Aufgabe 3

In Abbildung 1 ist ein regelmäßiges Tetraeder $ABCD$ mit den Eckpunkten $A(0\mid 0\mid 0),$ $B(10\mid 10\mid0),$ $C(10\mid 0 \mid 10)$ und $D(0\mid 10\mid 10)$ in einem kartesischen Koordinatensystem abgebildet.

Abbildung 1

(1)

Zeige, dass das Dreieck $ABC$ gleichseitig ist.

(2)

Bestimme den Flächeninhalt des Dreiecks $ABC$ und den Oberflächeninhalt des Tetraeders $ABCD$ .

(3)

Gib die Koordinaten der Eckpunkte eines Würfels mit dem Volumen $V= 1000\;\text{VE}$ an, der das Tetraeder enthält.

(4 + 4 + 4 Punkte)

(1)

Stelle eine Koordinatengleichung der Ebene $E$ auf, in der das Dreieck $ABC$ liegt.

[Mögliche Lösung: $E: -x_1+x_2+x_3=0$ ]

(2)

Stelle die Dreiecksfläche $ABC$ in einer Parameterform dar.

(3)

Bestimme das Volumen des Tetraeders $ABCD$ .

(4 + 3 + 4 Punkte)

Das Tetraeder $ABCD$ modelliert einen Körper mit Kanten aus Draht. Diesen Körper taucht man in Seifenlauge. Beim Herausnehmen bilden sich im Inneren des Körpers Flächen aus Seifenhaut (vgl. Abbildungen 2 und 3).

Abbildung 2

Abbildung 3

Die Seifenhaut besteht aus sechs kongruenten gleichschenkligen Dreiecken mit einem gemeinsamen Eckpunkt, der durch $S$ modelliert wird. $S$ liegt im Inneren des Tetraeders.

Das Dreieck $ABS$ liegt in der Ebene $H: -x_1+x_2=0$ ,
das Dreieck $ADS$ liegt in der Ebene $I: -x_2+x_3=0$ und
das Dreieck $SBD$ liegt in der Ebene $J:x_1+x_3=10.$

(1)

Berechne die Größe des Winkels zwischen den Ebenen $I$ und $J$ .

(2)

Bestimme die Lösung des linearen Gleichungssystems

$\begin{vmatrix}-x_1& +& x_2& =& 0\\-x_2&+&x_3&=&0\\x_1&+&x_3&=&10\end{vmatrix}$

und interpretiere die Lösung im Sachzusammenhang.

(3 + 4 Punkte)

Im Folgenden werden unterschiedlich große Drahtkantenmodelle von regelmäßigen Tetraedern in Seifenlauge getaucht. Um dies zu modellieren, wird im Folgenden ein regelmäßiges Tetraeder $\(A$ mit dem Eckpunkt $\(A$ und den variablen Eckpunkten $\(B$ , $\(C$ und $\(D$ mit $a \gt 0$ betrachtet. Dieses Tetraeder hat den Oberflächeninhalt $\(O$ .

Taucht man diesen Körper in Seifenlauge, so bilden sich bei dessen Herausnahme im Inneren des Körpers Flächen aus Seifenhaut. Die Seifenhaut besteht aus sechs kongruenten gleichschenkligen Dreiecken mit einem gemeinsamen Eckpunkt, der durch den von $a$ abhängigen Punkt $\(S$ modelliert wird.

Jedes dieser Dreiecke hat den Flächeninhalt $\(A$

(1)

Bestimme, um wie viel Prozent der Gesamtflächeninhalt der Seifenhaut kleiner ist als der Oberflächeninhalt $\(O$ des Tetraeders.

(2)

Das Dreieck $\(A$ liegt in der Ebene $E: -x_1 +x_2 +x_3 = 0$ .

Bestimme rechnerisch die Koordinaten des Fußpunktes $\(F$ des Lotes von $\(D$ auf die Ebene $E$ .

