Stochastik 2

Private Haushalte mit mindestens einem Kind im Vorschulalter werden im Folgenden als „junge Haushalte“ bezeichnet.

In einer deutschen Großstadt wird bei einer statistischen Erhebung festgestellt, dass $60\,\%$ der jungen Haushalte mit mindestens einem Pkw ausgestattet sind und $8\,\%$ der jungen Haushalte mit mindestens einem Lastenrad. In $14\,\%$ der jungen Haushalte ohne Pkw ist mindestens ein Lastenrad vorhanden.

a1)

Stelle den beschriebenen Sachverhalt in einer vollständig ausgefüllten Vierfeldertafel dar.

(4 BE)

a2)

Beurteile für diese Großstadt die folgende Aussage:

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter junger Haushalt mit mindestens einem Lastenrad ausgestattet ist, ist bei einem jungen Haushalt ohne Pkw mehr als dreimal so groß wie bei einem jungen Haushalt mit mindestens einem Pkw.

(3 BE)

$300$ junge Haushalte dieser Großstadt werden zufällig ausgewählt.

a3)

Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass

genau $28$ dieser Haushalte,
mehr als $20$ und höchstens $30$ dieser Haushalte,
höchstens $20$ oder mehr als $30$ dieser Haushalte

mit mindestens einem Lastenrad ausgestattet sind.

(4 BE)

a4)

Gib im Sachzusammenhang ein Ereignis an, dessen Wahrscheinlichkeit mit dem Term

$1 - \sum_{k=201}^{300} \pmatrix{300 \\ k} \cdot 0,6^k \cdot 0,4^{300-k}$

berechnet werden kann.

(2 BE)

Eine Kita betreut $80$ Kinder, von denen zwölf mit dem Lastenrad dorthin gebracht werden. Weise nach:

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich unter zehn zufällig ausgewählten Kindern dieser Kita genau zwei befinden, die mit einem Lastenrad gebracht werden, beträgt etwa $29,6\,\%.$

(3 BE)

Auf einem Prüfstand wird für einen Reifen eines Lastenrades die Strecke gemessen, die der Reifen gefahren werden kann, bis er unbrauchbar wird. Überschreitet der Reifen dabei eine gewisse Mindeststrecke, so wird er „langlebig“ genannt.

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Reifen langlebig ist, wird im Folgenden mit $p$ bezeichnet. In einer Stichprobe aus $450$ Reifen befinden sich $416$ langlebige Reifen.

c1)

Gib den Anteil der langlebigen Reifen in der Stichprobe in Prozent an.

(1 BE)

c2)

Prüfe, ob die Wahrscheinlichkeit $p = 0,9$ mit dem Stichprobenergebnis $416$ auf einem Signifikanzniveau von $5\,\%$ verträglich ist. Das ist genau dann der Fall, wenn das Stichprobenergebnis im $95\,\%$ -Annahmebereich der Hypothese $H : p = 0,9$ liegt.

(4 BE)

c3)

Bestimme zu dem Stichprobenergebnis näherungsweise die obere Grenze des zugehörigen $95\,\%$ -Konfidenzintervalls für den Wert von $p.$

(4 BE)

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a1)

$P:$ Junger Haushalt besitzt mindestens einen Pkw

$L:$ Junger Haushalt besitzt mindestens ein Lastenrad

Da $14\,\%$ der jungen Haushalte ohne Pkw mindestens ein Lastenrad besitzen, gilt:

$\begin{array}[t]{rll} P(L \cap \overline{P})&=& P_\overline{P}(L)\cdot P(\overline{P}) \\[5pt] &=& 0,14\cdot 0,4 \\[5pt] &=& 0,056 \\[5pt] \end{array}$

Einsetzen der gegebenen Anteile und Aufsummieren zum jeweiligen Gesamtanteil liefert:

	$\color{#fff}{L}$	$\color{#fff}{\overline{L}}$	Gesamt
$\color{#fff}{P}$	$0,024$	$0,576$	$0,6$
$\color{#fff}{\overline{P}}$	$0,056$	$0,344$	$0,4$
Gesamt	$0,08$	$0,92$	$1$

a2)

Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter junger Haushalt ohne Pkw mindestens ein Lastenrad besitzt:

$\begin{array}[t]{rll} P_\overline{P}(L)&=& \dfrac{P(\overline{P} \cap L)}{P(\overline{P})}&\\[5pt] &=& \dfrac{0,056}{0,4}&\\[5pt] &=& 0,14 \end{array}$

Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter junger Haushalt mit Pkw mindestens ein Lastenrad besitzt:

$\begin{array}[t]{rll} P_P(L)&=& \dfrac{P(P \cap L)}{P(P)}&\\[5pt] &=& \dfrac{0,024}{0,6}&\\[5pt] &=& 0,04 \end{array}$

Es gilt also $3\cdot P_P(L)=3\cdot 0,04=0,12$ und folglich $P_\overline{P}(L) \gt 3\cdot P_P(L).$ Die Aussage ist somit korrekt.

a3)

Die Zufallsvariable $X$ beschreibt die Anzahl der Haushalte, welche mit mindestens einem Lastenrad ausgestattet sind, und kann als binomialverteilt mit $n=300$ und $p=0,08$ angenommen werden.

Mit dem Taschenrechner ergibt sich:

$P_{0,08}^{300}(X=28)\approx 0,06=6\,\%$

Rechenweg anzeigen

$P_{0,08}^{300}(20 \lt X \leq 30)\approx 68,1\,\%$

Rechenweg anzeigen

$P_{0,08}^{300}(X\leq 20)+P_{0,08}^{300}(X\gt30)\approx 32\,\%$

a4)

Von 300 zufällig ausgewählten jungen Haushalten sind höchstens 200 Haushalte mit mindestens einem Pkw ausgestattet.

$\dfrac{\pmatrix{12 \\ 2} \cdot\pmatrix{68\\8}}{\pmatrix{80\\10}} \approx 0,296= 29,6 \,\%$

c1)

$\dfrac{416}{450} \approx 0,924= 92,4 \,\%$

c2)

$Y:$ Anzahl der langlebigen Reifen

Um zu prüfen, ob die Wahrscheinlichkeit $p = 0,9$ mit dem Stichprobenergebnis von 416 langlebigen Reifen auf einem Signifikanzniveau von $5 \,\%$ verträglich ist, wird der $95 \%$ -Annahmebereich der Hypothese $H_0: p = 0,9$ bestimmt.

Für die Hypothese $H_0$ gilt, dass das Stichprobenergebnis von 416 langlebigen Reifen im $95 \%$ -Annahmebereich liegt, wenn:

$P_{0,9}^{450}(Y \leq 415) \geq 0,025$ und $P_{0,9}^{450}(Y \geq 417) \geq 0,025$

Berechnung der Wahrscheinlichkeiten:

$P_{0,9}^{450}(Y \leq 415) \approx 0,955$

Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, höchstens 415 langlebige Reifen zu beobachten, bei etwa $95,5 \,\%$ liegt.

$\begin{array}[t]{rll} P_{0,9}^{450}(Y \geq 417)&=&1 - P_{0,9}^{450}(Y \leq 416) \\[5pt] &\approx&1 - 0,969 \\[5pt] &=&0,031 \end{array}$

Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, mindestens 417 langlebige Reifen zu beobachten, bei etwa $3,1 \,\%$ liegt.

Da beide Wahrscheinlichkeiten größer oder gleich $0,025$ sind, liegt das Stichprobenergebnis von 416 langlebigen Reifen im $95 \,\%$ -Annahmebereich. Daher ist das Ergebnis mit der Hypothese $H:p = 0,9$ verträglich.

c3)

Näherungsweise gilt:

$\left|\dfrac{416}{450}-p\right|=1,96 \cdot \sqrt{\dfrac{p \cdot(1-p)}{450}}$

Für $p \gt \dfrac{416}{450}$ ergibt sich:

$p - \dfrac{416}{450}=1,96 \cdot \sqrt{\dfrac{p \cdot (1 - p)}{450}}$

Mit Hilfe des CAS ergibt sich $p \approx 0,945.$ Dies ist somit die gesuchte obere Grenze des $95\,\%$ -Konfidenzintervalls.

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