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Aufgabe 2

Aufgaben
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Aufgabenstellung
Eine Familie will ihren Bedarf an Wärmeenergie (thermischer Energie) für Heizung und Warmwasser teilweise durch eine thermische Solaranlage (kurz: Solaranlage) decken. Anhand der Angaben des Solaranlagenherstellers und der Verbrauchswerte der Familie aus dem letzten Kalenderjahr wurde das folgende Modell für ein beispielhaftes Kalenderjahr aufgestellt.
Die Leistung der Solaranlage wird durch die Funktion $f$ mit der Gleichung
$f(t)=t^{4}-24t^{3}+144t^{2}+400$,  $t\in\mathbb{R}$,
und der thermische Leistungsbedarf der Familie (kurz: Leistungsbedarf) durch die Funktion $g$ mit der Gleichung
$g(t)=-t^{4}+26t^{3}-167,5t^{2}-12,5t+2.053$,   $t\in\mathbb{R}$,
modelliert, und zwar für das Zeitintervall $[0;12]$, das dem Kalenderjahr entspricht.
Dabei fasst man $t$ als Maßzahl zur Einheit $1$ Monat und $f(t)$ sowie $g(t)$ als Maßzahlen zur Einheit $1$ Kilowattstunde pro Monat [kWh/Monat] auf. (Im Modell umfasst jeder Monat $30$ Tage.) Der Zeitpunkt $t=0$ entspricht dem Beginn des Kalenderjahres.
Die Graphen von $f$ und $g$ sind in der Abbildung 1 unten dargestellt.
a) (1)  Vergleiche die Graphen von $f$ und $g$ im Sachzusammenhang.
(5P)
(2)  Bestimme den Zeitpunkt der maximalen Leistung der Solaranlage und berechne den Maximalwert.
(8P)
(3)  Ermittle den Zeitpunkt im Intervall [$0;12$], zu dem der durch $g$ beschriebene Leistungsbedarf der Familie innerhalb dieses Kalenderjahres am stärksten abnimmt.
(9P)
Durch das Integral $\mathop{\displaystyle\int}\limits_{a}^{b}f(t)\, \mathrm dt$ ist im Sachzusammenhang die aus der Solaranlage im Zeitintervall $[a; b]$ abrufbare Energie und durch das Integral $\mathop{\displaystyle\int}\limits_{a}^{b}g(t)\, \mathrm dt$ der Energiebedarf der Familie im Zeitintervall $[a; b]$ für $0\leq a< b \leq 12$ in Kilowattstunden [kWh] gegeben.
b) (1)  Berechne den Energiebedarf der Familie für das Kalenderjahr.
(4P)
(2)  Im Intervall [$3; 9,5$] wird der Leistungsbedarf der Familie zu jedem Zeitpunkt durch die Solaranlage gedeckt. Die den Bedarf übersteigende Leistung der Solaranlage soll in diesem Zeitraum zusätzlich zum Heizen eines Gartenpools genutzt werden.
Ermittle die Energie, die zum Heizen des Gartenpools im Intervall [$3; 9,5$] zur Verfügung steht.
(6P)
c)  Die Leistung der Solaranlage ist abhängig von der Neigung der aufgestellten Solarmodule. Die Funktion $f_a$ mit der Gleichung
Aufgabe 2
Aufgabe 2
$\;\;\;\,f_a(t)=a\cdot(t^4-24t^3+144t^2+400)-400\cdot (a^2-1)$,    $t\in\mathbb{R}$,    $0,5\leq a\leq 1,5$,
modelliert im Intervall [0;12] diese Leistung für ein Kalenderjahr, wobei der Parameter $a$ eine Kennzahl für die Neigung der Solarmodule ist. Jedem Wert des Parameters $a$ kann über die Gleichung $w=116-66\cdot a$ die Maßzahl für den entsprechenden Neigungswinkel in Grad zugeordnet werden.
In der Abbildung 2 sind beispielhaft für zwei Werte von $a$ die Graphen der jeweils zugehörigen Funktion $f_a$ sowie der Graph von $g$ dargestellt.
(1)  Zeige, dass $f$ eine der Funktionen $f_a$ ist, und berechne den zugehörigen Neigungswinkel $w$ der Solarmodule.
(4P)
(2)  Weise nach, dass die in einem Jahr aus der Solaranlage abrufbare Energie für $a=1,364$ (d.h. $w\approx 26\,°$) am größten ist.
(9P)
(3)  Der Solaranlagenhersteller behauptet, dass eine Solaranlage mit einem Neigungswinkel von $50\,°$ den Leistungsbedarf der Familie (ohne Heizung des Gartenpools!) in dem Kalenderjahr besser deckt als eine Solaranlage mit einem Neigungswinkel von $26\,°$.
Begründe diese Behauptung anhand der Graphen in Abbildung 2.
[Eine Rechnung wird hier nicht verlangt.]
(5P)
Aufgabe 2 Abbildung 1
Aufgabe 2 Abbildung 1
Aufgabe 2 Abbildung 2
Aufgabe 2 Abbildung 2
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Tipps
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a)(1) $\blacktriangleright$ Gesuchtes Intervall ermitteln
Anhand von Abbildung 1 erkennst du, dass der Graph von $p_{2,5}$ eine nach oben geöffnete Parabel ist. Da der Koeffizient von $x^2$ unabhängig von $a$ ist, ist auch $p_a$ eine nach oben geöffnete Parabel. Somit musst du noch die Nullstellen der Funktionsgleichung von $p_a$ bestimmen, welche dir die Grenzen des gesuchten Intervalls liefern.
(2) $\blacktriangleright$  Gleichung für $\boldsymbol{f'_a(x)}$ zeigen
Leite $f_a$ mit Hilfe der Produktregel ab und forme um, damit du die gesuchte Form von $f'_a$ erhältst.
(3) $\blacktriangleright$  Lokale Extremstellen von $\boldsymbol{f_a}$ bestimmen
Gesucht sind die Extremstellen der Funktion $f_a$. Um eine Extremstelle $x_{\text{E}}$ einer Funktion $f_a$ zu bestimmen, musst du Folgendes überprüfen:
  • Notwendige Bedingung: $f_a'(x_{\text{E}}) = 0$
  • Hinreichende Bedingung:
    • $f_a''(x_{\text{E}}) < 0$ $\Rightarrow$ Hochpunkt des Graphen von $f_a$ an der Stelle $x_{\text{E}}$.
      $f_a''(x_{\text{E}}) > 0$ $\Rightarrow$ Tiefpunkt des Graphen von $f_a$ an der Stelle $x_{\text{E}}$
    • Oder: Vorzeichen-Wechsel der ersten Ableitung:
      Wert der ersten Ableitung von $f_a$ vor der Stelle $x_{\text{E}}$ positiv und nach $x_{\text{E}}$ negativ $\Rightarrow$ $x_{\text{E}}$ Hochpunkt des Graphen.
      Wert der ersten Ableitung von $f_a$ vor der Stelle $x_{\text{E}}$ negativ und nach $x_{\text{E}}$ positiv $\Rightarrow$ $x_{\text{E}}$ Tiefpunkt des Graphen.
Nutze zudem dein Wissen über die 1. Ableitung $f'_a$ aus den beiden vorangegangenen Aufgabenteilen.
b)(1) $\blacktriangleright$ Gesuchtes $\boldsymbol{a}$ ermitteln
Du sollst das $a > 0$ ermitteln, für das $f_a$ genau eine Nullstelle hat. Bestimme dazu mit dem Satz vom Nullprodukt die Form einer Nullstelle von $f_a$. Nutze auch die PQ-Formel oder die Mitternachtsformel. Damit die Nullstelle eindeutig ist, muss die Diskriminante der Nullstelle gleich Null sein.
(2) $\blacktriangleright$  Berechnen der zugehörigen Nullstelle
Du kennst aus dem vorigen Aufgabenteil bereits die Form einer Nullstelle von $f_a$ in Abhängigkeit von $a$. Setze nun das ermittelte $a=2$ ein, um die gesuchte Nullstelle zu berechnen.
c)(1) $\blacktriangleright$ Stammfunktion von $\boldsymbol{h_a}$ ermitteln
Der Funktionsterm von $h_a$ ist ein Produkt. Wähle also die partielle Integration als Integrationsverfahren. Dabei gilt:
$\displaystyle\int u' \cdot v = u \cdot v - \displaystyle\int u \cdot v'$
Fasse als $u'$ diejenige Funktion auf, die leicht zu integrieren ist und als $v$ die Funktion, die beim Ableiten vereinfacht wird.
(2) $\blacktriangleright$  Flächeninhalt $\boldsymbol{A(a)}$ berechnen
Du sollst den Flächeninhalt $A(a)$ der Fläche, die von den Graphen der Funktionen $f_a$ und $k$ eingeschlossen wird, berechnen.
