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Teil A: Ohne Hilfsmittel

Aufgaben
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a)
Gegeben ist eine Funktion $f$ mit $f(x)= 2\cdot \mathrm e^{\frac{1}{2}x}-1;$ $x\in \mathbb{R}.$
(1)
Ermittle die Nullstelle der Funktion $f$.
(3 BE)
(2)
Die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $S(0\mid 1)$ begrenzt mit den beiden Koordinatenachsen ein Dreieck. Weise nach, dass dieses Dreieck gleichschenklig ist.
(3 BE)
#exponentialfunktion#gleichschenkligesdreieck#zentraleraufgabenpool
b)
Gegeben sind die Ebene
$E:\quad 2x_1-x_2+2x_3=5$
und die Gerade
$g:\quad \overrightarrow{x} = \pmatrix{2\\1\\-2}+ t\cdot \pmatrix{2\\-1\\-4},$ $t\in\mathbb{R}.$
(1)
Berechne die Koordinaten des Schnittpunkts von $E$ und $g.$
(4 BE)
(2)
Begründe, dass $g$ nicht senkrecht zur Ebene $E$ verläuft.
(2 BE)
#koordinatenform#schnittpunkt#ebenengleichung
c)
Untersucht werden die Lösungsmengen von linearen Gleichungssystemen.
(1)
Bestimme die Lösungsmenge des folgenden Gleichungssystems:
$\begin{array}{lrll} &3\cdot x_1 & -&2\cdot&x_2& && &=& 13 \\ & &&&x_2& +&2\cdot& x_3&=&5 \\ & &&&x_2&+& &x_3&=& 3 \\ \end{array}$
(3 BE)
(2)
Betrachtet wird das folgende Gleichungssystem mit einem Parameter $p\in\mathbb{R}:$
$\begin{array}{lrll} 3\cdot& x_1 & +&2\cdot&x_2& +&&x_3 &=& 4 \\ 3\cdot &x_1 &+&2\cdot&x_2& & & &=&5 \\ 3\cdot &x_1&+ &2\cdot&x_2&+& p\cdot&x_3&=& 4 \\ \end{array}$
Gib einen Wert für $p$ an, für den das Gleichunggsystem unendlich viele Lösungen hat.
Begründe, dass es keinen Wert von $p$ gibt, für den das Gleichungssystem genau eine Lösung hat.
(3 BE)
#gleichungssystem
d)
Jedes Überraschungsei eines Herstellers enthält entweder eine Figur oder keine Figur, wobei der Anteil der Überraschungseier mit einer Figur $25\;\%$ beträgt.
(1)
Zehn Überraschungseier werden nacheinander zufällig ausgewählt.
Gib einen Term zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit dafür an, dass nur in den letzten beiden Überraschungseiern jeweils eine Figur enthalten ist.
(2 BE)
(2)
Sechs Überraschungseier werden zufällig ausgewählt. Die Zufallsgröße $X$ gibt an, wie viele dieser Überraschungseier eine Figur enthalten. Eine der folgenden Abbildungen stellt die Wahrscheinlichkeitsverteilung dieser Zufallsgröße $X$ dar:
Teil A: Ohne Hilfsmittel
Abb. 1: I
Teil A: Ohne Hilfsmittel
Abb. 1: I
Teil A: Ohne Hilfsmittel
Abb. 2: II
Teil A: Ohne Hilfsmittel
Abb. 2: II
Teil A: Ohne Hilfsmittel
Abb. 3: III
Teil A: Ohne Hilfsmittel
Abb. 3: III
Gib an, welche Abbildung dies ist.
Begründe, dass die beiden anderen Abbildungen dies nicht sind.
(4 BE)
#zentraleraufgabenpool
Bildnachweise [nach oben]
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Lösungen
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a)
(1)
$\blacktriangleright$  Nullstelle ermitteln
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=&0\\[5pt] 2\cdot \mathrm e^{\frac{1}{2}x}-1&=& 0&\quad \scriptsize \mid\; +1\\[5pt] 2\cdot \mathrm e^{\frac{1}{2}x}&=&1 &\quad \scriptsize \mid\;:2 \\[5pt] \mathrm e^{\frac{1}{2}x}&=& \frac{1}{2} &\quad \scriptsize \mid\;\ln \\[5pt] \frac{1}{2}x&=& \ln\left(\frac{1}{2}\right) &\quad \scriptsize \mid\;\cdot 2 \\[5pt] x&=& 2\cdot \ln\left(\frac{1}{2}\right)\\[5pt] \end{array}$
$ x = 2\cdot \ln\left(\frac{1}{2}\right)$
Die Nullstelle der Funktion $f$ ist $x = 2\cdot\ln\left(\frac{1}{2}\right)$
(2)
$\blacktriangleright$  Gleichschenkligkeit nachweisen
1. Schritt: Tangentengleichung bestimmen
Für die Tangente $t:\; y = m\cdot x + b$ muss gelten:
  • $t$ besitzt die gleiche Steigung wie der Graph von $f$ im Punkt $S(0\mid 1)$, also $m = f'(0)$.
