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Aufgabe 2

Aufgaben
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Aufgabenstellung
Die Abbildung 1 zeigt das Eingangsgebäude zu einer U-Bahn-Haltestelle. Auf dem Foto schaut man frontal auf eine ebene Glasfläche, die sich unter dem geschwungenen Dach befindet.
Eine Längeneinheit in dem eingezeichneten Koordinatensystem entspricht $1\,\text{m}$.
Der höchste Punkt der Dachoberkante befindet sich in diesem Koordinatensystem bei $H (0 \mid5,0)$ und der tiefste Punkt bei $Q (7,3 \mid 3,3)$. Auch die Punkte $D ( -4 \mid 4)$ und $E ( -2 \mid 4,75)$ liegen auf der Dachoberkante. Der Punkt $A$ liegt an der Stelle $x=2,7$.
Die Profillinie der Dachoberkante hat eine geschwungene Form, die im Folgenden durch eine ganzrationale Funktion modelliert werden soll.
#ganzrationalefunktion
a)
Die Profillinie hat im Bereich $ -4 \leq x \leq 4$ näherungsweise die Form einer Parabel $2.$ Grades.
Bestimme eine Gleichung dieser Parabel mit dem Hochpunkt $H$, die durch den Punkt $D$ verläuft.
Prüfe, ob der Punkt $E$ auf dieser Parabel liegt.
[Zur Kontrolle: $p(x)= - \dfrac{1}{16} \cdot x^2 + 5$.]
(4P)
#parabel
b)
Um den Verlauf der gesamten Profillinie der Dachoberkante im Bereich von $ -4,5 \leq x \leq 10,5$ zu modellieren, wird im Folgenden die Parabelgleichung aus a) erweitert auf eine ganzrationale Funktion $f_a$ mit $f_a(x)=a \cdot x^4 - \dfrac {1}{16} \cdot x^2 + 5$, $a>0$.

(1)
Begründe, warum durch diese Erweiterung die bei der Parabel vorhandene Symmetrie erhalten bleibt.
(2P)
(2)
Abbildung 2 zeigt die Graphen von $f_a$ für $a=0,0002$, $a=0,0004$ und $a=0,0006$.
Gib an, welcher Parameterwert zu welchem Graphen gehört.
(3P)
(3)
Bestimme den Tiefpunkt $T_a$ des Graphen von $f_a$ (mit $x\geq 0$) in Abhängigkeit von $a$.
Gib an, für welche Werte von $a$ der Tiefpunkt $T_a$ im I. Quadranten des Koordinatensystems liegt.
[Kontrollergebnis: $T_a \left(\sqrt{\dfrac{1}{32 \cdot a}} \bigg| 5- \dfrac{1}{32^2 \cdot a} \right)$]
(8P)
(4)
Der Graph von $f_a$ fällt im Bereich zwischen $H$ und $T_a$ monoton.
[Dies muss nicht nachgewiesen werden.]
Die Dachneigung gegenüber der Horizontalen soll zwischen $H$ und $T_a$ im Punkt mit dem stärksten Gefälle höchstens $45°$ betragen.
Begründe, dass dies bedeutet, dass die Steigung der Wendetangente $\geq -1$ sein muss.
Ermittle, für welche Werte von $a$ diese Bedingung erfüllt ist.
[Kontrollergebnis: Der $x$-Wert des Punktes mit dem stärksten Gefälle ist $\sqrt{\dfrac{1}{96 \cdot a}}$.]
(6P)
(5)
Damit der Graph von $f_a$ ein Modell für die Dachoberkante darstellt, wird gefordert, dass im Bereich $x \geq 0$ der $y$-Wert des Tiefpunkts $T_a$ mindestens $3,3$ betragen und der $x$-Wert des Wendepunkts mindestens $4$ sein soll.
Bestimme den Bereich für $a$, in welchem beide Bedingungen erfüllt sind.
(5P)
#tangente#extrempunkt#symmetrie#ganzrationalefunktion#wendepunkt
c)
Im Folgenden wird die Profillinie der Dachoberkante im Bereich $ -4,5 \leq x \leq 10,5$ durch den Graphen der auf $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit $f(x) = 0,0006 \cdot x^4 - \dfrac{1}{16} \cdot x^2 +5$ modelliert.
Das Eingangsgebäude ist mit Glas verkleidet. Die eingezeichnete Oberkante der Glasfläche wird im Koordinatensystem von Abbildung 1 im Bereich von $ -4 \leq x \leq 7,3$ durch die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h$ mit $h(x) = 0,0006 \cdot x^4 - \dfrac{1}{16} \cdot x^2 + 4,5$ modelliert.
Gehe vereinfachend davon aus, dass es sich bei der in Abbildung 1 umrahmten Glasfläche um eine durchgehende ebene Fläche handelt, die nicht durch Rahmen und Streben unterbrochen wird.

(1)
Berechne den Inhalt der Glasfläche von der $y$-Achse bis zur eingezeichneten Kante durch den Punkt $Q$ in der Ansicht aus Abbildung 1.
(6P)
(2)
Beschreibe eine mögliche Lösungsidee zur Bestimmung des Inhalts der umrahmten Glasfläche links von der $y$-Achse. Gib dabei alle nötigen Ansätze an, die Berechnung konkreter Werte wird hingegen nicht erwartet.
(5P)
(3)
Begründe, dass die Fläche zwischen der Glasoberkante und der Dachoberkante im Bereich von $-4 \leq x \leq 7,3$ inhaltsgleich ist zur Fläche eines Rechtecks der Länge $11,3$ und der Höhe $0,5$.
(4P)
d)
Oberhalb des Daches sind geradlinig verlaufende Stahlseile angebracht. Gehe vereinfachend davon aus, dass das Stahlseil von $A (2,7 \mid f (2,7))$ nach $P(6,7 \mid 7,2)$ verläuft.
Das Stahlseil wird für $2,7 \leq x \leq 6,7$ durch eine Gerade $g$ modelliert.
Bestimme rechnerisch die Größe des Winkels, den die Gerade $g$ mit der Tangente an den Graphen von $f$ in $A$ einschließt.
(7P)
#schnittwinkel
Bildnachweise [nach oben]
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a)
$\blacktriangleright$  Parabelgleichung bestimmen
Du sollst eine Gleichung der Parabel zweiten Grades bestimmen, die durch den Punkt $D(-4\mid 4)$ verläuft und deren Hochpunkt bei $H(0\mid 5)$ liegt. Die allgemeine Funktionsgleichung einer Parabel $p$ zweiten Grades lautet wie folgt:
$p(x) = ax^2 +bx +c$
$p(x) = ax^2 +bx +c$
Mit Hilfe der beiden angegebenen Punkte $D$ und $H$ kannst du ein lineares Gleichungssystem aufstellen, das du nach den Parametern $a$, $b$ und $c$ lösen kannst. Beachte dabei auch das notwendige Kriterium für einen Hochpunkt an der Stelle $x_E$:
$p'(x_E)=0$
$p'(x_E)=0$
b)
(1)
$\blacktriangleright$  Symmetrie begründen
Betrachte zunächst den Funktionsterm von $p$. Dir sollte auffallen, dass dort nur gerade Exponenten vorkommen, der Graph dazu also achsensymmetrisch zur $y$-Achse ist. Betrachte nun den Term, der ergänzt wird.
(2)
$\blacktriangleright$  Parameterwerte zuordnen
Um die Parameterwerte $a= 0,0002$, $a= 0,0004$ und $0,0006$ den entsprechenden Graphen zuzuordnen, berechne die Funktionswerte von $f_a$ an einer Stelle für die verschiedenen Werte von $a$. Dazu kannst du beispielsweise $x=6$ verwenden. Überprüfe anschließend, welcher Funktionswert von welchem Graphen an dieser Stelle angenommen wird.
(3)
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Tiefpunkts bestimmen
Für eine Minimalstelle $x_M$ einer Funktion $f$ gelten die folgenden Kriterien:
  • Notwendiges Kriterium: $f'(x_M)=0$
  • Hinreichendes Kriterium: $f''(x_M)> 0$
Du kannst also wie folgt vorgehen:
  1. Bestimme die ersten beiden Ableitungsfunktionen von $f_a$.
  2. Wende das notwendige Kriterium an, indem du $f_a'(x)=0$ setzt und so mögliche Extremstellen bestimmst.
  3. Überprüfe das hinreichende Kriterium durch Einsetzen in die zweite Ableitungsfunktion.
  4. Berechne die $y$-Koordinate des Tiefpunkts durch Einsetzen in $f_a(x)$.
$\blacktriangleright$  Parameterwerte angeben
Der Tiefpunkt $T_a$ liegt im ersten Quadranten des Koordinatensystems, wenn für die Koordinaten sowohl $x\geq 0$ als auch $y \geq 0 $ gilt. $x\geq 0$ ist schon gegeben, überprüfe also noch, wann $y \geq 0 $ ist.