  • Nutze dazu die Funktion $h_a$, die in der Aufgabenstellung als Differenz von $f_a$ und $k$ definiert wird.
  • Eine Stammfunktion $H_a$ hast du bereits im ersten Aufgabenteil berechnet.
  • Die Grenzen der eingeschlossenen Fläche erhältst du, indem du die beiden Stellen $x_1$ und $x_2$, an denen sich die Funktionen schneiden, berechnest.
Integrieren der Funktion $h_a$ mit den Schnittstellen der beiden Funktionen als Grenzen liefert dir $A(a)$:
$A(a)=\left| \, \displaystyle\int_{x_1}^{x_2} h_a(x) \;\mathrm dx \, \right|$
d)(1) $\blacktriangleright$ Stammfunktion von $\boldsymbol{f_{2,5}}$ ermitteln
Du sollst eine Stammfunktion von $f_{2,5}$ mit Hilfe der Aufgabe c)(1) ermitteln. Du kennst bereits eine Stammfunktion von $h_a$ und kannst eine Stammfunktion von $k$ berechnen. In der Aufgabenstellung von c) hast du Folgendes gegeben:
$h_{a}(x)= f_a(x) - k(x)$
Forme dies nach $f_a$ um und setze $a=2,5$ ein.
Mit dem Hauptsatz der Integralrechnung und der Linearität des Integrals kannst du $\displaystyle\int f_{2,5}(x) \;\mathrm dx$ berechnen.
(2) $\blacktriangleright$  Gesuchten Flächeninhalt berechnen
Der Flächeninhalt, der vom Graphen von $f_{2,5}$ und der $x$-Achse eingeschlossen wird, ist gesucht.
  • Das Integral einer Funktion gibt dir die Fläche zwischen $x$-Achse und dem Graphen der Funktion an. Integriere also über $f_{2,5}$.
  • Im ersten Aufgabenteil hast du bereits eine Stammfunktion $F_{2,5}$ von $f_{2,5}$ berechnet.
  • Da die Schnittpunkte von $f_{2,5}$ und der $x$-Achse gerade die Nullstellen der Funktion $f_{2,5}$ sind, liefern diese die Integrationsgrenzen.
  • Die Nullstellen von $f_a$ hast du bereits in der Aufgabe b)(1) berechnet, somit musst du noch $a=2,5$ einsetzen.
Das Integral von $f_{2,5}$ mit den Nullstellen von $f_{2,5}$ als Integrationsgrenzen liefert dir also den Flächeninhalt der eingeschlossenen Fläche.
(3) $\blacktriangleright$  Verhältnis von größeren zur kleineren Teilfläche berechnen
Um das Verhältnis der beiden Flächen zueinander zu berechnen, benötigst du den Inhalt der beiden Flächen:
  • Den Inhalt der kleineren Fläche, also von der $x$-Achse und dem Graphen von $f_{2,5}$ eingeschlossenen Fläche hast du im zweiten Aufgabenteil berechnet, dieser beträgt $0,17$ Flächeneinheiten.
  • Den Inhalt der gesamten schraffierten Fläche erhältst du durch einsetzen von $a=2,5$ in $A(a)$ aus der Aufgabe c)(2).
  • Der Inhalt der größeren Fläche ergibt sich damit aus der Subtraktion der kleineren Fläche von der gesamten Fläche.
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Lösungen TI
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a)(1)
$\blacktriangleright$ Graphen von $\boldsymbol{f}$ und $\boldsymbol{g}$ im Sachzusammenhang vergleichen
Hier sollst du die Graphen von $f$ und $g$ im Sachzusammenhang vergleichen. Die Funktion $f$ modelliert die Leistung der Solaranlage, die Funktion $g$ den Leistungsbedarf der Familie. Du erkennst, dass in den Intervallen $\left[0;3\right]$ und $\left[9,5;12\right]$ der Graph der Funktion $f$ oberhalb des Graphen von $g$ liegt, im Intervall $\left[3;9,5\right]$ ist es gerade andersrum und der Graph von $g$ liegt über dem Graphen von $f$. Die Graphen von $f$ und $g$ verhalten sich gegenläufig um einen Mittelwert von ca. 1.000.
Im Sachzusammenhang lässt sich dies so deuten, dass im Winter (Intervalle $\left[0;3\right]$ und $\left[9,5;12\right]$) weniger Energie produziert wird als benötigt wird und die Solaranlage den Energiebedarf nicht vollständig deckt. Im Sommer (Intervall $\left[3;9,5\right]$) wird mehr Energie als benötigt produziert und der Energiebedarf wird vollständig gedeckt.
Um den Juni ($t=6$) ist die Leistung der Solaranlage maximal und der Leistungsbedarf minimal. Um den Jahreswechsel ($t=0$ bzw. $t=12$) ist die Leistung der Solaranlage minimal und der Leistungsbedarf maximal.
a)(2)
$\blacktriangleright$  Zeitpunkt maximaler Leistung der Solaranlage und Maximalwert bestimmen
Um die maximale Leistung der Solaranlage und den Maximalwert zu bestimmen, kannst du den Graphen von $f$ auf Hochpunkte per Hand oder mit deinem GTR untersuchen. Um einen Hochpunkt per Hand zu bestimmen, musst du Folgendes überprüfen:
  • Notwendige Bedingung: $f'(x)=0$
  • Hinreichende Bedingung: $f''(x)<0$
Überprüfe zudem, ob das Maximum auf dem Rand des betrachteten Intervalls angenommen wird, indem du die Grenzen des Intervalls in den Funktionsterm von $f$ einsetzt.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg A: Lösen per Hand
1. Schritt: 1. und 2. Ableitung von $\boldsymbol{f}$ ermitteln
Das Polyom $f(t)=t^4 - 24 \cdot t^3 + 144 \cdot t^2 +400$ ist in der Aufgabenstellung gegeben. Daraus folgt für $f'$ und $f''$:
$f'(t)= 4 \cdot t^3 - 72 \cdot t^2 +288$
$f''(t)=12 \cdot t^2 - 144 \cdot t +288$
2. Schritt: Notwendige Bedingung anwenden
Setze den Funktionsterm der $1.$ Ableitung $f'$ gleich Null, um mögliche Nullstellen zu bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} f'(t)\stackrel{!}=&0 & \scriptsize \mid\; \text{Funktionsterm von $f'$ einsetzen} \\[5pt] 4 \cdot t^3 - 72 \cdot t^2 +288 \cdot t=&0& \scriptsize \mid\; t \text{ ausklammern} \\[5pt] t \cdot ( 4 \cdot t^2 - 72 \cdot t +288)=&0 \end{array}$
Der Satz vom Nullprodukt liefert dir nun, dass das Produkt genau dann gleich Null ist, wenn einer der beiden Faktoren gleich Null ist. Damit hast du die erste Nullstelle $t_1=0$ bereits ermittelt. Betrachte nun den zweiten Faktor:
$\begin{array}[t]{rll} ( 4 \cdot t^2 - 72 \cdot t +288)\stackrel{!}=&0 & \scriptsize \mid\; :4 \\[5pt] t^2 - 18 \cdot t +72=&0 \end{array}$
Du suchst nun die Nullstellen eines Polynoms $2.$ Grades. Dazu kannst du die PQ-Formel oder die Mitternachtsformel verwenden.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg A: PQ-Formel
Mit $p=-18$ und $q=72$ hat dein Polynom die Form $t^2 + p \cdot t + q$. Also folgt für die Nullstellen:
$\begin{array}[t]{rll} t_{2,3} =& - \dfrac{p}{2} \pm \sqrt {\left( {\frac{p}{2}} \right)^2 - q} & \scriptsize \mid\; p \text{ und } q \text{ einsetzen} \\[5pt] t_{2,3} =& - \dfrac{-18}{2} \pm \sqrt {\left( {\frac{-18}{2}} \right)^2 - 72} \\[5pt] t_{2,3} =& 9 \pm \sqrt { 81 - 72} \\[5pt] t_{2,3} =& 9 \pm 3 \end{array}$
Damit erhältst du die weiteren Nullstellen $t_2=6$ und $t_3=12$.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg B: Mitternachtsformel
Du kannst die Mitternachtsformel hier direkt anwenden, wobei $a=4$, $b=-72$ und $c=288$:
$\begin{array}[t]{rll} t_{2,3} =& \dfrac{{ - (-72) \pm \sqrt {(-72)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 288} }}{{2\cdot 4}}\\[5pt] t_{2,3} =&\dfrac{{ 72 \pm \sqrt {5.184 - 4.608} }}{{8}}\\[5pt] t_{2,3} =&9 \pm \dfrac{\sqrt{576}}{8} \\[5pt] t_{2,3} =&9 \pm \dfrac{24}{8} \\[5pt] t_{2,3} =& 9 \pm 3 \end{array}$
Damit erhältst du die weiteren Nullstellen $t_2=6$ und $t_3=12$.