$\bigg[$ Zur Kontrolle: $\(F$

(3)

Auf der Strecke $\(\overline{F$ liegt der Punkt $\(S$ Die sechs Flächen aus Seifenhaut teilen das Tetraeder $\(A$ in vier volumengleiche Pyramiden. Diese Pyramiden haben die gemeinsame Spitze $\(S$ und jeweils eine der vier Seitenflächen des Tetraeders $\(A$ als Grundfläche.

Bestimme rechnerisch unter Verwendung von $\(F$ die Koordinaten von $\(S$ .

(3 + 4 + 3 Punkte)

(1)

Es gilt $\overrightarrow{AB} = \pmatrix {10\\10\\0}$ , $\overrightarrow{AC} = \pmatrix{10\\0\\10}$ und $\overrightarrow{BC} =\pmatrix{0\\-10\\10}$ .

$\left| \overrightarrow{AB} \right|= \left| \overrightarrow{AC} \right|=\left|\overrightarrow{BC}\right|=10 \cdot \sqrt{2}$

Rechnung anzeigen

Somit ist das Dreieck $ABC$ gleichseitig.

(2)

Es gilt: $\overline{AB}=\overline{AC} =10 \;\text{[LE]}$

Das Dreieck $ABC$ ist gleichseitig und rechtwinklig, womit sich die Seitenlänge $\overline{AB}$ mit dem Satz des Pythagoras ergibt:

$\begin{array}[t]{rll} \mid \overline{AB} \mid^2&=& 10^2 +10^2 &\quad \scriptsize \\[5pt] \mid \overline{AB} \mid^2 &=& 2\cdot 100 &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] \overline{AB} &=& \sqrt{2} \cdot 10 \;\text{[LE]} \end{array}$

Die Höhe des Dreiecks $ABC$ ergibt sich zu $0,5 \cdot 10 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} =5 \cdot \sqrt{6} \;\text{[LE]}.$

Daraus folgt $A_{\text{Dreieck}}$ $= 0,5 \cdot 10 \cdot \sqrt{2} \cdot 5 \cdot \sqrt{6}= 25 \cdot \sqrt{12}$ $= 50 \cdot \sqrt{3} \;\text{[FE]}.$

Damit ergibt sich $O_{\text{Tetraeder}}= 4 \cdot A_{\text{Dreieck}}= 200 \cdot \sqrt{3} \;\text{[FE]}.$

(3)

Ein Würfel mit sechs Seiten und einem Volumen von $V=1000 \; \text{VE}$ hat Seitenlängen von jeweils $10 \;\text{LE}.$

Deshalb sind die Koordinaten der Punkte:

$P_1(0 \mid 0\mid0), P_2(10 \mid 0 \mid 0),$ $P_3(0\mid 10 \mid 0), P_4(0 \mid 0 \mid 10),$ $P_5(10 \mid 10 \mid0), P_6(10 \mid 0 \mid 10),$ $P_7(0 \mid 10 \mid 10), P_8(10\mid 10 \mid 10)$

(1)

Normalenvektor ermitteln

Ein Normalenvektor der Ebene, in welcher das Dreieck $ABC$ liegt, kann mithilfe des Kreuzprodukts zweier Vektoren der Ebene berechnet werden.

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}&=&\pmatrix{10\\10\\0} \times \pmatrix{10\\0\\10} &\\[5pt] &=& \pmatrix{10\cdot 10-0\cdot 0\\0\cdot 10-10\cdot 10\\10\cdot 0-10\cdot 10} &\\[5pt] &=& 100\cdot \pmatrix{1\\-1\\-1} \end{array}$

Durch Einsetzen von $\overrightarrow{OA}$ und eines Normalenvektors von $E$ in die allgemeine Koordinatengleichung folgt:

$\begin{array}[t]{rll} 1\cdot 0 -1\cdot 0 -1\cdot 0&=& c& \\[5pt] 0&=&c \end{array}$

Eine Ebenengleichung von $E$ ist somit gegeben durch :

$E: x_1 -x_2 -x_3 =0$

(2)

Eine Parameterform der Dreiecksfläche $ABC$ lautet:

Dreicksfläche $ABC$ : $\overrightarrow{x}=k \cdot \pmatrix{10\\10\\0} +l \cdot \pmatrix{10\\0\\10}$ mit $k,l\geq 0$ und $k+l\leq 1$ .