(4)
$\blacktriangleright$  Steigung der Wendetangente begründen
Die Dachneigung soll im steilsten Punkt zwischen $H$ und $T_a$ maximal $45\,^{\circ}$ betragen. Das bedeutet, dass der Steigungswinkel in diesem Punkt nicht größer als $45\,^{\circ}$ sein soll. Um nun die Verbindung zur Steigung der Wendetangente zu erkennen, überlege dir zunächst welcher Punkt der mit dem größten Gefälle ist, und was der Steigungswinkel mit der Steigung der Wendetangente zu tun hat.
$\blacktriangleright$  Werte von $\boldsymbol{a}$ ermitteln
Du sollst ermitteln, für welche Werte von $a$ die Steigung des Graphen von $f_a$ im Wendepunkt mindestens $-1$ beträgt. Berechne dazu zunächst die Wendestelle und berechne die Steigung an dieser Stelle über die erste Ableitung in Abhängigkeit von $a$. Für eine Wendestelle $x_W$ gibt es zwei Kriterien:
  • Notwendiges Kriterium: $f_a''(x_W)=0$
  • Hinreichendes Kriterium: $f_a'''(x_W)\neq 0$
Du kannst also wie folgt vorgehen:
  1. Bilde die dritte Ableitungsfunktion von $f_a$.
  2. Wende das notwendige Kriterium an, indem du $f_a''(x)=0$ setzt und so mögliche Wendestellen bestimmst.
  3. Überprüfe das hinreichende Kriterium durch Einsetzen in $f_a'''(x)$.
  4. Berechne die Steigung $m_a$ an der Wendestelle durch Einsetzen in $f_a'(x)$, setze $m_a \geq -1$ und löse nach $a$.
(5)
$\blacktriangleright$  Bereich bestimmen
Für den Tiefpunkt $T_a\left(\sqrt{\dfrac{1}{32a}} \,\bigg \vert \, 5-\dfrac{1}{32^2a} \right)$ soll $y_{T_a} \geq 3,3$ sein, während für den Wendepunkt $W$ $x_W \geq 4$ gelten soll. Forme diese Ungleichungen jeweils nach $a$ um und bilde zum Schluss die Schnittmenge beider Eingrenzungen für $a$.
c)
(1)
$\blacktriangleright$  Inhalt der Glasfläche berechnen
Die Glasfläche wird nach unten durch die $x$-Achse, nach links durch die $y$-Achse und nach oben durch den Graphen der Funktion $h$ begrenzt. Die rechte Grenze ist die Kante durch den Punkt $Q$, die durch die $x$-Koordinate von $Q$ also $x =7,3$ beschrieben wird. Du kannst den Inhalt $A$ der Fläche damit als Integral über $h$ in den Grenzen $a=0$ und $b= 7,3$ berechnen.
(2)
$\blacktriangleright$  Lösungsidee angeben
Die Fläche links der $y$-Achse kann man berechnen, indem man sie in einzelne Teilflächen aufteilt. Für diese Aufteilung gibt es viele verschiedene Möglichkeiten. Überlege dir eine passende Aufteilung und wie man die Flächeninhalte der Teilflächen berechnen kann.
(3)
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt begründen
Du sollst begründen, dass der Inhalt der Fläche zwischen den beiden Graphen im angegebenen Intervall gerade der Flächeninhalt eines Rechtecks mit den Seitenlängen $11,3$ und $0,5$ ist. Hierfür gibt es zwei mögliche Lösungswege. Entweder du berechnest die beschriebene Fläche mit Hilfe eines Integrals, sowie den Flächeninhalt des genannten Rechtecks, oder du argumentierst sinngemäß.
d)
$\blacktriangleright$  Schnittwinkel bestimmen
Gesucht ist der Winkel, der von zwei Geraden eingeschlossen wird, also der Schnittwinkel $\alpha$ der beiden. Um diesen zu berechnen gibt es zwei Möglichkeiten:
  • Nutze die Formel für den Schnittwinkel zweier Geraden:
    $\tan(\alpha) = \left|\dfrac{m_1-m_2}{1+m_1\cdot m_2} \right|$
    $\tan(\alpha) = \left|\dfrac{m_1-m_2}{1+m_1\cdot m_2} \right|$
  • Berechne den Schnittwinkel über die Neigungswinkel der einzelnen Geraden zur Horizontalen. Die Neigungswinkel kannst du mit folgender Formel berechnen:
    $\tan(\alpha) = m$
    $\tan(\alpha) = m$
Für beide Wege benötigst du die Steigungswerte $m_t$ und $m_g$ der Geraden. Die Gerade $g$ verläuft durch die Punkte $A\left( 2,7\mid f(2,7)\right)$ und $P(6,7\mid 7,2)$. Die Steigung kannst du daher mit folgender Formel berechnen:
$m = \dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2} $
$m = \dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2} $
Die Gerade $t$ soll eine Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $A$ sein. Diese besitzt die gleiche Steigung wie der Graph in diesem Punkt. Du kannst die Steigung $m_t$ also über die erste Ableitung von $f$ berechnen.
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a)
$\blacktriangleright$  Parabelgleichung bestimmen
Du sollst eine Gleichung der Parabel zweiten Grades bestimmen, die durch den Punkt $D(-4\mid 4)$ verläuft und deren Hochpunkt bei $H(0\mid 5)$ liegt. Die allgemeine Funktionsgleichung einer Parabel $p$ zweiten Grades lautet wie folgt:
$p(x) = ax^2 +bx +c$
$p(x) = ax^2 +bx +c$
Mit Hilfe der beiden angegebenen Punkte $D$ und $H$ kannst du ein lineares Gleichungssystem aufstellen, das du nach den Parametern $a$, $b$ und $c$ lösen kannst. Beachte dabei auch das notwendige Kriterium für einen Hochpunkt an der Stelle $x_E$:
$p'(x_E)=0$
$p'(x_E)=0$
Um das Gleichungssystem aufzustellen, benötgist du die erste Ableitung $p'$ der gesuchten Funktion:
$p'(x)= 2ax +b$
Nun erhältst du folgende Bedingungen:
  1. $p'(0)=0$
  2. $p(0)=5$
  3. $p(-4)=4$
Du erhältst folgendes Gleichungssystem:
$\begin{array}{} \text{I}\quad&0&=&2a\cdot 0 +b \\ \text{II}\quad&5&=& a\cdot 0^2 + b\cdot 0 + c\\ \text{III}\quad&4&=& a (-4)^2 + b(-4) +c\\ \end{array}$
Aus $\text{I}$ erhältst du direkt $b = 0$ und aus $\text{II}$ folgt $c = 5$. Setze diese Ergebnisse noch in $\text{III}$ ein, um $a$ zu berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} 4&=& a\cdot (-4)^2 + b\cdot(-4) +c \\[5pt] 4&=& 16a + 5&\quad \scriptsize \mid\; -5 \\[5pt] -1&=& 16a&\quad \scriptsize \mid\; :16\\[5pt] \dfrac{-1}{16}&=& a \end{array}$
$ a = \dfrac{-1}{16}$
Eine Gleichung der gesuchten Parabel lautet $p(x) = -\dfrac{1}{16}x^2 +5$.
$\blacktriangleright$  Punktprobe
Um zu überprüfen, ob der Punkt $E(-2\mid 4,75)$ auf der Parabel liegt, setze die Koordinaten in die oben bestimmte Funktionsgleichung ein:
$\begin{array}[t]{rll} p(x)&=& -\dfrac{1}{16}x^2 +5\\[5pt] 4,75&=& -\dfrac{1}{16}\cdot (-2)^2 +5 \\[5pt] 4,75&=&4,75 \\[5pt] \end{array}$
Also liegt der Punkt $E$ auf der Parabel.
#parabel
b)
(1)
$\blacktriangleright$  Symmetrie begründen
Betrachte zunächst den Funktionsterm von $p$. Dir sollte auffallen, dass dort nur gerade Exponenten vorkommen, der Graph dazu also achsensymmetrisch zur $y$-Achse ist. Betrachte nun den Term, der ergänzt wird.
Für $f_a$ gilt $f_a(x) = p(x) + a\cdot x^4$. Hier wurde also ein Term mit ebenfalls geradem Exponenten über dem $x$ addiert. Dadurch enthält $f_a(x)$ ebenfalls nur gerade Exponenten, womit der zugehörige Graph achsensymmetrisch zur $y$-Achse ist.
(2)
$\blacktriangleright$  Parameterwerte zuordnen
Um die Parameterwerte $a= 0,0002$, $a= 0,0004$ und $0,0006$ den entsprechenden Graphen zuzuordnen, berechne die Funktionswerte von $f_a$ an einer Stelle für die verschiedenen Werte von $a$. Dazu kannst du beispielsweise $x=6$ verwenden. Überprüfe anschließend, welcher Funktionswert von welchem Graphen an dieser Stelle angenommen wird.
