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Analysis Aufgabe 2

Aufgaben
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Aufgabe 2: Analysis-CAS

In einem Forschungsinstitut werden Flugzeugtragflächen untersucht.
a)
Im Windkanal wird bei konstanter Anströmung die Auftriebskraft $F_A$ in Abhängigkeit vom Anstellwinkel $\omega$ untersucht.
Analysis Aufgabe 2
Abb. 1: Windkanal
Analysis Aufgabe 2
Abb. 1: Windkanal
Es werden die folgenden Messergebnisse aufgenommen:
Anstellwinkel $\omega$ in Grad$0$$5$$10$$15$$20$
Auftriebskraft $F_A$ in Kilonewton (kN)$5$$10$$13$$15$$12$
Anstellwinkel $\omega$ in GradAuftriebskraft $F_A$ in Kilonewton (kN)
$0$$5$
$5$$10$
$10$$13$
$15$$15$
$20$$12$
Die Abhängigkeit der Auftriebskraft $F_A$ vom Anstellwinkel $\omega$ soll mit Hilfe einer ganzrationalen Funktion $f$ vierten Grades modelliert werden.
$\,$
a1)
Bestimme einen Funktionsterm der Funktion $f.$
$\,$
Verwende für die folgenden Rechnungen die Funktion $f$ mit
$f(\omega)=-\dfrac{1}{3.000}\omega^4+\dfrac{17}{1.500}\omega^3-\dfrac{91}{600}\omega^2+\dfrac{91}{60}\omega+5$ und $0\leq \omega \leq 20$
$f(\omega)=\dotsc$
a2)
Bestimme die maximale Auftriebskraft im Rahmen der Modellierung.
(9 P)
Der abgebildete Querschnitt einer Tragfläche (das sogenannte Profil) lässt sich mit Hilfe zweier Funktionen modellieren. Die Funktion $o$ mit
$o(x)=-0,25 \cdot \sqrt{x} \cdot (x-1)$ und $0\leq x\leq 1,2$
beschreibt die obere Begrenzungslinie des Profils.
Die Funktion $u$ mit
$u(x)=-\dfrac{\sqrt{30}}{480} \cdot (25x^3 -50x^2+28x)$ und $0\leq x\leq 1,2$
$u(x)= \dotsc$
beschreibt die untere Begrenzungslinie des Profils.
Analysis Aufgabe 2
Abb. 2: Profil
Analysis Aufgabe 2
Abb. 2: Profil
Eine Längeneinheit entspricht dabei einem Meter in der Realität.
b)
b1)
Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von $o$ und $u.$
#schnittpunkt
$\,$
b2)
Weise nach, dass der Graph von $o$ an jeder Stelle $x$ mit $0 < x < 1,2$ rechtsgekrümmt ist.
#krümmung
$\,$
b3)
Berechne den Winkel, unter dem sich die Graphen von $o$ und $u$ an der Stelle $1,2$ schneiden.
(9 P)
#schnittwinkel
c)
An jeder Stelle $x$ mit $0\leq x \leq 1,2$ wird die Dicke des Profils durch die Differenz der Funktionswerte $o(x)$ und $u(x)$ beschrieben.
c1)
Bestimme die maximale Dicke des Profils.
$\,$
c2)
Berechne die durchschnittliche Dicke des Profils.
(9 P)
d)
Für $0\leq x \leq 1,2$ und $k\geq 0,4$ wird die Schar der Funktionen $u_k$ mit
$u_k(x)=-\dfrac{\sqrt{30}}{600k^2}\left(5x^3-(10k+6)\cdot x^2 +(5k^2+12k)\cdot x \right)$
$u_k(x)=\dotsc$
verwendet, um die untere Begrenzungslinie des Profils zu variieren.
d1)
Zeige, dass die Funktion $u$ zur Schar der Funktionen $u_k$ gehört.
#funktionenschar
$\,$
d2)
Bestimme diejenigen Werte von $k$, für die der Graph von $u_k$ einen Wendepunkt besitzt.
#wendepunkt
$\,$
d3)
Sei $k$ nun eine reelle Zahl mit $0,4 \leq k \leq 1,2$.
