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Aufgabe 3

Aufgaben
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Aufgabenstellung
Für jede von Null verschiedene reelle Zahl $a$ ist $f_a$ die Funktion mit der Gleichung $f_a(x) = \big(x + \dfrac{1}{a}\big) \cdot \mathrm e^{ax}$, $x \in \mathbb{R}$.
Für $a=-1$ erhält man die Funktion $g$ mit der Gleichung $g(x)=(x-1) \cdot \mathrm{e^{-x}}$, $x \in \mathbb{R}$ und für $a=1$ die Funktion $h$ mit der Gleichung $h(x)=(x+1) \cdot \mathrm{e^{x}}$, $x \in \mathbb{R}$.
Die Graphen von $g$ und $h$ sind in der Abbildung dargestellt.
a)
(1)
Zeige, dass $x_0 = - \dfrac{1}{a}$ die einzige Nullstelle von $f_a$ ist.
(2P)
(2)
Bestimme in Abhängigkeit von $a$ die Koordination der lokalen Extrem- und Wendepunkte des Graphen der Funktion $f_a$.
Gib die Art der Extrempunkte an.
[Zur Kontrolle: $f_a'(x)=\mathrm e^{ax} \cdot (2+ax)$.]
(15P)
#wendepunkt#nullstelle#extrempunkt
b)
(1)
Der Graph der Funktion $f_a$ schneidet die $y$-Achse im Punkt $S_a$.
Gib die Koordinaten von $S_a$ an.
(2P)
(2)
Bestimme eine Gleichung der Tangente $t_a$ an den Graphen der Funktion $f_a$ im Punkt $S_a$.
[Zur Kontrolle: $t_a(x) = 2x + \dfrac {1}{a}$, $x \in \mathbb{R}$.]
(2P)
(3)
Die Tangente $t_a$ und die Koordinatenachsen bilden ein Dreieck.
Berechne die Dreiecksfläche $D(a)$ in Abhängigkeit von $a$.
(4P)
#tangente
c)
(1)
Ermittle mit Hilfe von Integrationsverfahren eine Stammfunktion der Funktion $f_a$.
[Zur Kontrolle: Zum Beispiel ist die Funktion $F_a$ mit der Gleichung $F_a(x) = \dfrac{1}{a}x \cdot \mathrm e^{ax} +2$, $x \in \mathbb{R}$, eine Stammfunktion von $f_a$.]
(4P)
(2)
Bestimme in Abhängigkeit von $a$ den Inhalt $A(a)$ der Fläche, die von dem Graphen der Funktion $f_a$ und den beiden Koordinatenachsen eingeschlossen wird.
Berechne alle $a$, für die $A(a)=\mathrm e$ gilt.
$\big[$Zur Kontrolle: $A(a)=\dfrac{1}{\mathrm e \cdot a^2}$.$\big]$
(5P)
#stammfunktion#integral
d)
Betrachte nun die Funktionen $g$ und $h$.
(1)
Weise nach, dass $g(-x)=-h(x)$ für alle $x \in \mathbb{R}$ gilt.
Interpretiere diese Aussage geometrisch.
(4P)
(2)
Beweise: Es gilt $h(x)>g(x)$ für alle $x\geq0$.
(4P)
(3)
Für alle $u>0$ sei $p_u$ die Parallele zur $y$-Achse durch den Punkt $P_u (u \mid 0)$.
Es sei $I(u)$ der Inhalt der Fläche, die von den Graphen der Funktionen $g$ und $h$, der $y$-Achse und $p_u$ eingeschlossen wird.
Zeige: Es gilt $I(u)=u\cdot(\mathrm e^{u}+\mathrm e^{-u}$) für alle $ u>0$.
Begründe, dass die Funktion $I$ mit der Gleichung $I(u)=u\cdot(\mathrm e^{u}+\mathrm e^{-u}$), $ u>0$ streng monoton steigend ist.
(8P)
#monotonie
Bildnachweise [nach oben]
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a)
(1)
$\blacktriangleright$  Nullstelle nachweisen
Du sollst zeigen, dass $x_0= -\dfrac{1}{a}$ die einzige Nullstelle von $f_a$ ist. Setze dazu $f_a(x)=0$. Du kannst hier den Satz vom Nullprodukt anwenden. Beachte, dass der Term $\mathrm{e} ^x$ nicht den Wert Null annehmen kann.
(2)
$\blacktriangleright$ Koordinaten der Extrempunkte angeben
Du sollst die Koordinaten und Art der lokalen Extrempunkte angeben. Für eine Extremstelle $x_E$ gibt es die folgenden beiden Kriterien:
  • Notwendiges Kriterium: $f'(x_E)= 0$
  • Hinreichendes Kriterium: $f''(x_E)\neq 0$
    • $f''(x_E) < 0$: Bei $x_E$ liegt ein Hochpunkt.
    • $f''(x_E) > 0$: Bei $x_E$ liegt ein Tiefpunkt.
Du kannst also wie folgt vorgehen:
  1. Bilde die ersten beiden Ableitungsfunktionen von $f_a$.
  2. Wende das notwendige Kriterium an, um mögliche Extremstellen zu bestimmen.
  3. Überprüfe das hinreichende Kriterium und bestimme so die Art der Extrempunkte.
  4. Berechne die vollständigen Koordinaten durch Einsetzen der Extremstellen in $f_a(x)$.
$\blacktriangleright$  Koordinaten der Wendepunkte bestimmen
Für eine Wendestelle $x_W$ gibt es ebenfalls zwei Kriterien:
  • Notwendiges Kriterium: $f''(x_W)=0$
  • Hinreichendes Kriterium: $f'''(x_W)\neq 0$
Du kannst also ähnlich wie oben vorgehen:
  1. Bilde die dritte Ableitung $f_a'''$.
  2. Bestimme mit dem notwendigen Kriterium mögliche Wendestellen von $f_a$.
  3. Überprüfe das hinreichende Kriterium.
  4. Berechne die zugehörigen $y$-Koordinaten.
b)
(1)
$\blacktriangleright$  Koordinaten angeben
Du sollst die Koordinaten des Schnittpunkts mit der $y$-Achse angeben. Ein solcher Schnittpunkt hat immer die $x$-Koordinate Null. Setze also $x =0$ in den Funktionsterm $f_a(x)$ ein.
(2)
$\blacktriangleright$  Tangentengleichung aufstellen
Gesucht ist eine Tangente $t_a$ an den Graphen von $f_a$ im Punkt $S_a$. Diese Tangente ist eine Gerade mit folgenden Eigenschaften:
  • Der Punkt $S_a$ liegt auf $t_a$.
  • $t_a$ besitzt die gleiche Steigung wie der Graph von $f_a$ im Punkt $S_a$.
Die Koordinaten von $S_a$ hast du bereits berechnet: $S_a\left(0 \,\bigg \vert \, \dfrac{1}{a} \right)$. Da es sich bei der Tangente um eine Gerade handelt, kannst du hier die Punkt-Steigungsform verwenden, um eine Geradengleichung zu bestimmen:
$t_a:\quad y= m\cdot (x-x_{S_a}) + y_{S_a}$
$t_a:\quad y= m\cdot (x-x_S) + y_S$
Berechne also die Steigung der Tangente als $m = f_a'(0)$ und setze dann zusammen mit den Koordinaten von $S_a$ in die Formel ein.