$\begin{array}[t]{rll} f_{0,0002}(6)&=& 0,0002\cdot 6^4-\dfrac{1}{16}\cdot 6^2+5\\[5pt] &=& 3,0092 \\[10pt] f_{0,0004}(6)&=& 0,0004\cdot 6^4-\dfrac{1}{16}\cdot 6^2+5\\[5pt] &=& 3,2684 \\[10pt] f_{0,0006}(6)&=& 0,0006\cdot 6^4-\dfrac{1}{16}\cdot 6^2+5\\[5pt] &=& 3,5276 \\[10pt] \end{array}$
$ $\begin{array}[t]{rll} f_{0,0002}(6)&=& 3,0092 \\[10pt] f_{0,0004}(6)&=& 3,2684 \\[10pt] f_{0,0006}(6)&=& 3,5276 \\[10pt] \end{array}$ $
Damit gehört Graph $\text(I)$ zu $a= 0,0006$, $\text{(II)}$ zu $a = 0,0004$ und $\text{(III)}$ zum Wert $a= 0,0002$.
(3)
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Tiefpunkts bestimmen
Für eine Minimalstelle $x_M$ einer Funktion $f$ gelten die folgenden Kriterien:
  • Notwendiges Kriterium: $f'(x_M)=0$
  • Hinreichendes Kriterium: $f''(x_M)> 0$
Du kannst also wie folgt vorgehen:
  1. Bestimme die ersten beiden Ableitungsfunktionen von $f_a$.
  2. Wende das notwendige Kriterium an, indem du $f_a'(x)=0$ setzt und so mögliche Extremstellen bestimmst.
  3. Überprüfe das hinreichende Kriterium durch Einsetzen in die zweite Ableitungsfunktion.
  4. Berechne die $y$-Koordinate des Tiefpunkts durch Einsetzen in $f_a(x)$.
1. Schritt: Ableitungen bilden
$\begin{array}[t]{rll} f_a(x)&=&ax^4-\frac{1}{16}x^2+5 \\[10pt] f_a'(x)&=&4ax^3-\frac{1}{8}x \\[10pt] f_a''(x)&=&12ax^2-\frac{1}{8} \\[5pt] \end{array}$
2. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden
$\begin{array}[t]{rll} f_a'(x)&=&0 \\[5pt] 4ax^3-\frac{1}{8}x&=& 0&\quad \scriptsize \mid\; x_1 = 0 \\[5pt] 4ax^2-\frac{1}{8}&=& 0&\quad \scriptsize \mid\; +\frac{1}{8} \\[5pt] 4ax^2&=& \frac{1}{8}&\quad \scriptsize \mid\; :4a \neq 0 \\[5pt] x^2&=& \dfrac{1}{32a} \\[5pt] x_2&=& \sqrt{\dfrac{1}{32a}} \\[5pt] x_3&=&-\sqrt{\dfrac{1}{32a}} \end{array}$
$ \begin{array}[t]{rll} f_a'(x)&=&0 \\[5pt] x_1&=& 0 \\[5pt] x_2&=& \sqrt{\dfrac{1}{32a}} \\[5pt] x_3&=&-\sqrt{\dfrac{1}{32a}} \end{array} $
Wegen $x\geq 0$ fällt $x_3$ aus dem betrachteten Bereich. Es befinden sich mögliche Extremstellen bei $x_1=0$ und $x_2 =\sqrt{\dfrac{1}{32a}} $.
3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen
Einsetzen der oben bestimmten möglichen Extremstellen in die zweite Ableitung ergibt:
$\begin{array}[t]{rll} f_a''(x_1)&=&f_a''(0) \\[5pt] &=&12a\cdot 0^2-\dfrac{1}{8} \\[5pt] &=& -\frac{1}{8} < 0 \\[10pt] f_a''(x_2)&=&f_a''\left(\sqrt{\dfrac{1}{32a}} \right) \\[5pt] &=&12a\cdot \sqrt{\dfrac{1}{32a}}^2-\dfrac{1}{8} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{4} > 0 \\[5pt] \end{array}$
An der Stelle $x_1=0$ besitzt der Graph von $f_a$ einen Hochpunkt, während sich bei $x_2= \sqrt{\dfrac{1}{32a}}$ ein Tiefpunkt befindet.
4. Schritt: Fehlende Koordinate berechnen
Du kennst nun die $x$-Koordinate des Tiefpunkts. Um die $y$-Koordinate zu berechnen, setze in $f_a(x)$ ein:
$\begin{array}[t]{rll} f_a(x_2)&=& f_a\left(\sqrt{\dfrac{1}{32a}} \right) \\[5pt] &=& a\cdot \sqrt{\dfrac{1}{32a}}^4 - \dfrac{1}{16}\cdot \sqrt{\dfrac{1}{32a}}^2 +5 \\[5pt] &=& \dfrac{1}{32^2a}-\dfrac{1}{16\cdot 32a}+5\\[5pt] &=& -\dfrac{1}{32^2a} +5 \\[5pt] \end{array}$
$ f_a(x_2)= -\dfrac{1}{32^2a} +5$
Die Koordinaten des Tiefpunkts des Graphen von $f_a$ (für $x \geq 0$) lauten $T_a\left(\sqrt{\dfrac{1}{32a}} \,\bigg \vert \, 5-\dfrac{1}{32^2a} \right)$.
$\blacktriangleright$  Parameterwerte angeben
Der Tiefpunkt $T_a$ liegt im ersten Quadranten des Koordinatensystems, wenn für die Koordinaten sowohl $x\geq 0$ als auch $y \geq 0 $ gilt. $x\geq 0$ ist schon gegeben, überprüfe also noch, wann $y \geq 0 $ ist.
$\begin{array}[t]{rll} y &\geq& 0 \\[5pt] 5-\dfrac{1}{32^2a}&\geq& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +\dfrac{1}{32^2a} \\[5pt] 5&\geq& \dfrac{1}{32^2a} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot a > 0\\[5pt] 5a&\geq& \dfrac{1}{32^2}&\quad \scriptsize \mid\; :5 \\[5pt] a&\geq& \dfrac{1}{32^2\cdot 5} \\[5pt] a&\geq& \dfrac{1}{5.120} \\[5pt] \end{array}$
$ \begin{array}[t]{rll} y &\geq& 0 \\[5pt] a&\geq& \dfrac{1}{5.120} \\[5pt] \end{array} $
Für $a \geq \frac{1}{5.120} $ liegt der Tiefpunkt $T_a$ im ersten Quadranten des Koordinatensystems.
(4)
$\blacktriangleright$  Steigung der Wendetangente begründen
Die Dachneigung soll im steilsten Punkt zwischen $H$ und $T_a$ maximal $45\,^{\circ}$ betragen. Das bedeutet, dass der Steigungswinkel in diesem Punkt nicht größer als $45\,^{\circ}$ sein soll. Um nun die Verbindung zur Steigung der Wendetangente zu erkennen, überlege dir zunächst welcher Punkt der mit dem größten Gefälle ist, und was der Steigungswinkel mit der Steigung der Wendetangente zu tun hat.
Der Punkt mit dem stärksten Gefälle ist der Punkt, in dem die Steigung des Graphen minimal ist. Da die erste Ableitung die Steigung des Graphen von $f_a$ beschreibt, ist dies also eine Minimalstelle der ersten Ableitung $f_a'$. Extremstellen von $f_a'$ sind immer Wendestellen von $f_a$.
Da der Graph in dem betrachteten Bereich zwischen $H$ und $T_a$ monoton fällt, ist der Punkt mit dem stärksten Gefälle der Wendepunkt zwischen $T_a$ und $H$.
Der Steigungswinkel im Wendepunkt soll also maximal $45\,^{\circ}$ groß sein. Den Steigungswinkel $\alpha$ in einem Punkt kann man mit Hilfe des Steigungswerts in diesem Punkt über folgende Formel berechnen:
$m = \tan(\alpha)$
$m = \tan(\alpha)$
Da der Graph aber fallend ist, musst du den Gegenwinkel betrachten, also $180^{\circ}-45^{\circ} = 135^{\circ}$. Setzt du $135^{\circ}$ in die Formel ein, erhältst du:
$\begin{array}[t]{rll} m&=& \tan(135^{\circ}) = -1 \end{array}$
Ein geringerer Steigungswert bedeutet einen größeren Neigungswinkel, also muss der Graph im Wendepunkt eine Steigung von mindestens $-1$ haben. Dies ist gerade die Steigung der Wendetangente.
$\blacktriangleright$  Werte von $\boldsymbol{a}$ ermitteln
Du sollst ermitteln, für welche Werte von $a$ die Steigung des Graphen von $f_a$ im Wendepunkt mindestens $-1$ beträgt. Berechne dazu zunächst die Wendestelle und berechne die Steigung an dieser Stelle über die erste Ableitung in Abhängigkeit von $a$. Für eine Wendestelle $x_W$ gibt es zwei Kriterien:
  • Notwendiges Kriterium: $f_a''(x_W)=0$
  • Hinreichendes Kriterium: $f_a'''(x_W)\neq 0$
Du kannst also wie folgt vorgehen:
  1. Bilde die dritte Ableitungsfunktion von $f_a$.
  2. Wende das notwendige Kriterium an, indem du $f_a''(x)=0$ setzt und so mögliche Wendestellen bestimmst.
  3. Überprüfe das hinreichende Kriterium durch Einsetzen in $f_a'''(x)$.