Die Graphen von $u_k$ und $o$ schneiden sich an den Stellen $0$ und $1,2.$
Die sogenannte Profiltangente $p_k$ ist die Gerade, die durch den Punkt $(1,2 \mid u_k(1,2))$ verläuft und den Graphen von $u_k$ an einer Stelle $x$ mit $0\leq x < 1,2$ berührt.
Die Gerade $g_k$ hat mit dem Graphen von $u_k$ genau die Punkte $(k \mid u_k(k))$ und $(1,2 \mid u_k(1,2))$ gemeinsam.
Zeige, dass die Gerade $g_k$ die Profiltangente $p_k$ ist.
Bildnachweise [nach oben]
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Lösungen TI
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a1)
$\blacktriangleright$  Funktionsterm bestimmen
Analysis Aufgabe 2
Abb. 1: menu $\to$ 3: Algebra $\to$ 7 $\to$ 1
Analysis Aufgabe 2
Abb. 1: menu $\to$ 3: Algebra $\to$ 7 $\to$ 1
Somit lautet der gesuchte Funktionsterm
$f(\omega)=-\dfrac{1}{3.000}\omega^4+\dfrac{17}{1.500}\omega^3-\dfrac{91}{600}\omega^2+\dfrac{91}{60}\omega+5.$
$f(\omega)=\dotsc $
a2)
$\blacktriangleright$  Maximale Auftriebskraft bestimmen
Analysis Aufgabe 2
Abb. 2: menu $\to$ 6: Graph analysieren $\to$ 3: Maximum
Analysis Aufgabe 2
Abb. 2: menu $\to$ 6: Graph analysieren $\to$ 3: Maximum

Somit beträgt die maximale Auftriebskraft etwa $15 \text{ kN}$.
b1)
$\blacktriangleright$  Schnittpunkte bestimmen
Analysis Aufgabe 2
Abb. 3: menu $\to$ 6: Graph analysieren $\to$ 4: Schnittpunkt
Analysis Aufgabe 2
Abb. 3: menu $\to$ 6: Graph analysieren $\to$ 4: Schnittpunkt
b2)
$\blacktriangleright$  Krümmung nachweisen
Analysis Aufgabe 2
Abb. 4: menu $\to$ 4: Analysis $\to$ 1: Ableitung
Analysis Aufgabe 2
Abb. 4: menu $\to$ 4: Analysis $\to$ 1: Ableitung
Somit folgt insgesamt, dass $o''(x)< 0$ gilt für $0 < x < 1,2$. Damit ist der Graph der Funktion in dem gegebenen Intervall rechtsgekrümmt.
b3)
$\blacktriangleright$  Schnittwinkel bestimmen
Für den Schnittwinkel $\alpha$ zwischen den Graphen zweier Funktionen folgt mit den jeweiligen Ableitungsfunktionen und dem CAS an der Stelle $x=1,2$:
$\begin{array}[t]{rll} \tan \alpha&=& \left| \dfrac{o'(1,2)-u'(1,2)}{1+o'(1,2) \cdot u'(1,2)}\right| &\quad \scriptsize \mid\; \tan^{-1}\\[5pt] \alpha &=& \tan^{-1} \left(\left| \dfrac{o'(1,2)-u'(1,2)}{1+o'(1,2) \cdot u'(1,2)}\right| \right) \\[5pt] &\approx& 6,18^° \\[5pt] \end{array}$
$\alpha \approx 6,18^°$
Somit beträgt der Winkel, unter dem sich die Graphen von $o$ und $u$ schneiden etwa $6,18^°$.
c1)
$\blacktriangleright$  Maximale Dicke bestimmen
Die Dicke des Profils kann durch die Differenzfunktion $d(x)=o(x)-u(x)$ dargestellt werden. Gesucht ist somit der maximale Funktionswert der Differenzfunktion. Wie in der Teilaufgabe a2) folgen mit dem CAS ungefähr für die Koordinaten des Hochpunktes:
$H(0,36 \mid 0,15)$
Somit beträgt die maximale Dicke etwa $0,15 \text{ m}.$
c2)
$\blacktriangleright$  Durchschnittliche Dicke berechnen
Die durchschnittliche Dicke $\overline{d}$ des Profils im Intervall $[0;1,2]$ entspricht dem durchschnittlichen Funktionswert der Differenzfunktion.