  • $t$ verläuft durch den Punkt $S(0\mid 1),$ also $t(0)=1.$
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& 2\cdot\mathrm e^{\frac{1}{2}x}-1 \\[5pt] f'(x)&=&2\cdot \frac{1}{2}\cdot \mathrm e^{\frac{1}{2}x} \\[5pt] &=&\mathrm e^{\frac{1}{2}x}\\[5pt] \end{array}$
Also gilt für die Steigung:
$\begin{array}[t]{rll} m&=& f'(0) \\[5pt] &=& \mathrm e^{\frac{1}{2}\cdot 0} \\[5pt] &=& 1 \end{array}$
Einsetzen von $m$ und $S$ in die Tangentengleichung liefert eine Gleichung in Abhängigkeit von $b:$
$\begin{array}[t]{rll} 1&=&1\cdot 0 +b \\[5pt] 1&=& b \end{array}$
Die Gleichung der Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $S(0\mid 1)$ lautet also $t: \; y = x +1$.
2. Schritt: Koordinaten der Eckpunkte bestimmen
Der erste Eckpunkt ist der Koordinatenursprung $O$. Der zweite Eckpunkt ist der Schnittpunkt der Tangente mit der $y$-Achse, also $S(0\mid 1).$ Der dritte Eckpunkt ist der Schnittpunkt der Tangente mit der $x$-Achse.
$\begin{array}[t]{rll} x+1&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;-1 \\[5pt] x&=&-1 \end{array}$
Der dritte Eckpunkt ist also $S_x(-1\mid 0).$
3. Schritt: Seitenlängen berechnen
Es gilt $\overline{OS} = 1 $, $\overline{OS}_x = 1$ und $\overline{S_xS} =\sqrt{2}\neq 1$. Also ist das Dreieck mit den Eckpunkten $O$, $S$ und $S_x$ gleichschenklig.
b)
(1)
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Schnittpunkts berechnen
Einsetzen der einzelnen Koordinaten der Geradengleichung in die Ebenengleichung liefert:
$\begin{array}[t]{rll} 2x_1 -x_2 +2x_3&=& 5 \\[5pt] 2\cdot (2+2t) -(1-1t) +2\cdot (-2-4t)&=& 5 \\[5pt] -1-3t&=&5 &\quad \scriptsize \mid\; +1 \\[5pt] -3t&=& 6 &\quad \scriptsize \mid\;:(-3) \\[5pt] t&=& -2 \end{array}$
$ t= -2 $
Dies kann nun wiederum in die Geradengleichung eingesetzt werden:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OS}&=& \pmatrix{2\\1\\-2}-2\cdot \pmatrix{2\\-1\\-4} \\[5pt] &=& \pmatrix{-2\\3\\6} \\[5pt] \end{array}$
$ \overrightarrow{OS} = \pmatrix{-2\\3\\6} $
Die Koordinaten des Schnittpunkt von $E$ und $g$ lauten $S(-2\mid 3\mid 6).$
(2)
$\blacktriangleright$  Lage der Geraden zur Ebene begründen
Damit die Gerade $g$ senkrecht zur Ebene $E$ verläuft, müssen der Richtungsvektor $\overrightarrow{r}$ von $g$ und der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ von $E$ linear abhängig sein.
Dies ist der Fall, wenn es einen Faktor $a\in \mathbb{R}$ gibt, sodass folgende Gleichung erfüllt ist:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{r} &=& a\cdot \overrightarrow{n} \\[5pt] \pmatrix{2\\-1\\-4}&=& a\cdot \pmatrix{2\\-1\\2} \end{array}$
Die ersten beiden Zeilen der Gleichung wären für $a=1$ erfüllt. Dann ist allerdings die dritte Zeile $-4= a\cdot 2$ nicht mehr korrekt. Es gibt also kein $a\in\mathbb{R},$ das die Gleichung erfüllt. Die beiden Vektoren sind somit nicht linear abhängig, sodass die Gerade $g$ nicht senkrecht zu $E$ verlaufen kann.