  4. Berechne die Steigung $m_a$ an der Wendestelle durch Einsetzen in $f_a'(x)$, setze $m_a \geq -1$ und löse nach $a$.
1. Schritt: Ableitung bilden
$\begin{array}[t]{rll} f_a''(x)&=& 12ax^2 -\dfrac{1}{8} \\[10pt] f_a'''(x)&=& 24ax \\[5pt] \end{array}$
2. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden
$\begin{array}[t]{rll} f_a''(x)&=&0 \\[5pt] 12ax^2 -\dfrac{1}{8}&=&0 &\quad \scriptsize \mid\; + \dfrac{1}{8}\\[5pt] 12ax^2&=&\dfrac{1}{8} &\quad \scriptsize \mid\; :12a \\[5pt] x^2&=&\dfrac{1}{96a} \\[5pt] x_{1}&=&\sqrt{\dfrac{1}{96a}} \\[5pt] x_2&=& -\sqrt{\dfrac{1}{96a}} \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f_a''(x)&=&0 \\[5pt] x_{1}&=&\sqrt{\dfrac{1}{96a}} \\[5pt] x_2&=& -\sqrt{\dfrac{1}{96a}} \\[5pt] \end{array}$
Da der Wendepunkt zwischen $H(0\mid 5)$ und $T_a$ liegen soll, kommt nur $x_1= \sqrt{\dfrac{1}{96a}}$ in Frage.
3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen
Setze nun $x_1$ in $f_a'''(x)$ ein:
$\begin{array}[t]{rll} f_a'''(x_1)&=&f_a'''\left(\sqrt{\dfrac{1}{96a}} \right) \\[5pt] &=& 24a\cdot \sqrt{\dfrac{1}{96a}} \neq 0 \\[5pt] \end{array}$
Bei $x_1= \sqrt{\dfrac{1}{96a}}$ handelt es sich also um eine Wendestelle.
4. Schritt: Steigung berechnen
Um die Steigung in Abhängigkeit von $a$ zu berechnen, setze die Wendestelle in $f_a'(x)$ ein:
$\begin{array}[t]{rll} f_a'(x_1)&=&f_a'\left( \sqrt{\dfrac{1}{96a}}\right) \\[5pt] &=& 4a\cdot \sqrt{\dfrac{1}{96a}}^3-\frac{1}{8}\cdot \sqrt{\dfrac{1}{96a}} \\[5pt] &=& \sqrt{\dfrac{1}{96a}} \cdot \left(4a\cdot \dfrac{1}{96a} - \frac{1}{8} \right) \\[5pt] &=& \sqrt{\dfrac{1}{96a}} \cdot \left( \dfrac{1}{24} - \frac{1}{8} \right) \\[5pt] &=& -\dfrac{1}{12}\cdot \sqrt{\dfrac{1}{96a}} \\[5pt] \end{array}$
$ f_a'(x_1) = -\dfrac{1}{12}\cdot \sqrt{\dfrac{1}{96a}} $
Die Steigung soll mindestens $-1$ betragen. Forme also die Ungleichung nach $a$ um:
$\begin{array}[t]{rll} -1&\leq& f_a'(x_1) \\[5pt] -1&\leq& -\dfrac{1}{12}\cdot \sqrt{\dfrac{1}{96a}}&\quad \scriptsize \mid \; \cdot (-12) \\[5pt] 12&\geq& \sqrt{\dfrac{1}{96a}}&\quad \scriptsize \mid\;\cdot \sqrt{a} \\[5pt] 12\sqrt{a}&\geq&\dfrac{1}{\sqrt{96}} &\quad \scriptsize \mid\; : 12\\[5pt] \sqrt{a}&\geq& \dfrac{1}{12\sqrt{96}} \\[5pt] a&\geq& \dfrac{1}{13.824} \\[5pt] \end{array}$
$ \begin{array}[t]{rll} -1&\leq& f_a'(x_1) \\[5pt] a&\geq& \dfrac{1}{13.824} \\[5pt] \end{array} $
Damit die Dachneigung im Punkt mit dem steilsten Gefälle höchstens $45^{\circ}$ beträgt, muss $a$ mindestens $\dfrac{1}{13.824}$ betragen.
(5)
$\blacktriangleright$  Bereich bestimmen
Für den Tiefpunkt $T_a\left(\sqrt{\dfrac{1}{32a}} \,\bigg \vert \, 5-\dfrac{1}{32^2a} \right)$ soll $y_{T_a} \geq 3,3$ sein, während für den Wendepunkt $W$ $x_W \geq 4$ gelten soll. Forme diese Ungleichungen jeweils nach $a$ um und bilde zum Schluss die Schnittmenge beider Eingrenzungen für $a$.
$\begin{array}[t]{rll} y_{T_a} &\geq& 3,3 \\[5pt] 5-\dfrac{1}{32^2a}&\geq& 3,3& \quad\scriptsize \mid\;-5 \\[5pt] -\dfrac{1}{32^2a}&\geq&-1,7 & \quad\scriptsize \mid\; \cdot a \\[5pt] -\dfrac{1}{32^2}&\geq& -1,7a& \quad\scriptsize \mid\; : (-1,7) < 0\\[5pt] \dfrac{5}{8.704}&\leq& a \\[20pt] x_W&\geq& 4 \\[5pt] \sqrt{\dfrac{1}{96a}}&\geq& 4&\quad \scriptsize \mid\; \cdot \sqrt{a}\\[5pt] \dfrac{1}{\sqrt{96}}&\geq& 4\sqrt{a}&\quad \scriptsize \mid\; :4 \\[5pt] \dfrac{1}{4\sqrt{96}}&\geq&\sqrt{a} \\[5pt] \dfrac{1}{1.536}&\geq&a \\[5pt] \end{array}$
$ \begin{array}[t]{rll} y_{T_a} &\geq& 3,3 \\[5pt] \dfrac{5}{8.704}&\leq& a \\[20pt] x_W&\geq& 4 \\[5pt] \dfrac{1}{1.536}&\geq&a \\[5pt] \end{array} $
Es muss also insgesamt $\dfrac{5}{8.704}\leq a \leq \dfrac{1}{1.536}$ gelten.
#extrempunkt#symmetrie#tangente
c)
(1)
$\blacktriangleright$  Inhalt der Glasfläche berechnen
Die Glasfläche wird nach unten durch die $x$-Achse, nach links durch die $y$-Achse und nach oben durch den Graphen der Funktion $h$ begrenzt. Die rechte Grenze ist die Kante durch den Punkt $Q$, die durch die $x$-Koordinate von $Q$ also $x =7,3$ beschrieben wird. Du kannst den Inhalt $A$ der Fläche damit als Integral über $h$ in den Grenzen $a=0$ und $b= 7,3$ berechnen. Du kannst das Integral entweder handschriftlich oder mit deinem GTR berechnen.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Handschriftlich
$\begin{array}[t]{rll} A &=& \displaystyle\int_{0}^{7,3}h(x)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \displaystyle\int_{0}^{7,3}\left( 0,0006x^4-\dfrac{1}{16}x^2+4,5\right)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \left[\dfrac{1}{5}\cdot 0,0006\cdot x^5 - \dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{16}\cdot x^3+4,5x \right]_0^{7,3} \\[5pt] &=& \dfrac{3}{25.000}\cdot 7,3^5 - \dfrac{1}{48}\cdot 7,3^3+4,5\cdot 7,3- \left( \dfrac{3}{25.000}\cdot 0^5 - \dfrac{1}{48}\cdot 0^3+4,5\cdot 0 \right) \\[5pt] &\approx& 27,23 \\[5pt] \end{array}$
$ A\approx 27,23 $
Die Glasfläche besitzt eine Größe von ca. $27,23\,\text{m}^2$.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: GTR
Aufgabe 2
Abb. 1: Integralberechnung
Aufgabe 2
Abb. 1: Integralberechnung
Die Glasfläche besitzt eine Größe von ca. $27,23\,\text{m}^2$.
(2)
$\blacktriangleright$  Lösungsidee angeben
Die Fläche links der $y$-Achse kann man berechnen, indem man sie in einzelne Teilflächen aufteilt. Für diese Aufteilung gibt es viele verschiedene Möglichkeiten. Auf dem folgenden Bild ist eine dieser Möglichkeiten dargestellt.
