Hilfsmittelfreier Teil

HMF 1 - Analysis (Pool 1)

Die Graphen der Funktionen $f$ mit $f(x)=12x-3x^2$ und $g$ mit $g(x)=6x$ schneiden sich an genau zwei Stellen.

1.1

Zeige, dass sich die Graphen von $f$ und $g$ an den Stellen $0$ und $2$ schneiden.

(2 BE)

1.2

Die Funktion $d$ mit $d(x)=f(x)-g(x)$ hat genau eine Maximalstelle. Berechne diese.

(3 BE)

HMF 2 - Analysis (Pool 1)

Gegeben ist die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_a$ mit $f_a(x)=ax^3 + ax^2$ und $a>0.$

2.1

Gib den Wert von $a$ an, so dass der Punkt $(1 \mid 6)$ auf dem Graphen von $f_a$ liegt.

(1 BE)

2.2

Berechne in Abhängigkeit von $a$ den Inhalt der Fläche, die der Graph von $f_a$ mit der $x$ -Achse vollständig einschließt.

(4 BE)

HMF 3 - Analytische Geometrie (Pool 1)

Gegeben ist ein Parallelogramm $ABCD$ mit den Punkten $A(-1 \mid 2 \mid 4), B(1 \mid 3 \mid 2)$ und $C(2 \mid 1 \mid 0).$

Skizze:

3.1

Bestimme die Koordinaten von Punkt $D.$

(2 BE)

3.2

Weise rechnerisch nach, dass das Parallelogramm $ABCD$ eine Raute, aber kein Quadrat ist.

(3 BE)

HMF 4 - Stochastik (Pool 1)

In einer Schulklasse mit 24 Kindern bildet ein Drittel der Kinder das Volleyball-Team für ein anstehendes Sportfest. Am Tag des Sportfests sind zwei der Team-Mitglieder und vier der übrigen Kinder der Klasse nicht anwesend.

Von der Klassenliste mit allen 24 Kindern wird ein Kind zufällig ausgewählt. Betrachtet werden die folgenden Ereignisse:

$M:$ „Das Kind ist Team-Mitglied.“
$A:$ „Das Kind ist anwesend.“

4.1

Ergänze die fehlenden Wahrscheinlichkeiten in der abgebildeten Vierfeldertafel.

	$M$	$\overline{M}$	$\Sigma$
$A$
$\overline{A}$	$\dfrac{2}{24}$	$\dfrac{4}{24}$
$\Sigma$			$1$

(3 BE)

4.2

Untersuche, ob die Ereignisse $M$ und $A$ stochastisch unabhängig sind.

(2 BE)

HMF 5 - Analysis (Pool 2)

Die Abbildung zeigt den Graphen der Ableitungsfunktion $\(f$ einer ganzrationalen Funktion $f$ vierten Grades. An der Stelle $x=2$ berührt der Graph von $\(f$ die $x$ -Achse.

5.1

Begründe, dass der Graph der Funktion $f$ einen Tiefpunkt hat.

(2 BE)

5.2

Erläutere, gegebenenfalls mithilfe einer Skizze, dass die Funktion $f$ höchstens zwei Nullstellen hat.

(3 BE)

HMF 6 - Analysis (Pool 2)

Gegeben ist für jede positive reelle Zahl $a$ die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f_a$ mit $f_a(x) = a \cdot x^2.$ Die Abbildung zeigt den Graphen von $f_{\frac{1}{2}}$ sowie die Tangente $t$ an den Graphen von $f_{\frac{1}{2}}$ im Punkt $\left(4 \mid f_{\frac{1}{2}}(4)\right).$

6.1

Gib anhand der Abbildung eine Gleichung der Tangente $t$ an.

(1 BE)

6.2

Weise nach, dass für jeden Wert $u \in \mathbb{R}$ die Tangente an den Graphen von $f_a$ im Punkt $(u \mid f_a(u))$ die $y$ -Achse im Punkt $(0 \mid -f_a(u))$ schneidet.

(4 BE)

HMF 7 - Analytische Geometrie (Pool 2)

Die Mittelpunkte der Seitenflächen eines Würfels sind die Eckpunkte eines Oktaeders (vgl. Abbildung). Die Eckpunkte $A(1 \mid 2 \mid 1), B,$ $C(-3 \mid -6 \mid 9)$ und $D$ des Oktaeders liegen in der Ebene $H$ mit der Gleichung $2x_1+x_2+2x_3=6.$

7.1

Weise nach, dass die Kantenlänge des Würfels 12 beträgt.

(2 BE)

7.2

Bestimme die Koordinaten eines der beiden Eckpunkte des Oktaeders, die nicht in $H$ liegen.

(3 BE)

HMF 8 - Analytische Geometrie (Pool 2)

Gegeben ist die Schar der Geraden $g_k: \overrightarrow{x} = \pmatrix{k\\-4k\\k} + t \cdot \pmatrix{4\\8\\1}$ mit $t \in \mathbb{R}$ und $k \in \mathbb{R}.$

8.1

Begründe, dass alle Geraden der Schar parallel zueinander sind.

(1 BE)

8.2

Betrachtet wird das Quadrat mit folgenden Eigenschaften:

Die Punkte $O(0 \mid 0 \mid 0)$ und $P(11 \mid 4 \mid 5)$ sind Eckpunkte des Quadrats.
Zwei Seiten des Quadrats liegen auf Geraden der Schar.

Weise nach, dass $O$ und $P$ keine benachbarten Eckpunkte dieses Quadrats sind.

(4 BE)

HMF 9 - Stochastik (Pool 2)

Die Zufallsgröße $X$ ist binomialverteilt mit den Parametern $n$ und $p$ mit $0 \lt p \lt 1.$ Das Histogramm zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X.$ Zwei der insgesamt sechs Säulen sind gleich hoch.

Gib $n$ an und ermittle $p.$

(5 BE)

HMF 10 - Stochastik (Pool 2)

Betrachtet werden drei Behälter $A, B$ und $C$ mit weißen und schwarzen Kugeln. Die Behälter sind von außen nicht unterscheidbar. Es gilt:

Im Behälter $A$ befinden sich dreimal so viele weiße wie schwarze Kugeln.
Im Behälter $B$ befinden sich 12 weiße und 4 schwarze Kugeln.
Im Behälter $C$ befinden sich 3 schwarze Kugeln und weiße Kugeln, deren Anzahl mit $w$ bezeichnet wird.

Bei einem Spiel wird einer der drei Behälter zufällig ausgewählt und anschließend daraus eine Kugel zufällig gezogen.

Ist bei diesem Spiel die gezogene Kugel schwarz, kann die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Behälter $C$ ausgewählt wurde, mit dem Term $\dfrac{\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{w+3}}{ \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{w+3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4}}$ berechnet werden.

Weise dies nach und berechne $w,$ wenn die beschriebene Wahrscheinlichkeit den Wert $\frac{1}{5}$ hat.

(5 BE)