(3)
$\blacktriangleright$ Flächeninhalt berechnen
Abb. 1: Dreieck
Abb. 1: Dreieck
c)
(1)
$\blacktriangleright$  Stammfunktion ermitteln
Du sollst eine Stammfunktion von $f_a$ ermitteln. Betrachtest du den Funktionsterm genauer, fällt dir auf, dass es sich bei $f_a(x)$ um ein Produkt handelt, bei dem einer der Faktoren $\left(x+\dfrac{1}{a}\right)$ ein Polynom ist. Wende hier also die partielle Integration an.
(2)
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt bestimmen
Abb. 2: Fläche unter dem Graphen
Abb. 2: Fläche unter dem Graphen
$\blacktriangleright$  $\boldsymbol{a}$ berechnen
Um alle $a$ zu berechnen, für die $A(a)=\mathrm{e}$ ist, setze den eben berechneten Term für $A(a)$ gleich $\mathrm{e}$.
d)
(1)
$\blacktriangleright$  Gleichung nachweisen
Du sollst nachweisen, dass $g(-x) = -h(x)$ gilt. Forme also $g(-x)$ so weit um, bis du $-h(x)$ erhältst.
(2)
$\blacktriangleright$  Ungleichung beweisen
Um die Korrektheit der Ungleichung zu beweisen, beginne mit einem der beiden Funktionsterme, beispielsweise $h(x)$, und schätze schrittweise einzelne Summanden des Terms ab. Beachte dabei, dass in der Aufgabenstellung $x \geq 0$ vorgegeben ist.
(3)
$\blacktriangleright$  Term für den Flächeninhalt zeigen
Abb. 3: Fläche zwischen den Graphen
Abb. 3: Fläche zwischen den Graphen
Bildnachweise [nach oben]
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a)
(1)
$\blacktriangleright$  Nullstelle nachweisen
Du sollst zeigen, dass $x_0= -\dfrac{1}{a}$ die einzige Nullstelle von $f_a$ ist. Setze dazu $f_a(x)=0$. Du kannst hier den Satz vom Nullprodukt anwenden. Beachte, dass der Term $\mathrm{e} ^x$ nicht den Wert Null annehmen kann.
$\begin{array}[t]{rll} 0&=&f_a(x) \\[5pt] 0&=& \left( x + \dfrac{1}{a}\right)\cdot \mathrm{e}^{ax}&\quad \scriptsize \mid\; :\mathrm{e}^{ax}\neq 0 \\[5pt] 0&=& x+ \dfrac{1}{a}&\quad \scriptsize \mid\;-\dfrac{1}{a} \\[5pt] -\dfrac{1}{a}&=&x \\[5pt] \end{array}$
$ -\dfrac{1}{a}=x $
Es kann nur der Faktor $ \left( x + \dfrac{1}{a}\right)$ Null werden. Die Gleichung $x + \dfrac{1}{a} = 0$ besitzt nur die Lösung $x_0 = -\dfrac{1}{a}$. Demnach ist dies die einzige Nullstelle von $f_a$.
(2)
$\blacktriangleright$ Koordinaten der Extrempunkte angeben
Du sollst die Koordinaten und Art der lokalen Extrempunkte angeben. Für eine Extremstelle $x_E$ gibt es die folgenden beiden Kriterien:
  • Notwendiges Kriterium: $f'(x_E)= 0$
  • Hinreichendes Kriterium: $f''(x_E)\neq 0$
    • $f''(x_E) < 0$: Bei $x_E$ liegt ein Hochpunkt.
    • $f''(x_E) > 0$: Bei $x_E$ liegt ein Tiefpunkt.
Du kannst also wie folgt vorgehen:
  1. Bilde die ersten beiden Ableitungsfunktionen von $f_a$.
  2. Wende das notwendige Kriterium an, um mögliche Extremstellen zu bestimmen.
  3. Überprüfe das hinreichende Kriterium und bestimme so die Art der Extrempunkte.
  4. Berechne die vollständigen Koordinaten durch Einsetzen der Extremstellen in $f_a(x)$.
1. Schritt: Ableitungen bilden
Du kannst die Produktregel anwenden:
$\begin{array}[t]{rll} f_a(x)&=& \left( x + \dfrac{1}{a}\right)\cdot \mathrm{e}^{ax} \\[10pt] f_a'(x)&=&1\cdot \mathrm{e}^{ax} + \left( x + \dfrac{1}{a}\right)\cdot a\cdot \mathrm{e}^{ax} \\[5pt] &=& \left( 1+ax + \dfrac{1}{a}\cdot a\right)\cdot \mathrm{e}^{ax} \\[5pt] &=& \left( 2+ax \right)\cdot \mathrm{e}^{ax} \\[10pt] f_a''(x)&=& a\cdot\mathrm{e}^{ax} + \left( 2+ax \right)\cdot a\cdot \mathrm{e}^{ax} \\[5pt] &=& \left( a + 2a+a^2x \right)\cdot \mathrm{e}^{ax} \\[5pt] &=& \left( 3a + a^2x \right)\cdot \mathrm{e}^{ax}\\[5pt] \end{array}$
$ $\begin{array}[t]{rll} f_a(x)&=& \left( x + \dfrac{1}{a}\right)\cdot \mathrm{e}^{ax} \\[10pt] f_a'(x) &=& \left( 2+ax \right)\cdot \mathrm{e}^{ax} \\[10pt] f_a''(x) &=& \left( 3a + a^2x \right)\cdot \mathrm{e}^{ax}\\[5pt] \end{array}$ $
2. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden
Setze $f_a'(x) =0$ und löse nach $x$:
$\begin{array}[t]{rll} f_a'(x)&=&0 \\[5pt] \left( 2+ax \right)\cdot \mathrm{e}^{ax}&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; :\mathrm{e}^{ax} \neq 0\\[5pt] 2+ax&=& 0&\quad \scriptsize \mid\; -2\\[5pt] ax&=&-2 &\quad \scriptsize \mid\; :a \neq 0\\[5pt] x&=&\dfrac{-2}{a} \\[5pt] \end{array}$
$ x=\dfrac{-2}{a} $
3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen
Setze nun $x_E=\dfrac{-2}{a}$ in den Funktionsterm $f_a''(x)$ ein:
$\begin{array}[t]{rll} f_a''\left( \dfrac{-2}{a} \right)&=& \left( 3a + a^2\cdot \left(\dfrac{-2}{a}\right) \right)\cdot \mathrm{e}^{a\cdot \left(\frac{-2}{a}\right)} \\[5pt] &=& a\cdot \mathrm{e}^{-2} \\[5pt] \end{array}$
$ f_a''\left( \dfrac{-2}{a} \right) = a\cdot \mathrm{e}^{-2} \neq 0 $
Es ist $\mathrm{e}^{-2} < 0$, also $f_a''\left( \dfrac{-2}{a} \right) = a\cdot \mathrm{e}^{-2} < 0 $ falls $a < 0$ und $f_a''\left( \dfrac{-2}{a} \right) > 0$ falls $a > 0$.