Aufgabe 2
Abb. 2: Aufteilung der Fläche
Aufgabe 2
Abb. 2: Aufteilung der Fläche
In diesem Fall setzt sich die gesuchte Fläche aus drei Flächen zusammen. Es kann zuerst der Inhalt $A_1$ der Fläche unter dem Graphen von $h$ im Berecih $a=-4$ bis $b = 0$ mit Hilfe eines Integrals berechnet werden. Von diesem Ergebnis müssen allerdings die Inhalte von zwei Flächen abgezogen werden:
  • $A_2$: Der Inhalt der blauen dreieckigen Fläche
  • $A_3$: Der Inhalt der roten trapezförmigen Fläche
Für die einzelnen Flächen können dabei folgende Ansätze gemäß der entsprechenden Formeln verwendet werden:
  • $A_1= \displaystyle\int_{-4}^{0}h(x)\;\mathrm dx $
  • $A_2 = \frac{1}{2}\cdot g\cdot h$
  • $A_3 = \frac{1}{2}\cdot (a+b)\cdot h$
(3)
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt begründen
Du sollst begründen, dass der Inhalt der Fläche zwischen den beiden Graphen im angegebenen Intervall gerade der Flächeninhalt eines Rechtecks mit den Seitenlängen $11,3$ und $0,5$ ist. Hierfür gibt es zwei mögliche Lösungswege. Entweder du berechnest die beschriebene Fläche mit Hilfe eines Integrals, sowie den Flächeninhalt des genannten Rechtecks, oder du argumentierst sinngemäß.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Rechnerisch
Der gesuchte Flächeninhalt $A_D$ zwischen den beiden Graphen lässt sich als Integral über die Differenz der Funktionen in den Grenzen $a=-4$ und $b =7,3$ berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} A_D&=& \displaystyle\int_{-4}^{7,3}(f(x) -h(x))\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \displaystyle\int_{-4}^{7,3}(0,0006x^4-\dfrac{1}{16}x^2+5- 0,0006x^4+\dfrac{1}{16}x^2-4,5)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \displaystyle\int_{-4}^{7,3}0,5\;\mathrm dx \\[5pt] &=& [0,5x]_{-4}^{7,3} \\[5pt] &=& 0,5\cdot 7,3+0,5\cdot 4 \\[5pt] &=& 5,65 \\[5pt] \end{array}$
$ A_D = 5,56 $
Der Flächeninhalt des Rechtecks beträgt $A_R = 11,3 \cdot 0,5 = 5,65$, damit sind die beiden Flächeninhalte identisch.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Argumentativ
Der Graph von $h$ liegt an jedem Punkt genau $0,5$ LE unterhalb des Graphen von $f$. Damit beträgt die Höhe der betrachteten Fläche an jedem Punkt im Intervall $-4\leq x \leq 7,3$ $0,5$ LE. Es macht keinen Unterschied, ob diese Höhen versetzt nebeneinander gelegt werden oder wie in einem Rechteck auf exakter Höhe. Daher entspricht der Flächeninhalt gerade dem des Rechtecks.
#stammfunktion
d)
$\blacktriangleright$  Schnittwinkel bestimmen
Gesucht ist der Winkel, der von zwei Geraden eingeschlossen wird, also der Schnittwinkel $\alpha$ der beiden. Um diesen zu berechnen gibt es zwei Möglichkeiten:
  • Nutze die Formel für den Schnittwinkel zweier Geraden:
    $\tan(\alpha) = \left|\dfrac{m_1-m_2}{1+m_1\cdot m_2} \right|$
    $\tan(\alpha) = \left|\dfrac{m_1-m_2}{1+m_1\cdot m_2} \right|$
  • Berechne den Schnittwinkel über die Neigungswinkel der einzelnen Geraden zur Horizontalen. Die Neigungswinkel kannst du mit folgender Formel berechnen:
    $\tan(\alpha) = m$
    $\tan(\alpha) = m$
Für beide Wege benötigst du die Steigungswerte $m_t$ und $m_g$ der Geraden. Die Gerade $g$ verläuft durch die Punkte $A\left( 2,7\mid f(2,7)\right)$ und $P(6,7\mid 7,2)$. Die Steigung kannst du daher mit folgender Formel berechnen:
$m = \dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2} $
$m = \dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2} $
Die Gerade $t$ soll eine Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $A$ sein. Diese besitzt die gleiche Steigung wie der Graph in diesem Punkt. Du kannst die Steigung $m_t$ also über die erste Ableitung von $f$ berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} m_g&=& \dfrac{y_P-y_A}{x_P-x_A} \\[5pt] &=& \dfrac{7,2-f(2,7)}{6,7-2,7} \\[5pt] &=& \dfrac{7,2-0,0006\cdot 2,7^4+\frac{1}{16}\cdot 2,7^2-5}{4} \\[5pt] &\approx& 0,655 \\[10pt] \end{array}$
$ \begin{array}[t]{rll} m_g &\approx& 0,655 \\[10pt] \end{array} $
Für die Steigung der Tangente $t$, bilde zunächst die erste Ableitung von $f$:
$\begin{array}[t]{rll} f'(x)&= & 0,0024x^3 -\frac{1}{8}x\\[10pt] m_t&=& f'(2,7) \\[5pt] &=& 0,0024\cdot 2,7^3-\frac{1}{8}\cdot 2,7\\[5pt] &\approx& -0,2903 \\[5pt] \end{array}$
$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Formel für den Schnittwinkel
Du kannst die berechneten Steigunswerte direkt in die oben angegebene Formel für den Schnittwinkel einsetzen:
$\begin{array}[t]{rll} \tan(\alpha)&=& \left|\dfrac{m_g-m_t}{1+m_g\cdot m_t} \right| \\[5pt] \tan(\alpha)&=& \left|\dfrac{0,655+0,2903}{1-0,655\cdot 0,2903} \right| \\[5pt] \tan(\alpha)&\approx& 1,167 \\[5pt] \alpha&\approx&\tan^{-1}(1,167) \\[5pt] &\approx & 49,4\,^{\circ} \\[5pt] \end{array}$
Die beiden Geraden $g$ und $t$ schließen einen Winkel $\alpha$ mit einer Größe von ca. $49,4^{\circ}$ ein.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Neigungswinkel der jeweiligen Gerade
Zeichne dir eine Skizze. Hier schneiden sich zwei Geraden, von denen eine eine negative Steigung besitzt, also fällt, und die andere steigt. Im Schaubild sind die Steigungswinkel der beiden Geraden eingezeichnet.
Aufgabe 2
Abb. 3: Schnittwinkel
Aufgabe 2
Abb. 3: Schnittwinkel
$\begin{array}[t]{rll} \tan(\alpha_t)&=& m_t \\[5pt] \tan(\alpha_t)&=& -0,2903 \\[5pt] \alpha_t&=& \tan^{-1}(-0,2903) \\[5pt] &\approx& -16,2^{\circ} \\[10pt] \tan(\alpha_g)&=& m_g \\[5pt] \tan(\alpha_g)&=& 0,655 \\[5pt] \alpha_g&=&\tan^{-1}(0,655) \\[5pt] &\approx& 33,2^{\circ} \end{array}$
Die beiden Geraden schließen also einen Winkel mit einer Größe von ca. $16,2^{\circ}+33,2^{\circ} = 49,4^{\circ}$ ein.
#schnittwinkel
Bildnachweise [nach oben]
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a)
$\blacktriangleright$  Parabelgleichung bestimmen
Du sollst eine Gleichung der Parabel zweiten Grades bestimmen, die durch den Punkt $D(-4\mid 4)$ verläuft und deren Hochpunkt bei $H(0\mid 5)$ liegt. Die allgemeine Funktionsgleichung einer Parabel $p$ zweiten Grades lautet wie folgt:
$p(x) = ax^2 +bx +c$
$p(x) = ax^2 +bx +c$
Mit Hilfe der beiden angegebenen Punkte $D$ und $H$ kannst du ein lineares Gleichungssystem aufstellen, das du nach den Parametern $a$, $b$ und $c$ lösen kannst. Beachte dabei auch das notwendige Kriterium für einen Hochpunkt an der Stelle $x_E$:
$p'(x_E)=0$
$p'(x_E)=0$
Um das Gleichungssystem aufzustellen, benötgist du die erste Ableitung $p'$ der gesuchten Funktion:
$p'(x)= 2ax +b$
Nun erhältst du folgende Bedingungen:
  1. $p'(0)=0$
  2. $p(0)=5$
  3. $p(-4)=4$
Du erhältst folgendes Gleichungssystem:
$\begin{array}{} \text{I}\quad&0&=&2a\cdot 0 +b \\ \text{II}\quad&5&=& a\cdot 0^2 + b\cdot 0 + c\\ \text{III}\quad&4&=& a (-4)^2 + b(-4) +c\\ \end{array}$
Aus $\text{I}$ erhältst du direkt $b = 0$ und aus $\text{II}$ folgt $c = 5$. Setze diese Ergebnisse noch in $\text{III}$ ein, um $a$ zu berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} 4&=& a\cdot (-4)^2 + b\cdot(-4) +c \\[5pt] 4&=& 16a + 5&\quad \scriptsize \mid\; -5 \\[5pt] -1&=& 16a&\quad \scriptsize \mid\; :16\\[5pt] \dfrac{-1}{16}&=& a \end{array}$
$ a = \dfrac{-1}{16}$
Eine Gleichung der gesuchten Parabel lautet $p(x) = -\dfrac{1}{16}x^2 +5$.