3. Schritt: Hinreichende Bedingung überprüfen
Überprüfe nun das Vorzeichen von $f''$ an den gefundenen Nullstellen $t_1, t_2$ und $t_3$. Daraus kannst du die Art der Extremstelle folgern.
$f''(t_1)=f''(0)=12 \cdot 0^2 - 144 \cdot 0 +288=288 > 0$
$f''(t_2)=f''(6)=12 \cdot 6^2 - 144 \cdot 6 +288=-144 < 0$
$f''(t_3)=f''(12)=12 \cdot 12^2 - 144 \cdot 12 +288=288 > 0$
Also besitzt die Funktion $f$ an der Stelle $t_2=6$ ein Maximum. Um die vollständigen Koordinaten des Hochpunkts $H$ zu bestimmen, setzt du $t_2=6$ in $f$ ein:
$f(6)=6^4 - 24 \cdot 6^3 + 144 \cdot 6^2 +400=1.696$
4. Schritt: Randwerte überprüfen
Einsetzen der Randstellen $t=0$ und $t=12$ ergibt:
$f(0)=0^4 - 24 \cdot 0^3 + 144 \cdot 0^2 +400=400 <1.696$
$f(12)=12^4 - 24 \cdot 12^3 + 144 \cdot 12^2 +400=400 <1.696$
Damit besitzt der Graph von $f$ einen Hochpunkt mit den Koordinaten $H(6 \mid 1.696)$.
$t_2=6$ (im Monat Juni) ist der Zeitpunkt der maximalen Leistung der Solaranlage und $f(6)=1.696$ der Maximalwert (in $ \frac{\text{kWh}}{\text{Monat}}$).
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg B: Lösen mit dem GTR
Wechsle mit deinem GTR in das GRAPH-Menü und speichere dort den Funktionsterm von $f$. Hast du diesen dort eingegeben, dann stelle das Fenster so ein, dass du den gewünschten Bereich sehen kannst.
Wähle dann unter
6: Graph analysieren $\to$ 3: Maximum
den Befehl zum Bestimmen des Maximums aus und bestätige mit Enter. Gib anschließend deine Intervallgrenzen $t=0$ und $t=12$ ein.
Aufgabe 2
Aufgabe 2
Damit ist $t = 6$ (im Monat Juni) der Zeitpunkt der maximalen Leistung der Solaranlage und $f(6)=1.700$ der Maximalwert (in $ \frac{\text{kWh}}{\text{Monat}}$).
a)(3)
$\blacktriangleright$  Zeitpunkt der größten Abnahme des Leistungsbedarfs ermitteln
Gesucht ist der Zeitpunkt im Intervall $[0;12]$, zu dem der durch $g$ beschriebene Leistungsbedarf am stärksten abnimmt. Die Änderungsrate $g'$ beschreibt die Zu- oder Abnahme des Leistungsbedarf der Familie. Da der Zeitpunkt der stärksten Abnahme gesucht ist, erhältst du diesen durch das Bestimmen des Minimums der Änderungsrate $g'$. Dieses muss negativ sein, damit es sich um eine Abnahme handelt. Leite also $g$ ab und bestimme anschließend die Minimalstelle der Ableitung. Um eine Minimalstelle zu bestimmen, musst du Folgendes überprüfen:
  • Notwendige Bedingung: $g'(x)=0$
  • Hinreichende Bedingung: $g''(x)>0$
Überprüfe zudem, ob das Minimum der 1. Ableitung auf dem Rand des betrachteten Intervalls angenommen wird, indem du die Grenzen des Intervalls in die 1. Ableitung $g'$ einsetzt.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg A: Lösen per Hand
1. Schritt: $1.$, $2.$ und $3.$ Ableitung von $\boldsymbol{g}$ ermitteln
Das Polynom $g$ ist in der Aufgabenstellung gegeben. Damit folgt für die $1.$, $2.$ und $3.$ Ableitung von $g$:
$\begin{array}[t]{rll} g(t)&=-t^4 + 26 \cdot t^3 - 167,5 \cdot t^2 -12,5 \cdot t + 2.053\\[10pt] g'(t)&=-\left(4\cdot t^3\right) + 26 \cdot \left(3 \cdot t^2\right) -167,5 \cdot \left(2 \cdot t\right) - 12,5\\[5pt] &=-4\cdot t^3 + 78\cdot t^2 -335 \cdot t -12,5 \\[10pt] g''(t)&=-4\cdot \left(3\cdot t^2\right) + 78 \cdot \left(2\cdot t\right) - 335 \\[5pt] &=-12 \cdot t^2 + 156 \cdot t -335 \\[10pt] g'''(t)&=-12\cdot \left(2\cdot t\right) + 156 \\[5pt] &=-24 \cdot t + 156 \end{array}$
2. Schritt: Notwendige Bedingung anwenden
Da du das Minimum der Änderungsrate $g'$ suchst, setzt du den Funktionsterm der $2.$ Ableitung $g''$ gleich Null, um mögliche Nullstellen zu bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} g''(t)\stackrel{!}=&0 & \scriptsize \mid\; \text{Funktionsterm von $g''$ einsetzen} \\[5pt] - 12 \cdot t^2 + 156 \cdot t -335=&0& \scriptsize \mid\; :(-12) \\[5pt] t^2 - 13 \cdot t +\dfrac{335}{12}=&0 \end{array}$
Du suchst nun die Nullstellen eines Polynoms $2.$ Grades. Dazu kannst du die PQ-Formel oder die Mitternachtsformel verwenden.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg A: PQ-Formel
Mit $p=-13$ und $q=\dfrac{335}{12}$ hat dein Polynom die Form $t^2 + p \cdot t + q$. Also folgt für die Nullstellen:
$\begin{array}[t]{rll} t_{1,2} =& - \dfrac{p}{2} \pm \sqrt {\left( {\frac{p}{2}} \right)^2 - q} & \scriptsize \mid\; p \text{ und } q \text{ einsetzen} \\[5pt] t_{1,2} =& - \dfrac{-13}{2} \pm \sqrt {\left( {\dfrac{-13}{2}} \right)^2 -\dfrac{335}{12}} \\[5pt] t_{1,2} =& \dfrac{13}{2} \pm \sqrt { {\dfrac{169}{4}} -\dfrac{335}{12}} \\[5pt] t_{1,2} =& \dfrac{13}{2} \pm \sqrt { \dfrac{172}{12}} \\[5pt] t_{1,2} =& \dfrac{13}{2} \pm \sqrt { \dfrac{43}{3}} \end{array}$
Damit erhältst du die Nullstellen $t_1=\dfrac{13}{2} - \sqrt { \dfrac{43}{3}} \approx 2,71$ und $t_2=\dfrac{13}{2} + \sqrt { \dfrac{43}{3}} \approx 10,29$.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg B: Mitternachtsformel
Du kannst die Mitternachtsformel hier direkt anwenden, wobei $a=-12$, $b=156$ und $c=-335$:
$\begin{array}[t]{rll} t_{1,2} =& \dfrac{{ - 156 \pm \sqrt {156^2 - 4 \cdot (-12) \cdot (-335)} }}{{2\cdot (-12)}}\\[5pt] t_{1,2} =&\dfrac{{ 156 \pm \sqrt {24.336 - 16.080} }}{{24}}\\[5pt] t_{1,2} =& \dfrac{13}{2} \pm \dfrac{\sqrt{8.256}}{24} \\[5pt] t_{1,2} =& 6,5 \pm 3,79 \end{array}$
Damit erhältst du die Nullstellen $t_1=\dfrac{13}{2} - \sqrt { \dfrac{43}{3}} \approx 2,71$ und $t_2=\dfrac{13}{2} + \sqrt { \dfrac{43}{3}} \approx 10,29$.
3. Schritt: Hinreichende Bedingung überprüfen
Überprüfe nun das Vorzeichen von $g'''$ an den gefundenen Nullstellen $t_1$ und $t_2$. Daraus kannst du die Art der Extremstelle folgern.
$g'''(t_1)=g'''(2,71)=-24 \cdot 2,71 +156 =90,96 > 0$
$g'''(t_2)=g'''(10,29)=-24 \cdot 10,29 +156 = -90,96 < 0$
Also besitzt die Funktion $g'$ an der Stelle $t_1=2,71$ ein Minimum.