Für $a < 0$ besitzt $f_a$ an der Stelle $x_E = \dfrac{-2}{a}$ eine Maximalstelle. Für $a > 0$ besitzt $f_a$ dort eine Minimalstelle.
4. Schritt: Vollständige Koordinaten berechnen
Setze die Extremstelle nun in $f_a(x)$ ein:
$\begin{array}[t]{rll} f_a\left(\dfrac{-2}{a}\right)&=&\left( \dfrac{-2}{a} + \dfrac{1}{a}\right)\cdot \mathrm{e}^{a\cdot \left(\frac{-2}{a}\right)} \\[5pt] &=&\dfrac{-1}{a} \cdot \mathrm{e}^{-2} \\[5pt] &=&\dfrac{-1}{a\mathrm{e}^{2}} \end{array}$
$ f_a\left(\dfrac{-2}{a}\right) =\dfrac{-1}{a\mathrm{e}^{2}} $
Der Graph von $f_a$ besitzt einen Extrempunkt mit den Koordinaten $P\left(\dfrac{-2}{a}\,\bigg \vert \,\dfrac{-1}{a\mathrm{e}^{2}}\right)$. Für $a< 0$ handelt es sich dabei um einen Hochpunkt, für $a > 0$ um einen Tiefpunkt.
$\blacktriangleright$  Koordinaten der Wendepunkte bestimmen
Für eine Wendestelle $x_W$ gibt es ebenfalls zwei Kriterien:
  • Notwendiges Kriterium: $f''(x_W)=0$
  • Hinreichendes Kriterium: $f'''(x_W)\neq 0$
Du kannst also ähnlich wie oben vorgehen:
  1. Bilde die dritte Ableitung $f_a'''$.
  2. Bestimme mit dem notwendigen Kriterium mögliche Wendestellen von $f_a$.
  3. Überprüfe das hinreichende Kriterium.
  4. Berechne die zugehörigen $y$-Koordinaten.
1. Schritt: Ableitung bilden
Auch hier kannst du die Produktregel anwenden:
$\begin{array}[t]{rll} f_a'''(x)&=& a^2\cdot \mathrm{e}^{ax} + (3a + a^2x)\cdot a\cdot \mathrm{e}^{ax} \\[5pt] &=&\left(a^2 +3a^2 +a^3x\right) \cdot \mathrm{e}^{ax}\\[5pt] &=&\left( 4a^2 +a^3x\right) \cdot \mathrm{e}^{ax} \\[5pt] \end{array}$
$ f_a'''(x) = \left( 4a^2 +a^3x\right) \cdot \mathrm{e}^{ax} $
2. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden
Setze jetzt $f_a''(x)=0$:
$\begin{array}[t]{rll} \left( 3a + a^2x \right)\cdot \mathrm{e}^{ax}&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; : \mathrm{e}^{ax}\neq 0 \\[5pt] 3a + a^2x &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; -3a \\[5pt] a^2x&=&-3a &\quad \scriptsize \mid\; :a^2\\[5pt] x&=&\dfrac{-3}{a} \\[5pt] \end{array}$
$ x = \dfrac{-3}{a}$
3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen
Setze nun in $f_a'''(x)$ ein:
$\begin{array}[t]{rll} f_a'''\left( \dfrac{-3}{a}\right)&=& \left(4a^2 + a^3\cdot\left( \dfrac{-3}{a}\right)\right) \cdot \mathrm{e}^{a\cdot \left(\frac{-3}{a}\right)} \\[5pt] &=& a^2\cdot \mathrm{e}^{-3} \\[5pt] & >& 0 \\[5pt] \end{array}$
$ f_a'''\left( \dfrac{-3}{a}\right) = a^2\cdot \mathrm{e}^{-3} > 0$
Auch für negative $a$ ist dieser Term immer positiv, also ist $f_a'''\left( \dfrac{-3}{a}\right) \neq 0$. Damit handelt es sich bei $x = \dfrac{-3}{a}$ tatsächlich um eine Wendestelle.
4. Schritt: Koordinaten berechnen
Setze nun die Wendestelle noch in $f_a$ ein, um die Koordinaten des Wendepunkts zu vervollständigen:
$\begin{array}[t]{rll} f_a\left(\dfrac{-3}{a}\right)&=& \left( \dfrac{-3}{a} + \dfrac{1}{a}\right)\cdot \mathrm{e}^{a\cdot\left(\frac{-3}{a}\right)} \\[5pt] &=&\dfrac{-2}{a} \cdot \mathrm{e}^{-3} \\[5pt] \end{array}$
$ f_a\left(\dfrac{-3}{a}\right) =\dfrac{-2}{a} \cdot \mathrm{e}^{-3} $
Der Graph von $f_a$ besitzt einen Wendepunkt mit den Koordinaten $W \left( \dfrac{-3}{a}\,\bigg \vert \,\dfrac{-2}{a} \cdot \mathrm{e}^{-3} \right)$.
#nullstelle#extrempunkt
b)
(1)
$\blacktriangleright$  Koordinaten angeben
Du sollst die Koordinaten des Schnittpunkts mit der $y$-Achse angeben. Ein solcher Schnittpunkt hat immer die $x$-Koordinate Null. Setze also $x =0$ in den Funktionsterm $f_a(x)$ ein:
$\begin{array}[t]{rll} f_a(0)&=&\left(0 + \dfrac{1}{a} \right)\cdot \mathrm{e}^{a\cdot 0} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{a} \\[5pt] \end{array}$
Der Graph von $f_a$ schneidet die $y$-Achse im Punkt $S_a\left(0 \,\bigg \vert \, \dfrac{1}{a} \right)$.
(2)
$\blacktriangleright$  Tangentengleichung aufstellen
Gesucht ist eine Tangente $t_a$ an den Graphen von $f_a$ im Punkt $S_a$. Diese Tangente ist eine Gerade mit folgenden Eigenschaften:
  • Der Punkt $S_a$ liegt auf $t_a$.
  • $t_a$ besitzt die gleiche Steigung wie der Graph von $f_a$ im Punkt $S_a$.
Die Koordinaten von $S_a$ hast du bereits berechnet: $S_a\left(0 \,\bigg \vert \, \dfrac{1}{a} \right)$. Da es sich bei der Tangente um eine Gerade handelt, kannst du hier die Punkt-Steigungsform verwenden, um eine Geradengleichung zu bestimmen:
$t_a:\quad y= m\cdot (x-x_{S_a}) + y_{S_a}$
$t_a:\quad y= m\cdot (x-x_S) + y_S$
Berechne also die Steigung der Tangente als $m = f_a'(0)$ und setze dann zusammen mit den Koordinaten von $S_a$ in die Formel ein.