$\blacktriangleright$  Punktprobe
Um zu überprüfen, ob der Punkt $E(-2\mid 4,75)$ auf der Parabel liegt, setze die Koordinaten in die oben bestimmte Funktionsgleichung ein:
$\begin{array}[t]{rll} p(x)&=& -\dfrac{1}{16}x^2 +5\\[5pt] 4,75&=& -\dfrac{1}{16}\cdot (-2)^2 +5 \\[5pt] 4,75&=&4,75 \\[5pt] \end{array}$
Also liegt der Punkt $E$ auf der Parabel.
#parabel
b)
(1)
$\blacktriangleright$  Symmetrie begründen
Betrachte zunächst den Funktionsterm von $p$. Dir sollte auffallen, dass dort nur gerade Exponenten vorkommen, der Graph dazu also achsensymmetrisch zur $y$-Achse ist. Betrachte nun den Term, der ergänzt wird.
Für $f_a$ gilt $f_a(x) = p(x) + a\cdot x^4$. Hier wurde also ein Term mit ebenfalls geradem Exponenten über dem $x$ addiert. Dadurch enthält $f_a(x)$ ebenfalls nur gerade Exponenten, womit der zugehörige Graph achsensymmetrisch zur $y$-Achse ist.
(2)
$\blacktriangleright$  Parameterwerte zuordnen
Um die Parameterwerte $a= 0,0002$, $a= 0,0004$ und $0,0006$ den entsprechenden Graphen zuzuordnen, berechne die Funktionswerte von $f_a$ an einer Stelle für die verschiedenen Werte von $a$. Dazu kannst du beispielsweise $x=6$ verwenden. Überprüfe anschließend, welcher Funktionswert von welchem Graphen an dieser Stelle angenommen wird.
$\begin{array}[t]{rll} f_{0,0002}(6)&=& 0,0002\cdot 6^4-\dfrac{1}{16}\cdot 6^2+5\\[5pt] &=& 3,0092 \\[10pt] f_{0,0004}(6)&=& 0,0004\cdot 6^4-\dfrac{1}{16}\cdot 6^2+5\\[5pt] &=& 3,2684 \\[10pt] f_{0,0006}(6)&=& 0,0006\cdot 6^4-\dfrac{1}{16}\cdot 6^2+5\\[5pt] &=& 3,5276 \\[10pt] \end{array}$
$ $\begin{array}[t]{rll} f_{0,0002}(6)&=& 3,0092 \\[10pt] f_{0,0004}(6)&=& 3,2684 \\[10pt] f_{0,0006}(6)&=& 3,5276 \\[10pt] \end{array}$ $
Damit gehört Graph $\text(I)$ zu $a= 0,0006$, $\text{(II)}$ zu $a = 0,0004$ und $\text{(III)}$ zum Wert $a= 0,0002$.
(3)
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Tiefpunkts bestimmen
Für eine Minimalstelle $x_M$ einer Funktion $f$ gelten die folgenden Kriterien:
  • Notwendiges Kriterium: $f'(x_M)=0$
  • Hinreichendes Kriterium: $f''(x_M)> 0$
Du kannst also wie folgt vorgehen:
  1. Bestimme die ersten beiden Ableitungsfunktionen von $f_a$.
  2. Wende das notwendige Kriterium an, indem du $f_a'(x)=0$ setzt und so mögliche Extremstellen bestimmst.
  3. Überprüfe das hinreichende Kriterium durch Einsetzen in die zweite Ableitungsfunktion.
  4. Berechne die $y$-Koordinate des Tiefpunkts durch Einsetzen in $f_a(x)$.
1. Schritt: Ableitungen bilden
$\begin{array}[t]{rll} f_a(x)&=&ax^4-\frac{1}{16}x^2+5 \\[10pt] f_a'(x)&=&4ax^3-\frac{1}{8}x \\[10pt] f_a''(x)&=&12ax^2-\frac{1}{8} \\[5pt] \end{array}$
2. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden
$\begin{array}[t]{rll} f_a'(x)&=&0 \\[5pt] 4ax^3-\frac{1}{8}x&=& 0&\quad \scriptsize \mid\; x_1 = 0 \\[5pt] 4ax^2-\frac{1}{8}&=& 0&\quad \scriptsize \mid\; +\frac{1}{8} \\[5pt] 4ax^2&=& \frac{1}{8}&\quad \scriptsize \mid\; :4a \neq 0 \\[5pt] x^2&=& \dfrac{1}{32a} \\[5pt] x_2&=& \sqrt{\dfrac{1}{32a}} \\[5pt] x_3&=&-\sqrt{\dfrac{1}{32a}} \end{array}$
$ \begin{array}[t]{rll} f_a'(x)&=&0 \\[5pt] x_1&=& 0 \\[5pt] x_2&=& \sqrt{\dfrac{1}{32a}} \\[5pt] x_3&=&-\sqrt{\dfrac{1}{32a}} \end{array} $
Wegen $x\geq 0$ fällt $x_3$ aus dem betrachteten Bereich. Es befinden sich mögliche Extremstellen bei $x_1=0$ und $x_2 =\sqrt{\dfrac{1}{32a}} $.
3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen
Einsetzen der oben bestimmten möglichen Extremstellen in die zweite Ableitung ergibt:
$\begin{array}[t]{rll} f_a''(x_1)&=&f_a''(0) \\[5pt] &=&12a\cdot 0^2-\dfrac{1}{8} \\[5pt] &=& -\frac{1}{8} < 0 \\[10pt] f_a''(x_2)&=&f_a''\left(\sqrt{\dfrac{1}{32a}} \right) \\[5pt] &=&12a\cdot \sqrt{\dfrac{1}{32a}}^2-\dfrac{1}{8} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{4} > 0 \\[5pt] \end{array}$
An der Stelle $x_1=0$ besitzt der Graph von $f_a$ einen Hochpunkt, während sich bei $x_2= \sqrt{\dfrac{1}{32a}}$ ein Tiefpunkt befindet.
4. Schritt: Fehlende Koordinate berechnen
Du kennst nun die $x$-Koordinate des Tiefpunkts. Um die $y$-Koordinate zu berechnen, setze in $f_a(x)$ ein:
$\begin{array}[t]{rll} f_a(x_2)&=& f_a\left(\sqrt{\dfrac{1}{32a}} \right) \\[5pt] &=& a\cdot \sqrt{\dfrac{1}{32a}}^4 - \dfrac{1}{16}\cdot \sqrt{\dfrac{1}{32a}}^2 +5 \\[5pt] &=& \dfrac{1}{32^2a}-\dfrac{1}{16\cdot 32a}+5\\[5pt] &=& -\dfrac{1}{32^2a} +5 \\[5pt] \end{array}$
$ f_a(x_2)= -\dfrac{1}{32^2a} +5$
Die Koordinaten des Tiefpunkts des Graphen von $f_a$ (für $x \geq 0$) lauten $T_a\left(\sqrt{\dfrac{1}{32a}} \,\bigg \vert \, 5-\dfrac{1}{32^2a} \right)$.
$\blacktriangleright$  Parameterwerte angeben
Der Tiefpunkt $T_a$ liegt im ersten Quadranten des Koordinatensystems, wenn für die Koordinaten sowohl $x\geq 0$ als auch $y \geq 0 $ gilt. $x\geq 0$ ist schon gegeben, überprüfe also noch, wann $y \geq 0 $ ist.
$\begin{array}[t]{rll} y &\geq& 0 \\[5pt] 5-\dfrac{1}{32^2a}&\geq& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +\dfrac{1}{32^2a} \\[5pt] 5&\geq& \dfrac{1}{32^2a} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot a > 0\\[5pt] 5a&\geq& \dfrac{1}{32^2}&\quad \scriptsize \mid\; :5 \\[5pt] a&\geq& \dfrac{1}{32^2\cdot 5} \\[5pt] a&\geq& \dfrac{1}{5.120} \\[5pt] \end{array}$
$ \begin{array}[t]{rll} y &\geq& 0 \\[5pt] a&\geq& \dfrac{1}{5.120} \\[5pt] \end{array} $
Für $a \geq \frac{1}{5.120} $ liegt der Tiefpunkt $T_a$ im ersten Quadranten des Koordinatensystems.
(4)
$\blacktriangleright$  Steigung der Wendetangente begründen
Die Dachneigung soll im steilsten Punkt zwischen $H$ und $T_a$ maximal $45\,^{\circ}$ betragen. Das bedeutet, dass der Steigungswinkel in diesem Punkt nicht größer als $45\,^{\circ}$ sein soll. Um nun die Verbindung zur Steigung der Wendetangente zu erkennen, überlege dir zunächst welcher Punkt der mit dem größten Gefälle ist, und was der Steigungswinkel mit der Steigung der Wendetangente zu tun hat.
