Wahlpflichtteil

Gegeben ist für jede positive reelle Zahl $a$ die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $g_a$ mit $g_a(x)=a \cdot x^2.$ Abbildung 1 zeigt den Graphen von $g_{\frac{1}{2}}$ sowie die Tangente $t$ an den Graphen von $g_{\frac{1}{2}}$ im Punkt $\left(4 \;\left\lvert\; g_{\frac{1}{2}}(4)\right.\right)$ .

(1)

Gib anhand Abbildung 1 eine Gleichung der Tangente $t$ an.

(2)

Weise nach, dass für jeden Wert $u \in \mathbb{R}$ die Tangente an den Graphen von $g_a$ im Punkt $\left(u \mid g_a(u)\right)$ die $y$ -Achse im Punkt $\left(0 \mid-g_a(u)\right)$ schneidet.

(1 + 4 Punkte)

Betrachtet wird die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $h_a$ mit $h_a(x)=x \cdot \mathrm e^{a \cdot x}$ und $a \in \mathbb{R}, a \neq 0$ . Für jeden Wert von $a$ besitzt die Funktion $h_a$ genau eine Extremstelle.

(1)

Begründe, dass der Graph von $h_a$ für $x\lt0$ unterhalb der $x$ -Achse verläuft.

(2)

Die Abbildungen 2 und 3 zeigen jeweils einen Graphen der Schar. Einer der beiden Graphen gehört zu einem positiven Wert von $a.$

Entscheide, welcher Graph dies ist, und begründe deine Entscheidung.

Abb. 2

Abb. 3

(2 + 3 Punkte)

Gegeben ist die Schar der Ebenen $E_a: 2 a x_1-4 x_2+(a-2) \cdot x_3=12$ mit $a \in \mathbb{R}.$

(1)

Ermittle denjenigen Wert von $a,$ für den $E_a$ parallel zur Gerade mit der Gleichung $\overrightarrow{x}=\pmatrix{0\\1\\1}+b \cdot\pmatrix{-1\\0\\1}$ und $b \in \mathbb{R}$ verläuft.

(2)

Prüfe, ob die Ebene mit der Gleichung $6 x_1-8 x_2+x_3=24$ zur Schar gehört.

(2 + 3 Punkte)

Die Punkte $B(4\mid3\mid 12)$ und $C(2\mid4\mid 10)$ sind Eckpunkte eines Parallelogramms $A B C D,$ dessen Diagonalen sich im Punkt $M(3\mid2\mid 1)$ schneiden.

(1)

Verschiebt man jeden der Punkte $A, B, C, D$ und $M$ parallel zur $x_3$ -Achse in die $x_1 x_2$ -Ebene, so ergeben sich die Punkte $\(A$ bzw. $\(M$ Das Viereck $\(A$ ist ein Parallelogramm, dessen Diagonalen sich im Punkt $\(M$ schneiden.

Zeichne $\(A$ und $\(M$ in Abbildung 4 ein.

Abb. 4

(2)

Berechne den Wert des Skalarprodukts $\overrightarrow{C M} \circ \overrightarrow{C B}=\pmatrix{1\\-2\\-9}\circ\pmatrix{2\\-1\\2}$ und beurteile, ob der Winkel zwischen den Vektoren $\overrightarrow{C M}$ und $\overrightarrow{C B}$ kleiner ist als $90^{\circ}.$

(3 + 2 Punkte)

Abbildung 5 zeigt den Graphen der Dichtefunktion einer normalverteilten Zufallsgröße $X$ mit dem Erwartungswert $20.$

Abb. 5

(1)

Gib die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass $X$ den Wert $14$ annimmt.

(2)

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis

$E:$

„ $X$ nimmt einen Wert an, der um mehr als $2$ von $20$ abweicht“

Erläutere die Überlegungen, die zur folgenden Bestimmung der gesuchten Wahrscheinlichkeit führen:

$P(18 \leq X \leq 20) \approx 2 \cdot 0,06=0,12$
somit gilt: $P(E) \approx 1-2 \cdot 0,12=0,76.$

(1 + 4 Punkte)

Ein Tetraeder, das mit den Augenzahlen $1, 2, 3$ und $4$ beschriftet ist, wird zum Würfeln verwendet. Das Tetraeder wurde so manipuliert, dass die Augenzahlen nicht alle mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auftreten.

(1)

Die Augenzahl $4$ tritt mit einer Wahrscheinlichkeit von $0,1$ auf.

Beschreibe in diesem Kontext ein Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit mit dem folgenden Ausdruck berechnet werden kann:

$0,9^{10}+\pmatrix{10\\1}\cdot 0,1^1 \cdot 0,9^9$ $+\pmatrix{10\\2} \cdot 0,1^2 \cdot 0,9^8$

(2)

Mit dem Tetraeder wird dreimal gewürfelt. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße $X:$ „Anzahl der Einsen" ist in der folgenden Tabelle dargestellt:

$\color{#fff}{k}$	$0$	$1$	$2$	$3$
$\color{#fff}{P(X=k)}$	$\dfrac{27}{125}$	$\dfrac{54}{125}$	$\dfrac{36}{125}$	$\dfrac{8}{125}$

Berechne den Erwartungswert der Zufallsgröße $X$ und die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten der Augenzahl $1.$

(2 + 3 Punkte)