$\begin{array}[t]{rll} m&=& f_a'(0)\\[5pt] &=&\left(2+ a\cdot 0\right)\cdot \mathrm{e}^{a\cdot 0} \\[5pt] &=& 2 \\[5pt] \end{array}$
Einsetzen in die Formel liefert nun:
$\begin{array}[t]{rll} t_a: \quad y &=& m\cdot (x-x_{S_a}) + y_{S_a} \\[5pt] &=&2\cdot (x-0) + \dfrac{1}{a} \\[5pt] &=& 2x + \dfrac{1}{a}\\[5pt] \end{array}$
Eine Gleichung der Tangente $t_a$ an den Graphen von $f_a$ im Punkt $S_a$ lautet wie folgt:
$t_a: \quad y = 2x + \dfrac{1}{a}$
(3)
$\blacktriangleright$ Flächeninhalt berechnen
Abb. 1: Dreieck
Abb. 1: Dreieck
Berechne also nun für die $x$-Koordinate von $Q_a$ die Nullstelle von $t_a$:
$\begin{array}[t]{rll} 0&=&2x + \dfrac{1}{a} &\quad \scriptsize \mid\;-\dfrac{1}{a}\\[5pt] -\dfrac{1}{a}&=&2x &\quad \scriptsize \mid\;:2 \\[5pt] \dfrac{-1}{2a}&=& x \\[5pt] \end{array}$
Also ist $\left| \overline{Q_aO}\right| = \dfrac{1}{2a}$
Einsetzen in die Formel liefert nun:
$\begin{array}[t]{rll} D(a)&=& \dfrac{1}{2} \cdot \left| \overline{Q_aO}\right|\cdot\left| \overline{S_aO}\right| \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2a}\cdot \dfrac{1}{a}\\[5pt] &=& \dfrac{1}{4a^2} \end{array}$
Der Flächeninhalt des Dreiecks kann in Abhängigkeit von $a$ durch $D(a)=\dfrac{1}{4a^2} $ dargestellt werden.
#schnittpunkt#tangente
c)
(1)
$\blacktriangleright$  Stammfunktion ermitteln
Du sollst eine Stammfunktion von $f_a$ ermitteln. Betrachtest du den Funktionsterm genauer, fällt dir auf, dass es sich bei $f_a(x)$ um ein Produkt handelt, bei dem einer der Faktoren $\left(x+\dfrac{1}{a}\right)$ ein Polynom ist. Wende hier also die partielle Integration an.
$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_{}^{}f_a(x)\;\mathrm dx&=&\displaystyle\int_{}^{}\left(x+\dfrac{1}{a}\right)\cdot \mathrm{e}^{ax}\;\mathrm dx&\quad \scriptsize \text{partielle Integration} \\[5pt] &=&\left(x+\dfrac{1}{a}\right)\cdot \dfrac{1}{a}\cdot \mathrm e^{ax} - \displaystyle\int_{}^{}1\cdot\dfrac{1}{a}\cdot \mathrm e^{ax} \;\mathrm dx \\[5pt] &=&\left(x+\dfrac{1}{a}\right)\cdot \dfrac{1}{a}\cdot \mathrm e^{ax} -\dfrac{1}{a^2}\cdot \mathrm e^{ax} +C \\[5pt] &=& x\cdot \dfrac{1}{a}\cdot \mathrm e^{ax} + \dfrac{1}{a^2}\cdot \mathrm e^{ax}- \dfrac{1}{a^2}\cdot \mathrm e^{ax} +C \\[5pt] &=&x\cdot \dfrac{1}{a}\cdot \mathrm e^{ax} +C\\[5pt] \end{array}$
$ \displaystyle\int_{}^{}f_a(x)\;\mathrm dx = x\cdot \dfrac{1}{a}\cdot \mathrm e^{ax} +C $
Eine mögliche Stammfunktion von $f_a$ ist $F_a(x)= x\cdot \dfrac{1}{a}\cdot \mathrm e^{ax}$.
(2)
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt bestimmen
Abb. 2: Fläche unter dem Graphen
Abb. 2: Fläche unter dem Graphen
$\begin{array}[t]{rll} A(a)&=& \left|\displaystyle\int_{\frac{-1}{a}}^{0}f_a\;\mathrm dx \right|\\[5pt] &=& \left|F_a(0) - F_a\left(\frac{-1}{a}\right) \right|\\[5pt] &=& \left|0\cdot \dfrac{1}{a}\cdot \mathrm e^{a\cdot 0}-\left( \dfrac{-1}{a}\right)\cdot \dfrac{1}{a}\cdot \mathrm e^{a\cdot\left(\frac{-1}{a}\right)}\right| \\[5pt] &=& \dfrac{1}{a^2}\cdot \mathrm{e}^{-1} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{\mathrm{e}\cdot a^2} \end{array}$
$ A(a)= \dfrac{1}{\mathrm{e}\cdot a^2}$
Der Inhalt der Fläche, die der Graph von $f_a$ mit den Koordinatenachsen einschließt, ergibt sich als $A(a)= \dfrac{1}{\mathrm{e}\cdot a^2}$ .
$\blacktriangleright$  $\boldsymbol{a}$ berechnen
Um alle $a$ zu berechnen, für die $A(a)=\mathrm{e}$ ist, setze den eben berechneten Term für $A(a)$ gleich $\mathrm{e}$.
$\begin{array}[t]{rll} A(a)&=&\mathrm{e} \\[5pt] \dfrac{1}{\mathrm{e}\cdot a^2}&=& \mathrm{e} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot a^2\\[5pt] \dfrac{1}{\mathrm{e}}&=& \mathrm{e}\cdot a^2&\quad \scriptsize \mid\; : \mathrm{e}\\[5pt] \dfrac{1}{\mathrm{e}^2}&=& a^2 \\[5pt] \end{array}$
Also ist sowohl für $a = \dfrac{1}{\mathrm{e}}$ und $a = \dfrac{-1}{\mathrm{e}}$ der Flächeninhalt $A(a) = \mathrm{e}$.
#stammfunktion
d)
(1)
$\blacktriangleright$  Gleichung nachweisen
Du sollst nachweisen, dass $g(-x) = -h(x)$ gilt. Forme also $g(-x)$ so weit um, bis du $-h(x)$ erhältst.
$\begin{array}[t]{rll} g(x)&=& (x-1)\cdot\mathrm{e}^{-x} \\[10pt] h(x)&=& (x+1)\cdot \mathrm{e}^x \\[10pt] g(-x)&=&(-x-1)\cdot \mathrm{e}^{-(-x)} \\[5pt] &=&-(x+1)\cdot \mathrm{e}^x \\[5pt] &=& -h(x)\\[5pt] \end{array}$
Also ist $g(-x)=-h(x)$.
$\blacktriangleright$  Aussage interpretieren
Dir sollte auffallen, dass die obige Gleichung Ähnlichkeit mit der Definition der Punktsymmetrie eines Graphen zum Ursprung aufweist.
Der Graph von $g$ geht also aus dem Graphen von $h$ durch Spiegelung am Ursprung hervor.
(2)
$\blacktriangleright$  Ungleichung beweisen
Um die Korrektheit der Ungleichung zu beweisen, beginne mit einem der beiden Funktionsterme, beispielsweise $h(x)$, und schätze schrittweise einzelne Summanden des Terms ab. Beachte dabei, dass in der Aufgabenstellung $x \geq 0$ vorgegeben ist.