4. Schritt: Randwerte überprüfen
Einsetzen der Minimalstelle $t_1=2,71$ und der Randstellen $t=0$ und $t=12$ in $g'$ ergibt:
$g'(2,71)=-4 \cdot (2,71)^3 +78 \cdot (2,71)^2 - 335 \cdot 2,71 -12,5 \approx -427,12$
$g'(0)=-4 \cdot (0)^3 +78 \cdot (0)^2 - 335 \cdot 0 -12,5 =-12,5> -427,12$
$g'(12)=-4 \cdot (12)^3 +78 \cdot (12)^2 - 335 \cdot 12 -12,5 =287,5> -427,12$
Somit ist $t_1=2,71$ der Zeitpunkt im Intervall $[0;12]$, an dem der Leistungsbedarf der Familie innerhalb dieses Kalenderjahres am stärksten abnimmt.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg B: Lösen mit dem GTR
Berechne wie im Lösungsweg A die erste Ableitung $g'$. Wechsle anschließend mit deinem GTR in das GRAPH-Menü und speichere dort den Funktionsterm von $g'$. Hast du diesen dort eingegeben, dann stelle das Fenster so ein, dass der gewünschte Bereich sichtbar ist.
Wähle dann unter
6: Graph analysieren $\to$ 2: Minimum
den Befehl zum Bestimmen des Minimums aus und bestätige mit Enter. Gib anschließend deine Intervallgrenzen $t=0$ und $t=12$ ein.
Aufgabe 2
Aufgabe 2
Also besitzt die Funktion $g'$ an der Stelle $t_1=2,71$ ein Minimum. Somit ist $t_1=2,71$ der Zeitpunkt im Intervall $[0;12]$, an dem der Leistungsbedarf der Familie innerhalb dieses Kalenderjahres am stärksten abnimmt.
b)(1)
$\blacktriangleright$ Energiebedarf der Familie für das Kalenderjahr berechnen
Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass durch das Integral $\displaystyle\int_{a}^{b} g(t)\;\mathrm dt$ der Energiebedarf der Familie im Zeitintervall $[a;b]$ gegeben ist. Um den Energiebedarf für das Kalenderjahr zu berechnen, berechnest du das Integral mit den Grenzen $0$ und $12$. Nutze dazu den Hauptsatz der Integralrechnung.
Setze die Grenzen in das Integral ein und berechne:
$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_{0}^{12} g(t)\;\mathrm dt=&\displaystyle\int_{0}^{12} -t^4 + 26 \cdot t^3 -167,5 \cdot t^2 -12,5 \cdot t +2.053 \;\mathrm dt \\[5pt] =& \left[ - \dfrac{1}{5} \cdot t^5 + \dfrac{13}{2} \cdot t^4 -\dfrac{335}{6} \cdot t^3 -6,25 \cdot t^2 +2.053 \cdot t \right]_0^{12} \\[5pt] =&- \dfrac{1}{5} \cdot 12^5 + \dfrac{13}{2} \cdot 12^4 -\dfrac{335}{6} \cdot 12^3 -6,25 \cdot 12^2 +2.053 \cdot 12 \\[5pt] =&-49.766,4 + 134.784 - 96.480 - 900 + 24.636 \\[5pt] =& 12.273,6 \end{array}$
Also beträgt der Energiebedarf der Familie für das Kalenderjahr $12.273,6 \, \text{kWh}$.
b)(2)
$\blacktriangleright$  Berechnen der Energie, die zum Heizen des Pools zur Verfügung steht
Der Pool wird mit der Energie geheizt, welche den Bedarf der Familie übersteigt. Diese Energie ist gerade die Differenz zwischen der von der Solaranlage erzeugten Energie und dem Energiebedarf der Familie. Zum Zeitpunkt $t$ ist diese Leistung somit durch $f(t)-g(t)$ gegeben. Für die überschüssige Energie im Intervall $\left[3;9,5\right]$ berechne das Integral $\displaystyle\int_{3}^{9,5} \left(f(t)-g(t)\right) \;\mathrm dt$. Berechne also zuerst $f(t)-g(t)$. Danach kannst du per Hand oder mit deinem GTR weitermachen.
1. Schritt: $\boldsymbol{f(t)-g(t)}$ berechnen
$\begin{array}[t]{rll} f(t)-g(t)&= \left(t^4-24 \cdot t^3 + 144 \cdot t^2 +400\right)-\left(-t^4 + 26 \cdot t^3 - 167,5 \cdot t^2 -12,5 \cdot t + 2.053\right) \\[5pt] &=2\cdot t^4 - 50 \cdot t^3 + 311,5 \cdot t^2 +12,5 \cdot t -1.653 \end{array}$
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg A: Per Hand
Bestimme nun eine Stammfunktion $(F-G)(t)$ und berechne damit das Integral $\displaystyle\int_{3}^{9,5} \left( f(t) - g(t) \right) \;\mathrm dt$.
2. Schritt: Stammfunktion $\boldsymbol{(F-G)(t)}$ bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_{}^{} \left(f(t)-g(t)\right) \;\mathrm dt&=\displaystyle\int_{}^{}2\cdot t^4 - 50 \cdot t^3 + 311,5 \cdot t^2 +12,5 \cdot t -1.653 \;\mathrm dt\\[5pt] &=\dfrac{1}{5}\cdot 2t^5-\dfrac{1}{4}\cdot 50t^4+ \dfrac{1}{3}\cdot 311,5t^3+\dfrac{1}{2}\cdot12,5t^2-1.653 t +c\\[5pt] &=\dfrac{2}{5}t^5-\dfrac{25}{2}t^4+ \dfrac{623}{6}t^3 +\dfrac{25}{4}t^2-1.653 t +c \end{array}$
Wähle $c=0$ und damit ist $(F-G)(t)=\dfrac{2}{5}t^5-\dfrac{25}{2}t^4+ \dfrac{623}{6}t^3+\dfrac{25}{4}t^2-1.653 t$ eine Stammfunktion von $f-g$.
3. Schritt: Integral $\boldsymbol{\displaystyle\int_{3}^{9,5}\left(f(t)-g(t)\right)\;\mathrm dt}$ berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_{3}^{9,5} \left(f(t)-g(t)\right) \;\mathrm dt&= (F-G)(9,5)-(F-G)(3)\\[5pt] &=\left(\dfrac{2}{5}\cdot 9,5^5-\dfrac{25}{2}\cdot 9,5^4+ \dfrac{623}{6}\cdot 9,5^3+\dfrac{25}{4}\cdot 9,5^2-1.653 \cdot 9,5\right) \\[5pt] &- \left(\dfrac{2}{5}\cdot 3^5-\dfrac{25}{2}\cdot 3^4+ \dfrac{623}{6}\cdot 3^3+\dfrac{25}{4}\cdot 3^2-1.653 \cdot 3\right)\\[5pt] &= 3.022,62 - \left(-3014,55\right)\\[5pt] &= 3.022,62 + 3014,55\\[5pt] &= 6.037,173 \end{array}$
Der Familie stehen somit $6.037,17$ kWh Energie zum Heizen des Pools zur Verfügung.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg B: Lösen mit dem GTR
Wechsle mit deinem GTR in das GRAPH-Menü und speichere dort den Funktionsterm von $f-g$. Hast du diesen dort eingegeben, dann stelle das Fenster so ein, dass der gewünschte Bereich sichtbar ist.
Bestimme dann über
6: Graph analysieren $\to$ 6: Integral
das Integral über $f-g$ in den Grenzen des Intervalls $\left[3;9,5\right]$.
Aufgabe 2
Aufgabe 2
Der Familie stehen somit $6.040$ kWh Energie zum Heizen des Pools zur Verfügung.
c)(1)
$\blacktriangleright$ Zeigen, dass $\boldsymbol{f}$ eine der Funktionen $\boldsymbol{f_a}$ ist und zugehöriges $\boldsymbol{w}$ berechnen
Hier musst du ein $a \in [0,5  1,5]$ finden, sodass $f_a=f$ gilt. Schaue dir dazu die beiden Funktionsgleichungen an und leite anhand des Koeffizienten des Terms mit der höchsten Ordnung ein $a$ her, für das du die Behauptung überprüfst und das zugehörige $w$ berechnest.