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(1)

Die Tangente $t,$ gegeben durch die Gleichung $y=mx+n,$ hat eine positive Steigung, einen $y$ -Achsenabschnitt von $n=-8$ und schneidet die $x$ -Achse bei $2.$ Für die Steigung $m$ folgt somit:

$m=\dfrac{0-(-8)}{2-0}=\dfrac{8}{2}=4$

Somit ergibt sich die Gleichung $y=4x-8.$

(2)

Die allgemeine Gleichung der Tangente ist gegeben durch $y=mx+n.$ Für die Ableitung von $f_a(x)$ gilt:

$\(f_a$

Somit folgt $f_a(u)=au^2$ und $\(m=f_a$ Einsetzen der Koordinaten des Punktes $(u\mid f_a(u)),$ an dem die Tangente den Graphen berührt, in die Gleichung der Tangente liefert somit:

$\begin{array}[t]{rll} au^2&=& 2au\cdot u + n &\quad \scriptsize \mid\;-2au^2 \\[5pt] -au^2&=& n \end{array}$

Somit gilt $n=-au^2=-f_a(u)$ und die Tangente schneidet die $y$ -Achse damit im Punkt $(0\mid-f_a(u)).$

(1)

Da stets $\mathrm e^{a\cdot x}\gt 0$ gilt, folgt für $x\lt0$ immer $h_a(x)\lt0.$ Somit verläuft der Graph von $h_a$ in diesem Fall unterhalb der $x$ -Achse.

(2)

Für $a\gt0$ gilt:

$\begin{array}[t]{rll} \lim\limits_{x\to+\infty}h_a(x)&=&\left(\lim\limits_{x\to+\infty}x\right) \cdot \left(\lim\limits_{x\to+\infty}\mathrm e^{a\cdot x}\right) \\[5pt] &=&(+\infty)\cdot(+\infty)\\[5pt] &=&+\infty \end{array}$

Da die Funktion $h_a$ laut Aufgabenstellung für alle Werte von $a$ genau eine Extremstelle besitzt, fällt der Graph in Abbildung 1 für steigende Werte von $x$ weiter. Somit zeigt Abbildung 2 den Graphen der Schar mit positivem Wert von $a.$

(1)

Ein Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der Ebene $E_a$ lässt sich aus der Ebenengleichung wie folgt ablesen:

$\overrightarrow{n_a}=\pmatrix{2a\\-4\\a-2}$

Für den gesuchten Wert von $a$ folgt somit:

$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{2a\\-4\\a-2}\circ\pmatrix{-1\\0\\1}&=&0 \\[5pt] -2a+a-2&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;+a\\[5pt] -2&=&a \end{array}$

(2)

Ein Normalenvektor der betrachteten Ebene lässt sich wie folgt ablesen:

$\overrightarrow{n}=\pmatrix{6\\-8\\1}$

Damit die Ebene zur Ebenenschar gehört, muss ein $k\in\mathbb{R}$ existieren, sodass gilt:

$\pmatrix{2a\\-4\\a-2}=k\cdot\pmatrix{6\\-8\\1}$

Aus der zweiten Zeile folgt $k=0,5.$ Somit ergibt sich folgendes Gleichungssystem:

$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&2a&=& 3 \\ \text{II}\quad&a-2&=&0,5 \end{array}$

Gleichung $\text{II}$ liefert $a=2,5.$ Da $2\cdot 2,5=5$ ergibt, liefert einsetzen von $a=2,5$ in Gleichung $\text{I}$ einen Widerspruch. Somit besitzt das Gleichungssystem keine Lösung und die betrachtete Ebene gehört damit nicht zur Schar.

(1)

(2)

Rechenweg anzeigen

$\overrightarrow{CM}\circ\overrightarrow{CB} = -14$

Da das Skalarprodukt negativ ist, ist der Winkel zwischen den beiden Vektoren nicht kleiner als $90^\circ,$ sondern größer.

(1)

Da die Zufallsgröße normalverteilt ist, gilt $P(X=14)=0.$

(2)

Der Inhalt der Fläche unter dem Graphen der Dichtefunktion zwischen $x=18$ und $x=20$ kann näherungsweise als Balken mit Breite $20-18=2$ und Höhe $0,06$ betrachtet werden, das heißt es gilt:

$P(18\leq X\leq20)\approx2\cdot0,06=0,12.$

Da der Graph symmetrisch zum Erwartungswert liegt, das heißt symmetrisch zu $x=20,$ folgt damit insgesamt der zweite Rechenschritt:

Rechenschritt anzeigen

(1)

„Bei zehn hintereinander ausgeführten Würfen des Tetraeders wird weniger als dreimal die Augenzahl $4$ geworfen.“

(2)

Für den Erwartungswert von $X$ folgt:

Rechenweg anzeigen

$E(X)=\dfrac{6}{5}$

Für die Wahrscheinlichkeit $p$ für das Auftreten der Augenzahl $1$ gilt:

$\begin{array}[t]{rll} (1-p)^3&=&\dfrac{27}{125} &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt[3]{\;} \\[5pt] 1-p&=&\dfrac{3}{5} &\quad \scriptsize \mid\;-1 \\[5pt] -p&=&-\dfrac{2}{5} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot(-1) \\[5pt] p&=&\dfrac{2}{5} \end{array}$

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