Der Punkt mit dem stärksten Gefälle ist der Punkt, in dem die Steigung des Graphen minimal ist. Da die erste Ableitung die Steigung des Graphen von $f_a$ beschreibt, ist dies also eine Minimalstelle der ersten Ableitung $f_a'$. Extremstellen von $f_a'$ sind immer Wendestellen von $f_a$.
Da der Graph in dem betrachteten Bereich zwischen $H$ und $T_a$ monoton fällt, ist der Punkt mit dem stärksten Gefälle der Wendepunkt zwischen $T_a$ und $H$.
Der Steigungswinkel im Wendepunkt soll also maximal $45\,^{\circ}$ groß sein. Den Steigungswinkel $\alpha$ in einem Punkt kann man mit Hilfe des Steigungswerts in diesem Punkt über folgende Formel berechnen:
$m = \tan(\alpha)$
$m = \tan(\alpha)$
Da der Graph aber fallend ist, musst du den Gegenwinkel betrachten, also $180^{\circ}-45^{\circ} = 135^{\circ}$. Setzt du $135^{\circ}$ in die Formel ein, erhältst du:
$\begin{array}[t]{rll} m&=& \tan(135^{\circ}) = -1 \end{array}$
Ein geringerer Steigungswert bedeutet einen größeren Neigungswinkel, also muss der Graph im Wendepunkt eine Steigung von mindestens $-1$ haben. Dies ist gerade die Steigung der Wendetangente.
$\blacktriangleright$  Werte von $\boldsymbol{a}$ ermitteln
Du sollst ermitteln, für welche Werte von $a$ die Steigung des Graphen von $f_a$ im Wendepunkt mindestens $-1$ beträgt. Berechne dazu zunächst die Wendestelle und berechne die Steigung an dieser Stelle über die erste Ableitung in Abhängigkeit von $a$. Für eine Wendestelle $x_W$ gibt es zwei Kriterien:
  • Notwendiges Kriterium: $f_a''(x_W)=0$
  • Hinreichendes Kriterium: $f_a'''(x_W)\neq 0$
Du kannst also wie folgt vorgehen:
  1. Bilde die dritte Ableitungsfunktion von $f_a$.
  2. Wende das notwendige Kriterium an, indem du $f_a''(x)=0$ setzt und so mögliche Wendestellen bestimmst.
  3. Überprüfe das hinreichende Kriterium durch Einsetzen in $f_a'''(x)$.
  4. Berechne die Steigung $m_a$ an der Wendestelle durch Einsetzen in $f_a'(x)$, setze $m_a \geq -1$ und löse nach $a$.
1. Schritt: Ableitung bilden
$\begin{array}[t]{rll} f_a''(x)&=& 12ax^2 -\dfrac{1}{8} \\[10pt] f_a'''(x)&=& 24ax \\[5pt] \end{array}$
2. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden
$\begin{array}[t]{rll} f_a''(x)&=&0 \\[5pt] 12ax^2 -\dfrac{1}{8}&=&0 &\quad \scriptsize \mid\; + \dfrac{1}{8}\\[5pt] 12ax^2&=&\dfrac{1}{8} &\quad \scriptsize \mid\; :12a \\[5pt] x^2&=&\dfrac{1}{96a} \\[5pt] x_{1}&=&\sqrt{\dfrac{1}{96a}} \\[5pt] x_2&=& -\sqrt{\dfrac{1}{96a}} \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f_a''(x)&=&0 \\[5pt] x_{1}&=&\sqrt{\dfrac{1}{96a}} \\[5pt] x_2&=& -\sqrt{\dfrac{1}{96a}} \\[5pt] \end{array}$
Da der Wendepunkt zwischen $H(0\mid 5)$ und $T_a$ liegen soll, kommt nur $x_1= \sqrt{\dfrac{1}{96a}}$ in Frage.
3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen
Setze nun $x_1$ in $f_a'''(x)$ ein:
$\begin{array}[t]{rll} f_a'''(x_1)&=&f_a'''\left(\sqrt{\dfrac{1}{96a}} \right) \\[5pt] &=& 24a\cdot \sqrt{\dfrac{1}{96a}} \neq 0 \\[5pt] \end{array}$
Bei $x_1= \sqrt{\dfrac{1}{96a}}$ handelt es sich also um eine Wendestelle.
4. Schritt: Steigung berechnen
Um die Steigung in Abhängigkeit von $a$ zu berechnen, setze die Wendestelle in $f_a'(x)$ ein:
$\begin{array}[t]{rll} f_a'(x_1)&=&f_a'\left( \sqrt{\dfrac{1}{96a}}\right) \\[5pt] &=& 4a\cdot \sqrt{\dfrac{1}{96a}}^3-\frac{1}{8}\cdot \sqrt{\dfrac{1}{96a}} \\[5pt] &=& \sqrt{\dfrac{1}{96a}} \cdot \left(4a\cdot \dfrac{1}{96a} - \frac{1}{8} \right) \\[5pt] &=& \sqrt{\dfrac{1}{96a}} \cdot \left( \dfrac{1}{24} - \frac{1}{8} \right) \\[5pt] &=& -\dfrac{1}{12}\cdot \sqrt{\dfrac{1}{96a}} \\[5pt] \end{array}$
$ f_a'(x_1) = -\dfrac{1}{12}\cdot \sqrt{\dfrac{1}{96a}} $
Die Steigung soll mindestens $-1$ betragen. Forme also die Ungleichung nach $a$ um:
$\begin{array}[t]{rll} -1&\leq& f_a'(x_1) \\[5pt] -1&\leq& -\dfrac{1}{12}\cdot \sqrt{\dfrac{1}{96a}}&\quad \scriptsize \mid\; \cdot (-12) \\[5pt] 12&\geq& \sqrt{\dfrac{1}{96a}}&\quad \scriptsize \mid\;\cdot \sqrt{a} \\[5pt] 12\sqrt{a}&\geq&\dfrac{1}{\sqrt{96}} &\quad \scriptsize \mid\; : 12\\[5pt] \sqrt{a}&\geq& \dfrac{1}{12\sqrt{96}} \\[5pt] a&\geq& \dfrac{1}{13.824} \\[5pt] \end{array}$
$ \begin{array}[t]{rll} -1&\leq& f_a'(x_1) \\[5pt] a&\geq& \dfrac{1}{13.824} \\[5pt] \end{array} $
Damit die Dachneigung im Punkt mit dem steilsten Gefälle höchstens $45^{\circ}$ beträgt, muss $a$ mindestens $\dfrac{1}{13.824}$ betragen.
(5)
$\blacktriangleright$  Bereich bestimmen
Für den Tiefpunkt $T_a\left(\sqrt{\dfrac{1}{32a}} \,\bigg \vert \, 5-\dfrac{1}{32^2a} \right)$ soll $y_{T_a} \geq 3,3$ sein, während für den Wendepunkt $W$ $x_W \geq 4$ gelten soll. Forme diese Ungleichungen jeweils nach $a$ um und bilde zum Schluss die Schnittmenge beider Eingrenzungen für $a$.
$\begin{array}[t]{rll} y_{T_a} &\geq& 3,3 \\[5pt] 5-\dfrac{1}{32^2a}&\geq& 3,3& \quad\scriptsize \mid\;-5 \\[5pt] -\dfrac{1}{32^2a}&\geq&-1,7 & \quad\scriptsize \mid\; \cdot a \\[5pt] -\dfrac{1}{32^2}&\geq& -1,7a& \quad\scriptsize \mid\; : (-1,7) < 0\\[5pt] \dfrac{5}{8.704}&\leq& a \\[20pt] x_W&\geq& 4 \\[5pt] \sqrt{\dfrac{1}{96a}}&\geq& 4&\quad \scriptsize \mid\; \cdot \sqrt{a}\\[5pt] \dfrac{1}{\sqrt{96}}&\geq& 4\sqrt{a}&\quad \scriptsize \mid\; :4 \\[5pt] \dfrac{1}{4\sqrt{96}}&\geq&\sqrt{a} \\[5pt] \dfrac{1}{1.536}&\geq&a \\[5pt] \end{array}$
$ \begin{array}[t]{rll} y_{T_a} &\geq& 3,3 \\[5pt] \dfrac{5}{8.704}&\leq& a \\[20pt] x_W&\geq& 4 \\[5pt] \dfrac{1}{1.536}&\geq&a \\[5pt] \end{array} $
Es muss also insgesamt $\dfrac{5}{8.704}\leq a \leq \dfrac{1}{1.536}$ gelten.