Es ist $ h(x) = (x+1)\cdot \mathrm{e}^x = x\cdot \mathrm{e}^x + \mathrm{e}^x $
Da $\mathrm{e}^x $ in jedem Fall positiv ist, wird zu $x\cdot \mathrm{e}^x$ immer etwas positives addiert, also ist
$h(x) = x\cdot \mathrm{e}^x + \mathrm{e}^x > x\cdot \mathrm{e}^x$
Weil $x \geq 0$ gilt, ist $\mathrm{e}^x \geq \mathrm{e}^{-x}$ und damit dann auch $ x\cdot \mathrm{e}^x \geq x\cdot \mathrm{e}^{-x}$ .
Subtrahierst du davon nun wieder etwas, also zum Beispiel $\mathrm{e}^{-x}$, so wird das Ergebnis wieder kleiner:
$x\cdot \mathrm{e}^{-x} > x\cdot \mathrm{e}^{-x} - \mathrm{e}^{-x} $
Insgesamt gilt also folgender Zusammenhang:
$\begin{array}[t]{rll} h(x) &=& (x+1)\cdot \mathrm{e}^x \\[5pt] &=&x\cdot \mathrm{e}^x + \mathrm{e}^x\\[5pt] &>& x\cdot \mathrm{e}^x \\[5pt] &>&x\cdot \mathrm{e}^{-x} \\[5pt] &>& x\cdot \mathrm{e}^{-x} - \mathrm{e}^{-x} \\[5pt] &=&(x-1)\cdot \mathrm{e}^{-x} \\[5pt] &=& g(x) \\[5pt] \end{array}$
(3)
$\blacktriangleright$  Term für den Flächeninhalt zeigen
Abb. 3: Fläche zwischen den Graphen
Abb. 3: Fläche zwischen den Graphen
Beachtest du, dass $h(x)= f_1(x)$ und $g(x)=f_{-1}(x)$, dann kannst du die Stammfunktion aus c) (1) verwenden.
$\begin{array}[t]{rll} I(u)&=& \displaystyle\int_{0}^{u}(h(x)-g(x))\;\mathrm dx &\quad \scriptsize \mid\; h(x) > g(x) \text{ für } x\geq 0\\[5pt] &=& \displaystyle\int_{0}^{u}h(x)\;\mathrm dx -\displaystyle\int_{0}^{u}g(x)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \displaystyle\int_{0}^{u}f_1(x)\;\mathrm dx- \displaystyle\int_{0}^{u}f_{-1}(x)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& F_{1}(u)-F_1(0)-\left[ F_{-1}(u)- F_{-1}(0)\right] \\[5pt] &=& u\cdot \dfrac{1}{1}\cdot \mathrm e^{1\cdot u}- 0\cdot \dfrac{1}{1}\cdot \mathrm e^{1\cdot 0} - \left[u\cdot \dfrac{1}{-1}\cdot \mathrm e^{-1\cdot u}- 0\cdot\dfrac{1}{-1}\cdot \mathrm e^{-1\cdot 0} \right] \\[5pt] &=&u\cdot \mathrm{e}^u+ u\cdot \mathrm{e}^{-u} \\[5pt] &=& u\cdot \left(\mathrm{e}^u +\mathrm{e}^{-u}\right) \\[5pt] \end{array}$
$ I(u)=… $
Insgesamt gilt daher $I(u)= u\cdot \left(\mathrm{e}^u +\mathrm{e}^{-u}\right)$.
$\blacktriangleright$ Monotonie begründen
Du sollst zeigen, dass $I$ streng monoton steigend ist. Da die erste Ableitung die Steigung des Graphen beschreibt, kannst du diese betrachten. Der Graph einer Funktion $f$ steigt streng monoton, wenn für die erste Ableitungsfunktion gilt:
$f'(x) > 0 $
$f'(x) > 0 $
Bilde also die erste Ableitungsfunktion von $I$ mit der Produktregel und schätze den Funktionsterm nach unten ab. Beachte dabei, dass $u > 0$ ist.
$\begin{array}[t]{rll} I'(u)&=& 1\cdot \left(\mathrm{e}^u + \mathrm{e}^{-u}\right)+u\cdot \left( \mathrm{e}^u - \mathrm{e}^{-u}\right) \\[5pt] &=&\underbrace{\mathrm{e}^u}_{> 0} +\underbrace{\mathrm{e}^{-u}}_{> 0}+ \underbrace{u}_{> 0}\cdot \underbrace{\left( \mathrm{e}^u - \mathrm{e}^{-u}\right)}_{> 0} &\quad \mathrm{e}^{u} > \mathrm{e}^{-u} \\[5pt] &>& 0 \\[5pt] \end{array}$
$ I'(u) > 0$
Da $I'(u) > 0$ für alle $u > 0$ ist, ist $I$ streng monoton steigend.
#stammfunktion#monotonie
Bildnachweise [nach oben]
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a)
(1)
$\blacktriangleright$  Nullstelle nachweisen
Du sollst zeigen, dass $x_0= -\dfrac{1}{a}$ die einzige Nullstelle von $f_a$ ist. Setze dazu $f_a(x)=0$. Du kannst hier den Satz vom Nullprodukt anwenden. Beachte, dass der Term $\mathrm{e} ^x$ nicht den Wert Null annehmen kann.
$\begin{array}[t]{rll} 0&=&f_a(x) \\[5pt] 0&=& \left( x + \dfrac{1}{a}\right)\cdot \mathrm{e}^{ax}&\quad \scriptsize \mid\; :\mathrm{e}^{ax}\neq 0 \\[5pt] 0&=& x+ \dfrac{1}{a}&\quad \scriptsize \mid\;-\dfrac{1}{a} \\[5pt] -\dfrac{1}{a}&=&x \\[5pt] \end{array}$
$ -\dfrac{1}{a}=x $
Es kann nur der Faktor $ \left( x + \dfrac{1}{a}\right)$ Null werden. Die Gleichung $x + \dfrac{1}{a} = 0$ besitzt nur die Lösung $x_0 = -\dfrac{1}{a}$. Demnach ist dies die einzige Nullstelle von $f_a$.
(2)
$\blacktriangleright$ Koordinaten der Extrempunkte angeben
Du sollst die Koordinaten und Art der lokalen Extrempunkte angeben. Für eine Extremstelle $x_E$ gibt es die folgenden beiden Kriterien:
  • Notwendiges Kriterium: $f'(x_E)= 0$
  • Hinreichendes Kriterium: $f''(x_E)\neq 0$
    • $f''(x_E) < 0$: Bei $x_E$ liegt ein Hochpunkt.
    • $f''(x_E) > 0$: Bei $x_E$ liegt ein Tiefpunkt.
Du kannst also wie folgt vorgehen:
  1. Bilde die ersten beiden Ableitungsfunktionen von $f_a$.
  2. Wende das notwendige Kriterium an, um mögliche Extremstellen zu bestimmen.
  3. Überprüfe das hinreichende Kriterium und bestimme so die Art der Extrempunkte.