c)
(1)
$\blacktriangleright$  Lösungsmenge bestimmen
$\begin{array}{crrrrrrl} \text{I}\quad&3\cdot x_1 & -&2\cdot x_2& & &=& 13 \\ \text{II}\quad& &&x_2& +&2\cdot x_3&=&5 &\quad \scriptsize \mid\; \text{II-III} \\ \text{III}\quad& &&x_2&+& x_3&=& 3 & \\ \hline \text{II'}\quad& &&& & x_3&=&2 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Einsetzen in III} \\ \hline \text{III'}\quad& &&x_2&+& 2&=& 3 &\quad \scriptsize \mid\; -2 \\ & &&x_2&& &=& 1 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Einsetzen in I} \\ \hline \text{I'}\quad&3\cdot x_1 & -&2\cdot1& & &=& 13 \\ &3\cdot x_1 & -&2 && &=& 13 &\quad\scriptsize \mid\; +2 \\ &3\cdot x_1 & & && &=& 15 &\quad\scriptsize \mid\; :3 \\ & x_1 & &&& &=& 5 &\quad\scriptsize \mid\; :3 \\ \end{array}$
Die Lösungsmenge des Gleichungssystems ist $L=\{(5\mid 1\mid2)\}.$
(2)
$\blacktriangleright$  Parameter angeben
Aus den ersten beiden Gleichungen erhält man bereits:
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&3\cdot x_1 & +&2\cdot x_2& +&x_3 &=& 4 &\quad \scriptsize \mid\; \text{I-II} \\ \text{II}\quad&3\cdot x_1 & +&2\cdot x_2& & &=& 5 & \\ \hline \text{I'}\quad& & & & &x_3 &=& -1 \\ \end{array}$
$ \text{I'}\quad x_3 = -1$
Das gleiche Vorgehen mit der ersten und der dritten Gleichung liefert:
$\begin{array}{lrrrrrll} \text{I}\quad&3\cdot x_1 & +&2\cdot x_2& +&x_3 &=& 4 &\quad \scriptsize \mid\; \text{I-III} \\ \text{III}\quad&3\cdot x_1 & +&2\cdot x_2&+ &p\cdot x_3 &=& 4 & \\ \hline \text{I''}\quad& & & & &(1-p)\cdot x_3 &=& 0 \\ \end{array}$
$ \text{I''}\quad(1-p)\cdot x_3 = 0 $
Setzt man jetzt $\text{I'}$ in $\text{I''}$ ein, erhält man:
$\begin{array}[t]{rll} \text{I'''}\quad& (1-p)\cdot (-1) &=& 0 \\[5pt] &-1+p &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;+1 \\[5pt] &p&=& 1 \end{array}$
$p =1 $
$p=1$ ist also der einzige Wert von $p,$ für den das Gleichungssystem überhaupt eine Lösung besitzt. In diesem Fall stimmen die erste und dritte Gleichung genau überein, sodass es nur zwei unterschiedliche Gleichungen bei drei Variablen gibt.
Damit gibt es für $p=1$ unendlich viele Lösungen.
Für einen anderen Wert von $p$ besitzt das Gleichungssystem keine Lösung, wie die obige Rechnung zeigt. Es gibt also keinen Wert von $p,$ für den das Gleichungssystem genau eine Lösung hat.
d)
(1)
$\blacktriangleright$ Term für die Wahrscheinlichkeit angeben
In den ersten acht Zügen sollen keine Überraschungseier mit Figur gezogen werden, in den letzten beiden Zügen sollen Figuren enthalten sein. Mit der Pfadmultiplikationsregel folgt:
$p=0,75^8\cdot 0,25^2$
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter $10$ Überraschungseiern nur die letzten beiden jeweils eine Figur enthalten, kann mit dem Term $0,75^8\cdot 0,25^2$ berechnet werden.
(2)
$\blacktriangleright$ Richtige Grafik auswählen und begründen
Die erste Abbildung stellt die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ dar.
Da $25\,\%$ aller Überraschungseier unabhängig von einander eine Figur enthalten oder nicht, ist die Wahrscheinlichkeit dafür eine Figur zu enthalten bei jedem Überraschungsei gleich. Diese Wahrscheinlichkeit ist unabhängig davon ob sich in den anderen Überraschungseiern der Stichprobe Figuren befinden oder nicht. $X$ kann daher als binomialverteilt mit den Parametern $n=6$ und $p = 0,25$ angenommen werden. Der Erwartungswert von $X$ beträgt daher $6\cdot 0,25 = 1,5.$
Abbildung zwei zeigt eine Gleichverteilung. Da $X$ aber nicht gleichverteilt sondern binomialverteilt ist, kann diese Abbildung nicht die richtige sein.
Der Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsgröße gibt den Wert von $X$ mit der größten Wahrscheinlichkeit an. Die höchsten Balken im Diagramm in Abbildung 3 befinden sich aber bei $X=4$ und $X=5,$ nicht bei $X=1$ und $X=2,$ was bei einem Erwartungswert von $1,5$ der Fall sein müsste. Abbildung 3 kann also nicht die richtige sein.
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