Da $t^4$ der Term der höchsten Ordnung von $f$ und $f_a$ ist, wähle $a$ so, dass diese dieselben Koeffizienten besitzen, also $a=1$. Damit gilt:
$f_1(t)=1 \cdot \left(t^4-24 \cdot t^3 + 144 \cdot t^2 +400\right) - 400 \cdot \left(1^2 -1 \right) = t^4-24 \cdot t^3 + 144 \cdot t^2 +400 = f(t)$
Somit hast du die Behauptung nachgewiesen. Berechne nun das zugehörige $w$:
$\begin{array}[t]{rll} w=& 116 - 66 \cdot a & \scriptsize \mid\; a=1 \text{ einsetzen} \\[5pt] =& 116 - 66 \\[5pt] =& 50 \end{array}$
Also beträgt der zugehörige Neigungswinkel $w=50 ^{\circ}$.
c)(2)
$\blacktriangleright$  Maximale in einem Jahr aus der Solaranlage abrufbare Energie für $\boldsymbol{a=1,364}$ nachweisen
Berechne zunächst die für ein beliebiges $f_a$ innerhalb eines Jahres abrufbare Energie durch das Integral $\displaystyle\int_{0}^{12} f_a(t) \;\mathrm dt$. Ermittle für die erhaltene, von $a$ abhängige Funktion das Maximum über $a$. Erhältst du daraus $a=1,364$, hast du die Behauptung nachgewiesen.
1. Schritt: Integral $\boldsymbol{\displaystyle\int_0^{12} f_a(t) \;\mathrm dt}$ berechnen
Mit dem Hauptsatz der Integralrechnung ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_0^{12} f_a(t) \;\mathrm dt=& \displaystyle\int_0^{12} a \cdot \left(t^4-24 \cdot t^3 + 144 \cdot t^2 +400\right) - 400 \cdot \left(a^2 -1 \right) \;\mathrm dt \\[5pt] =&\left[a \cdot \left(\dfrac{1}{5} \cdot t^5 - 6 \cdot t^4 + 48 \cdot t^3 +400 \cdot t \right) - 400 \cdot \left(a^2 -1 \right) \cdot t \right]_0^{12} \\[5pt] =&a \cdot \left(\dfrac{1}{5} \cdot 12^5 - 6 \cdot 12^4 + 48 \cdot 12^3 +400 \cdot 12 \right) - 400 \cdot \left(a^2 -1 \right) \cdot 12 \\[5pt] =& a \cdot \left( \dfrac{65.472}{5}\right) - 4.800 \cdot \left(a^2 -1 \right) \\[5pt] =&:E(a) \end{array}$
Die Funktion $E(a)$ gibt dir nun die in einem Jahr aus der Solaranlage abrufbare Energie in Abhängigkeit von $a$ an. Ermittle also das Maximum von $E(a)$. Dies kannst du per Hand oder mit deinem GTR erledigen.
2. Schritt: Maximum von $\boldsymbol{E(a)}$ bestimmen
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg A: Per Hand
Bestimme das Maximum von $E(a)$, indem du zunächst die notwendige Bedingung anwendest. Bei der Funktion $E(a)$ handelt es sich um eine nach unten geöffnete Parabel. Somit fällt die Überprüfung der hinreichenden Bedingung weg und auch die Überprüfung der Randwerte ist hinfällig.
$\blacktriangleright$  $1.$ Ableitung von $\boldsymbol{E(a)}$ ermitteln
Leite $E(a)$ nach $a$ ab:
$E'(a)= \dfrac{65.472}{5} - 9.600 \cdot a$
$\blacktriangleright$  Notwendige Bedingung anwenden
Setze den Funktionsterm der $1.$ Ableitung $E'$ gleich Null, um mögliche Nullstellen zu bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} E'(a)\stackrel{!}=&0&\scriptsize \mid\; E'(a) \text{ einsetzen} \\[5pt] \dfrac{65.472}{5} - 9.600 \cdot a =&0&\scriptsize \mid\; +9.600 \cdot a \\[5pt] \dfrac{65.472}{5}=&9.600 \cdot a &\scriptsize \mid\; :9.600 \\[5pt] \dfrac{341}{250}=&a \\[5pt] 1,364=&a \end{array}$
Damit kommt nur $a=1,364$ als Maximum in Frage. Aufgrund der Parabelform von $E(a)$ besitzt die Funktion an der Stelle $a=1,364$ eine Maximalstelle.
Damit hast du nachgewiesen, dass die in einem Jahr aus der Solaranlage abrufbare Energie für $a=1,364$ $(w=116-66 \cdot 1,364 \approx 26^{\circ})$ am größten ist.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg B: Lösen mit dem GTR
Wechsle mit deinem GTR in das GRAPH-Menü und speichere dort den Funktionsterm von $E$. Hast du diesen dort eingegeben, dann stelle das Fenster so ein, dass du den gewünschten Bereich sehen kannst.
Wähle dann unter
6: Graph analysieren $\to$ 3: Maximum
den Befehl zum Bestimmen des Maximums aus und bestätige mit Enter. Gib anschließend deine Intervallgrenzen $a=0,5$ und $a=1,5$ ein.
Aufgabe 2
Aufgabe 2
Damit hast du nachgewiesen, dass die in einem Jahr aus der Solaranlage abrufbare Energie für $a=1,364$ $(w=116-66 \cdot 1,364 \approx 26^{\circ})$ am größten ist.
c)(3)
$\blacktriangleright$  Behauptung des Solaranlagenherstellers begründen
Abbildung 2 liefert dir den Graphen $f_1$ für den Neigungswinkel $w=50^{\circ}$ und den Graphen $f_{1,364}$ für $w=26^{\circ}$. Die von der Solaranlage mit dem entsprechenden Neigungswinkel bereitgestellte Energie wird durch die Flächen unterhalb der entsprechenden Graphen dargestellt. Zudem ist der Energiebedarf der Familie durch die Fläche unterhalb des Graphen der Funktion $g$ dargestellt.
Nun erkennst du anhand der Abbildung 2, dass die Fläche unterhalb des Graphen von $f_1$ einen größeren Anteil an der Fläche unterhalb von $g$ überdeckt als die Fläche unterhalb von $f_{1,364}$.
Damit deckt über das ganze Kalenderjahr die Solaranlage mit Neigungswinkel $50^{\circ}$ einen höheren Anteil am Leistungsbedarf der Familie als die Solaranlage mit Neigungswinkel $26^{\circ}$.
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a)(1)
$\blacktriangleright$ Graphen von $\boldsymbol{f}$ und $\boldsymbol{g}$ im Sachzusammenhang vergleichen
Hier sollst du die Graphen von $f$ und $g$ im Sachzusammenhang vergleichen. Die Funktion $f$ modelliert die Leistung der Solaranlage, die Funktion $g$ den Leistungsbedarf der Familie. Du erkennst, dass in den Intervallen $\left[0;3\right]$ und $\left[9,5;12\right]$ der Graph der Funktion $f$ oberhalb des Graphen von $g$ liegt, im Intervall $\left[3;9,5\right]$ ist es gerade andersrum und der Graph von $g$ liegt über dem Graphen von $f$. Die Graphen von $f$ und $g$ verhalten sich gegenläufig um einen Mittelwert von ca. 1.000.
Im Sachzusammenhang lässt sich dies so deuten, dass im Winter (Intervalle $\left[0;3\right]$ und $\left[9,5;12\right]$) weniger Energie produziert wird als benötigt wird und die Solaranlage den Energiebedarf nicht vollständig deckt. Im Sommer (Intervall $\left[3;9,5\right]$) wird mehr Energie als benötigt produziert und der Energiebedarf wird vollständig gedeckt.
Um den Juni ($t=6$) ist die Leistung der Solaranlage maximal und der Leistungsbedarf minimal. Um den Jahreswechsel ($t=0$ bzw. $t=12$) ist die Leistung der Solaranlage minimal und der Leistungsbedarf maximal.