  4. Berechne die vollständigen Koordinaten durch Einsetzen der Extremstellen in $f_a(x)$.
1. Schritt: Ableitungen bilden
Du kannst die Produktregel anwenden:
$\begin{array}[t]{rll} f_a(x)&=& \left( x + \dfrac{1}{a}\right)\cdot \mathrm{e}^{ax} \\[10pt] f_a'(x)&=&1\cdot \mathrm{e}^{ax} + \left( x + \dfrac{1}{a}\right)\cdot a\cdot \mathrm{e}^{ax} \\[5pt] &=& \left( 1+ax + \dfrac{1}{a}\cdot a\right)\cdot \mathrm{e}^{ax} \\[5pt] &=& \left( 2+ax \right)\cdot \mathrm{e}^{ax} \\[10pt] f_a''(x)&=& a\cdot\mathrm{e}^{ax} + \left( 2+ax \right)\cdot a\cdot \mathrm{e}^{ax} \\[5pt] &=& \left( a + 2a+a^2x \right)\cdot \mathrm{e}^{ax} \\[5pt] &=& \left( 3a + a^2x \right)\cdot \mathrm{e}^{ax}\\[5pt] \end{array}$
$ $\begin{array}[t]{rll} f_a(x)&=& \left( x + \dfrac{1}{a}\right)\cdot \mathrm{e}^{ax} \\[10pt] f_a'(x) &=& \left( 2+ax \right)\cdot \mathrm{e}^{ax} \\[10pt] f_a''(x) &=& \left( 3a + a^2x \right)\cdot \mathrm{e}^{ax}\\[5pt] \end{array}$ $
2. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden
Setze $f_a'(x) =0$ und löse nach $x$:
$\begin{array}[t]{rll} f_a'(x)&=&0 \\[5pt] \left( 2+ax \right)\cdot \mathrm{e}^{ax}&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; :\mathrm{e}^{ax} \neq 0\\[5pt] 2+ax&=& 0&\quad \scriptsize \mid\; -2\\[5pt] ax&=&-2 &\quad \scriptsize \mid\; :a \neq 0\\[5pt] x&=&\dfrac{-2}{a} \\[5pt] \end{array}$
$ x=\dfrac{-2}{a} $
3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen
Setze nun $x_E=\dfrac{-2}{a}$ in den Funktionsterm $f_a''(x)$ ein:
$\begin{array}[t]{rll} f_a''\left( \dfrac{-2}{a} \right)&=& \left( 3a + a^2\cdot \left(\dfrac{-2}{a}\right) \right)\cdot \mathrm{e}^{a\cdot \left(\frac{-2}{a}\right)} \\[5pt] &=& a\cdot \mathrm{e}^{-2} \\[5pt] \end{array}$
$ f_a''\left( \dfrac{-2}{a} \right) = a\cdot \mathrm{e}^{-2} \neq 0 $
Es ist $\mathrm{e}^{-2} < 0$, also $f_a''\left( \dfrac{-2}{a} \right) = a\cdot \mathrm{e}^{-2} < 0 $ falls $a < 0$ und $f_a''\left( \dfrac{-2}{a} \right) > 0$ falls $a > 0$.
Für $a < 0$ besitzt $f_a$ an der Stelle $x_E = \dfrac{-2}{a}$ eine Maximalstelle. Für $a > 0$ besitzt $f_a$ dort eine Minimalstelle.
4. Schritt: Vollständige Koordinaten berechnen
Setze die Extremstelle nun in $f_a(x)$ ein:
$\begin{array}[t]{rll} f_a\left(\dfrac{-2}{a}\right)&=&\left( \dfrac{-2}{a} + \dfrac{1}{a}\right)\cdot \mathrm{e}^{a\cdot \left(\frac{-2}{a}\right)} \\[5pt] &=&\dfrac{-1}{a} \cdot \mathrm{e}^{-2} \\[5pt] &=&\dfrac{-1}{a\mathrm{e}^{2}} \end{array}$
$ f_a\left(\dfrac{-2}{a}\right) =\dfrac{-1}{a\mathrm{e}^{2}} $
Der Graph von $f_a$ besitzt einen Extrempunkt mit den Koordinaten $P\left(\dfrac{-2}{a}\,\bigg \vert \,\dfrac{-1}{a\mathrm{e}^{2}}\right)$. Für $a< 0$ handelt es sich dabei um einen Hochpunkt, für $a > 0$ um einen Tiefpunkt.
$\blacktriangleright$  Koordinaten der Wendepunkte bestimmen
Für eine Wendestelle $x_W$ gibt es ebenfalls zwei Kriterien:
  • Notwendiges Kriterium: $f''(x_W)=0$
  • Hinreichendes Kriterium: $f'''(x_W)\neq 0$
Du kannst also ähnlich wie oben vorgehen:
  1. Bilde die dritte Ableitung $f_a'''$.
  2. Bestimme mit dem notwendigen Kriterium mögliche Wendestellen von $f_a$.
  3. Überprüfe das hinreichende Kriterium.
  4. Berechne die zugehörigen $y$-Koordinaten.
1. Schritt: Ableitung bilden
Auch hier kannst du die Produktregel anwenden:
$\begin{array}[t]{rll} f_a'''(x)&=& a^2\cdot \mathrm{e}^{ax} + (3a + a^2x)\cdot a\cdot \mathrm{e}^{ax} \\[5pt] &=&\left(a^2 +3a^2 +a^3x\right) \cdot \mathrm{e}^{ax}\\[5pt] &=&\left( 4a^2 +a^3x\right) \cdot \mathrm{e}^{ax} \\[5pt] \end{array}$
$ f_a'''(x) = \left( 4a^2 +a^3x\right) \cdot \mathrm{e}^{ax} $
2. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden
Setze jetzt $f_a''(x)=0$:
$\begin{array}[t]{rll} \left( 3a + a^2x \right)\cdot \mathrm{e}^{ax}&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; : \mathrm{e}^{ax}\neq 0 \\[5pt] 3a + a^2x &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; -3a \\[5pt] a^2x&=&-3a &\quad \scriptsize \mid\; :a^2\\[5pt] x&=&\dfrac{-3}{a} \\[5pt] \end{array}$
$ x = \dfrac{-3}{a}$
3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen
Setze nun in $f_a'''(x)$ ein:
$\begin{array}[t]{rll} f_a'''\left( \dfrac{-3}{a}\right)&=& \left(4a^2 + a^3\cdot\left( \dfrac{-3}{a}\right)\right) \cdot \mathrm{e}^{a\cdot \left(\frac{-3}{a}\right)} \\[5pt] &=& a^2\cdot \mathrm{e}^{-3} \\[5pt] & >& 0 \\[5pt] \end{array}$
$ f_a'''\left( \dfrac{-3}{a}\right) = a^2\cdot \mathrm{e}^{-3} > 0$
Auch für negative $a$ ist dieser Term immer positiv, also ist $f_a'''\left( \dfrac{-3}{a}\right) \neq 0$. Damit handelt es sich bei $x = \dfrac{-3}{a}$ tatsächlich um eine Wendestelle.
4. Schritt: Koordinaten berechnen
Setze nun die Wendestelle noch in $f_a$ ein, um die Koordinaten des Wendepunkts zu vervollständigen:
$\begin{array}[t]{rll} f_a\left(\dfrac{-3}{a}\right)&=& \left( \dfrac{-3}{a} + \dfrac{1}{a}\right)\cdot \mathrm{e}^{a\cdot\left(\frac{-3}{a}\right)} \\[5pt] &=&\dfrac{-2}{a} \cdot \mathrm{e}^{-3} \\[5pt] \end{array}$
$ f_a\left(\dfrac{-3}{a}\right) =\dfrac{-2}{a} \cdot \mathrm{e}^{-3} $
Der Graph von $f_a$ besitzt einen Wendepunkt mit den Koordinaten $W \left( \dfrac{-3}{a}\,\bigg \vert \,\dfrac{-2}{a} \cdot \mathrm{e}^{-3} \right)$.