Analysis Aufgabe 2
Abb. 5: menu $\to$ 4: Analysis $\to$ 3: Integral
Analysis Aufgabe 2
Abb. 5: menu $\to$ 4: Analysis $\to$ 3: Integral
Somit beträgt die durchschnittliche Dicke des Profils etwa $0,0922 \text{ m}.$
d1)
$\blacktriangleright$  Zugehörigkeit nachweisen
Durch Umformen folgt für den Funktionsterm der Funktion $u_k$:
$\begin{array}[t]{rll} u_k(x)&=& -\dfrac{\sqrt{30}}{600k^2}\left(5x^3-(10k+6)\cdot x^2 + (5k^2+12k)\cdot x \right) \\[5pt] &=&-\dfrac{\sqrt{30}}{5 \cdot 600k^2}\left(5 \cdot 5x^3-5 \cdot (10k+6)\cdot x^2 + 5 \cdot (5k^2+12k)\cdot x \right) \\[5pt] &=&-\dfrac{\sqrt{30}}{3.000k^2}\left(25x^3-5 \cdot (10k+6)\cdot x^2 + 5 \cdot (5k^2+12k)\cdot x \right) \\[5pt] \end{array}$
$u_k(x)= \dotsc$
Durch Koeffizientenvergleich mit dem Funktionsterm
$u(x)=-\dfrac{\sqrt{30}}{480} \cdot (25x^3 -50x^2+28x)$
$u(x)=\dotsc $
müssen für den Parameter $k$ die folgenden Gleichungen gelten:
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad& -\dfrac{\sqrt{30}}{3.000k^2}&=& -\dfrac{\sqrt{30}}{480}\\[5pt] \text{II}\quad& -5 \cdot (10k+6)&=& -50 \\[5pt] \text{II}\quad& 5 \cdot (5k^2+12k)&=& 28 \\[5pt] \end{array}$
$\text{I}: \dotsc $
Mit dem CAS folgt, dass das Gleichungsystem für $k=0,4$ lösbar ist.
Somit gilt $u=u_{0,4}$ und damit gehört $u$ zur Schar der Funktionen $u_k.$
d2)
$\blacktriangleright$  Werte bestimmen
Für die Ableitungsfunktionen der Funktion $u_k$ gilt:
$\begin{array}[t]{rll} u_k'(x)&=& -\dfrac{\sqrt{30}}{600k^2}\left(15x^2-2 \cdot (10k+6)\cdot x +(5k^2+12k) \right) \\[5pt] u_k''(x)&=& -\dfrac{\sqrt{30}}{600k^2}\left(30x-2 \cdot (10k+6)\right) \\[5pt] u_k'''(x)&=& -\dfrac{\sqrt{30}}{600k^2}\cdot 30 \\[5pt] \end{array}$
$ u_k''(x)=\dotsc $
Das notwendige Kriterium für eine Wendestelle lautet $u_k''(x)=0$. Damit folgt:
$\begin{array}[t]{rll} -\dfrac{\sqrt{30}}{600k^2}\left(30x-2 \cdot (10k+6)\right)&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;\text{ Satz v. NP} \\[5pt] 30x-2 \cdot (10k+6)&=& 0 \\[5pt] 30x-20k-12&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;+20k \\[5pt] 30x-12&=& 20k &\quad \scriptsize \mid\;+12 \\[5pt] 30x&=& 20k +12&\quad \scriptsize \mid\;:30 \\[5pt] x&=& \frac{2}{3}k +0,4 \\[5pt] \end{array}$
$x=\frac{2}{3}k +0,4$
Es gilt hierbei $k\geq 0,4$ und $0 \leq x \leq 1,2$. Daraus folgt die Ungleichung:
$\begin{array}[t]{rll} \frac{2}{3}k +0,4&\leq& 1,2 &\quad \scriptsize \mid\; -0,4\\[5pt] \frac{2}{3}k &\leq& 0,8 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \frac{3}{2}\\[5pt] k&\leq& 1,2 \end{array}$
$k \leq 1,2$
Somit ist für $0,4 \leq k \leq 1,2$ das notwendige Kriterium für eine Wendestelle erfüllt.