a)(2)
$\blacktriangleright$  Zeitpunkt maximaler Leistung der Solaranlage und Maximalwert bestimmen
Um die maximale Leistung der Solaranlage und den Maximalwert zu bestimmen, kannst du den Graphen von $f$ auf Hochpunkte per Hand oder mit deinem GTR untersuchen. Um einen Hochpunkt per Hand zu bestimmen, musst du Folgendes überprüfen:
  • Notwendige Bedingung: $f'(x)=0$
  • Hinreichende Bedingung: $f''(x)<0$
Überprüfe zudem, ob das Maximum auf dem Rand des betrachteten Intervalls angenommen wird, indem du die Grenzen des Intervalls in den Funktionsterm von $f$ einsetzt.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg A: Lösen per Hand
1. Schritt: 1. und 2. Ableitung von $\boldsymbol{f}$ ermitteln
Das Polyom $f(t)=t^4 - 24 \cdot t^3 + 144 \cdot t^2 +400$ ist in der Aufgabenstellung gegeben. Daraus folgt für $f'$ und $f''$:
$f'(t)= 4 \cdot t^3 - 72 \cdot t^2 +288$
$f''(t)=12 \cdot t^2 - 144 \cdot t +288$
2. Schritt: Notwendige Bedingung anwenden
Setze den Funktionsterm der $1.$ Ableitung $f'$ gleich Null, um mögliche Nullstellen zu bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} f'(t)\stackrel{!}=&0 & \scriptsize \mid\; \text{Funktionsterm von $f'$ einsetzen} \\[5pt] 4 \cdot t^3 - 72 \cdot t^2 +288 \cdot t=&0& \scriptsize \mid\; t \text{ ausklammern} \\[5pt] t \cdot ( 4 \cdot t^2 - 72 \cdot t +288)=&0 \end{array}$
Der Satz vom Nullprodukt liefert dir nun, dass das Produkt genau dann gleich Null ist, wenn einer der beiden Faktoren gleich Null ist. Damit hast du die erste Nullstelle $t_1=0$ bereits ermittelt. Betrachte nun den zweiten Faktor:
$\begin{array}[t]{rll} ( 4 \cdot t^2 - 72 \cdot t +288)\stackrel{!}=&0 & \scriptsize \mid\; :4 \\[5pt] t^2 - 18 \cdot t +72=&0 \end{array}$
Du suchst nun die Nullstellen eines Polynoms $2.$ Grades. Dazu kannst du die PQ-Formel oder die Mitternachtsformel verwenden.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg A: PQ-Formel
Mit $p=-18$ und $q=72$ hat dein Polynom die Form $t^2 + p \cdot t + q$. Also folgt für die Nullstellen:
$\begin{array}[t]{rll} t_{2,3} =& - \dfrac{p}{2} \pm \sqrt {\left( {\frac{p}{2}} \right)^2 - q} & \scriptsize \mid\; p \text{ und } q \text{ einsetzen} \\[5pt] t_{2,3} =& - \dfrac{-18}{2} \pm \sqrt {\left( {\frac{-18}{2}} \right)^2 - 72} \\[5pt] t_{2,3} =& 9 \pm \sqrt { 81 - 72} \\[5pt] t_{2,3} =& 9 \pm 3 \end{array}$
Damit erhältst du die weiteren Nullstellen $t_2=6$ und $t_3=12$.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg B: Mitternachtsformel
Du kannst die Mitternachtsformel hier direkt anwenden, wobei $a=4$, $b=-72$ und $c=288$:
$\begin{array}[t]{rll} t_{2,3} =& \dfrac{{ - (-72) \pm \sqrt {(-72)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 288} }}{{2\cdot 4}}\\[5pt] t_{2,3} =&\dfrac{{ 72 \pm \sqrt {5.184 - 4.608} }}{{8}}\\[5pt] t_{2,3} =&9 \pm \dfrac{\sqrt{576}}{8} \\[5pt] t_{2,3} =&9 \pm \dfrac{24}{8} \\[5pt] t_{2,3} =& 9 \pm 3 \end{array}$
Damit erhältst du die weiteren Nullstellen $t_2=6$ und $t_3=12$.
3. Schritt: Hinreichende Bedingung überprüfen
Überprüfe nun das Vorzeichen von $f''$ an den gefundenen Nullstellen $t_1, t_2$ und $t_3$. Daraus kannst du die Art der Extremstelle folgern.
$f''(t_1)=f''(0)=12 \cdot 0^2 - 144 \cdot 0 +288=288 > 0$
$f''(t_2)=f''(6)=12 \cdot 6^2 - 144 \cdot 6 +288=-144 < 0$
$f''(t_3)=f''(12)=12 \cdot 12^2 - 144 \cdot 12 +288=288 > 0$
Also besitzt die Funktion $f$ an der Stelle $t_2=6$ ein Maximum. Um die vollständigen Koordinaten des Hochpunkts $H$ zu bestimmen, setzt du $t_2=6$ in $f$ ein:
$f(6)=6^4 - 24 \cdot 6^3 + 144 \cdot 6^2 +400=1.696$
4. Schritt: Randwerte überprüfen
Einsetzen der Randstellen $t=0$ und $t=12$ ergibt:
$f(0)=0^4 - 24 \cdot 0^3 + 144 \cdot 0^2 +400=400 <1.696$
$f(12)=12^4 - 24 \cdot 12^3 + 144 \cdot 12^2 +400=400 <1.696$
Damit besitzt der Graph von $f$ einen Hochpunkt mit den Koordinaten $H(6 \mid 1.696)$.
$t_2=6$ (im Monat Juni) ist der Zeitpunkt der maximalen Leistung der Solaranlage und $f(6)=1.696$ der Maximalwert (in $ \frac{\text{kWh}}{\text{Monat}}$).
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg B: Lösen mit dem GTR
Wechsle mit deinem GTR in den Graph-Modus und speichere dort den Funktionsterm von $f$. Hast du diesen dort gespeichert, gib unter
SHIFT $\to$ F3 (V-Window)
die Intervallgrenzen $t=0$ und $t=12$ ein. Wechsle wieder in das Y=-Menü und lass dir den zugehörigen Graph über DRAW anzeigen.
Wähle dann unter
SHIFT $\to$ F5 (G-Solv) $\to$ F2 (MAX)
den Befehl zum Bestimmen des Maximums aus.
Aufgabe 2
Aufgabe 2
Damit ist $t \approx 6$ (im Monat Juni) der Zeitpunkt der maximalen Leistung der Solaranlage und $f(6)=1.696$ der Maximalwert (in $ \frac{\text{kWh}}{\text{Monat}}$).
a)(3)
$\blacktriangleright$  Zeitpunkt der größten Abnahme des Leistungsbedarfs ermitteln
Gesucht ist der Zeitpunkt im Intervall $[0;12]$, zu dem der durch $g$ beschriebene Leistungsbedarf am stärksten abnimmt. Die Änderungsrate $g'$ beschreibt die Zu- oder Abnahme des Leistungsbedarf der Familie. Da der Zeitpunkt der stärksten Abnahme gesucht ist, erhältst du diesen durch das Bestimmen des Minimums der Änderungsrate $g'$. Dieses muss negativ sein, damit es sich um eine Abnahme handelt. Leite also $g$ ab und bestimme anschließend die Minimalstelle der Ableitung. Um eine Minimalstelle zu bestimmen, musst du Folgendes überprüfen:
  • Notwendige Bedingung: $g'(x)=0$
  • Hinreichende Bedingung: $g''(x)>0$
Überprüfe zudem, ob das Minimum der 1. Ableitung auf dem Rand des betrachteten Intervalls angenommen wird, indem du die Grenzen des Intervalls in die 1. Ableitung $g'$ einsetzt.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg A: Lösen per Hand
1. Schritt: $1.$, $2.$ und $3.$ Ableitung von $\boldsymbol{g}$ ermitteln
Das Polynom $g$ ist in der Aufgabenstellung gegeben. Damit folgt für die $1.$, $2.$ und $3.$ Ableitung von $g$:
$\begin{array}[t]{rll} g(t)&=-t^4 + 26 \cdot t^3 - 167,5 \cdot t^2 -12,5 \cdot t + 2.053\\[10pt] g'(t)&=-\left(4\cdot t^3\right) + 26 \cdot \left(3 \cdot t^2\right) -167,5 \cdot \left(2 \cdot t\right) - 12,5\\[5pt] &=-4\cdot t^3 + 78\cdot t^2 -335 \cdot t -12,5 \\[10pt] g''(t)&=-4\cdot \left(3\cdot t^2\right) + 78 \cdot \left(2\cdot t\right) - 335 \\[5pt] &=-12 \cdot t^2 + 156 \cdot t -335 \\[10pt] g'''(t)&=-12\cdot \left(2\cdot t\right) + 156 \\[5pt] &=-24 \cdot t + 156 \end{array}$
2. Schritt: Notwendige Bedingung anwenden
Da du das Minimum der Änderungsrate $g'$ suchst, setzt du den Funktionsterm der $2.$ Ableitung $g''$ gleich Null, um mögliche Nullstellen zu bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} g''(t)\stackrel{!}=&0 & \scriptsize \mid\; \text{Funktionsterm von $g''$ einsetzen} \\[5pt] - 12 \cdot t^2 + 156 \cdot t -335=&0& \scriptsize \mid\; :(-12) \\[5pt] t^2 - 13 \cdot t +\dfrac{335}{12}=&0 \end{array}$
Du suchst nun die Nullstellen eines Polynoms $2.$ Grades. Dazu kannst du die PQ-Formel oder die Mitternachtsformel verwenden.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg A: PQ-Formel
Mit $p=-13$ und $q=\dfrac{335}{12}$ hat dein Polynom die Form $t^2 + p \cdot t + q$. Also folgt für die Nullstellen:
$\begin{array}[t]{rll} t_{1,2} =& - \dfrac{p}{2} \pm \sqrt {\left( {\frac{p}{2}} \right)^2 - q} & \scriptsize \mid\; p \text{ und } q \text{ einsetzen} \\[5pt] t_{1,2} =& - \dfrac{-13}{2} \pm \sqrt {\left( {\dfrac{-13}{2}} \right)^2 -\dfrac{335}{12}} \\[5pt] t_{1,2} =& \dfrac{13}{2} \pm \sqrt { {\dfrac{169}{4}} -\dfrac{335}{12}} \\[5pt] t_{1,2} =& \dfrac{13}{2} \pm \sqrt { \dfrac{172}{12}} \\[5pt] t_{1,2} =& \dfrac{13}{2} \pm \sqrt { \dfrac{43}{3}} \end{array}$
Damit erhältst du die Nullstellen $t_1=\dfrac{13}{2} - \sqrt { \dfrac{43}{3}} \approx 2,71$ und $t_2=\dfrac{13}{2} + \sqrt { \dfrac{43}{3}} \approx 10,29$.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg B: Mitternachtsformel
Du kannst die Mitternachtsformel hier direkt anwenden, wobei $a=-12$, $b=156$ und $c=-335$:
$\begin{array}[t]{rll} t_{1,2} =& \dfrac{{ - 156 \pm \sqrt {156^2 - 4 \cdot (-12) \cdot (-335)} }}{{2\cdot (-12)}}\\[5pt] t_{1,2} =&\dfrac{{ 156 \pm \sqrt {24.336 - 16.080} }}{{24}}\\[5pt] t_{1,2} =& \dfrac{13}{2} \pm \dfrac{\sqrt{8.256}}{24} \\[5pt] t_{1,2} =& 6,5 \pm 3,79 \end{array}$
Damit erhältst du die Nullstellen $t_1=\dfrac{13}{2} - \sqrt { \dfrac{43}{3}} \approx 2,71$ und $t_2=\dfrac{13}{2} + \sqrt { \dfrac{43}{3}} \approx 10,29$.
