$\begin{array}[t]{rll} P(35\leq X\leq 44)&=& F_{100;0,4}(44)-F_{100;0,4}(34) &\quad \scriptsize \\[5pt] &\approx& 0,8211-0,1303=0,6908 &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 69,08\,\% \end{array}$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von $69,08\,\%$ sind mindestens 35 und weniger als 45 der verkauften Fahrräder Mountainbikes.

a2)

$\begin{array}[t]{rll} \mu_X&=&n\cdot p &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 250\cdot0,4&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 100 \end{array}$

Die Anzahl der verkauften Mountainbikes soll mindestens $10\,\%$ größer sein, als der Erwartungswert. Gesucht ist also $P(X\geq110).$

$\begin{array}[t]{rll} P(X\geq110)&=& 1-F_{250;0,4}(109) &\quad \scriptsize \\[5pt] &\approx& 1-0,8896 &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 0,1104&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 11,04\,\% \end{array}$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von $11,04\,\%$ werden $10\,\%$ mehr Fahrräder verkauft, als der Erwartungswert für 250 Mountainbikes angibt.

a3)

Betrachtet man die Formel zur Binomialverteilung $P(X=k)=\pmatrix{n\\k}\cdot p^k\cdot(1-p)^{n-k},$ lassen sich aus dem Term die Werte $n=10,\,\ k_1=0$ und $k_2=1$ ablesen. $p=0,4$ ist noch aus dem Sachzusammenhang bekannt.
Subtrahiert von $1$ wird in diesem Ereignis aufgezeigt, mit welcher Wahrscheinlichkeit, in einer Stichprobengröße von 10 Fahrrädern, mindestens zwei Mountainbikes verkauft werden.

a4)

Gesucht ist das kleinste $n,$ für das $P(X_n>800)>0,96\Leftrightarrow P(X_n\leq800)\lt0,04$ gilt. Durch systematisches Probieren im Taschenrechner liefert $P(X_{2099}\leq800)\approx4,05\, \text{%}$ und $P(X_{2100}\leq800)\approx3,90\, \text{%}$ .So erkennt man, dass er davon ausgeht, mindestens 2100 Fahrräder zu verkaufen ( $n=2100$ ).

Wir definieren die Ereignisse, dass ein Mountainbike $(A)$ und ein Fahrrad mit Aluminiumrahmen $(B)$ verkauft wird. Wird ein Fahrrad, das weder ein Mountainbike ist und ohne Aluminiumrahmen, verkauft, definiert sich dies über die Gegenwahrscheinlichkeit $(\overline{A}\cap \overline{B}).$

Gegeben ist $P(A)=0,4,$ $P(B)=0,2$ und $P(\overline A\cap\overline B)=0,45.$

Gesucht ist $P_A(B).$

	$\frac{4}{10}$						$\frac{6}{10}$
		$A$				$\overline{A}$
$P_A(B)$			$P_A(\overline{B})$	$\quad$	$P_{\overline{A}}(B)$			$P_{\overline{A}}(\overline{B})$
	$P(A\cap B)$	$P(A\cap\overline{B})$				$P(\overline{A}\cap B)$	$0,45$

$P_{\overline A}(\overline B)= \dfrac{P(\overline A\cap\overline B)}{P(\overline A)} =$ $\dfrac{0,45}{0,6}= 0,75$

$P_{\overline A}(B) = 1-P_{\overline A}(\overline B)$ $= 1-0,75= 0,25$

$P(\overline A\cap B) = P(\overline A)\cdot P_{\overline A}(\overline B)$ $= 0,6 \cdot 0,25 = 0,15$

$P(A\cap B) = P(B)-P(\overline A\cap B)$ $= 0,2-0,15 = 0,05$

$P_A(B) = \dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$ $= \dfrac{0,05}{0,4}$ $= 0,125 = 12,5\,\%$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von $12,5\,\%$ besitzt ein verkauftes Mountainbike einen Aluminiumrahmen.

c1)

$\dfrac{810}{0,36}=2250$

Wenn er im April 810 Mountainbikes verkauft hat , hat er insgesamt 2250 Fahrräder verkauft.

c2)

Es ist möglich.
Wurden beispielsweise im Juli $10000$ Fahrräder verkauft und im August $1000,$ so ergibt sich für diese beiden Monate insgesamt für den Anteil der verkauften Mountainbikes

$\dfrac{0,44\cdot10000+0,52\cdot1000}{11000}\lt0,46.$

d1)

	$\frac{3}{10}$						$\frac{7}{10}$
		$O$				$L$
$\frac{55}{100}$			$\frac{45}{100}$	$\quad$	$\frac{2}{10}$			$\frac{8}{10}$
	$0,165$	$0,135$				$0,14$	$0,56$

$P(G)=P(O\cap G)+P(L\cap G)$ $=0,135+0,56$ $=0,695=69,5\,\% \lt 70\,\%$

d2)

Bezeichne mit $X_p$ die Zufallsgröße, welche die Anzahl der online verkauften Fahrräder mit einer Garantieverlängerung beschreibt. Diese kann als binomialverteilt mit $n=80$ und unbekanntem $p$ angenommen werden.

Es soll die Hypothese $H_1\,:\,p>\,0,45$ gestützt werden.
Als Nullhypothese wird also $H_0\,:\,p\leq 0,45$ gewählt.
Gilt der extremste Wert der Nullhypothese, dann ist $p=0,45.$ Wird die Nullhypothese für diesen Wert bei einem rechtsseitigen Test verworfen, so auch für alle anderen möglichen Werte von $p$ der Nullhypothese.
Zu bestimmen ist die kleinste natürliche Zahl $k$ mit

$P(X_p\geq k)\leq0,05$ $\Leftrightarrow1-P(X_p\leq k-1)\leq0,05$ $\Leftrightarrow P(X_p\leq k-1)\geq0,95.$

Aus $P(X_{0,45}\leq42)\approx0,9276$ und $P(X_{0,45}\leq43)\approx0,9537$ ergibt sich $k-1=43.$ Somit ist $k=44.$

Wird also für midestens $44$ der $80$ Fahhräder beim Onlinekauf eine Garantieverlägerung abgeschlossen, so wird die Nullhypothese abgelehnt und die Vermutung des Händlers gestützt.

Die Ereignisse $A$ und $B$ sind voneinander unabhängig, da $P(A)\cdot P(B)=P(A)\cdot P_A(B)=P(A\cap B).$ Die Wahrscheinlichkeit von Ereignis $B$ ändert sich nicht, wenn $A$ eintritt oder nicht. Da $B$ unabhängig von $A$ ist, ist ein nicht eintreffen von $B$ ebenfalls unabhängig von $A,$ da $P(A)\cdot P(\overline B)=P(A)\cdot P_A(\overline B)=P(A\cap\overline B).$