(3)

Die Höhe des Tetraeders $ABCD$ entspricht dem Abstand des Punktes $D$ von der Ebene $E:$

$\left| \pmatrix{0\\10\\10} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{1+1+1}} \pmatrix{1\\-1\\-1}\right| =\dfrac{20}{3} \cdot \sqrt{3}$ .

Es folgt:

$\begin{array}[t]{rll} V_{\text{Tetraeder}}&=& \dfrac{1}{3} \cdot 50\cdot \sqrt{3} \cdot \dfrac{20}{3} \cdot \sqrt{3} & \\[5pt] &=& \dfrac{1000}{3} \; [\text{VE}] \end{array}$

(1)

Für den Winkel $\alpha$ zwischen den Ebenen $I$ und $J$ gilt:

$\begin{array}[t]{rll} \cos (\alpha)&=& \dfrac{|n_I\circ n_J|}{|n_I|\cdot |n_J|}& \\[5pt] \cos (\alpha) &=& \dfrac{\left|\pmatrix{0\\-1\\1} \circ \pmatrix{1\\0\\1} \right|} {\left| \pmatrix{0\\-1\\1}\right| \cdot \left| \pmatrix {1\\0\\1}\right|}& \\[5pt] \cos (\alpha) &=&\dfrac{1}{2} & \\[5pt] \alpha &=& 60 ^{\circ} & \\[5pt] \end{array}$

(2)

Der Taschenrechner liefert $x= \pmatrix {5\\5\\5}$ als Lösung des linearen Gleichungssystems.

Der Punkt $(5 \mid 5 \mid 5)$ ist ein gemeinsamer Punkt der Ebenen $H$ , $I$ und $J$ und damit der gemeinsame Punkt $S$ der sechs kongruenten gleichschenkligen Dreiecke aus der Seifenhaut.

(1)

Die Seifenhaut hat einen Gesamtflächeninhalt von $\(6 \cdot A$

Aus $\(1-\dfrac{6 \cdot A$ folgt, dass der Gesamtflächeninhalt der Seifenhaut um ca. $38,76\,\%$ kleiner ist als der Oberflächeninhalt des Tetraeders.

(2)

$\(F$ ist der Schnittpunkt der Geraden $g:\overrightarrow{x}= \pmatrix{0\\a\\a} +t\cdot \pmatrix{1\\-1\\-1}$ mit $t \in E$ und der Ebene $E.$

Einsetzen eines beliebigen Punktes $(t \mid a-t \mid a-t)$ der Geraden $g$ in die Koordinatengleichung von $E$ ergibt:

$\begin{array}[t]{rll} -t+a-t+a-t&=& 0&\quad \scriptsize \mid\; +3t\\[5pt] 2a&=& 3t&\quad \scriptsize \mid\; :3\\[5pt] \dfrac{2}{3}a&=& t \end{array}$

Einsetzen von $t$ in die Parametergleichung von $g$ liefert $\(F$ .

(3)

$\(| \overrightarrow{F$ entspricht der Höhe einer der vier volumengleichen Pyramiden.

$\(\mid \overrightarrow{F$ entspricht der Höhe des Tetraeders $\(A$

Bei gleicher Grundfläche muss gelten:

$\(\mid \overrightarrow{F$

Aus $\pmatrix{\frac{2}{3}a\\ \frac{1}{3}a \\ \frac{1}{3} a} + \frac{1}{4} \cdot \pmatrix{ -\frac{2}{3} a\\ \frac{2}{3} a \\ \frac{1}{3}a } = \pmatrix { \frac{1}{2}a \\ \frac{1}{2} a\\ \frac{1}{2}a }$

folgt $\(S$ .