Das hinreichende Kriterium für eine Wendestelle lautet $u_k'''(x) \neq 0$. Damit muss $-\dfrac{\sqrt{30}}{600k^2}\cdot 30 \neq 0$ gelten. Dies ist insbesondere für alle $k\geq 0,4$ erfüllt.
Damit besitzt der Graph von $u_k$ für $0,4 \leq k \leq 1,2$ einen Wendepunkt.
d3)
$\blacktriangleright$  Gleichheit der Geraden nachweisen
Die Profiltangente verläuft durch den Punkt $(1,2 \mid u_k(1,2))$ und berührt den Graphen von $u_k$ an einer Stelle $x_B$. Damit gilt für die Steigung der Profiltangente $m_P=u_k'(x_B)$. Außerdem gilt für die Steigung der Profiltangenten mit dem Differenzquotienten:
$m_P=\dfrac{u_k(x_B)-u_k(1.2)}{x_B-1,2}$.
Damit folgt durch Gleichsetzen die Gleichung:
$u_k'(x_B)=\dfrac{u_k(x_B)-u_k(1.2)}{x_B-1,2}$
Ist dies nur für $x_B=k$ erfüllt, so folgt damit, dass die Gerade $g_k$ und die Profiltangente identisch sind.
Mit dem Solve-Befehl des CAS folgen als mögliche Lösungen:
$x_1=\dfrac{5k-|5k-6|+6}{10}$ und $x_2=\dfrac{5k+|5k-6|+6}{10}$
Mit $0,4 \leq k < 1,2$ folgt $5k-6 < 0$. Für die Lösungen folgt somit durch Auflösen des Betrags:
$\begin{array}[t]{rll} x_1&=& \dfrac{5k-(-(5k-6))+6}{10} \\[5pt] &=& \dfrac{5k-(-5k+6)+6}{10} \\[5pt] &=& \dfrac{5k+5k-6+6}{10} \\[5pt] &=& \dfrac{10k}{10} \\[5pt] &=& k \\[5pt] \end{array}$
$x_1=k$
$\begin{array}[t]{rll} x_2&=& \dfrac{5k+|5k-6|+6}{10} \\[5pt] &=& \dfrac{5k-(5k-6)+6}{10} \\[5pt] &=& \dfrac{5k-5k+6+6}{10} \\[5pt] &=& \dfrac{12}{10} \\[5pt] &=& 1,2 \\[5pt] \end{array}$
$x_2=1,2 $
In der Aufgabenstellung ist $x < 1,2$ gegeben. Damit folgt, dass $x_B=k$ die einzige Lösung der Gleichung ist und damit sind die Gerade $g_k$ und die Profiltangente identisch.
Bildnachweise [nach oben]
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a1)
$\blacktriangleright$  Funktionsterm bestimmen
Analysis Aufgabe 2
Abb. 1: Funktionsterm aufstellen
Analysis Aufgabe 2
Abb. 1: Funktionsterm aufstellen
Somit lautet der gesuchte Funktionsterm
$f(\omega)=-\dfrac{1}{3.000}\omega^4+\dfrac{17}{1.500}\omega^3-\dfrac{91}{600}\omega^2+\dfrac{91}{60}\omega+5.$
$f(\omega)=\dotsc $
a2)
$\blacktriangleright$  Maximale Auftriebskraft bestimmen
Analysis Aufgabe 2
Abb. 2: Maximaler Funktionswert
Analysis Aufgabe 2
Abb. 2: Maximaler Funktionswert
Somit beträgt die maximale Auftriebskraft etwa $15,04 \text{ kN}$.
#extrempunkt
b1)
$\blacktriangleright$  Schnittpunkte bestimmen
Analysis Aufgabe 2
Abb. 3: Schnittpunkte
Analysis Aufgabe 2
Abb. 3: Schnittpunkte
b2)
$\blacktriangleright$  Krümmung nachweisen
Analysis Aufgabe 2
Abb. 4: Funktionsterm der zweiten Ableitung
Analysis Aufgabe 2
Abb. 4: Funktionsterm der zweiten Ableitung
Somit folgt insgesamt, dass $o''(x)< 0$ gilt für $0 < x < 1,2$. Damit ist der Graph der Funktion in dem gegebenen Intervall rechtsgekrümmt.