#wendepunkt#extrempunkt#nullstelle
b)
(1)
$\blacktriangleright$  Koordinaten angeben
Du sollst die Koordinaten des Schnittpunkts mit der $y$-Achse angeben. Ein solcher Schnittpunkt hat immer die $x$-Koordinate Null. Setze also $x =0$ in den Funktionsterm $f_a(x)$ ein:
$\begin{array}[t]{rll} f_a(0)&=&\left(0 + \dfrac{1}{a} \right)\cdot \mathrm{e}^{a\cdot 0} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{a} \\[5pt] \end{array}$
Der Graph von $f_a$ schneidet die $y$-Achse im Punkt $S_a\left(0 \,\bigg \vert \, \dfrac{1}{a} \right)$.
(2)
$\blacktriangleright$  Tangentengleichung aufstellen
Gesucht ist eine Tangente $t_a$ an den Graphen von $f_a$ im Punkt $S_a$. Diese Tangente ist eine Gerade mit folgenden Eigenschaften:
  • Der Punkt $S_a$ liegt auf $t_a$.
  • $t_a$ besitzt die gleiche Steigung wie der Graph von $f_a$ im Punkt $S_a$.
Die Koordinaten von $S_a$ hast du bereits berechnet: $S_a\left(0 \,\bigg \vert \, \dfrac{1}{a} \right)$. Da es sich bei der Tangente um eine Gerade handelt, kannst du hier die Punkt-Steigungsform verwenden, um eine Geradengleichung zu bestimmen:
$t_a:\quad y= m\cdot (x-x_{S_a}) + y_{S_a}$
$t_a:\quad y= m\cdot (x-x_S) + y_S$
Berechne also die Steigung der Tangente als $m = f_a'(0)$ und setze dann zusammen mit den Koordinaten von $S_a$ in die Formel ein.
$\begin{array}[t]{rll} m&=& f_a'(0)\\[5pt] &=&\left(2+ a\cdot 0\right)\cdot \mathrm{e}^{a\cdot 0} \\[5pt] &=& 2 \\[5pt] \end{array}$
Einsetzen in die Formel liefert nun:
$\begin{array}[t]{rll} t_a: \quad y &=& m\cdot (x-x_{S_a}) + y_{S_a} \\[5pt] &=&2\cdot (x-0) + \dfrac{1}{a} \\[5pt] &=& 2x + \dfrac{1}{a}\\[5pt] \end{array}$
Eine Gleichung der Tangente $t_a$ an den Graphen von $f_a$ im Punkt $S_a$ lautet wie folgt:
$t_a: \quad y = 2x + \dfrac{1}{a}$
(3)
$\blacktriangleright$ Flächeninhalt berechnen
Abb. 1: Dreieck
Abb. 1: Dreieck
Berechne also nun für die $x$-Koordinate von $Q_a$ die Nullstelle von $t_a$:
$\begin{array}[t]{rll} 0&=&2x + \dfrac{1}{a} &\quad \scriptsize \mid\;-\dfrac{1}{a}\\[5pt] -\dfrac{1}{a}&=&2x &\quad \scriptsize \mid\;:2 \\[5pt] \dfrac{-1}{2a}&=& x \\[5pt] \end{array}$
Also ist $\left| \overline{Q_aO}\right| = \dfrac{1}{2a}$
Einsetzen in die Formel liefert nun:
$\begin{array}[t]{rll} D(a)&=& \dfrac{1}{2} \cdot \left| \overline{Q_aO}\right|\cdot\left| \overline{S_aO}\right| \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2a}\cdot \dfrac{1}{a}\\[5pt] &=& \dfrac{1}{4a^2} \end{array}$
Der Flächeninhalt des Dreiecks kann in Abhängigkeit von $a$ durch $D(a)=\dfrac{1}{4a^2} $ dargestellt werden.
#tangente
c)
(1)
$\blacktriangleright$  Stammfunktion ermitteln
Du sollst eine Stammfunktion von $f_a$ ermitteln. Betrachtest du den Funktionsterm genauer, fällt dir auf, dass es sich bei $f_a(x)$ um ein Produkt handelt, bei dem einer der Faktoren $\left(x+\dfrac{1}{a}\right)$ ein Polynom ist. Wende hier also die partielle Integration an.
$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_{}^{}f_a(x)\;\mathrm dx&=&\displaystyle\int_{}^{}\left(x+\dfrac{1}{a}\right)\cdot \mathrm{e}^{ax}\;\mathrm dx&\quad \scriptsize \text{partielle Integration} \\[5pt] &=&\left(x+\dfrac{1}{a}\right)\cdot \dfrac{1}{a}\cdot \mathrm e^{ax} - \displaystyle\int_{}^{}1\cdot\dfrac{1}{a}\cdot \mathrm e^{ax} \;\mathrm dx \\[5pt] &=&\left(x+\dfrac{1}{a}\right)\cdot \dfrac{1}{a}\cdot \mathrm e^{ax} -\dfrac{1}{a^2}\cdot \mathrm e^{ax} +C \\[5pt] &=& x\cdot \dfrac{1}{a}\cdot \mathrm e^{ax} + \dfrac{1}{a^2}\cdot \mathrm e^{ax}- \dfrac{1}{a^2}\cdot \mathrm e^{ax} +C \\[5pt] &=&x\cdot \dfrac{1}{a}\cdot \mathrm e^{ax} +C\\[5pt] \end{array}$
$ \displaystyle\int_{}^{}f_a(x)\;\mathrm dx = x\cdot \dfrac{1}{a}\cdot \mathrm e^{ax} +C $
Eine mögliche Stammfunktion von $f_a$ ist $F_a(x)= x\cdot \dfrac{1}{a}\cdot \mathrm e^{ax}$.
(2)
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt bestimmen
Abb. 2: Fläche unter dem Graphen
Abb. 2: Fläche unter dem Graphen
$\begin{array}[t]{rll} A(a)&=& \left|\displaystyle\int_{\frac{-1}{a}}^{0}f_a\;\mathrm dx \right|\\[5pt] &=& \left|F_a(0) - F_a\left(\frac{-1}{a}\right) \right|\\[5pt] &=& \left|0\cdot \dfrac{1}{a}\cdot \mathrm e^{a\cdot 0}-\left( \dfrac{-1}{a}\right)\cdot \dfrac{1}{a}\cdot \mathrm e^{a\cdot\left(\frac{-1}{a}\right)}\right| \\[5pt] &=& \dfrac{1}{a^2}\cdot \mathrm{e}^{-1} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{\mathrm{e}\cdot a^2} \end{array}$
$ A(a)= \dfrac{1}{\mathrm{e}\cdot a^2}$
Der Inhalt der Fläche, die der Graph von $f_a$ mit den Koordinatenachsen einschließt, ergibt sich als $A(a)= \dfrac{1}{\mathrm{e}\cdot a^2}$ .