#extrempunkt#symmetrie#tangente
c)
(1)
$\blacktriangleright$  Inhalt der Glasfläche berechnen
Die Glasfläche wird nach unten durch die $x$-Achse, nach links durch die $y$-Achse und nach oben durch den Graphen der Funktion $h$ begrenzt. Die rechte Grenze ist die Kante durch den Punkt $Q$, die durch die $x$-Koordinate von $Q$ also $x =7,3$ beschrieben wird. Du kannst den Inhalt $A$ der Fläche damit als Integral über $h$ in den Grenzen $a=0$ und $b= 7,3$ berechnen. Du kannst das Integral entweder handschriftlich oder mit deinem GTR berechnen.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Handschriftlich
$\begin{array}[t]{rll} A &=& \displaystyle\int_{0}^{7,3}h(x)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \displaystyle\int_{0}^{7,3}\left( 0,0006x^4-\dfrac{1}{16}x^2+4,5\right)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \left[\dfrac{1}{5}\cdot 0,0006\cdot x^5 - \dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{16}\cdot x^3+4,5x \right]_0^{7,3} \\[5pt] &=& \dfrac{3}{25.000}\cdot 7,3^5 - \dfrac{1}{48}\cdot 7,3^3+4,5\cdot 7,3- \left( \dfrac{3}{25.000}\cdot 0^5 - \dfrac{1}{48}\cdot 0^3+4,5\cdot 0 \right) \\[5pt] &\approx& 27,23 \\[5pt] \end{array}$
$ A\approx 27,23 $
Die Glasfläche besitzt eine Größe von ca. $27,23\,\text{m}^2$.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: GTR
Aufgabe 2
Abb. 1: Integralberechnung
Aufgabe 2
Abb. 1: Integralberechnung
Die Glasfläche besitzt eine Größe von ca. $27,23\,\text{m}^2$.
(2)
$\blacktriangleright$  Lösungsidee angeben
Die Fläche links der $y$-Achse kann man berechnen, indem man sie in einzelne Teilflächen aufteilt. Für diese Aufteilung gibt es viele verschiedene Möglichkeiten. Auf dem folgenden Bild ist eine dieser Möglichkeiten dargestellt.
Aufgabe 2
Abb. 2: Aufteilung der Fläche
Aufgabe 2
Abb. 2: Aufteilung der Fläche
In diesem Fall setzt sich die gesuchte Fläche aus drei Flächen zusammen. Es kann zuerst der Inhalt $A_1$ der Fläche unter dem Graphen von $h$ im Berecih $a=-4$ bis $b = 0$ mit Hilfe eines Integrals berechnet werden. Von diesem Ergebnis müssen allerdings die Inhalte von zwei Flächen abgezogen werden:
  • $A_2$: Der Inhalt der blauen dreieckigen Fläche
  • $A_3$: Der Inhalt der roten trapezförmigen Fläche
Für die einzelnen Flächen können dabei folgende Ansätze gemäß der entsprechenden Formeln verwendet werden:
  • $A_1= \displaystyle\int_{-4}^{0}h(x)\;\mathrm dx $
  • $A_2 = \frac{1}{2}\cdot g\cdot h$
  • $A_3 = \frac{1}{2}\cdot (a+b)\cdot h$
(3)
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt begründen
Du sollst begründen, dass der Inhalt der Fläche zwischen den beiden Graphen im angegebenen Intervall gerade der Flächeninhalt eines Rechtecks mit den Seitenlängen $11,3$ und $0,5$ ist. Hierfür gibt es zwei mögliche Lösungswege. Entweder du berechnest die beschriebene Fläche mit Hilfe eines Integrals, sowie den Flächeninhalt des genannten Rechtecks, oder du argumentierst sinngemäß.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Rechnerisch
Der gesuchte Flächeninhalt $A_D$ zwischen den beiden Graphen lässt sich als Integral über die Differenz der Funktionen in den Grenzen $a=-4$ und $b =7,3$ berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} A_D&=& \displaystyle\int_{-4}^{7,3}(f(x) -h(x))\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \displaystyle\int_{-4}^{7,3}(0,0006x^4-\dfrac{1}{16}x^2+5- 0,0006x^4+\dfrac{1}{16}x^2-4,5)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \displaystyle\int_{-4}^{7,3}0,5\;\mathrm dx \\[5pt] &=& [0,5x]_{-4}^{7,3} \\[5pt] &=& 0,5\cdot 7,3+0,5\cdot 4 \\[5pt] &=& 5,65 \\[5pt] \end{array}$
$ A_D = 5,56 $
Der Flächeninhalt des Rechtecks beträgt $A_R = 11,3 \cdot 0,5 = 5,65$, damit sind die beiden Flächeninhalte identisch.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Argumentativ
Der Graph von $h$ liegt an jedem Punkt genau $0,5$ LE unterhalb des Graphen von $f$. Damit beträgt die Höhe der betrachteten Fläche an jedem Punkt im Intervall $-4\leq x \leq 7,3$ $0,5$ LE. Es macht keinen Unterschied, ob diese Höhen versetzt nebeneinander gelegt werden oder wie in einem Rechteck auf exakter Höhe. Daher entspricht der Flächeninhalt gerade dem des Rechtecks.
#stammfunktion
d)
$\blacktriangleright$  Schnittwinkel bestimmen
Gesucht ist der Winkel, der von zwei Geraden eingeschlossen wird, also der Schnittwinkel $\alpha$ der beiden. Um diesen zu berechnen gibt es zwei Möglichkeiten:
  • Nutze die Formel für den Schnittwinkel zweier Geraden:
    $\tan(\alpha) = \left|\dfrac{m_1-m_2}{1+m_1\cdot m_2} \right|$
    $\tan(\alpha) = \left|\dfrac{m_1-m_2}{1+m_1\cdot m_2} \right|$
  • Berechne den Schnittwinkel über die Neigungswinkel der einzelnen Geraden zur Horizontalen. Die Neigungswinkel kannst du mit folgender Formel berechnen:
    $\tan(\alpha) = m$
    $\tan(\alpha) = m$
Für beide Wege benötigst du die Steigungswerte $m_t$ und $m_g$ der Geraden. Die Gerade $g$ verläuft durch die Punkte $A\left( 2,7\mid f(2,7)\right)$ und $P(6,7\mid 7,2)$. Die Steigung kannst du daher mit folgender Formel berechnen:
$m = \dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2} $
$m = \dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2} $
Die Gerade $t$ soll eine Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $A$ sein. Diese besitzt die gleiche Steigung wie der Graph in diesem Punkt. Du kannst die Steigung $m_t$ also über die erste Ableitung von $f$ berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} m_g&=& \dfrac{y_P-y_A}{x_P-x_A} \\[5pt] &=& \dfrac{7,2-f(2,7)}{6,7-2,7} \\[5pt] &=& \dfrac{7,2-0,0006\cdot 2,7^4+\frac{1}{16}\cdot 2,7^2-5}{4} \\[5pt] &\approx& 0,655 \\[10pt] \end{array}$
$ \begin{array}[t]{rll} m_g &\approx& 0,655 \\[10pt] \end{array} $
Für die Steigung der Tangente $t$, bilde zunächst die erste Ableitung von $f$:
$\begin{array}[t]{rll} f'(x)&= & 0,0024x^3 -\frac{1}{8}x\\[10pt] m_t&=& f'(2,7) \\[5pt] &=& 0,0024\cdot 2,7^3-\frac{1}{8}\cdot 2,7\\[5pt] &\approx& -0,2903 \\[5pt] \end{array}$
$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Formel für den Schnittwinkel
Du kannst die berechneten Steigunswerte direkt in die oben angegebene Formel für den Schnittwinkel einsetzen:
$\begin{array}[t]{rll} \tan(\alpha)&=& \left|\dfrac{m_g-m_t}{1+m_g\cdot m_t} \right| \\[5pt] \tan(\alpha)&=& \left|\dfrac{0,655+0,2903}{1-0,655\cdot 0,2903} \right| \\[5pt] \tan(\alpha)&\approx& 1,167 \\[5pt] \alpha&\approx&\tan^{-1}(1,167) \\[5pt] &\approx & 49,4\,^{\circ} \\[5pt] \end{array}$
Die beiden Geraden $g$ und $t$ schließen einen Winkel $\alpha$ mit einer Größe von ca. $49,4^{\circ}$ ein.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Neigungswinkel der jeweiligen Gerade
Zeichne dir eine Skizze. Hier schneiden sich zwei Geraden, von denen eine eine negative Steigung besitzt, also fällt, und die andere steigt. Im Schaubild sind die Steigungswinkel der beiden Geraden eingezeichnet.
Aufgabe 2
Abb. 3: Schnittwinkel
Aufgabe 2
Abb. 3: Schnittwinkel
$\begin{array}[t]{rll} \tan(\alpha_t)&=& m_t \\[5pt] \tan(\alpha_t)&=& -0,2903 \\[5pt] \alpha_t&=& \tan^{-1}(-0,2903) \\[5pt] &\approx& -16,2^{\circ} \\[10pt] \tan(\alpha_g)&=& m_g \\[5pt] \tan(\alpha_g)&=& 0,655 \\[5pt] \alpha_g&=&\tan^{-1}(0,655) \\[5pt] &\approx& 33,2^{\circ} \end{array}$
Die beiden Geraden schließen also einen Winkel mit einer Größe von ca. $16,2^{\circ}+33,2^{\circ} = 49,4^{\circ}$ ein.
#schnittwinkel
Bildnachweise [nach oben]
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