b3)
$\blacktriangleright$  Schnittwinkel bestimmen
Für den Schnittwinkel $\alpha$ zwischen den Graphen zweier Funktionen folgt mit den jeweiligen Ableitungsfunktionen und dem CAS an der Stelle $x=1,2$:
$\begin{array}[t]{rll} \tan \alpha&=& \left| \dfrac{o'(1,2)-u'(1,2)}{1+o'(1,2) \cdot u'(1,2)}\right| &\quad \scriptsize \mid\; \tan^{-1}\\[5pt] \alpha &=& \tan^{-1} \left(\left| \dfrac{o'(1,2)-u'(1,2)}{1+o'(1,2) \cdot u'(1,2)}\right| \right) \\[5pt] &\approx& 6,18^° \\[5pt] \end{array}$
$\alpha \approx 6,18^°$
Somit beträgt der Winkel, unter dem sich die Graphen von $o$ und $u$ schneiden etwa $6,18^°$.
c1)
$\blacktriangleright$  Maximale Dicke bestimmen
Die Dicke des Profils kann durch die Differenzfunktion $d(x)=o(x)-u(x)$ dargestellt werden. Gesucht ist somit der maximale Funktionswert der Differenzfunktion. Wie in der Teilaufgabe a2) folgen mit dem CAS ungefähr für die Koordinaten des Hochpunktes:
$H(0,36 \mid 0,15)$
Somit beträgt die maximale Dicke etwa $0,15 \text{ m}.$
#extrempunkt
c2)
$\blacktriangleright$  Durchschnittliche Dicke berechnen
Die durchschnittliche Dicke $\overline{d}$ des Profils im Intervall $[0;1,2]$ entspricht dem durchschnittlichen Funktionswert der Differenzfunktion.
Analysis Aufgabe 2
Abb. 5: Durchschnittlicher Funktionswert
Analysis Aufgabe 2
Abb. 5: Durchschnittlicher Funktionswert
Somit beträgt die durchschnittliche Dicke des Profils etwa $0,0922 \text{ m}.$
#mittelwert
d1)
$\blacktriangleright$  Zugehörigkeit nachweisen
Durch Umformen folgt für den Funktionsterm der Funktion $u_k$:
$\begin{array}[t]{rll} u_k(x)&=& -\dfrac{\sqrt{30}}{600k^2}\left(5x^3-(10k+6)\cdot x^2 + (5k^2+12k)\cdot x \right) \\[5pt] &=&-\dfrac{\sqrt{30}}{5 \cdot 600k^2}\left(5 \cdot 5x^3-5 \cdot (10k+6)\cdot x^2 + 5 \cdot (5k^2+12k)\cdot x \right) \\[5pt] &=&-\dfrac{\sqrt{30}}{3.000k^2}\left(25x^3-5 \cdot (10k+6)\cdot x^2 + 5 \cdot (5k^2+12k)\cdot x \right) \\[5pt] \end{array}$
$u_k(x)= \dotsc$
Durch Koeffizientenvergleich mit dem Funktionsterm
$u(x)=-\dfrac{\sqrt{30}}{480} \cdot (25x^3 -50x^2+28x)$
$u(x)=\dotsc $
müssen für den Parameter $k$ die folgenden Gleichungen gelten:
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad& -\dfrac{\sqrt{30}}{3.000k^2}&=& -\dfrac{\sqrt{30}}{480}\\[5pt] \text{II}\quad& -5 \cdot (10k+6)&=& -50 \\[5pt] \text{II}\quad& 5 \cdot (5k^2+12k)&=& 28 \\[5pt] \end{array}$
$\text{I}: \dotsc $
Mit dem CAS folgt, dass das Gleichungsystem für $k=0,4$ lösbar ist.