$\blacktriangleright$  $\boldsymbol{a}$ berechnen
Um alle $a$ zu berechnen, für die $A(a)=\mathrm{e}$ ist, setze den eben berechneten Term für $A(a)$ gleich $\mathrm{e}$.
$\begin{array}[t]{rll} A(a)&=&\mathrm{e} \\[5pt] \dfrac{1}{\mathrm{e}\cdot a^2}&=& \mathrm{e} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot a^2\\[5pt] \dfrac{1}{\mathrm{e}}&=& \mathrm{e}\cdot a^2&\quad \scriptsize \mid\; : \mathrm{e}\\[5pt] \dfrac{1}{\mathrm{e}^2}&=& a^2 \\[5pt] \end{array}$
Also ist sowohl für $a = \dfrac{1}{\mathrm{e}}$ und $a = \dfrac{-1}{\mathrm{e}}$ der Flächeninhalt $A(a) = \mathrm{e}$.
#stammfunktion
d)
(1)
$\blacktriangleright$  Gleichung nachweisen
Du sollst nachweisen, dass $g(-x) = -h(x)$ gilt. Forme also $g(-x)$ so weit um, bis du $-h(x)$ erhältst.
$\begin{array}[t]{rll} g(x)&=& (x-1)\cdot\mathrm{e}^{-x} \\[10pt] h(x)&=& (x+1)\cdot \mathrm{e}^x \\[10pt] g(-x)&=&(-x-1)\cdot \mathrm{e}^{-(-x)} \\[5pt] &=&-(x+1)\cdot \mathrm{e}^x \\[5pt] &=& -h(x)\\[5pt] \end{array}$
Also ist $g(-x)=-h(x)$.
$\blacktriangleright$  Aussage interpretieren
Dir sollte auffallen, dass die obige Gleichung Ähnlichkeit mit der Definition der Punktsymmetrie eines Graphen zum Ursprung aufweist.
Der Graph von $g$ geht also aus dem Graphen von $h$ durch Spiegelung am Ursprung hervor.
(2)
$\blacktriangleright$  Ungleichung beweisen
Um die Korrektheit der Ungleichung zu beweisen, beginne mit einem der beiden Funktionsterme, beispielsweise $h(x)$, und schätze schrittweise einzelne Summanden des Terms ab. Beachte dabei, dass in der Aufgabenstellung $x \geq 0$ vorgegeben ist.
Es ist $ h(x) = (x+1)\cdot \mathrm{e}^x = x\cdot \mathrm{e}^x + \mathrm{e}^x $
Da $\mathrm{e}^x $ in jedem Fall positiv ist, wird zu $x\cdot \mathrm{e}^x$ immer etwas positives addiert, also ist
$h(x) = x\cdot \mathrm{e}^x + \mathrm{e}^x > x\cdot \mathrm{e}^x$
Weil $x \geq 0$ gilt, ist $\mathrm{e}^x \geq \mathrm{e}^{-x}$ und damit dann auch $ x\cdot \mathrm{e}^x \geq x\cdot \mathrm{e}^{-x}$ .
Subtrahierst du davon nun wieder etwas, also zum Beispiel $\mathrm{e}^{-x}$, so wird das Ergebnis wieder kleiner:
$x\cdot \mathrm{e}^{-x} > x\cdot \mathrm{e}^{-x} - \mathrm{e}^{-x} $
Insgesamt gilt also folgender Zusammenhang:
$\begin{array}[t]{rll} h(x) &=& (x+1)\cdot \mathrm{e}^x \\[5pt] &=&x\cdot \mathrm{e}^x + \mathrm{e}^x\\[5pt] &>& x\cdot \mathrm{e}^x \\[5pt] &>&x\cdot \mathrm{e}^{-x} \\[5pt] &>& x\cdot \mathrm{e}^{-x} - \mathrm{e}^{-x} \\[5pt] &=&(x-1)\cdot \mathrm{e}^{-x} \\[5pt] &=& g(x) \\[5pt] \end{array}$
(3)
$\blacktriangleright$  Term für den Flächeninhalt zeigen
Abb. 3: Fläche zwischen den Graphen
Abb. 3: Fläche zwischen den Graphen
Beachtest du, dass $h(x)= f_1(x)$ und $g(x)=f_{-1}(x)$, dann kannst du die Stammfunktion aus c) (1) verwenden.
$\begin{array}[t]{rll} I(u)&=& \displaystyle\int_{0}^{u}(h(x)-g(x))\;\mathrm dx &\quad \scriptsize \mid\; h(x) > g(x) \text{ für } x\geq 0\\[5pt] &=& \displaystyle\int_{0}^{u}h(x)\;\mathrm dx -\displaystyle\int_{0}^{u}g(x)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \displaystyle\int_{0}^{u}f_1(x)\;\mathrm dx- \displaystyle\int_{0}^{u}f_{-1}(x)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& F_{1}(u)-F_1(0)-\left[ F_{-1}(u)- F_{-1}(0)\right] \\[5pt] &=& u\cdot \dfrac{1}{1}\cdot \mathrm e^{1\cdot u}- 0\cdot \dfrac{1}{1}\cdot \mathrm e^{1\cdot 0} - \left[u\cdot \dfrac{1}{-1}\cdot \mathrm e^{-1\cdot u}- 0\cdot\dfrac{1}{-1}\cdot \mathrm e^{-1\cdot 0} \right] \\[5pt] &=&u\cdot \mathrm{e}^u+ u\cdot \mathrm{e}^{-u} \\[5pt] &=& u\cdot \left(\mathrm{e}^u +\mathrm{e}^{-u}\right) \\[5pt] \end{array}$
$ I(u)=… $
Insgesamt gilt daher $I(u)= u\cdot \left(\mathrm{e}^u +\mathrm{e}^{-u}\right)$.
$\blacktriangleright$ Monotonie begründen
Du sollst zeigen, dass $I$ streng monoton steigend ist. Da die erste Ableitung die Steigung des Graphen beschreibt, kannst du diese betrachten. Der Graph einer Funktion $f$ steigt streng monoton, wenn für die erste Ableitungsfunktion gilt:
$f'(x) > 0 $
$f'(x) > 0 $
Bilde also die erste Ableitungsfunktion von $I$ mit der Produktregel und schätze den Funktionsterm nach unten ab. Beachte dabei, dass $u > 0$ ist.
$\begin{array}[t]{rll} I'(u)&=& 1\cdot \left(\mathrm{e}^u + \mathrm{e}^{-u}\right)+u\cdot \left( \mathrm{e}^u - \mathrm{e}^{-u}\right) \\[5pt] &=&\underbrace{\mathrm{e}^u}_{> 0} +\underbrace{\mathrm{e}^{-u}}_{> 0}+ \underbrace{u}_{> 0}\cdot \underbrace{\left( \mathrm{e}^u - \mathrm{e}^{-u}\right)}_{> 0} &\quad \mathrm{e}^{u} > \mathrm{e}^{-u} \\[5pt] &>& 0 \\[5pt] \end{array}$
$ I'(u) > 0$
Da $I'(u) > 0$ für alle $u > 0$ ist, ist $I$ streng monoton steigend.
#integral#monotonie
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