3. Schritt: Hinreichende Bedingung überprüfen
Überprüfe nun das Vorzeichen von $g'''$ an den gefundenen Nullstellen $t_1$ und $t_2$. Daraus kannst du die Art der Extremstelle folgern.
$g'''(t_1)=g'''(2,71)=-24 \cdot 2,71 +156 = 90,96 > 0$
$g'''(t_2)=g'''(10,29)=-24 \cdot 10,29 +156 = -90,96 < 0$
Also besitzt die Funktion $g'$ an der Stelle $t_1=2,71$ ein Minimum.
4. Schritt: Randwerte überprüfen
Einsetzen der Randstellen der Minimalstelle $t_1=2,71$ und der Randstellen $t=0$ und $t=12$ in $g'$ ergibt:
$g'(2,71)=-4 \cdot (2,71)^3 +78 \cdot (2,71)^2 - 335 \cdot 2,71 -12,5 \approx -427,12$
$g'(0)=-4 \cdot (0)^3 +78 \cdot (0)^2 - 335 \cdot 0 -12,5 =-12,5> -427,12$
$g'(12)=-4 \cdot (12)^3 +78 \cdot (12)^2 - 335 \cdot 12 -12,5 =287,5> -427,12$
Somit ist $t_1=2,71$ der Zeitpunkt im Intervall $[0;12]$, an dem der Leistungsbedarf der Familie innerhalb dieses Kalenderjahres am stärksten abnimmt.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg B: Lösen mit dem GTR
Berechne wie im Lösungsweg A die erste Ableitung $g'$. Wechsle anschließend mit deinem GTR in den Graph-Modus und speichere dort den Funktionsterm von $g'$. Hast du diesen dort gespeichert, gib unter
SHIFT $\to$ F3 (V-Window)
die Intervallgrenzen $t=0$ und $t=12$ ein. Wechsle wieder in das Y=-Menü und lass dir den zugehörigen Graph über DRAW anzeigen.
Wähle dann unter
SHIFT $\to$ F5 (G-Solv) $\to$ F3 (MIN)
den Befehl zum Bestimmen des Minimums aus.
Aufgabe 2
Aufgabe 2
Also besitzt die Funktion $g'$ an der Stelle $t_1=2,71$ ein Minimum. Somit ist $t_1=2,71$ der Zeitpunkt im Intervall $[0;12]$, an dem der Leistungsbedarf der Familie innerhalb dieses Kalenderjahres am stärksten abnimmt.
b)(1)
$\blacktriangleright$ Energiebedarf der Familie für das Kalenderjahr berechnen
Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass durch das Integral $\displaystyle\int_{a}^{b} g(t)\;\mathrm dt$ der Energiebedarf der Familie im Zeitintervall $[a;b]$ gegeben ist. Um den Energiebedarf für das Kalenderjahr zu berechnen, berechnest du das Integral mit den Grenzen $0$ und $12$. Nutze dazu den Hauptsatz der Integralrechnung.
Setze die Grenzen in das Integral ein und berechne:
$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_{0}^{12} g(t)\;\mathrm dt=&\displaystyle\int_{0}^{12} -t^4 + 26 \cdot t^3 -167,5 \cdot t^2 -12,5 \cdot t +2.053 \;\mathrm dt \\[5pt] =& \left[ - \dfrac{1}{5} \cdot t^5 + \dfrac{13}{2} \cdot t^4 -\dfrac{335}{6} \cdot t^3 -6,25 \cdot t^2 +2.053 \cdot t \right]_0^{12} \\[5pt] =&- \dfrac{1}{5} \cdot 12^5 + \dfrac{13}{2} \cdot 12^4 -\dfrac{335}{6} \cdot 12^3 -6,25 \cdot 12^2 +2.053 \cdot 12 \\[5pt] =&-49.766,4 + 134.784 - 96.480 - 900 + 24.636 \\[5pt] =& 12.273,6 \end{array}$
Also beträgt der Energiebedarf der Familie für das Kalenderjahr $12.273,6 \, \text{kWh}$.
b)(2)
$\blacktriangleright$  Berechnen der Energie, die zum Heizen des Pools zur Verfügung steht
Der Pool wird mit der Energie geheizt, welche den Bedarf der Familie übersteigt. Diese Energie ist gerade die Differenz zwischen der von der Solaranlage erzeugten Energie und dem Energiebedarf der Familie. Zum Zeitpunkt $t$ ist diese Leistung somit durch $f(t)-g(t)$ gegeben. Für die überschüssige Energie im Intervall $\left[3;9,5\right]$ berechne das Integral $\displaystyle\int_{3}^{9,5} \left(f(t)-g(t)\right) \;\mathrm dt$. Berechne also zuerst $f(t)-g(t)$. Danach kannst du per Hand oder mit deinem GTR weitermachen.
1. Schritt: $\boldsymbol{f(t)-g(t)}$ berechnen
$\begin{array}[t]{rll} f(t)-g(t)&= \left(t^4-24 \cdot t^3 + 144 \cdot t^2 +400\right)-\left(-t^4 + 26 \cdot t^3 - 167,5 \cdot t^2 -12,5 \cdot t + 2.053\right) \\[5pt] &=2\cdot t^4 - 50 \cdot t^3 + 311,5 \cdot t^2 +12,5 \cdot t -1.653 \end{array}$
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg A: Per Hand
Bestimme nun eine Stammfunktion $(F-G)(t)$ und berechne damit das Integral $\displaystyle\int_{3}^{9,5} \left( f(t) - g(t) \right) \;\mathrm dt$.
2. Schritt: Stammfunktion $\boldsymbol{(F-G)(t)}$ bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_{}^{} \left(f(t)-g(t)\right) \;\mathrm dt&=\displaystyle\int_{}^{}2\cdot t^4 - 50 \cdot t^3 + 311,5 \cdot t^2 +12,5 \cdot t -1.653 \;\mathrm dt\\[5pt] &=\dfrac{1}{5}\cdot 2t^5-\dfrac{1}{4}\cdot 50t^4+ \dfrac{1}{3}\cdot 311,5t^3+\dfrac{1}{2}\cdot12,5t^2-1.653 t +c\\[5pt] &=\dfrac{2}{5}t^5-\dfrac{25}{2}t^4+ \dfrac{623}{6}t^3 +\dfrac{25}{4}t^2-1.653 t +c \end{array}$
Wähle $c=0$ und damit ist $(F-G)(t)=\dfrac{2}{5}t^5-\dfrac{25}{2}t^4+ \dfrac{623}{6}t^3+\dfrac{25}{4}t^2-1.653 t$ eine Stammfunktion von $f-g$.