Somit gilt $u=u_{0,4}$ und damit gehört $u$ zur Schar der Funktionen $u_k.$
d2)
$\blacktriangleright$  Werte bestimmen
Für die Ableitungsfunktionen der Funktion $u_k$ gilt:
$\begin{array}[t]{rll} u_k'(x)&=& -\dfrac{\sqrt{30}}{600k^2}\left(15x^2-2 \cdot (10k+6)\cdot x +(5k^2+12k) \right) \\[5pt] u_k''(x)&=& -\dfrac{\sqrt{30}}{600k^2}\left(30x-2 \cdot (10k+6)\right) \\[5pt] u_k'''(x)&=& -\dfrac{\sqrt{30}}{600k^2}\cdot 30 \\[5pt] \end{array}$
$ u_k''(x)=\dotsc $
Das notwendige Kriterium für eine Wendestelle lautet $u_k''(x)=0$. Damit folgt:
$\begin{array}[t]{rll} -\dfrac{\sqrt{30}}{600k^2}\left(30x-2 \cdot (10k+6)\right)&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;\text{ Satz v. NP} \\[5pt] 30x-2 \cdot (10k+6)&=& 0 \\[5pt] 30x-20k-12&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;+20k \\[5pt] 30x-12&=& 20k &\quad \scriptsize \mid\;+12 \\[5pt] 30x&=& 20k +12&\quad \scriptsize \mid\;:30 \\[5pt] x&=& \frac{2}{3}k +0,4 \\[5pt] \end{array}$
$x=\frac{2}{3}k +0,4$
Es gilt hierbei $k\geq 0,4$ und $0 \leq x \leq 1,2$. Daraus folgt die Ungleichung:
$\begin{array}[t]{rll} \frac{2}{3}k +0,4&\leq& 1,2 &\quad \scriptsize \mid\; -0,4\\[5pt] \frac{2}{3}k &\leq& 0,8 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \frac{3}{2}\\[5pt] k&\leq& 1,2 \end{array}$
$k \leq 1,2$
Somit ist für $0,4 \leq k \leq 1,2$ das notwendige Kriterium für eine Wendestelle erfüllt.
Das hinreichende Kriterium für eine Wendestelle lautet $u_k'''(x) \neq 0$. Damit muss $-\dfrac{\sqrt{30}}{600k^2}\cdot 30 \neq 0$ gelten. Dies ist insbesondere für alle $k\geq 0,4$ erfüllt.
Damit besitzt der Graph von $u_k$ für $0,4 \leq k \leq 1,2$ einen Wendepunkt.
#notwendigeskriteriumfürwendestellen#hinreichendeskriteriumfürwendestellen
d3)
$\blacktriangleright$  Gleichheit der Geraden nachweisen
Die Profiltangente verläuft durch den Punkt $(1,2 \mid u_k(1,2))$ und berührt den Graphen von $u_k$ an einer Stelle $x_B$. Damit gilt für die Steigung der Profiltangente $m_P=u_k'(x_B)$. Außerdem gilt für die Steigung der Profiltangenten mit dem Differenzquotienten:
$m_P=\dfrac{u_k(x_B)-u_k(1.2)}{x_B-1,2}$.
Damit folgt durch Gleichsetzen die Gleichung:
$u_k'(x_B)=\dfrac{u_k(x_B)-u_k(1.2)}{x_B-1,2}$
Ist dies nur für $x_B=k$ erfüllt, so folgt damit, dass die Gerade $g_k$ und die Profiltangente identisch sind.
Mit dem Solve-Befehl des CAS folgen als mögliche Lösungen:
$x_1=\dfrac{5k-|5k-6|+6}{10}$ und $x_2=\dfrac{5k+|5k-6|+6}{10}$
Mit $0,4 \leq k < 1,2$ folgt $5k-6 < 0$. Für die Lösungen folgt somit durch Auflösen des Betrags:
$\begin{array}[t]{rll} x_1&=& \dfrac{5k-(-(5k-6))+6}{10} \\[5pt] &=& \dfrac{5k-(-5k+6)+6}{10} \\[5pt] &=& \dfrac{5k+5k-6+6}{10} \\[5pt] &=& \dfrac{10k}{10} \\[5pt] &=& k \\[5pt] \end{array}$
$x_1=k$
$\begin{array}[t]{rll} x_2&=& \dfrac{5k+|5k-6|+6}{10} \\[5pt] &=& \dfrac{5k-(5k-6)+6}{10} \\[5pt] &=& \dfrac{5k-5k+6+6}{10} \\[5pt] &=& \dfrac{12}{10} \\[5pt] &=& 1,2 \\[5pt] \end{array}$
$x_2=1,2 $
In der Aufgabenstellung ist $x < 1,2$ gegeben. Damit folgt, dass $x_B=k$ die einzige Lösung der Gleichung ist und damit sind die Gerade $g_k$ und die Profiltangente identisch.
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