3. Schritt: Integral $\boldsymbol{\displaystyle\int_{3}^{9,5}\left(f(t)-g(t)\right)\;\mathrm dt}$ berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_{3}^{9,5} \left(f(t)-g(t)\right) \;\mathrm dt&= (F-G)(9,5)-(F-G)(3)\\[5pt] &=\left(\dfrac{2}{5}\cdot 9,5^5-\dfrac{25}{2}\cdot 9,5^4+ \dfrac{623}{6}\cdot 9,5^3+\dfrac{25}{4}\cdot 9,5^2-1.653 \cdot 9,5\right) \\[5pt] &- \left(\dfrac{2}{5}\cdot 3^5-\dfrac{25}{2}\cdot 3^4+ \dfrac{623}{6}\cdot 3^3+\dfrac{25}{4}\cdot 3^2-1.653 \cdot 3\right)\\[5pt] &= 3.022,62 - \left(-3014,55\right)\\[5pt] &= 3.022,62 + 3014,55\\[5pt] &= 6.037,173 \end{array}$
Der Familie stehen somit $6.037,17$ kWh Energie zum Heizen des Pools zur Verfügung.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg B: Lösen mit dem GTR
Wechsle mit deinem GTR in den Graph-Modus und speichere dort den Funktionsterm von $f-g$. Hast du diesen dort gespeichert, gib unter
SHIFT $\to$ F3 (V-Window)
die Intervallgrenzen $t=3$ und $t=9,5$ ein. Wechsle wieder in das Y=-Menü und lass dir den zugehörigen Graph über DRAW anzeigen.
Wähle dann unter
SHIFT $\to$ F5 (G-Solv) $\to$ F6 $\to$ F3 ($\displaystyle\int$dx) $\to$ F1 ($\displaystyle\int$dx)
den Befehl zum Berechnen des Integrals aus.
Aufgabe 2
Aufgabe 2
Der Familie stehen somit $6.037,17$ kWh Energie zum Heizen des Pools zur Verfügung.
c)(1)
$\blacktriangleright$ Zeigen, dass $\boldsymbol{f}$ eine der Funktionen $\boldsymbol{f_a}$ ist und zugehöriges $\boldsymbol{w}$ berechnen
Hier musst du ein $a \in [0,5  1,5]$ finden, sodass $f_a=f$ gilt. Schaue dir dazu die beiden Funktionsgleichungen an und leite anhand des Koeffizienten des Terms mit der höchsten Ordnung ein $a$ her, für das du die Behauptung überprüfst und das zugehörige $w$ berechnest.
Da $t^4$ der Term der höchsten Ordnung von $f$ und $f_a$ ist, wähle $a$ so, dass diese dieselben Koeffizienten besitzen, also $a=1$. Damit gilt:
$f_1(t)=1 \cdot \left(t^4-24 \cdot t^3 + 144 \cdot t^2 +400\right) - 400 \cdot \left(1^2 -1 \right) = t^4-24 \cdot t^3 + 144 \cdot t^2 +400 = f(t)$
Somit hast du die Behauptung nachgewiesen. Berechne nun das zugehörige $w$:
$\begin{array}[t]{rll} w=& 116 - 66 \cdot a & \scriptsize \mid\; a=1 \text{ einsetzen} \\[5pt] =& 116 - 66 \\[5pt] =& 50 \end{array}$
Also beträgt der zugehörige Neigungswinkel $w=50 ^{\circ}$.
c)(2)
$\blacktriangleright$  Maximale in einem Jahr aus der Solaranlage abrufbare Energie für $\boldsymbol{a=1,364}$ nachweisen
Berechne zunächst die für ein beliebiges $f_a$ innerhalb eines Jahres abrufbare Energie durch das Integral $\displaystyle\int_{0}^{12} f_a(t) \;\mathrm dt$. Ermittle für die erhaltene, von $a$ abhängige Funktion das Maximum über $a$. Erhältst du daraus $a=1,364$, hast du die Behauptung nachgewiesen.
1. Schritt: Integral $\boldsymbol{\displaystyle\int_0^{12} f_a(t) \;\mathrm dt}$ berechnen
Mit dem Hauptsatz der Integralrechnung ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_0^{12} f_a(t) \;\mathrm dt=& \displaystyle\int_0^{12} a \cdot \left(t^4-24 \cdot t^3 + 144 \cdot t^2 +400\right) - 400 \cdot \left(a^2 -1 \right) \;\mathrm dt \\[5pt] =&\left[a \cdot \left(\dfrac{1}{5} \cdot t^5 - 6 \cdot t^4 + 48 \cdot t^3 +400 \cdot t \right) - 400 \cdot \left(a^2 -1 \right) \cdot t \right]_0^{12} \\[5pt] =&a \cdot \left(\dfrac{1}{5} \cdot 12^5 - 6 \cdot 12^4 + 48 \cdot 12^3 +400 \cdot 12 \right) - 400 \cdot \left(a^2 -1 \right) \cdot 12 \\[5pt] =& a \cdot \left( \dfrac{65.472}{5}\right) - 4.800 \cdot \left(a^2 -1 \right) \\[5pt] =&:E(a) \end{array}$
Die Funktion $E(a)$ gibt dir nun die in einem Jahr aus der Solaranlage abrufbare Energie in Abhängigkeit von $a$ an. Ermittle also das Maximum von $E(a)$. Dies kannst du per Hand oder mit deinem GTR erledigen.
2. Schritt: Maximum von $\boldsymbol{E(a)}$ bestimmen
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg A: Per Hand
Bestimme das Maximum von $E(a)$, indem du zunächst die notwendige Bedingung anwendest. Bei der Funktion $E(a)$ handelt es sich um eine nach unten geöffnete Parabel. Somit fällt die Überprüfung der hinreichenden Bedingung weg und auch die Überprüfung der Randwerte ist hinfällig.
$\blacktriangleright$  $1.$ Ableitung von $\boldsymbol{E(a)}$ ermitteln
Leite $E(a)$ nach $a$ ab:
$E'(a)= \dfrac{65.472}{5} - 9.600 \cdot a$
$\blacktriangleright$  Notwendige Bedingung anwenden
Setze den Funktionsterm der $1.$ Ableitung $E'$ gleich Null, um mögliche Nullstellen zu bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} E'(a)\stackrel{!}=&0&\scriptsize \mid\; E'(a) \text{ einsetzen} \\[5pt] \dfrac{65.472}{5} - 9.600 \cdot a =&0&\scriptsize \mid\; +9.600 \cdot a \\[5pt] \dfrac{65.472}{5}=&9.600 \cdot a &\scriptsize \mid\; :9.600 \\[5pt] \dfrac{341}{250}=&a \\[5pt] 1,364=&a \end{array}$
Damit kommt nur $a=1,364$ als Maximum in Frage. Aufgrund der Parabelform von $E(a)$ besitzt die Funktion an der Stelle $a=1,364$ eine Maximalstelle.
Damit hast du nachgewiesen, dass die in einem Jahr aus der Solaranlage abrufbare Energie für $a=1,364$ $(w=116-66 \cdot 1,364 \approx 26^{\circ})$ am größten ist.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg B: Lösen mit dem GTR
Wechsle mit deinem GTR in das Y=-Menü und speichere dort den Funktionsterm von $E$. Hast du diesen dort gespeichert, gib unter
SHIFT $\to$ F3 (V-Window)
die Intervallgrenzen $a=0,5$ und $a=1,5$ ein. Wechsle wieder in das Y=-Menü und lass dir den zugehörigen Graph über DRAW anzeigen.
Wähle dann unter
SHIFT $\to$ F5 (G-Solv) $\to$ F2 (MAX)
den Befehl zum Bestimmen des Maximums aus.
Aufgabe 2
Aufgabe 2
Damit hast du nachgewiesen, dass die in einem Jahr aus der Solaranlage abrufbare Energie für $a=1,364$ $(w=116-66 \cdot 1,364 \approx 26^{\circ})$ am größten ist.
c)(3)
$\blacktriangleright$  Behauptung des Solaranlagenherstellers begründen
Abbildung 2 liefert dir den Graphen $f_1$ für den Neigungswinkel $w=50^{\circ}$ und den Graphen $f_{1,364}$ für $w=26^{\circ}$. Die von der Solaranlage mit dem entsprechenden Neigungswinkel bereitgestellte Energie wird durch die Flächen unterhalb der entsprechenden Graphen dargestellt. Zudem ist der Energiebedarf der Familie durch die Fläche unterhalb des Graphen der Funktion $g$ dargestellt.
Nun erkennst du anhand der Abbildung 2, dass die Fläche unterhalb des Graphen von $f_1$ einen größeren Anteil an der Fläche unterhalb von $g$ überdeckt als die Fläche unterhalb von $f_{1,364}$.
Damit deckt über das ganze Kalenderjahr die Solaranlage mit Neigungswinkel $50^{\circ}$ einen höheren Anteil am Leistungsbedarf der Familie als die Solaranlage mit Neigungswinkel $26^{\circ}$.
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